SOMMAIRE. Vue générale de l'Analyse mathématique.
Dans le développement historique de la science mathématique depuis
Descartes, les progrès de la partie abstraite ont presque toujours été
déterminés par ceux de la partie concrète. Mais il n'en est pas moins
nécessaire, pour concevoir la science d'une manière vraiment
rationnelle, de considérer le calcul dans toutes ses branches
principales avant de procéder à l'étude philosophique de la géométrie et
de la mécanique. Les théories analytiques, plus simples et plus
générales que celles de la mathématique concrète, en sont, par
elles-mêmes, essentiellement indépendantes; tandis que celles-ci ont, au
contraire, de leur nature, un besoin continuel des premières, sans le
secours desquelles elles ne pourraient faire presque aucun progrès.
Quoique les principales conceptions de l'analyse conservent encore
aujourd'hui quelques traces très-sensibles de leur origine géométrique
ou mécanique, elles sont maintenant néanmoins essentiellement dégagées
de ce caractère primitif, qui ne se manifeste plus guère que pour
quelques points secondaires; en sorte que, depuis les travaux de
Lagrange surtout, il est possible, dans une exposition dogmatique, de
les présenter d'une manière purement abstraite, en un système unique et
continu. C'est ce que je vais entreprendre dans cette leçon et dans les
cinq suivantes, en me bornant, comme il convient à la nature de ce
cours, aux considérations les plus générales sur chaque branche
principale de la science du calcul.
Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant
la découverte des _équations_, qui expriment les lois mathématiques des
phénomènes considérés, et ces _équations_ constituant le véritable point
de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des
quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller
plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée
fondamentale d'_équation_, sujet continuel, soit comme terme, soit comme
origine, de tous les travaux mathématiques. Outre l'avantage de mieux
circonscrire le véritable champ de l'analyse, il en résultera
nécessairement cette importante conséquence, de tracer d'une manière
plus exacte la ligne réelle de démarcation entre la partie concrète et
la partie abstraite des mathématiques, ce qui complétera l'exposition
générale de la division fondamentale établie dans la leçon précédente.
On se forme ordinairement une idée beaucoup trop vague de ce que c'est
qu'une _équation_, lorsqu'on donne ce nom à toute espèce de relation
d'égalité entre deux fonctions _quelconques_ des grandeurs que l'on
considère. Car, si toute équation est évidemment une relation d'égalité,
il s'en faut de beaucoup que, réciproquement, toute relation d'égalité
soit une véritable _équation_, du genre de celles auxquelles, par leur
nature, les méthodes analytiques sont applicables.
Ce défaut de précision dans la considération logique d'une notion aussi
fondamentale en mathématiques, entraîne le grave inconvénient de rendre
à peu près inexplicable, en thèse générale, la difficulté immense et
capitale que nous éprouvons à établir la relation du concret à
l'abstrait, et qu'on fait communément ressortir avec tant de raison pour
chaque grande question mathématique prise à part. Si le sens du mot
_équation_ était vraiment aussi étendu qu'on le suppose habituellement
en le définissant, on ne voit point, en effet, de quelle grande
difficulté pourrait être réellement, en général, l'établissement des
équations d'un problème quelconque. Car tout paraîtrait consister ainsi
en une simple question de forme, qui ne devrait pas même exiger jamais
de grands efforts intellectuels, attendu que nous ne pouvons guère
concevoir de relation précise qui ne soit pas immédiatement une certaine
relation d'égalité, ou qui n'y puisse être promptement ramenée par
quelques transformations très-faciles.
Ainsi, en admettant, en général, dans la définition des _équations_,
toute espèce de _fonctions_, on ne rend nullement raison de l'extrême
difficulté qu'on éprouve le plus souvent à mettre un problème en
équation, et qui est si fréquemment comparable aux efforts qu'exige
l'élaboration analytique de l'équation une fois obtenue. En un mot,
l'idée abstraite et générale qu'on donne de l'_équation_ ne correspond
aucunement au sens réel que les géomètres attachent à cette expression
dans le développement effectif de la science. Il y a là un vice logique,
un défaut de corélation, qu'il importe beaucoup de rectifier.
Pour y parvenir, je distingue d'abord deux sortes de _fonctions_: les
fonctions _abstraites_, analytiques, et les fonctions _concrètes_. Les
premières peuvent seules entrer dans les véritables _équations_, en
sorte qu'on pourra désormais définir, d'une manière exacte et
suffisamment approfondie, toute _équation_: une relation d'égalité entre
deux fonctions _abstraites_ des grandeurs considérées. Afin de n'avoir
plus à revenir sur cette définition fondamentale, je dois ajouter ici,
comme un complément indispensable sans lequel l'idée ne serait point
assez générale, que ces fonctions abstraites peuvent se rapporter
non-seulement aux grandeurs que le problème présente en effet de
lui-même, mais aussi à toutes les autres grandeurs auxiliaires qui s'y
rattachent, et qu'on pourra souvent introduire, simplement par artifice
mathématique, dans la seule vue de faciliter la découverte des équations
des phénomènes. Je ne fais ici, dans cette explication, qu'emprunter
sommairement, par anticipation, le résultat d'une discussion générale de
la plus haute importance, qui se trouvera à la fin de cette leçon.
Revenons maintenant à la distinction essentielle des fonctions en
abstraites et concrètes.
Cette distinction peut être établie par deux voies essentiellement
différentes, complémentaires l'une de l'autre; _à priori_, et _à
posteriori_: c'est-à-dire, en caractérisant d'une manière générale la
nature propre de chaque espèce de fonctions, et ensuite en faisant, ce
qui est possible, l'énumération effective de toutes les fonctions
abstraites aujourd'hui connues, du moins quant aux élémens dont elles
se composent.
_A priori_, les fonctions que j'appelle _abstraites_ sont celles qui
expriment entre des grandeurs un mode de dépendance qu'on peut concevoir
uniquement entre nombres, sans qu'il soit besoin d'indiquer aucun
phénomène quelconque où il se trouve réalisé. Je nomme, au contraire,
fonctions _concrètes_ celles pour lesquelles le mode de dépendance
exprimé ne peut être défini ni conçu qu'en assignant un cas physique
déterminé, géométrique, mécanique, ou de tout autre nature, dans lequel
il ait effectivement lieu.
La plupart des fonctions, à leur origine, celles mêmes qui sont
aujourd'hui le plus purement _abstraites_, ont commencé par être
_concrètes_; en sorte qu'il est aisé de faire comprendre la distinction
précédente, en se bornant à citer les divers points de vue successifs
sous lesquels, à mesure que la science s'est formée, les géomètres ont
considéré les fonctions analytiques les plus simples. J'indiquerai pour
exemple les puissances, devenues en général fonctions abstraites, depuis
seulement les travaux de Viète et de Descartes. Ces fonctions x^2, x^3,
qui, dans notre analyse actuelle, sont si bien conçues comme simplement
_abstraites_, n'étaient, pour les géomètres de l'antiquité, que des
fonctions entièrement _concrètes_, exprimant la relation de la
superficie d'un carré ou du volume d'un cube à la longueur de leur côté.
Elles avaient si exclusivement à leurs yeux un tel caractère, que c'est
seulement d'après leur définition géométrique qu'ils avaient découvert
les propriétés algébriques élémentaires de ces fonctions, relativement à
la décomposition de la variable en deux parties, propriétés qui
n'étaient, à cette époque, que de vrais théorèmes de géométrie, auxquels
on n'a attaché que beaucoup plus tard un sens numérique.
J'aurai encore occasion de citer tout à l'heure, pour un autre motif, un
nouvel exemple très-propre à faire bien sentir la distinction
fondamentale que je viens d'exposer; c'est celui des fonctions
circulaires, soit directes, soit inverses, qui sont encore aujourd'hui
tantôt concrètes, tantôt abstraites, selon le point de vue sous lequel
on les envisage.
Considérant maintenant, _à posteriori_, cette division des fonctions,
après avoir établi le caractère général qui rend une fonction abstraite
ou concrète, la question de savoir si telle fonction déterminée est
véritablement abstraite, et par-là susceptible d'entrer dans de vraies
équations analytiques, va devenir une simple question de fait, puisque
nous allons énumérer toutes les fonctions de cette espèce.
Au premier abord, cette énumération semble impossible, les fonctions
analytiques distinctes étant évidemment en nombre infini. Mais, en les
partageant en _simples_ et _composées_, la difficulté disparaît. Car, si
le nombre des diverses fonctions considérées dans l'analyse mathématique
est réellement infini, elles sont, au contraire, même aujourd'hui,
composées d'un fort petit nombre de fonctions élémentaires, qu'on peut
aisément assigner, et qui suffisent évidemment pour décider du caractère
abstrait ou concret de telle fonction déterminée, qui sera de l'une ou
de l'autre nature, selon qu'elle se composera exclusivement de ces
fonctions abstraites simples, ou qu'elle en comprendra d'autres. Voici
le tableau de ces élémens fondamentaux de toutes nos combinaisons
analytiques, dans l'état présent de la science. On ne doit, évidemment,
considérer, à cet effet, que les fonctions d'une seule variable; celles
relatives à plusieurs variables indépendantes étant constamment, par
leur nature, plus ou moins _composées_.
Soit x la variable indépendante, y la variable corelative qui en dépend.
Les différens modes simples de dépendance abstraite que nous pouvons
maintenant concevoir entre y et x, sont exprimés par les dix formules
élémentaires suivantes, dans lesquelles chaque fonction est accouplée
avec son _inverse_, c'est-à-dire, avec celle qui aurait lieu, d'après
la fonction _directe_, si on y rapportait x à y, au lieu de rapporter y
à x:
1er couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=a+x&/ldots/
/mbox{fonction}somme,// 2^{/rm o}/;y=a-x&/ldots/ /mbox{fonction
/em{diff/'erence}},/end{array}/right.
2me couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=ax&/ldots/
/mbox{fonction}produit,// 2^{/rm o}/;y=/frac{a}{x}&/ldots/
/mbox{fonction}quotient,/end{array}/right.
3me couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=x^a&/ldots/
/mbox{fonction}puissance,// 2^{/rm o}/;y=/sqrt[a]{x}&/ldots/
/mbox{fonction}racine,/end{array}/right.
4me couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=a^x&/ldots/
/mbox{fonction}exponentielle,// 2^{/rm o}/;l_ax&/ldots/
/mbox{fonction}logarithmique,/end{array}/right.
5me couple[4] /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=/mbox{sin}x&/ldots/
/mbox{/rm fonction}circulaire/;directe,// 2^{/rm
o}/;y=/mbox{arc(sin}=x)&/ldots/
/mbox{fonction}circulaire/;inverse./end{array}/right.
[Note 4: Dans la vue d'augmenter autant que possible les
ressources et l'étendue si insuffisantes de l'analyse
mathématique, les géomètres comptent ce dernier couple de
fonctions parmi les élémens analytiques. Quoique cette
inscription soit strictement légitime, il importe de
remarquer que les fonctions circulaires ne sont pas
exactement dans le même cas que les autres fonctions
abstraites élémentaires. Il y a entr'elles cette différence
fort essentielle, que les fonctions des quatre premiers
couples sont vraiment à la fois simples et abstraites,
tandis que les fonctions circulaires, qui peuvent manifester
successivement l'un et l'autre caractère suivant le point de
vue sous lequel on les envisage et la manière dont elles
sont employées, ne présentent jamais simultanément ces deux
propriétés.
La fonction sin x est introduite dans l'analyse comme une
nouvelle fonction simple, quand on la conçoit seulement
comme indiquant la relation géométrique dont elle dérive;
mais alors elle n'est évidemment qu'une fonction _concrète_.
Dans d'autres circonstances, elle remplit analytiquement les
conditions d'une véritable fonction _abstraite_, lorsqu'on
ne considère sin x que comme l'expression abrégée de la
formule /frac{e^{x/sqrt{-1}}-e^{-x/sqrt{-1}}}{2/sqrt{-1}} ou
de la série équivalente; mais sous ce dernier point de vue,
ce n'est plus réellement une nouvelle fonction analytique,
puisqu'elle ne se présente que comme un composé des
précédentes.
Néanmoins, les fonctions circulaires ont quelques qualités
spéciales qui permettent de les maintenir au tableau des
élémens rationnels de l'analyse mathématique.
1º Elles sont susceptibles d'évaluation, quoique conservant
leur caractère concret; ce qui autorise à les introduire
dans les équations, tant qu'elles ne portent que sur des
données, sans qu'il soit nécessaire d'avoir égard à leur
expression algébrique.
2º On sait effectuer sur les différentes fonctions
circulaires, comparées entr'elles seulement, une certaine
suite de transformations, qui n'exigent pas davantage la
connaissance de leur définition analytique. Il en résulte
évidemment la faculté d'introduire ces fonctions dans les
équations, même par rapport aux inconnues, pourvu qu'il n'y
entre pas concurremment des fonctions non-trigonométriques
des mêmes variables.
C'est donc uniquement dans les cas où les fonctions
circulaires, relativement aux inconnues, sont combinées dans
les équations avec des fonctions abstraites d'une autre
espèce, qu'il est indispensable d'avoir égard à leur
interprétation algébrique pour pouvoir résoudre les
équations, et dès lors elles cessent, en effet, d'être
traitées comme de nouvelles fonctions simples. Mais alors
même, pourvu qu'on tienne compte de cette interprétation,
leur admission n'empêche point les relations d'avoir le
caractère de véritables _équations_ analytiques, ce qui est
ici le but essentiel de notre énumération des fonctions
abstraites élémentaires.
Il est à remarquer, d'après les considérations indiquées
dans cette note, que plusieurs autres fonctions concrètes
peuvent être utilement introduites au nombre des élémens
analytiques, si les conditions principales posées ci-dessus
pour les fonctions circulaires ont été préalablement bien
remplies. C'est ainsi, par exemple, que les travaux de M.
Legendre, et récemment ceux de M. Jacobi, sur les fonctions
_elliptiques_, ont vraiment agrandi le champ de l'analyse;
il en est de même pour quelques intégrales définies obtenues
par M. Fourier, dans la théorie de la chaleur.]
Tels sont les élémens très-peu nombreux qui composent directement toutes
les fonctions abstraites aujourd'hui connues. Quelque peu multipliés
qu'ils soient, ils suffisent évidemment pour donner lieu à un nombre
tout-à-fait infini de combinaisons analytiques.
Aucune considération rationnelle ne circonscrit rigoureusement _à
priori_ le tableau précédent, qui n'est que l'expression effective de
l'état actuel de la science. Nos élémens analytiques sont aujourd'hui
plus nombreux qu'ils ne l'étaient pour Descartes, et même pour Newton et
Leïbnitz; il y a tout au plus un siècle que les deux derniers couples
ont été introduits dans l'analyse par les travaux de Jean Bernouilli et
d'Euler. Sans doute on en admettra de nouveaux dans la suite; mais,
comme je l'indiquerai à la fin de cette leçon, nous ne pouvons pas
espérer qu'ils soient jamais fort multipliés, leur augmentation réelle
donnant lieu à de très-grandes difficultés.
Nous pouvons donc maintenant nous former une idée positive, et néanmoins
suffisamment étendue, de ce que les géomètres entendent par une
véritable _équation_. Cette explication est éminemment propre à nous
faire comprendre combien il doit être difficile d'établir réellement les
_équations_ des phénomènes, puisqu'on n'y est effectivement parvenu que
lorsqu'on a pu concevoir les lois mathématiques de ces phénomènes à
l'aide de fonctions entièrement composées des seuls élémens analytiques
que je viens d'énumérer. Il est clair, en effet, que c'est uniquement
alors que le problème devient vraiment _abstrait_, et se réduit à une
pure question de nombres, ces fonctions étant les seules relations
simples que nous sachions concevoir entre les nombres, considérés en
eux-mêmes. Jusqu'à cette époque de la solution, quelles que soient les
apparences, la question est encore essentiellement concrète, et ne
rentre pas dans le domaine du _calcul_. Or, la difficulté fondamentale
de ce passage du _concret_ à l'_abstrait_ consiste surtout, en général,
dans l'insuffisance de ce très-petit nombre d'élémens analytiques que
nous possédons, et d'après lesquels néanmoins, malgré le peu de variété
réelle qu'ils nous offrent, il faut parvenir à se représenter toutes
les relations précises que peuvent nous manifester tous les différens
phénomènes naturels. Vu l'infinie diversité qui doit nécessairement
exister à cet égard dans le monde extérieur, on comprend sans peine
combien nos conceptions doivent se trouver fréquemment au-dessous de la
véritable difficulté; surtout si l'on ajoute que, ces élémens de notre
analyse nous ayant été fournis primitivement par la considération
mathématique des phénomènes les plus simples, puisqu'ils ont tous,
directement ou indirectement, une origine géométrique, nous n'avons _à
priori_ aucune garantie rationnelle de leur aptitude nécessaire à
représenter les lois mathématiques de toute autre classe de phénomènes.
J'exposerai tout à l'heure l'artifice général, si profondément
ingénieux, par lequel l'esprit humain est parvenu à diminuer
singulièrement cette difficulté fondamentale que présente la relation du
concret à l'abstrait en mathématiques, sans cependant qu'il ait été
nécessaire de multiplier le nombre de ces élémens analytiques.
Les explications précédentes déterminent avec précision le véritable
objet et le champ réel de la mathématique abstraite; je dois passer
maintenant à l'examen de ses divisions principales, car nous avons
toujours jusqu'ici considéré le _calcul_ dans son ensemble total.
La première considération directe à présenter sur la composition de la
science du _calcul_, consiste à la diviser d'abord en deux branches
principales, auxquelles, faute de dénominations plus convenables, je
donnerai les noms de _calcul algébrique_ ou _algèbre_, et de _calcul
arithmétique_ ou _arithmétique_, mais en avertissant de prendre ces deux
expressions dans leur acception logique la plus étendue, au lieu du sens
beaucoup trop restreint qu'on leur attache ordinairement.
La solution complète de toute question de _calcul_, depuis la plus
élémentaire jusqu'à la plus transcendante, se compose nécessairement de
deux parties successives dont la nature est essentiellement distincte.
Dans la première, on a pour objet de transformer les équations
proposées, de façon à mettre en évidence le mode de formation des
quantités inconnues par les quantités connues; c'est ce qui constitue la
question _algébrique_. Dans la seconde, on a en vue d'_évaluer_ les
_formules_ ainsi obtenues, c'est-à-dire, de déterminer immédiatement la
valeur des nombres cherchés, représentés déjà par certaines fonctions
explicites des nombres donnés; telle est la question _arithmétique_[5].
On voit que, dans toute solution vraiment rationnelle, elle suit
nécessairement la question algébrique, dont elle forme le complément
indispensable, puisqu'il faut évidemment connaître la génération des
nombres cherchés avant de déterminer leurs valeurs effectives pour
chaque cas particulier. Ainsi, le terme de la partie algébrique devient
le point de départ de la partie arithmétique.
[Note 5: Supposons, par exemple, qu'une question
fournisse entre une grandeur inconnue x et deux grandeurs
connues a et b l'équation: /[x^3 + 3ax = 2b/] comme il
arriverait pour la trisection d'un angle. On voit, de suite,
que la dépendance entre x d'une part, et a, b de l'autre,
est complétement déterminée; mais, tant que l'équation
conserve sa forme primitive, on n'aperçoit nullement de
quelle manière l'inconnue dérive des données. C'est
cependant ce qu'il faut découvrir avant de penser à
l'évaluer. Tel est l'objet de la partie algébrique de la
solution. Lorsque, par une suite de transformations qui ont
successivement rendu cette dérivation de plus en plus
sensible, on est arrivé à présenter l'équation proposée sous
la forme /x = /sqrt[3]{b+/sqrt{b^2+a^3}} +
/sqrt(3){b-/sqrt{b^2+a^3}}/ le rôle de l'algèbre est
terminé; et, quand même on ne saurait point effectuer les
opérations arithmétiques indiquées par cette formule, on en
n'aurait pas moins obtenu une connaissance très-réelle et
souvent fort importante. Le rôle de l'arithmétique
consistera maintenant, en partant de cette formule, à faire
trouver le nombre x quand les valeurs des nombres a et b
auront été fixées.]
Le calcul _algébrique_ et le calcul _arithmétique_ diffèrent donc
essentiellement par le but qu'on s'y propose. Ils ne diffèrent pas moins
par le point de vue sous lequel on y considère les quantités,
envisagées, dans le premier, quant à leurs relations, et, dans le
second, quant à leurs valeurs. Le véritable esprit du _calcul_, en
général, exige que cette distinction soit maintenue avec la plus sévère
exactitude, et que la ligne de démarcation entre les deux époques de la
solution soit rendue aussi nettement tranchée que le permet la question
proposée. L'observation attentive de ce précepte, trop méconnu, peut
être d'un utile secours dans chaque question particulière, en dirigeant
les efforts de notre esprit, à un instant quelconque de la solution,
vers la véritable difficulté correspondante. À la vérité, l'imperfection
de la science du calcul oblige souvent, comme je l'expliquerai dans la
leçon suivante, à mêler très-fréquemment les considérations algébriques
et les considérations arithmétiques pour la solution d'une même
question. Mais, quoiqu'il soit impossible alors de partager l'ensemble
du travail en deux parties nettement tranchées, l'une purement
algébrique, et l'autre purement arithmétique, on pourra toujours éviter,
à l'aide des indications précédentes, de confondre les deux ordres de
considérations, quelque intime que puisse être jamais leur mélange.
En cherchant à résumer le plus succinctement possible la distinction que
je viens d'établir, on voit que l'_algèbre_ peut se définir, en général,
comme ayant pour objet la _résolution_ des _équations_, ce qui, quoique
paraissant d'abord trop restreint, est néanmoins suffisamment étendu,
pourvu qu'on prenne ces expressions dans toute leur acception logique,
qui signifie transformer des fonctions _implicites_ en fonctions
_explicites_ équivalentes: de même, l'_arithmétique_ peut être définie
comme destinée à l'_évaluation_ des fonctions. Ainsi, en contractant les
expressions au plus haut degré, je crois pouvoir donner nettement une
juste idée de cette division, en disant, comme je le ferai désormais
pour éviter les périphrases explicatives, que l'_algèbre_ est le _calcul
des fonctions_, et l'_arithmétique_ le _calcul des valeurs_.
Il est aisé de comprendre par-là combien les définitions ordinaires sont
insuffisantes et même vicieuses. Le plus souvent, l'importance exagérée
accordée aux signes a conduit à distinguer ces deux branches
fondamentales de la science du calcul par la manière de désigner dans
chacune les sujets du raisonnement, ce qui est évidemment absurde en
principe et faux en fait. Même la célèbre définition donnée par Newton,
lorsqu'il a caractérisé l'_algèbre_ comme l'_arithmétique universelle_,
donne certainement une très-fausse idée de la nature de l'algèbre et de
celle de l'arithmétique[6].
[Note 6: J'ai cru devoir signaler spécialement cette
définition; parce qu'elle sert de base à l'opinion que
beaucoup de bons esprits, étrangers à la science
mathématique, se forment de la partie abstraite de cette
science, sans considérer qu'à l'époque où cet aperçu a été
formé, l'analyse mathématique n'était point assez développée
pour que le caractère général propre à chacune de ses
parties principales pût être convenablement saisi, ce qui
explique pourquoi Newton a pu proposer alors une définition
qu'il rejetterait certainement aujourd'hui.]
Après avoir établi la division fondamentale du _calcul_ en deux branches
principales, je dois comparer, en général, l'étendue, l'importance et la
difficulté de ces deux sortes de calcul, afin de n'avoir plus à
considérer que le _calcul des fonctions_, qui doit être le sujet
essentiel de notre étude.
Le _calcul des valeurs_, ou l'_arithmétique_, paraît, au premier abord,
devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'_algèbre_,
puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes
qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais
une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul
des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du
calcul des fonctions. Car, en distinguant les fonctions en _simples_ et
_composées_, il est évident que lorsqu'on sait _évaluer_ les fonctions
simples, la considération des fonctions composées ne présente plus, sous
ce rapport, aucune difficulté. Sous le point de vue algébrique, une
fonction composée joue un rôle très-différent de celui des fonctions
élémentaires qui la constituent, et c'est de là précisément que naissent
toutes les principales difficultés analytiques. Mais il en est tout
autrement pour le calcul arithmétique. Ainsi, le nombre des opérations
arithmétiques, vraiment distinctes, est seulement marqué par celui des
fonctions abstraites élémentaires, dont j'ai présenté ci-dessus le
tableau très-peu étendu. L'évaluation de ces dix fonctions donne
nécessairement celle de toutes les fonctions, en nombre infini, que l'on
considère dans l'ensemble de l'analyse mathématique, telle, du moins,
qu'elle existe aujourd'hui. À quelques formules que puisse conduire
l'élaboration des équations, il n'y aurait lieu à de nouvelles
opérations arithmétiques que si l'on en venait à créer de véritables
nouveaux élémens analytiques, dont le nombre sera toujours, quoi qu'il
arrive, extrêmement petit. Le champ de l'_arithmétique_ est donc, par sa
nature, infiniment restreint, tandis que celui de l'_algèbre_ est
rigoureusement indéfini.
Il importe cependant de remarquer que le domaine du _calcul des valeurs_
est, en réalité, beaucoup plus étendu qu'on ne se le représente
communément. Car plusieurs questions, véritablement _arithmétiques_,
puisqu'elles consistent dans des _évaluations_, ne sont point
ordinairement classées comme telles, parce qu'on a l'habitude de ne les
traiter que comme incidentes, au milieu d'un ensemble de recherches
analytiques plus ou moins élevées: la trop haute opinion qu'on se forme
communément de l'influence des signes est encore la cause principale de
cette confusion d'idées. Ainsi, non-seulement la construction d'une
table de logarithmes, mais aussi le calcul des tables trigonométriques,
sont de véritables opérations arithmétiques d'un genre supérieur. On
peut citer encore comme étant dans le même cas, quoique dans un ordre
très-distinct et plus élevé, tous les procédés par lesquels on détermine
directement la valeur d'une fonction quelconque pour chaque système
particulier de valeurs attribuées aux quantités dont elle dépend,
lorsqu'on ne peut point parvenir à connaître généralement la forme
explicite de cette fonction. Sous ce point de vue, la résolution
_numérique_ des équations qu'on ne sait pas résoudre _algébriquement_,
et de même le calcul des intégrales définies dont on ignore les
intégrales générales, font réellement partie, malgré les apparences, du
domaine de l'_arithmétique_, dans lequel il faut nécessairement
comprendre tout ce qui a pour objet l'_évaluation_ des fonctions. Les
considérations relatives à ce but, sont en effet, constamment homogènes,
de quelques _évaluations_ qu'il s'agisse, et toujours bien distinctes
des considérations vraiment _algébriques_.
Pour achever de se former une juste idée de l'étendue réelle du calcul
des valeurs, on doit y comprendre aussi cette partie de la science
générale du calcul qui porte aujourd'hui spécialement le nom de
_théorie des nombres_, et qui est encore si peu avancée. Cette branche,
fort étendue par sa nature, mais dont l'importance dans le système
général de la science n'est pas très-grande, a pour objet de découvrir
les propriétés inhérentes aux différens nombres en vertu de leurs
valeurs et indépendamment de toute numération particulière. Elle
constitue donc une sorte d'_arithmétique transcendante_; c'est à elle
que conviendrait effectivement la définition proposée par Newton pour
l'_algèbre_.
Le domaine total de l'_arithmétique_ est donc, en réalité, beaucoup plus
étendu qu'on ne le conçoit ordinairement. Mais, néanmoins, quelque
développement légitime qu'on puisse lui accorder, il demeure certain
que, dans l'ensemble de la mathématique abstraite, le _calcul des
valeurs_ ne sera jamais qu'un point, pour ainsi dire, en comparaison du
_calcul des fonctions_, dans lequel la science consiste essentiellement.
Cette appréciation va devenir encore plus sensible par quelques
considérations qui me restent à indiquer sur la véritable nature des
questions arithmétiques en général, quand on les examine d'une manière
approfondie.
En cherchant à déterminer avec exactitude en quoi consistent proprement
les _évaluations_, on reconnaît aisément qu'elles ne sont pas autre
chose que de véritables _transformations_ des fonctions à évaluer,
transformations qui, malgré leur but spécial, n'en sont pas moins
essentiellement de la même nature que toutes celles enseignées par
l'analyse. Sous ce point de vue, le _calcul des valeurs_ pourrait être
conçu simplement comme un appendice et une application particulière du
_calcul des fonctions_, de telle sorte que l'_arithmétique_
disparaîtrait, pour ainsi dire, dans l'ensemble de la mathématique
abstraite, comme section distincte.
Pour bien comprendre cette considération, il faut observer que, lorsque
l'on propose d'_évaluer_ un nombre inconnu dont le mode de formation est
donné, il est, par le seul énoncé même de la question arithmétique, déjà
défini et exprimé sous une certaine forme; et qu'en l'_évaluant_, on ne
fait que mettre son expression sous une autre forme déterminée, à
laquelle on est habitué à rapporter la notion exacte de chaque nombre
particulier, en le faisant rentrer dans le système régulier de la
_numération_. L'_évaluation_ consiste si bien dans une simple
_transformation_, que lorsque l'expression primitive du nombre se trouve
elle-même conforme à la numération régulière, il n'y a plus, à
proprement parler, d'_évaluation_, ou plutôt on répond à la question par
la question même. Qu'on demande, par exemple, d'ajouter les deux nombres
trente et sept, on répondra en se bornant à répéter l'énoncé même de la
question, et on croira néanmoins avoir _évalué_ la somme, ce qui
signifie que, dans ce cas, la première expression de la fonction n'a pas
besoin d'être transformée; tandis qu'il n'en serait point ainsi pour
ajouter vingt-trois et quatorze, car alors la somme ne serait pas
immédiatement exprimée d'une manière conforme au rang qu'elle occupe
dans l'échelle fixe et générale de la numération.
En précisant, autant que possible, la considération précédente, on peut
dire qu'_évaluer_ un nombre n'est autre chose que mettre son expression
primitive sous la forme /[a + b/beta + c/beta^2 + d/beta^3 + e/beta^4
/ldots + p/beta^m/] /beta étant ordinairement égal à 10; et les
coefficiens a, b, c, d, etc. étant assujétis à ces conditions d'être
nombres entiers moindres que /beta, pouvant devenir nuls, mais jamais
négatifs. Ainsi, toute question arithmétique est susceptible d'être
posée comme consistant à mettre sous une telle forme une fonction
abstraite quelconque de diverses quantités que l'on suppose avoir déjà
elles-mêmes une forme semblable. On pourrait donc ne voir dans les
différentes opérations de l'arithmétique que de simples cas particuliers
de certaines transformations algébriques, sauf les difficultés
spéciales tenant aux conditions relatives à l'état des coefficiens.
Il résulte clairement, de ce qui précède, que la mathématique abstraite
se compose essentiellement du _calcul des fonctions_, qui en était
évidemment déjà la partie la plus importante, la plus étendue, et la
plus difficile. Tel sera donc désormais le sujet exclusif de nos
considérations analytiques. Ainsi, sans m'arrêter davantage au _calcul
des valeurs_, je vais passer immédiatement à l'examen de la division
fondamentale du _calcul des fonctions_.
Nous avons déterminé, au commencement de cette leçon, en quoi consiste
proprement la véritable difficulté qu'on éprouve à mettre en _équation_
les questions mathématiques. C'est essentiellement à cause de
l'insuffisance du très-petit nombre d'élémens analytiques que nous
possédons, que la relation du concret à l'abstrait est ordinairement si
difficile à établir. Essayons maintenant d'apprécier philosophiquement
le procédé général par lequel l'esprit humain est parvenu, dans un si
grand nombre de cas importans, à surmonter cet obstacle fondamental.
En considérant directement l'ensemble de cette question capitale, on est
naturellement conduit à concevoir d'abord un premier moyen pour
faciliter l'établissement des équations des phénomènes. Puisque le
principal obstacle à ce sujet vient du trop petit nombre de nos élémens
analytiques, tout semblerait se réduire à en créer de nouveaux. Mais ce
parti, quelque naturel qu'il paraisse, est véritablement illusoire,
quand on l'examine d'une manière approfondie. Quoiqu'il puisse
certainement être utile, il est aisé de se convaincre de son
insuffisance nécessaire.
En effet, la création d'une véritable nouvelle fonction abstraite
élémentaire présente, par elle-même, les plus grandes difficultés. Il y
a même, dans une telle idée, quelque chose qui semble contradictoire.
Car un nouvel élément analytique ne remplirait pas évidemment les
conditions essentielles qui lui sont propres, si on ne pouvait
immédiatement l'_évaluer_: or, d'un autre côté, comment _évaluer_ une
nouvelle fonction qui serait vraiment _simple_, c'est-à-dire, qui ne
rentrerait pas dans une combinaison de celles déjà connues? Cela paraît
presque impossible. L'introduction, dans l'analyse, d'une autre fonction
abstraite élémentaire, ou plutôt d'un autre couple de fonctions (car
chacune serait toujours accompagnée de son _inverse_), suppose donc
nécessairement la création simultanée d'une nouvelle opération
arithmétique, ce qui est certainement fort difficile.
Si nous cherchons à nous faire une idée des moyens que l'esprit humain
pourrait employer pour inventer de nouveaux élémens analytiques, par
l'examen des procédés à l'aide desquels il a effectivement conçu ceux
que nous possédons, l'observation nous laisse à cet égard dans une
entière incertitude, car les artifices dont il s'est déjà servi pour
cela sont évidemment épuisés. Afin de nous en convaincre, considérons le
dernier couple de fonctions simples qui ait été introduit dans
l'analyse, et à la formation duquel nous avons pour ainsi dire assisté,
savoir le quatrième couple, car, comme je l'ai expliqué, le cinquième
couple ne constitue pas, à proprement parler, de véritables nouveaux
élémens analytiques. La fonction a^x, et, par suite, son inverse, ont
été formées en concevant sous un nouveau point de vue une fonction déjà
connue depuis long-temps, les puissances, lorsque la notion en a été
suffisamment généralisée. Il a suffi de considérer une puissance
relativement à la variation de l'exposant, au lieu de penser à la
variation de la base, pour qu'il en résultât une fonction simple
vraiment nouvelle, la variation suivant alors une marche toute
différente. Mais cet artifice, aussi simple qu'ingénieux, ne peut plus
rien fournir. Car, en retournant, de la même manière, tous nos élémens
analytiques actuels, on n'aboutit qu'à les faire rentrer les uns dans
les autres.
Nous ne concevons donc nullement de quelle manière on pourrait procéder
à la création de nouvelles fonctions abstraites élémentaires,
remplissant convenablement toutes les conditions nécessaires. Ce n'est
pas à dire, néanmoins, que nous ayons atteint aujourd'hui la limite
effective posée à cet égard par les bornes de notre intelligence. Il est
même certain que les derniers perfectionnemens spéciaux de l'analyse
mathématique ont contribué à étendre nos ressources sous ce rapport, en
introduisant dans le domaine du calcul certaines intégrales définies,
qui, à quelques égards, tiennent lieu de nouvelles fonctions simples,
quoiqu'elles soient loin de remplir toutes les conditions convenables,
ce qui m'a empêché de les inscrire au tableau des vrais élémens
analytiques. Mais, tout bien considéré, je crois qu'il demeure
incontestable que le nombre de ces élémens ne peut s'accroître qu'avec
une extrême lenteur. Ainsi, ce ne peut être dans un tel procédé que
l'esprit humain ait puisé ses ressources les plus puissantes pour
faciliter autant que possible l'établissement des équations.
Ce premier moyen étant écarté, il n'en reste évidemment qu'un seul;
c'est, vu l'impossibilité de trouver directement les équations entre les
quantités que l'on considère, d'en chercher de correspondantes entre
d'autres quantités auxiliaires, liées aux premières suivant une certaine
loi déterminée, et de la relation desquelles on remonte ensuite à celle
des grandeurs primitives. Telle est, en effet, la conception,
éminemment féconde, que l'esprit humain est parvenu à fonder, et qui
constitue son plus admirable instrument pour l'exploration mathématique
des phénomènes naturels, l'_analyse_ dite _transcendante_.
En thèse philosophique générale, les quantités auxiliaires que l'on
introduit, au lieu des grandeurs primitives ou concurremment avec elles,
pour faciliter l'établissement des équations, pourraient dériver suivant
une loi quelconque des élémens immédiats de la question. Ainsi, cette
conception a beaucoup plus de portée que ne lui en ont supposé
communément, même les plus profonds géomètres. Il importe extrêmement de
se la représenter dans toute son étendue logique; car c'est peut-être en
établissant un mode général de _dérivation_ autre que celui auquel on
s'est constamment borné jusqu'ici, bien qu'il ne soit pas, évidemment,
le seul possible, qu'on parviendra un jour à perfectionner
essentiellement l'ensemble de l'analyse mathématique, et par suite à
fonder, pour l'investigation des lois de la nature, des moyens encore
plus puissans que nos procédés actuels, susceptibles, sans doute,
d'épuisement.
Mais, pour n'avoir égard qu'à la constitution présente de la science,
les seules quantités auxiliaires introduites habituellement à la place
des quantités primitives dans l'_analyse transcendante_, sont ce qu'on
appelle les élémens _infiniment petits_, les _différentielles_ de divers
ordres de ces quantités, si l'on conçoit cette analyse à la manière de
Leïbnitz; ou les _fluxions_, les _limites_ des rapports des
accroissemens simultanés des quantités primitives comparées les unes aux
autres, ou, plus brièvement, les _premières_ et _dernières raisons_ de
ces accroissemens, en adoptant la conception de Newton; ou bien, enfin,
les _dérivées_ proprement dites de ces quantités, c'est-à-dire, les
coefficiens des différens termes de leurs accroissemens respectifs,
d'après la conception de Lagrange. Ces trois manières principales
d'envisager notre analyse transcendante actuelle, et toutes les autres
moins distinctement tranchées que l'on a proposées successivement, sont,
par leur nature, nécessairement identiques, soit dans le calcul, soit
dans l'application, ainsi que je l'expliquerai d'une manière générale
dans la sixième leçon. Quant à leur valeur relative, nous verrons alors
que la conception de Leïbnitz a jusqu'ici, dans l'usage, une supériorité
incontestable, mais que son caractère logique est éminemment vicieux;
tandis que la conception de Lagrange, admirable par sa simplicité, par
sa perfection logique, par l'unité philosophique qu'elle a établie dans
l'ensemble de l'analyse mathématique, jusqu'alors partagée en deux
mondes presque indépendans, présente encore, dans les applications, de
graves inconvéniens, en ralentissant la marche de l'intelligence: la
conception de Newton tient à peu près le milieu sous ces divers
rapports, étant moins rapide, mais plus rationnelle que celle de
Leïbnitz, moins philosophique, mais plus applicable que celle de
Lagrange.
Ce n'est pas ici le lieu d'expliquer avec exactitude comment la
considération de ce genre de quantités auxiliaires introduites dans les
équations à la place des grandeurs primitives facilite réellement
l'expression analytique des lois des phénomènes. La sixième leçon sera
spécialement consacrée à cet important sujet, envisagé sous les
différens points de vue généraux auxquels a donné lieu l'analyse
transcendante. Je me borne en ce moment à considérer cette conception de
la manière la plus générale, afin d'en déduire la division fondamentale
du _calcul des fonctions_ en deux calculs essentiellement distincts,
dont l'enchaînement, pour la solution complète d'une même question
mathématique, est invariablement déterminé.
Sous ce rapport, et dans l'ordre rationnel des idées, l'analyse
transcendante se présente comme étant nécessairement la première,
puisqu'elle a pour but général de faciliter l'établissement des
équations, ce qui doit évidemment précéder la _résolution_ proprement
dite de ces équations, qui est l'objet de l'analyse ordinaire. Mais,
quoiqu'il importe éminemment de concevoir ainsi le véritable
enchaînement de ces deux analyses, il n'en est pas moins convenable,
conformément à l'usage constant, de n'étudier l'analyse transcendante
qu'après l'analyse ordinaire; car, si, au fond, elle en est par
elle-même logiquement indépendante, ou que, du moins, il soit possible
aujourd'hui de l'en dégager essentiellement, il est clair que son emploi
dans la solution des questions ayant toujours plus ou moins besoin
d'être complété par celui de l'analyse ordinaire, on serait contraint de
laisser les questions en suspens, si celle-ci n'avait été étudiée
préalablement.
En résultat de ce qui précède, le _calcul des fonctions_, ou
l'_algèbre_, en prenant ce mot dans sa plus grande extension, se compose
de deux branches fondamentales distinctes, dont l'une a pour objet
immédiat la _résolution_ des équations, lorsque celles-ci sont
immédiatement établies entre les grandeurs mêmes que l'on considère; et
dont l'autre, partant d'équations, beaucoup plus aisées à former en
général, entre des quantités indirectement liées à celles du problème, a
pour destination propre et constante d'en déduire, par des procédés
analytiques invariables, les équations correspondantes entre les
grandeurs directes que l'on considère, ce qui fait rentrer la question
dans le domaine du calcul précédent. Le premier calcul porte, le plus
souvent, le nom d'_analyse ordinaire_, ou d'_algèbre_ proprement dite;
le second constitue ce qu'on appelle l'_analyse transcendante_, qui a
été désignée par les diverses dénominations de _calcul infinitésimal_,
_calcul des fluxions et des fluentes_, _calcul des évanouissans_, etc.,
selon le point de vue sous lequel on l'a conçue. Pour écarter toute
considération étrangère, je proposerai de la nommer _calcul des
fonctions indirectes_, en donnant à l'analyse ordinaire le titre de
_calcul des fonctions directes_. Ces expressions, que je forme
essentiellement en généralisant et en précisant les idées de Lagrange,
sont destinées à indiquer simplement avec exactitude le véritable
caractère général propre à chacune des deux analyses.
Ayant établi la division fondamentale de l'analyse mathématique, je dois
maintenant considérer séparément l'ensemble de chacune de ses deux
parties, en commençant par le _calcul des fonctions directes_, et
réservant ensuite des développemens plus étendus aux diverses branches
du _calcul des fonctions indirectes_.