SOMMAIRE. Considérations générales sur le calcul des fonctions directes.
D'après l'explication générale qui termine la leçon précédente, le
_calcul des fonctions directes_, ou l'_algèbre_ proprement dite, suffit
entièrement à la solution des questions mathématiques, quand elles sont
assez simples pour qu'on puisse former immédiatement les équations entre
les grandeurs mêmes que l'on considère, sans qu'il soit nécessaire
d'introduire à leur place ou conjointement avec elles aucun système de
quantités auxiliaires _dérivées_ des premières. À la vérité, dans le
plus grand nombre des cas importans, son emploi a besoin d'être précédé
et préparé par celui du _calcul des fonctions indirectes_, destiné à
faciliter l'établissement des équations. Mais quoique le rôle de
l'algèbre ne soit alors que secondaire, elle n'en a pas moins toujours
une part nécessaire dans la solution complète de la question, en sorte
que le _calcul des fonctions directes_ doit continuer à être, par sa
nature, la base fondamentale de toute l'analyse mathématique. Nous
devons donc, avant d'aller plus loin, considérer, d'une manière
générale, la composition rationnelle de ce calcul, et le degré de
développement auquel il est parvenu aujourd'hui.
L'objet définitif de ce calcul étant la _résolution_ proprement dite des
_équations_, c'est-à-dire, la découverte du mode de formation des
quantités inconnues par les quantités connues d'après les _équations_
qui existent entre elles; il présente naturellement autant de parties
différentes que l'on peut concevoir de classes d'équations vraiment
distinctes; et par conséquent, son étendue propre est rigoureusement
indéfinie, le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entrer
dans les équations, étant par lui-même tout-à-fait illimité, bien
qu'elles ne soient composées que d'un très-petit nombre d'élémens
primitifs.
La classification rationnelle des équations, doit être évidemment
déterminée par la nature des élémens analytiques dont se composent leurs
membres; toute autre classification serait essentiellement arbitraire.
Sous ce rapport, les analystes divisent d'abord les équations à une ou à
plusieurs variables en deux classes principales, selon qu'elles ne
contiennent que des fonctions des trois premiers couples (_voy._ le
tableau, 4^e. leçon, page 173), ou qu'elles renferment aussi des
fonctions, soit exponentielles, soit circulaires. Les dénominations de
fonctions _algébriques_ et fonctions _transcendantes_, données
communément à ces deux groupes principaux d'élémens analytiques, sont,
sans doute, fort peu convenables. Mais la division universellement
établie entre les équations correspondantes, n'en est pas moins
très-réelle, en ce sens que la résolution des équations contenant les
fonctions dites _transcendantes_, présente nécessairement plus de
difficultés que celles des équations dites _algébriques_. Aussi l'étude
des premières est-elle jusqu'ici excessivement imparfaite, à tel point
que souvent la résolution des plus simples d'entre elles, nous est
encore inconnue[7]; c'est sur l'élaboration des secondes que portent
presqu'exclusivement nos méthodes analytiques.
[Note 7: Quelque simple que puisse paraître, par
exemple, l'équation /[a^x + b^x = c^x,/] on ne sait point
encore la _résoudre_; ce qui peut donner une idée de
l'extrême imperfection de cette partie de l'algèbre.]
Ne considérant maintenant que ces équations _algébriques_, il faut
observer d'abord que, quoiqu'elles puissent souvent contenir des
fonctions _irrationnelles_ des inconnues aussi bien que des fonctions
_rationnelles_; on peut toujours, par des transformations plus ou moins
faciles, faire rentrer le premier cas dans le second; en sorte que c'est
de ce dernier que les analystes ont dû s'occuper uniquement, pour
résoudre toutes les équations _algébriques_.
Dans l'enfance de l'algèbre, ces équations avaient été classées d'après
le nombre de leurs termes. Mais cette classification était évidemment
vicieuse; comme séparant des cas réellement semblables, et en réunissant
d'autres qui n'avaient rien de commun qu'un caractère sans aucune
importance véritable[8]. Elle n'a été maintenue que pour les équations à
deux termes, susceptibles, en effet, d'une résolution commune qui leur
est propre.
[Note 8: On a commis plus tard la même erreur momentanée
dans les premiers temps du calcul infinitésimal, pour
l'intégration des équations différentielles.]
La classification des équations, d'après ce qu'on appelle leurs
_degrés_, universellement admise depuis long-temps par les analystes,
est, au contraire, éminemment naturelle, et mérite d'être signalée ici.
Car, en ne comparant, dans chaque _degré_, que les équations qui se
correspondent, quant à leur complication relative, on peut dire que
cette distinction détermine rigoureusement la difficulté plus ou moins
grande de leur _résolution_. Cette gradation est sensible
effectivement, pour toutes les équations que l'on sait résoudre. Mais
on peut s'en rendre compte d'une manière générale, indépendamment du
fait de la résolution. Il suffit, pour cela, de considérer que
l'équation la plus générale de chaque degré comprend nécessairement
toutes celles des divers degrés inférieurs, en sorte qu'il en doit être
ainsi de la formule qui détermine l'inconnue. En conséquence, quelque
faible qu'on pût supposer _à priori_ la difficulté propre au _degré_ que
l'on considère, comme elle se complique inévitablement, dans
l'exécution, de celles que présentent tous les _degrés_ précédens, la
résolution offre donc réellement plus d'obstacles à mesure que le degré
de l'équation s'élève.
Cet accroissement de difficulté est tel, que jusqu'ici la résolution des
équations algébriques ne nous est connue que dans les quatre premiers
degrés seulement. À cet égard, l'algèbre n'a pas fait de progrès
considérables depuis les travaux de Descartes, et des analystes italiens
du seizième siècle, quoique, dans les deux derniers siècles, il n'ait
peut-être pas existé un seul géomètre qui ne se soit occupé de pousser
plus avant la résolution des équations. L'équation générale du cinquième
degré elle-même, a jusqu'ici résisté à toutes les tentatives.
La complication toujours croissante que doivent nécessairement
présenter les formules pour résoudre les équations à mesure que le degré
augmente, l'extrême embarras qu'occasione déjà l'usage de la formule du
quatrième degré, et qui le rend presqu'inapplicable, ont déterminé les
analystes à renoncer, par un accord tacite, à poursuivre de semblables
recherches, quoiqu'ils soient loin de regarder comme impossible
d'obtenir jamais la résolution des équations du cinquième degré, et de
plusieurs autres degrés supérieurs. La seule question de ce genre, qui
offrirait vraiment une grande importance, du moins sous le rapport
logique, ce serait la résolution générale des équations algébriques d'un
degré quelconque. Or, plus on médite sur ce sujet, plus on est conduit à
penser, avec Lagrange, qu'il surpasse réellement la portée effective de
notre intelligence. Il faut d'ailleurs observer que la formule qui
exprimerait la _racine_ d'une équation du degré m devrait nécessairement
renfermer des radicaux de l'ordre m (ou des fonctions d'une multiplicité
équivalente), à cause des m déterminations quelle doit comporter.
Puisque nous avons vu, de plus, qu'elle doit aussi embrasser, comme cas
particulier, celle qui correspond à tout autre degré inférieur, il
s'ensuit qu'elle contiendrait, en outre, inévitablement, des radicaux de
l'ordre m-1, d'autres de l'ordre m-2, etc., de telle manière que, s'il
était possible de la découvrir, elle offrirait presque toujours une trop
grande complication pour pouvoir être utilement employée, à moins qu'on
ne parvînt à la simplifier, en lui conservant cependant toute la
généralité convenable, par l'introduction d'un nouveau genre d'élémens
analytiques, dont nous n'avons encore aucune idée. Il y a donc lieu de
croire que, sans avoir déjà atteint sous ce rapport les bornes imposées
par la faible portée de notre intelligence, nous ne tarderions pas à les
rencontrer en prolongeant avec une activité forte et soutenue cette
série de recherches.
Il importe d'ailleurs d'observer que, même en supposant obtenue la
résolution des équations _algébriques_ d'un degré quelconque, on
n'aurait encore traité qu'une très-petite partie de l'_algèbre_
proprement dite, c'est-à-dire, du calcul des fonctions directes,
embrassant la résolution de toutes les équations que peuvent former les
fonctions analytiques aujourd'hui connues. Enfin, pour achever
d'éclaircir la considération philosophique de ce sujet, il faut
reconnaître que, par une loi irrécusable de la nature humaine, nos
moyens pour concevoir de nouvelles questions étant beaucoup plus
puissans que nos ressources pour les résoudre, ou, en d'autres termes,
l'esprit humain étant bien plus apte à imaginer qu'à raisonner, nous
resterons nécessairement toujours au-dessous de la difficulté, à quelque
degré de développement que parviennent jamais nos travaux intellectuels.
Ainsi, quand même on découvrirait un jour la résolution complète de
toutes les équations analytiques actuellement connues, ce qui, à
l'examen, doit être jugé tout-à-fait chimérique, il n'est pas douteux
qu'avant d'atteindre à ce but, et probablement même comme moyen
subsidiaire, on aurait déjà surmonté la difficulté bien moindre, quoique
très-grande cependant, de concevoir de nouveaux élémens analytiques,
dont l'introduction donnerait lieu à des classes d'équations que nous
ignorons complétement aujourd'hui; en sorte qu'une pareille imperfection
relative de la science algébrique se reproduirait encore, malgré
l'accroissement réel, très-important d'ailleurs, de la masse absolue de
nos connaissances.
Dans l'état présent de l'algèbre, la résolution complète des équations
des quatre premiers degrés, des équations binomes quelconques, de
certaines équations spéciales des degrés supérieurs, et d'un très-petit
nombre d'équations exponentielles, logarithmiques, ou circulaires,
constituent donc les méthodes fondamentales que présente le calcul des
fonctions directes pour la solution des problèmes mathématiques. Mais,
avec des élémens aussi bornés, les géomètres n'en sont pas moins
parvenus à traiter, d'une manière vraiment admirable, un très-grand
nombre de questions importantes, comme nous le reconnaîtrons
successivement dans la suite de ce volume. Les perfectionnemens généraux
introduits depuis un siècle dans le système total de l'analyse
mathématique ont eu pour caractère principal d'utiliser à un degré
immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions
directes, au lieu de tendre à les augmenter. Ce résultat a été obtenu à
un tel point, que le plus souvent ce calcul n'a de rôle effectif dans la
solution complète des diverses questions que par ses parties les plus
simples, celles qui se rapportent aux équations des deux premiers
degrés, à une seule ou à plusieurs variables.
L'extrême imperfection de l'algèbre, relativement à la résolution des
équations, a déterminé les analystes à s'occuper d'une nouvelle classe
de questions, dont il importe de marquer ici le véritable caractère.
Quand ils ont cru devoir renoncer à poursuivre plus long-temps la
résolution des équations algébriques des degrés supérieurs au quatrième,
ils se sont occupés de suppléer, autant que possible, à cette immense
lacune, par ce qu'ils ont nommé la _résolution numérique_ des équations.
Ne pouvant obtenir, dans la plupart des cas, la _formule_ qui exprime
quelle fonction explicite l'inconnue est des données, on a cherché, à
défaut de cette résolution, la seule réellement _algébrique_, à
déterminer, du moins, indépendamment de cette formule, la _valeur_ de
chaque inconnue pour tel ou tel système désigné de valeurs particulières
attribuées aux données. Par les travaux successifs des analystes, cette
opération incomplète et bâtarde, qui présente un mélange intime des
questions vraiment algébriques avec des questions purement
arithmétiques, a pu, du moins, être entièrement effectuée dans tous les
cas, pour des équations d'un degré et même d'une forme quelconques. Sous
ce rapport, les méthodes qu'on possède aujourd'hui sont suffisamment
générales, quoique les calculs auxquels elles conduisent soient souvent
presque inexécutables, à cause de leur complication. Il ne reste donc
plus, à cet égard, qu'à simplifier assez les procédés pour qu'ils
deviennent régulièrement applicables, ce qu'on peut espérer d'obtenir
dans la suite. D'après cet état du calcul des fonctions directes, on
s'efforce ensuite, dans l'application de ce calcul, de disposer, autant
que possible, les questions proposées de façon à n'exiger finalement que
cette résolution _numérique_ des équations.
Quelque précieuse que soit évidemment une telle ressource, à défaut de
la véritable solution, il est essentiel de ne pas méconnaître le vrai
caractère de ces procédés, que les analystes regardent avec raison
comme une algèbre fort imparfaite. En effet, il s'en faut de beaucoup
que nous puissions toujours réduire nos questions mathématiques à ne
dépendre, en dernière analyse, que de la résolution _numérique_ des
équations. Cela ne se peut que pour les questions tout-à-fait isolées,
ou vraiment finales, c'est-à-dire, pour le plus petit nombre. La plupart
des questions ne sont, en effet, que préparatoires, et destinées à
servir de préliminaire indispensable à la solution d'autres questions.
Or, pour un tel but, il est évident que ce n'est pas la _valeur_
effective de l'inconnue qu'il importe de découvrir, mais la _formule_
qui montre comment elle dérive des autres quantités considérées. C'est
ce qui arrive, par exemple, dans un cas très-étendu, toutes les fois
qu'une question déterminée renferme simultanément plusieurs inconnues.
Il s'agit alors, comme on sait, d'en faire, avant tout, la séparation.
En employant convenablement, à cet effet, le procédé simple et général
heureusement imaginé par les analystes, et qui consiste à rapporter
l'une des inconnues à toutes les autres, la difficulté disparaîtrait
constamment, si l'on savait toujours résoudre algébriquement les
équations considérées, sans que la résolution _numérique_ puisse être
alors d'aucune utilité. C'est uniquement faute de connaître la
résolution _algébrique_ des équations à une seule inconnue, qu'on est
obligé de traiter l'_élimination_ comme une question distincte, qui
forme une des plus grandes difficultés spéciales de l'algèbre ordinaire.
Quelque pénibles que soient les méthodes à l'aide desquelles on surmonte
cette difficulté, elles ne sont pas même applicables d'une manière
entièrement générale, à l'élimination d'une inconnue entre deux
équations de forme quelconque.
Dans les questions les plus simples, et lorsqu'on n'a véritablement à
résoudre qu'une seule équation à une seule inconnue, cette résolution
_numérique_ n'en est pas moins un procédé très-imparfait, même quand
elle est strictement suffisante. Elle présente, en effet, ce grave
inconvénient d'obliger à refaire toute la suite des opérations pour le
plus léger changement qui peut survenir dans une seule des quantités
considérées, quoique leur relation reste toujours la même, sans que les
calculs faits pour un cas puissent dispenser en aucune manière de ceux
qui concernent un autre cas très-peu différent, faute d'avoir pu
abstraire et traiter distinctement cette partie purement algébrique de
la question qui est commune à tous les cas résultant de la simple
variation des nombres donnés.
D'après les considérations précédentes, le calcul des fonctions
directes, envisagé dans son état actuel, se divise donc naturellement en
deux parties fort distinctes, suivant qu'on traite de la résolution
_algébrique_ des équations ou de leur résolution _numérique_. La
première partie, la seule vraiment satisfaisante, est malheureusement
fort peu étendue, et restera vraisemblablement toujours très-bornée; la
seconde, le plus souvent insuffisante, a du moins l'avantage d'une
généralité beaucoup plus grande. La nécessité de distinguer nettement
ces deux parties est évidente, à cause du but essentiellement différent
qu'on se propose dans chacune, et par suite, du point de vue propre sous
lequel on y considère les quantités. De plus, si on les envisage
relativement aux diverses méthodes dont chacune est composée, on trouve
dans leur distribution rationnelle une marche toute différente. En
effet, la première partie doit se diviser d'après la nature des
équations que l'on sait résoudre, et indépendamment de toute
considération relative aux _valeurs_ des inconnues. Dans la seconde
partie, au contraire, ce n'est pas suivant les _degrés_ des équations
que les procédés se distinguent naturellement, puisqu'ils sont
applicables à des équations d'un degré quelconque; c'est selon l'espèce
numérique des _valeurs_ des inconnues. Car, pour calculer directement
ces nombre sans les déduire des formules qui en feraient connaître les
expressions, le moyen ne saurait évidemment être le même, quand les
nombres ne sont susceptibles d'être évalués que par une suite
d'approximations toujours incomplète, que lorsqu'on peut les obtenir
exactement. Cette distinction si importante, dans la résolution
numérique des équations, des racines incommensurables, et des racines
commensurables, qui exigent des principes tout-à-fait différens pour
leur détermination, est entièrement insignifiante dans là résolution
algébrique, où la nature _rationnelle_ ou _irrationnelle_ des nombres
obtenus est un simple accident du calcul, qui ne peut exercer aucune
influence sur les procédés employés. C'est, en un mot, une simple
considération arithmétique. On en peut dire autant, quoique à un moindre
degré, de la distinction des racines commensurables elles-mêmes en
entières et fractionnaires. Enfin, il en est aussi de même, à plus forte
raison, pour la classification la plus générale des racines, en
_réelles_ et _imaginaires_. Toutes ces diverses considérations, qui sont
prépondérantes quant à la résolution numérique des équations, et qui
n'ont aucune importance dans la résolution algébrique, rendent de plus
en plus sensible la nature essentiellement distincte de ces deux parties
principales de l'algèbre proprement dite.
Ces deux parties, qui constituent l'objet immédiat du calcul des
fonctions directes, sont dominées par une troisième purement
spéculative, à laquelle l'une et l'autre empruntent leurs ressources les
plus puissantes, et qui a été très-exactement désignée par le nom
général de _théorie des équations_, quoique cependant elle ne porte
encore que sur les équations dites _algébriques_. La résolution
numérique des équations, à cause de sa généralité, exige spécialement
cette base rationnelle.
Cette dernière branche si importante de l'algèbre se divise
naturellement en deux ordres de questions, d'abord celles qui se
rapportent à la composition des équations, et ensuite celles qui
concernent leur transformation; ces dernières ayant pour objet de
modifier les racines d'une équation sans les connaître, suivant une loi
quelconque donnée, pourvu que cette loi soit uniforme relativement à
toutes ces racines[9].
[Note 9: Je crois devoir, au sujet de la théorie des
équations, signaler ici une lacune de quelque importance. Le
principe fondamental sur lequel elle repose, et qui est si
fréquemment appliqué dans toute l'analyse mathématique, la
décomposition des fonctions algébriques, rationnelles, et
entières, d'un degré quelconque, en facteurs du premier
degré, n'est jamais employé que pour les fonctions d'une
seule variable, sans que personne ait examiné si on doit
l'étendre aux fonctions de plusieurs variables, ce que
néanmoins on ne devrait pas laisser incertain. Quant aux
fonctions de deux ou de trois variables, les considérations
géométriques décident clairement, quoique d'une manière
indirecte, que leur décomposition en facteurs est
ordinairement impossible; car il en résulterait que chaque
classe correspondante d'équations ne pourrait représenter
une ligne ou une surface _sui generis_, et que son lieu
géométrique rentrerait toujours dans le système de ceux
appartenant à des équations de degré inférieur, de telle
sorte que, de proche en proche, toute équation ne produirait
jamais que des lignes droites ou des plans. Mais,
précisément à cause de cette interprétation concrète, ce
théorème, quoique purement négatif, me semble avoir une si
grande importance pour la géométrie analytique, que je
m'étonne qu'on n'ait pas cherché à établir directement une
différence aussi caractéristique entre les fonctions à une
seule variable et celles à plusieurs variables. Je vais
rapporter ici sommairement la démonstration abstraite et
générale que j'en ai trouvée, quoiqu'elle fût plus
convenablement placée dans un traité spécial.
1º Si f(x,y) pouvait se décomposer en facteurs du premier
degré, on les obtiendrait en résolvant l'équation f(x,y)=0.
Or, d'après les considérations indiquées dans le texte,
cette équation, résolue par rapport à x, fournirait des
formules qui contiendraient nécessairement divers radicaux,
dans lesquels entrerait y. Les fonctions de y, renfermées
sous chaque radical, ne sauraient évidemment être en général
des puissances parfaites. Or, il faudrait qu'elles le
devinssent pour que les facteurs élémentaires correspondans
de f(x,y), et qui sont déjà du premier degré en x, fussent
aussi du premier degré, ou même simplement rationnels,
relativement à y. Cela ne pourra donc avoir lieu que dans
certains cas particuliers, lorsque les coefficiens
rempliront les conditions plus ou moins nombreuses, mais
constamment déterminées, qu'exige la disparition des
radicaux. Le même raisonnement s'appliquerait évidemment, à
bien plus forte raison, aux fonctions de trois, quatre, etc.
variables.
2º Une autre démonstration, de nature très-différente, se
tire de la mesure du degré de généralité des fonctions à
plusieurs variables, lequel s'estime par le nombre de
constantes arbitraires entrant dans leur expression la plus
complète et la plus simple. Je me bornerai à l'indiquer pour
les fonctions de deux variables; il serait aisé de l'étendre
à celles qui en contiennent davantage.
On sait que le nombre de constantes arbitraires contenues
dans la formule générale d'une fonction du degré m à deux
variables, est /frac{m(m+3)}{2}. Or, si une telle fonction
pouvait seulement se décomposer en deux facteurs, l'un du
degré n, et l'autre du degré m-n, le produit renfermerait un
nombre de constantes arbitraires égal à /[/frac{n(n+3)}{2} +
/frac{(m-n)(m-n+3)}{2}./] Ce nombre étant, comme il est aisé
de le voir, inférieur au précédent de n(m-n), il en résulte
qu'un tel produit, ayant moins de généralité que la fonction
primitive, ne peut la représenter constamment. On voit même
qu'une telle comparaison exigerait n(m-n) relations
spéciales entre les coefficiens de cette fonction, qu'on
trouverait aisément en développant l'identité.
Ce nouveau genre de démonstration, fondé sur une
considération ordinairement négligée, pourrait probablement
être employé avec avantage dans plusieurs autres
circonstances.]
Pour compléter cette rapide énumération générale des diverses parties
essentielles du calcul des fonctions directes, je dois enfin mentionner
expressément une des théories les plus fécondes et les plus importantes
de l'algèbre proprement dite, celle relative à la transformation des
fonctions en séries à l'aide de ce qu'on appelle la méthode des
coefficiens indéterminés. Cette méthode, si éminemment analytique, et
qui doit être regardée comme une des découvertes les plus remarquables
de Descartes, a sans doute perdu de son importance depuis l'invention et
le développement du calcul infinitésimal, dont elle pouvait tenir lieu
si heureusement sous quelques rapports particuliers. Mais l'extension
croissante de l'analyse transcendante, quoique ayant rendu cette méthode
bien moins nécessaire, en a, d'un autre côté, multiplié les applications
et agrandi les ressources; en sorte que par l'utile combinaison qui
s'est finalement opérée entre les deux théories, l'usage de la méthode
des coefficiens indéterminés est devenu aujourd'hui beaucoup plus étendu
qu'il ne l'était même avant la formation du calcul des fonctions
indirectes.
Après avoir esquissé le tableau général de l'algèbre proprement dite, il
me reste maintenant à présenter quelques considérations sur divers
points principaux du calcul des fonctions directes, dont les notions
peuvent être utilement éclaircies par un examen philosophique.
Les difficultés relatives à plusieurs symboles singuliers auxquels
conduisent les calculs algébriques et notamment aux expressions dites
_imaginaires_, ont été, ce me semble, beaucoup exagérées par suite des
considérations purement méthaphysiques qu'on s'est efforcé d'y
introduire, au lieu d'envisager ces résultats anormaux sous leur vrai
point de vue, comme de simples faits analytiques. En les concevant
ainsi, il est aisé de reconnaître, en thèse générale, que l'esprit de
l'analyse mathématique consistant à considérer les grandeurs sous le
seul point de vue de leurs relations, et indépendamment de toute idée de
valeur déterminée, il en résulte nécessairement pour les analystes
l'obligation constante d'admettre indifféremment toutes les sortes
d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons
algébriques. S'ils voulaient s'en interdire une seule, à raison de sa
singularité apparente, comme elle est toujours susceptible de se
présenter d'après certaines suppositions particulières sur les valeurs
des quantités considérées, ils seraient contraints d'altérer la
généralité de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans chaque
raisonnement, une suite de distinctions vraiment étrangères, ils
feraient perdre à l'analyse mathématique, son principal avantage
caractéristique, la simplicité et l'uniformité des idées qu'elle
combine. L'embarras que l'intelligence éprouve ordinairement au sujet de
ces expressions singulières, me paraît provenir essentiellement de la
confusion vicieuse qu'elle fait à son insçu entre l'idée de _fonction_
et l'idée de _valeur_, ou, ce qui revient au même, entre le point de vue
_algébrique_, et le point de vue _arithmétique_. Si la nature de cet
ouvrage me permettait de présenter à cet égard les développemens
suffisans, il me serait, je crois, facile, par un usage convenable des
considérations indiquées dans cette leçon et dans les deux précédentes,
de dissiper les nuages dont une fausse manière de voir entoure
habituellement ces diverses notions. Le résultat de cet examen
démontrerait expressément que l'analyse mathématique est, par sa nature,
beaucoup plus claire, sous les différens rapports dont je viens de
parler, que ne le croient communément les géomètres eux-mêmes, égarés
par les objections vicieuses des métaphysiciens.
Relativement aux quantités négatives, qui, par suite du même esprit
métaphysique, ont donné lieu à tant de discussions déplacées, aussi
dépourvues de tout fondement rationnel que dénuées de toute véritable
utilité scientifique, il faut distinguer, en considérant toujours le
simple fait analytique, entre leur signification abstraite et leur
interprétation concrète, qu'on a presque toujours confondues jusqu'à
présent. Sous le premier rapport, la théorie des quantités négatives
peut être établie d'une manière complète par une seule vue algébrique.
Quant à la nécessité d'admettre ce genre de résultats concurremment avec
tout autre, elle dérive de la considération générale que je viens de
présenter: et quant à leur emploi comme artifice analytique pour rendre
les formules plus étendues, ce mécanisme de calcul ne peut réellement
donner lieu à aucune difficulté sérieuse. Ainsi, on peut envisager la
théorie abstraite des quantités négatives comme ne laissant rien
d'essentiel à désirer: elle ne présente vraiment d'obstacles que ceux
qu'on y introduit mal à propos par des considérations sophistiques.
Mais, il n'en est nullement de même pour leur théorie concrète.
Sous ce point de vue, elle consiste essentiellement dans cette admirable
propriété des signes + et - de représenter analytiquement les
oppositions de sens dont sont susceptibles certaines grandeurs. Ce
théorème général sur les relations du concret à l'abstrait en
mathématique, est une des plus belles découvertes que nous devions au
génie de Descartes, qui l'a obtenue comme un simple résultat de
l'observation philosophique convenablement dirigée. Un grand nombre de
géomètres ont tenté depuis d'en établir directement la démonstration
générale. Mais jusqu'ici leurs efforts ont été illusoires, soit qu'ils
aient essayé de trancher la difficulté par de vaines considérations
métaphysiques, ou par des comparaisons très-hasardées, soit qu'ils aient
pris de simples vérifications dans quelque cas particulier plus ou moins
borné pour de véritables démonstrations. Ces diverses tentatives
vicieuses, et le mélange hétérogène du point de vue abstrait avec le
point de vue concret, ont même introduit communément à cet égard une
telle confusion, qu'il devient nécessaire d'énoncer ici distinctement le
fait général, soit qu'on veuille se contenter d'en faire usage, soit
qu'on se propose de l'expliquer. Il consiste, indépendamment de toute
explication, en ce que: si dans une équation quelconque exprimant la
relation de certaines quantités susceptibles d'opposition de sens, une
ou plusieurs de ces quantités viennent à être comptées dans un sens
contraire à celui qu'elles affectaient quand l'équation a été
primitivement établie; il ne sera pas nécessaire de former directement
une nouvelle équation pour ce second état du phénomène; il suffira de
changer, dans la première équation, le signe de chacune des quantités
qui auront changé de sens, et l'équation ainsi modifiée coïncidera
toujours rigoureusement avec celle qu'on aurait trouvée en recommençant
à chercher pour ce nouveau cas la loi analytique du phénomène. C'est
dans cette coïncidence constante et nécessaire que consiste le théorême
général. Or, jusqu'ici on n'est point parvenu réellement à s'en rendre
compte directement; on ne s'en est assuré que par un grand nombre de
vérifications géométriques et mécaniques, qui sont, il est vrai, assez
multipliées et surtout assez variées pour qu'il ne puisse rester dans
aucun esprit juste le moindre doute sur l'exactitude et la généralité de
cette propriété essentielle, mais qui, sous le rapport philosophique, ne
dispensent nullement de chercher une explication aussi importante.
L'extrême étendue du théorême doit faire comprendre à la fois et la
difficulté capitale de cette recherche si souvent reprise
infructueusement, et la haute utilité dont serait sans doute, pour le
perfectionnement de la science mathématique, la conception générale de
cette grande vérité, l'esprit ne pouvant évidemment s'y élever qu'en se
plaçant à un point de vue d'où il découvrirait inévitablement de
nouvelles idées, par la considération directe et approfondie de la
relation du concret à l'abstrait. Quoi qu'il en soit, l'imperfection que
présente encore la science sous ce rapport, n'a point empêché les
géomêtres de faire l'usage le plus étendu et le plus important de cette
propriété dans toutes les parties de la mathématique concrète, où l'on
en éprouve un besoin presque continuel. On peut même retirer une
certaine utilité logique de la simple considération nette de ce fait
général, tel que je l'ai décrit ci-dessus; il en résulte, par exemple,
indépendamment de toute démonstration, que la propriété dont nous
parlons ne doit jamais être appliquée aux grandeurs qui affectent des
directions continuellement variables, sans donner lieu à une simple
opposition de sens: dans ce cas, le signe dont se trouve nécessairement
affecté tout résultat de calcul n'est susceptible d'aucune
interprétation concrète, et c'est à tort qu'on s'efforce quelquefois
d'en établir; cette circonstance a lieu, entre autres occasions, pour
les rayons vecteurs en géométrie, et pour les forces divergentes en
mécanique.
Un second théorême général sur la relation du concret à l'abstrait en
mathématique, que je crois devoir considérer expressément ici, est celui
qu'on désigne ordinairement sous le nom de principe de l'_homogénéité_.
Il est sans doute bien moins important dans ses applications que le
précédent. Mais il mérite particulièrement notre attention, comme ayant,
par sa nature, une étendue encore plus grande, puisqu'il s'applique
indistinctement à tous les phénomènes, et à cause de l'utilité réelle
qu'on en retire souvent pour la vérification de leurs lois analytiques.
Je puis d'ailleurs en exposer une démonstration directe et générale, qui
me semble fort simple. Elle est fondée sur cette seule observation,
évidente par elle-même: l'exactitude de toute relation entre des
grandeurs concrètes quelconques est indépendante de la valeur des
_unités_ auxquelles on les rapporte pour les exprimer en nombres. Par
exemple, la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle
rectangle, a lieu soit qu'on les évalue en mètres, ou en lieues, ou en
pouces, etc.
Il suit de cette considération générale, que toute équation qui exprime
la loi analytique d'un phénomène quelconque, doit jouir de cette
propriété de n'être nullement altérée, quand on fait subir simultanément
à toutes les quantités qui s'y trouvent, le changement correspondant à
celui qu'éprouveraient leurs unités respectives. Or, ce changement
consiste évidemment en ce que toutes les quantités de chaque espèce
deviendraient à la fois m fois plus petites, si l'unité qui leur
correspond devient m fois plus grande, ou réciproquement. Ainsi, toute
équation qui représente une relation concrète quelconque, doit offrir ce
caractère de demeurer la même, quand on y rend m fois plus grandes
toutes les quantités qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs
entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les nombres
qui désignent simplement les _rapports_ mutuels de ces diverses
grandeurs, lesquels restent invariables dans le changement des unités.
C'est dans cette propriété que consiste la loi de l'homogénéité, suivant
son acception la plus étendue, c'est-à-dire, de quelques fonctions
analytiques que les équations soient composées.
Mais, le plus souvent, on ne considère que les cas où ces fonctions sont
de celles qu'on appelle particulièrement _algébriques_, et auxquelles la
notion de _degré_ est applicable. Dans ce cas, on peut préciser
davantage la proposition générale, en déterminant le caractère
analytique que doit présenter nécessairement l'équation pour que cette
propriété soit vérifiée. Il est aisé de voir alors, en effet, que, par
la modification ci-dessus exposée, tous les _termes_ du premier degré,
quelle que soit leur forme, rationnelle ou irrationnelle, entière ou
fractionnaire, deviendront m fois plus grands; tous ceux du second
degré, m^2 fois; ceux du troisième, m^3 fois, etc. Ainsi, les termes du
même degré, quelque diverse que puisse être leur composition, variant de
la même manière, et les termes de degrés différens variant dans une
proportion inégale, quelque similitude que puisse offrir leur
composition, il faudra nécessairement, pour que l'équation ne soit pas
troublée, que tous les termes qu'elle contient soient d'un même degré.
C'est en cela que consiste proprement le théorême ordinaire de
l'_homogénéité_; et c'est de cette circonstance que la loi générale à
tiré son nom, qui cependant cesse d'être exactement convenable pour
toute autre espèce de fonctions.
Afin de traiter ce sujet dans toute son étendue, il importe d'observer
une condition essentielle, à laquelle on devra avoir égard en appliquant
cette propriété, lorsque le phénomène exprimé par l'équation présentera
des grandeurs de natures diverses. En effet, il pourra arriver que les
unités respectives soient complétement indépendantes les unes des
autres, et alors le théorême de l'homogénéité aura lieu, soit par
rapport à toutes les classes correspondantes de quantités, soit qu'on ne
veuille considérer qu'une seule ou plusieurs d'entre elles. Mais, il
arrivera, dans d'autres occasions, que les diverses unités auront entre
elles des relations obligées, déterminées par la nature de la question.
Alors, il faudra avoir égard à cette subordination des unités dans la
vérification de l'homogénéité, qui n'existera plus en un sens purement
algébrique, et dont le mode précis variera suivant le genre des
phénomènes. Ainsi, par exemple, pour fixer les idées, quand on
considérera dans l'expression analytique des phénomènes géométriques, à
la fois des lignes, des aires, et des volumes, il faudra observer que
les trois unités correspondantes, sont nécessairement liées entre elles,
de telle sorte que, suivant la subordination généralement établie à cet
égard, lorsque la première devient m fois plus grande, la seconde le
devient m^2 fois, et la troisième m^3 fois. C'est avec une telle
modification que l'homogénéité existera dans les équations, où l'on
devra alors, si elles sont _algébriques_, estimer le degré de chaque
terme, en doublant les exposans des facteurs qui correspondent à des
aires, et triplant ceux des facteurs relatifs à des volumes[10].
Telles sont les principales considérations générales, très-insuffisantes
sans doute, mais auxquelles je suis contraint de me réduire par les
limites naturelles de ce cours, relativement au calcul des fonctions
directes. Nous devons passer maintenant à l'examen philosophique du
calcul des fonctions indirectes, dont l'importance et l'étendue bien
supérieures réclament un plus grand développement.
[Note 10: J'ai été conduit, il y a douze ans, par mon
enseignement journalier de la science mathématique, à
construire cette théorie générale de l'homogénéité. J'ai
trouvé depuis que M. Fourier, dans son grand ouvrage sur la
chaleur, publié en 1822, avait suivi, de son côté, une
marche essentiellement semblable. Malgré cette heureuse
coïncidence, qu'a dû naturellement déterminer la
considération directe d'un sujet aussi simple, je n'ai pas
cru devoir ici renvoyer à sa démonstration; celle que je
viens d'exposer ayant pour principal objet d'embrasser
l'ensemble de la question, sans égard à aucune application
spéciale.]