SOMMAIRE. Considérations philosophiques sur l'ensemble de la science
mathématique.
En commençant à entrer directement en matière par l'étude philosophique
de la première des six sciences fondamentales établies dans la leçon
précédente, nous avons lieu de constater immédiatement l'importance de
la philosophie positive pour perfectionner le caractère général de
chaque science en particulier.
Quoique la science mathématique soit la plus ancienne et la plus
parfaite de toutes, l'idée générale qu'on doit s'en former n'est point
encore nettement déterminée. La définition de la science, ses
principales divisions, sont demeurées jusqu'ici vagues et incertaines.
Le nom multiple par lequel on la désigne habituellement suffirait même
seul pour indiquer le défaut d'unité de son caractère philosophique,
tel qu'il est conçu communément.
À la vérité, c'est seulement au commencement du siècle dernier que les
diverses conceptions fondamentales qui constituent cette grande science
ont pris chacune assez de développement pour que le véritable esprit de
l'ensemble pût se manifester clairement. Depuis cette époque,
l'attention des géomètres à été trop justement et trop exclusivement
absorbée par le perfectionnement spécial des différentes branches, et
par l'application capitale qu'ils en ont faite aux lois les plus
importantes de l'univers, pour pouvoir se diriger convenablement sur le
système général de la science.
Mais aujourd'hui le progrès des spécialités n'est plus tellement rapide,
qu'il interdise la contemplation de l'ensemble. La mathématique[2] est
maintenant assez développée, soit en elle-même, soit quant à ses
applications les plus essentielles, pour être parvenue à cet état de
consistance, dans lequel on doit s'efforcer de coordonner en un système
unique les diverses parties de la science, afin de préparer de nouveaux
progrès. On peut même observer que les derniers perfectionnemens
capitaux éprouvés par la science mathématique ont directement préparé
cette importante opération philosophique, en imprimant à ses principales
parties un caractère d'unité qui n'existait pas auparavant; tel est
éminemment et hors de toute comparaison l'esprit des travaux de
l'immortel auteur de la _Théorie des Fonctions_ et de la _Mécanique
analytique_.
[Note 2: J'emploierai souvent cette expression au
singulier, comme l'a proposé Condorcet, afin d'indiquer avec
plus d'énergie l'esprit d'unité dans lequel je conçois la
science.]
Pour se former une juste idée de l'objet de la science mathématique
considérée dans son ensemble, on peut d'abord partir de la définition
vague et insignifiante qu'on en donne ordinairement, à défaut de toute
autre, en disant qu'elle est _la science des grandeurs_, ou, ce qui est
plus positif, _la science qui a pour but la mesure des grandeurs_. Cet
aperçu scolastique a, sans doute, singulièrement besoin d'acquérir plus
de précision et plus de profondeur. Mais l'idée est juste au fond; elle
est même suffisamment étendue, lorsqu'on la conçoit convenablement. Il
importe d'ailleurs, en pareille matière, quand on le peut sans
inconvénient, de s'appuyer sur des notions généralement admises. Voyons
donc comment, en partant de cette grossière ébauche, on peut s'élever à
une véritable définition de la mathématique, à une définition qui soit
digne de correspondre à l'importance, à l'étendue et à la difficulté de
la science.
La question de _mesurer_ une grandeur ne présente par elle-même à
l'esprit d'autre idée que celle de la simple comparaison immédiate de
cette grandeur avec une autre grandeur semblable supposée connue, qu'on
prend pour _unité_ entre toutes celles de la même espèce. Ainsi, quand
on se borne à définir les mathématiques comme ayant pour objet la mesure
des grandeurs, on en donne une idée fort imparfaite, car il est même
impossible de voir par là comment il y a lieu, sous ce rapport, à une
science quelconque, et surtout à une science aussi vaste et aussi
profonde qu'est réputée l'être avec raison la science mathématique. Au
lieu d'un immense enchaînement de travaux rationnels très-prolongés, qui
offrent à notre activité intellectuelle un aliment inépuisable, la
science paraîtrait seulement consister, d'après un tel énoncé, dans une
simple suite de procédés mécaniques, pour obtenir directement, à l'aide
d'opérations analogues à la superposition des lignes, les rapports des
quantités à mesurer à celles par lesquelles on veut les mesurer.
Néanmoins, cette définition n'a point réellement d'autre défaut que de
n'être pas suffisamment approfondie. Elle n'induit point en erreur sur
le véritable but final des mathématiques; seulement elle présente comme
direct un objet qui, presque toujours, est, au contraire, fort
indirect, et par là, elle ne fait nullement concevoir la nature de la
science.
Pour y parvenir, il faut d'abord considérer un fait général, très-facile
à constater. C'est que la mesure _directe_ d'une grandeur, par la
superposition ou par quelque procédé semblable, est le plus souvent pour
nous une opération tout-à-fait impossible: en sorte que si nous n'avions
pas d'autre moyen pour déterminer les grandeurs que les comparaisons
immédiates, nous serions obligés de renoncer à la connaissance de la
plupart de celles qui nous intéressent.
On comprendra toute l'exactitude de cette observation générale, en se
bornant à considérer spécialement le cas particulier qui présente
évidemment le plus de facilité, celui de la mesure d'une ligne droite
par une autre ligne droite. Cette comparaison, qui, de toutes celles que
nous pouvons imaginer, est sans contredit la plus simple, ne peut
néanmoins presque jamais être effectuée immédiatement. En réfléchissant
à l'ensemble des conditions nécessaires pour qu'une ligne droite soit
susceptible d'une mesure directe, on voit que le plus souvent elles ne
peuvent point être remplies à la fois, relativement aux lignes que nous
désirons connaître. La première et la plus grossière de ces conditions,
celle de pouvoir parcourir la ligne d'un bout à l'autre, pour porter
successivement l'unité dans toute son étendue, exclut évidemment déjà la
très-majeure partie des distances qui nous intéressent le plus; d'abord
toutes les distances entre les différens corps célestes, ou de la terre
à quelqu'autre corps céleste, et ensuite même la plupart des distances
terrestres, qui sont si fréquemment inaccessibles. Quand cette première
condition se trouve accomplie, il faut encore que la longueur ne soit ni
trop grande ni trop petite, ce qui rendrait la mesure directe également
impossible; il faut qu'elle soit convenablement située, etc. La plus
légère circonstance, qui abstraitement ne paraîtrait devoir introduire
aucune nouvelle difficulté, suffira souvent, dans la réalité, pour nous
interdire toute mesure directe. Ainsi, par exemple, telle ligne que nous
pourrions mesurer exactement avec la plus grande facilité, si elle était
horizontale, il suffira de la concevoir redressée verticalement, pour
que la mesure en devienne impossible. En un mot, la mesure immédiate
d'une ligne droite, présente une telle complication de difficultés,
surtout quand on veut y apporter quelque exactitude, que presque jamais
nous ne rencontrons d'autres lignes susceptibles d'être mesurées
directement avec précision, du moins parmi celles d'une certaine
grandeur, que des lignes purement artificielles, créées expressément
par nous pour comporter une détermination directe, et auxquelles nous
parvenons à rattacher toutes les autres.
Ce que je viens d'établir relativement aux lignes se conçoit, à bien
plus forte raison, des surfaces, des volumes, des vitesses, des temps,
des forces, etc., et, en général, de toutes les autres grandeurs
susceptibles d'appréciation exacte, et qui, par leur nature, présentent
nécessairement beaucoup plus d'obstacles encore à une mesure immédiate.
Il est donc inutile de s'y arrêter, et nous devons regarder comme
suffisamment constatée l'impossibilité de déterminer, en les mesurant
directement, la plupart des grandeurs que nous désirons connaître. C'est
ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique,
comme nous allons le voir. Car, renonçant, dans presque tous les cas, à
la mesure immédiate des grandeurs, l'esprit humain a dû chercher à les
déterminer indirectement, et c'est ainsi qu'il a été conduit à la
création des mathématiques.
La méthode générale qu'on emploie constamment, la seule évidemment qu'on
puisse concevoir, pour connaître des grandeurs qui ne comportent point
une mesure directe, consiste à les rattacher à d'autres qui soient
susceptibles d'être déterminées immédiatement, et d'après lesquelles on
parvient à découvrir les premières, au moyen des relations qui existent
entre les unes et les autres. Tel est l'objet précis de la science
mathématique envisagée dans son ensemble. Pour s'en faire une idée
suffisamment étendue, il faut considérer que cette détermination
indirecte des grandeurs peut-être indirecte à des degrés fort différens.
Dans un grand nombre de cas, qui souvent sont les plus importans, les
grandeurs, à la détermination desquelles on ramène la recherche des
grandeurs principales qu'on veut connaître, ne peuvent point elles-mêmes
être mesurées immédiatement, et doivent par conséquent, à leur tour,
devenir le sujet d'une question semblable, et ainsi de suite; en sorte
que, dans beaucoup d'occasions, l'esprit humain est obligé d'établir une
longue suite d'intermédiaires entre le système des grandeurs inconnues
qui sont l'objet définitif de ses recherches, et le système des
grandeurs susceptibles de mesure directe, d'après lesquelles on
détermine finalement les premières, et qui ne paraissent d'abord avoir
avec celles-ci aucune liaison.
Quelques exemples vont suffire pour éclaircir ce que les généralités
précédentes pourraient présenter de trop abstrait.
Considérons, en premier lieu, un phénomène naturel très-simple qui
puisse néanmoins donner lieu à une question mathématique réelle et
susceptible d'applications effectives, le phénomène de la chute
verticale des corps pesans.
En observant ce phénomène, l'esprit le plus étranger aux conceptions
mathématiques reconnaît sur-le-champ que les deux quantités qu'il
présente, savoir: la hauteur d'où un corps est tombé, et le temps de sa
chute, sont nécessairement liées l'une à l'autre, puisqu'elles varient
ensemble, et restent fixes simultanément; ou, suivant le langage des
géomètres, qu'elles sont _fonction_ l'une de l'autre. Le phénomène,
considéré sous ce point de vue, donne donc lieu à une question
mathématique, qui consiste à suppléer à la mesure directe de l'une de
ces deux grandeurs lorsqu'elle sera impossible, par la mesure de
l'autre. C'est ainsi, par exemple, qu'on pourra déterminer indirectement
la profondeur d'un précipice, en se bornant à mesurer le temps qu'un
corps emploierait à tomber jusqu'au fond; et, en procédant
convenablement, cette profondeur inaccessible sera connue avec tout
autant de précision que si c'était une ligne horizontale placée dans les
circonstances les plus favorables à une mesure facile et exacte. Dans
d'autres occasions, c'est la hauteur d'où le corps est tombé qui sera
facile à connaître, tandis que le temps de la chute ne pourrait point
être observé directement; alors le même phénomène donnera lieu à la
question inverse, déterminer le temps d'après la hauteur; comme, par
exemple, si l'on voulait connaître quelle serait la durée de la chute
verticale d'un corps tombant de la lune sur la terre.
Dans l'exemple précédent, la question mathématique est fort simple, du
moins quand on n'a pas égard à la variation d'intensité de la pesanteur,
ni à la résistance du fluide que le corps traverse dans sa chute. Mais,
pour agrandir la question, il suffira de considérer le même phénomène
dans sa plus grande généralité, en supposant la chute oblique, et tenant
compte de toutes les circonstances principales. Alors, au lieu d'offrir
simplement deux quantités variables liées entr'elles par une relation
facile à suivre, le phénomène en présentera un plus grand nombre,
l'espace parcouru, soit dans le sens vertical, soit dans le sens
horizontal, le temps employé à le parcourir, la vitesse du corps à
chaque point de sa course, et même l'intensité et la direction de son
impulsion primitive, qui pourront aussi être envisagées comme variables,
et enfin, dans certains cas, pour tenir compte de tout, la résistance du
milieu et l'énergie de la gravité. Toutes ces diverses quantités seront
liées entr'elles, de telle sorte que chacune à son tour pourra être
déterminée indirectement d'après les autres, ce qui présentera autant de
recherches mathématiques distinctes qu'il y aura de grandeurs
coexistantes dans le phénomène considéré. Ce changement très-simple dans
les conditions physiques d'un problème pourra faire, comme il arrive en
effet pour l'exemple cité, qu'une recherche mathématique, primitivement
fort élémentaire, se place tout-à-coup au rang des questions les plus
difficiles, dont la solution complète et rigoureuse surpasse jusqu'à
présent toutes les plus grandes forces de l'esprit humain.
Prenons un second exemple dans les phénomènes géométriques. Qu'il
s'agisse de déterminer une distance qui n'est pas susceptible de mesure
directe; on la concevra généralement comme faisant partie d'une
_figure_, ou d'un système quelconque de lignes, choisi de telle manière
que tous ses autres élémens puissent être observés immédiatement; par
exemple, dans le cas le plus simple et auquel tous les autres peuvent se
réduire finalement, on considérera la distance proposée comme
appartenant à un triangle, dans lequel on pourrait déterminer
directement, soit un autre côté et deux angles, soit deux côtés et un
seul angle. Dès-lors, la connaissance de la distance cherchée, au lieu
d'être obtenue immédiatement, sera le résultat d'un travail mathématique
qui consistera à la déduire des élémens observés, d'après la relation
qui la lie avec eux. Ce travail pourra devenir successivement de plus
en plus compliqué, si les élémens supposés connus ne pouvaient, à leur
tour, comme il arrive le plus souvent, être déterminés que d'une manière
indirecte, à l'aide de nouveaux systèmes auxiliaires, dont le nombre,
dans les grandes opérations de ce genre, finit par devenir quelquefois
très-considérable. La distance une fois déterminée, cette seule
connaissance suffira fréquemment pour faire obtenir de nouvelles
quantités, qui offriront le sujet de nouvelles questions mathématiques.
Ainsi, quand on sait à quelle distance est situé un objet, la simple
observation, toujours possible, de son diamètre apparent, doit
évidemment permettre de déterminer indirectement, quelqu'inaccessible
qu'il puisse être, ses dimensions réelles, et, par une suite de
recherches analogues, sa surface, son volume, son poids même, et une
foule d'autres propriétés, dont la connaissance semblait devoir nous
être nécessairement interdite.
C'est par de tels travaux, que l'homme a pu parvenir à connaître,
non-seulement les distances des astres à la terre, et par suite,
entr'eux, mais leur grandeur effective, leur véritable figure, jusqu'aux
inégalités de leur surface, et, ce qui semble se dérober bien plus
encore à nos moyens d'investigation, leurs masses respectives, leurs
densités moyennes, les circonstances principales de la chute des corps
pesans à la surface de chacun d'eux, etc. Par la puissance des théories
mathématiques, tous ces divers résultats, et bien d'autres encore
relatifs aux différentes classes de phénomènes naturels, n'ont exigé
définitivement d'autres mesures immédiates que celles d'un très-petit
nombre de lignes droites, convenablement choisies, et d'un plus grand
nombre d'angles. On peut même dire, en toute rigueur, pour indiquer d'un
seul trait la portée générale de la science, que si l'on ne craignait
pas avec raison de multiplier sans nécessité les opérations
mathématiques, et si, par conséquent, on ne devait pas les réserver
seulement pour la détermination des quantités qui ne pourraient
nullement être mesurées directement, ou d'une manière assez exacte, la
connaissance de toutes les grandeurs susceptibles d'estimation précise
que les divers ordres de phénomènes peuvent nous offrir, serait
finalement réductible à la mesure immédiate d'une ligne droite unique et
d'un nombre d'angles convenable.
Nous sommes donc parvenu maintenant à définir avec exactitude la science
mathématique, en lui assignant pour but, la mesure _indirecte_ des
grandeurs, et disant qu'on s'y propose constamment de _déterminer les
grandeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui
existent entre elles_. Cet énoncé, au lieu de donner seulement
l'idée d'un art, comme le font jusqu'ici toutes les définitions
ordinaires, caractérise immédiatement une véritable science, et la
montre sur-le-champ composée d'un immense enchaînement d'opérations
intellectuelles, qui pourront évidemment devenir très compliquées, à
raison de la suite d'intermédiaires qu'il faudra établir entre les
quantités inconnues et celles qui comportent une mesure directe, du
nombre des variables co-existantes dans la question proposée, et de la
nature des relations que fourniront entre toutes ces diverses grandeurs
les phénomènes considérés. D'après une telle définition, l'esprit
mathématique consiste à regarder toujours comme liées entre elles toutes
les quantités que peut présenter un phénomène quelconque, dans la vue de
les déduire les unes des autres. Or, il n'y a pas évidemment de
phénomène qui ne puisse donner lieu à des considérations de ce genre;
d'où résulte l'étendue naturellement indéfinie et même la rigoureuse
universalité logique de la science mathématique: nous chercherons plus
loin à circonscrire aussi exactement que possible son extension effective.
Les explications précédentes établissent clairement la
justification du nom employé pour désigner la science que nous
considérons. Cette dénomination, qui a pris aujourd'hui une acception si
déterminée, signifie simplement par elle-même la _science_ en général. Une
telle désignation, rigoureusement exacte pour les Grecs, qui n'avaient
pas d'autre science réelle, n'a pu être conservée par les modernes que
pour indiquer les mathématiques comme la _science_ par excellence. Et, en
effet, la définition à laquelle nous venons d'être conduits, si on en
écarte la circonstance de la précision des déterminations, n'est autre
chose que la définition de toute véritable science quelconque, car
chacune n'a-t-elle pas nécessairement pour but de déterminer des
phénomènes les uns par les autres, d'après les relations qui existent
entre eux? Toute _science_ consiste dans la coordination des faits ; si
les diverses observations étaient entièrement isolées, il n'y aurait pas
de _science_. On peut même dire généralement que la _science_ est
essentiellement destinée à dispenser, autant que le comportent les
divers phénomènes, de toute observation directe, en permettant de
déduire du plus petit nombre possible de données immédiates, le plus
grand nombre possible de résultats. N'est-ce point là, en effet, l'usage
réel, soit dans la spéculation, soit dans l'action, des _lois_ que nous
parvenons à découvrir entre les phénomènes naturels? La science
mathématique ne fait, d'après cela, que pousser au plus haut degré
possible, tant sous le rapport de la quantité que sous celui de la
qualité, sur les sujets véritablement de son ressort, le même genre de
recherches que poursuit, à des degrés plus ou moins inférieurs, chaque
science réelle, dans sa sphère respective.
C'est donc par l'étude des mathématiques, et seulement par elle, que
l'on peut se faire une idée juste et approfondie de ce que c'est qu'une
_science_. C'est là uniquement qu'on doit chercher à connaître avec
précision la méthode générale que l'esprit humain emploie constamment
dans toutes ses recherches positives, parce que nulle part ailleurs les
questions ne sont résolues d'une manière aussi complète, et les
déductions prolongées aussi loin avec une sévérité rigoureuse. C'est là
également que notre entendement a donné les plus grandes preuves de sa
force, parce que les idées qu'il y considère sont du plus haut degré
d'abstraction possible dans l'ordre positif. Toute éducation
scientifique qui ne commence point par une telle étude, pèche donc
nécessairement par sa base.
Nous avons jusqu'ici envisagé la science mathématique seulement dans son
ensemble total, sans avoir aucun égard à ses divisions. Nous devons
maintenant, pour compléter cette vue générale et nous former une juste
idée du caractère philosophique de la science, considérer sa division
fondamentale. Les divisions secondaires seront examinées dans les leçons
suivantes.
Cette division principale ne saurait être vraiment rationnelle, et
dériver de la nature même du sujet, qu'autant qu'elle se présentera
spontanément, en faisant l'analyse exacte d'une question mathématique
complète. Ainsi, après avoir déterminé ci-dessus quel est l'objet
général des travaux mathématiques, caractérisons maintenant avec
précision les divers ordres principaux de recherches dont ils se
composent constamment.
La solution complète de toute question mathématique se décompose
nécessairement en deux parties, d'une nature essentiellement distincte,
et dont la relation est invariablement déterminée. En effet, nous avons
vu que toute recherche mathématique a pour objet de déterminer des
grandeurs inconnues, d'après les relations qui existent entre elles et
des grandeurs connues. Or, il faut évidemment d'abord, à cette fin,
parvenir à connaître avec précision les relations existantes entre les
quantités que l'on considère. Ce premier ordre de recherches constitue
ce que j'appelle la partie _concrète_ de la solution. Quand elle est
terminée, la question change de nature; elle se réduit à une pure
question de nombres, consistant simplement désormais à déterminer des
nombres inconnus, lorsqu'on sait quelles relations précises les lient à
des nombres connus. C'est dans ce second ordre de recherches que
consiste ce que je nomme la partie _abstraite_ de la solution. De là
résulte la division fondamentale de la science mathématique générale en
deux grandes sciences, la mathématique abstraite et la mathématique
concrète.
Cette analyse peut être observée dans toute question mathématique
complète, quelque simple ou quelque compliquée qu'elle soit. Il suffira,
pour la faire bien comprendre, d'en indiquer un seul exemple.
Reprenant le phénomène déjà cité de la chute verticale d'un corps
pesant, et considérant le cas le plus simple, on voit que pour parvenir
à déterminer l'une par l'autre la hauteur d'où le corps est tombé et la
durée de sa chute, il faut commencer par découvrir la relation exacte de
ces deux quantités, ou, suivant le langage des géomètres, l'_équation_
qui existe entre elles. Avant que cette première recherche soit
terminée, toute tentative pour déterminer numériquement la valeur de
l'une de ces deux grandeurs par celle de l'autre serait évidemment
prématurée, car elle n'aurait aucune base. Il ne suffit pas de savoir
vaguement qu'elles dépendent l'une de l'autre, ce que tout le monde
aperçoit sur-le-champ, mais il faut déterminer en quoi consiste cette
dépendance; ce qui peut être fort difficile, et constitue en effet, dans
le cas actuel, la partie incomparablement supérieure du problème. Le
véritable esprit scientifique est si moderne et encore tellement rare,
que personne peut-être avant Galilée n'avait seulement remarqué
l'accroissement de vitesse qu'éprouve un corps dans sa chute, ce qui
exclut l'hypothèse, vers laquelle notre intelligence, toujours portée
involontairement à supposer dans chaque phénomène les _fonctions_ les
plus simples, sans aucun autre motif que sa plus grande facilité à les
concevoir, serait naturellement entraînée, la hauteur proportionnelle au
temps. En un mot, ce premier travail aboutit à la découverte de la loi
de Galilée. Quand cette partie concrète est terminée, la recherche
devient d'une tout autre nature. Sachant que les espaces parcourus par
le corps dans chaque seconde successive de sa chute croissent comme la
suite des nombres impairs, c'est alors une question purement numérique
et abstraite que d'en déduire ou la hauteur d'après le temps, ou le
temps par la hauteur, ce qui consistera à trouver que, d'après la loi
établie, la première de ces deux quantités est un multiple connu de la
seconde puissance de l'autre, d'où l'on devra finalement conclure la
valeur de l'une quand celle de l'autre sera donnée.
Dans cet exemple, la question concrète est plus difficile que la
question abstraite. Ce serait l'inverse, si l'on considérait le même
phénomène dans sa plus grande généralité, tel que je l'ai envisagé plus
haut pour un autre motif. Suivant les cas, ce sera tantôt la première,
tantôt la seconde de ces deux parties qui constituera la principale
difficulté de la question totale; la loi mathématique du phénomène
pouvant être très-simple, mais difficile à obtenir, et, dans d'autres
occasions, facile à découvrir, mais fort compliquée: en sorte que les
deux grandes sections de la science mathématique, quand on les compare
en masse, doivent être regardées comme exactement équivalentes en
étendue et en difficulté, aussi bien qu'en importance, ainsi que nous le
constaterons plus tard en considérant chacune d'elles séparément.
Ces deux parties, essentiellement distinctes, d'après l'explication
précédente, par l'objet que l'esprit s'y propose, ne le sont pas moins
par la nature des recherches dont elles se composent.
La première doit porter le nom de _concrète_, car elle dépend évidemment
du genre des phénomènes considérés, et doit varier nécessairement
lorsqu'on envisagera de nouveaux phénomènes; tandis que la seconde est
complétement indépendante de la nature des objets examinés, et porte
seulement sur les relations numériques qu'ils présentent, ce qui doit la
faire appeler _abstraite_. Les mêmes relations peuvent exister dans un
grand nombre de phénomènes différens, qui, malgré leur extrême
diversité, seront envisagés par le géomètre comme offrant une question
analytique, susceptible, en l'étudiant isolément, d'être résolue une
fois pour toutes. Ainsi, par exemple, la même loi qui règne entre
l'espace et le temps, quand on examine la chute verticale d'un corps
dans le vide, se retrouve pour d'autres phénomènes qui n'offrent aucune
analogie avec le premier ni entre eux: car elle exprime aussi la
relation entre l'aire d'un corps sphérique et la longueur de son
diamètre; elle détermine également le décroissement de l'intensité de la
lumière ou de la chaleur à raison de la distance des objets éclairés ou
échauffés, etc. La partie abstraite, commune à ces diverses questions
mathématiques, ayant été traitée à l'occasion d'une seule d'entre elles,
se trouvera l'être, par cela même, pour toutes les autres; tandis que la
partie concrète devra nécessairement être reprise pour chacune
séparément, sans que la solution de quelques-unes puisse fournir, sous
ce rapport, aucun secours direct pour celle des suivantes. Il est
impossible d'établir de véritables méthodes générales qui, par une
marche déterminée et invariable, assurent, dans tous les cas, la
découverte des relations existantes entre les quantités, relativement à
des phénomènes quelconques: ce sujet ne comporte nécessairement que des
méthodes spéciales pour telle ou telle classe de phénomènes
géométriques, ou mécaniques, ou thermologiques, etc. On peut, au
contraire, de quelque source que proviennent les quantités considérées,
établir des méthodes uniformes pour les déduire les unes des autres, en
supposant connues leurs relations exactes. La partie abstraite des
mathématiques est donc, de sa nature, générale; la partie concrète,
spéciale.
En présentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut
dire que la mathématique concrète a un caractère philosophique
essentiellement expérimental, physique, phénoménal; tandis que celui de
la mathématique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas
ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'emploie l'esprit
humain pour découvrir les lois mathématiques des phénomènes. Mais, soit
que l'observation précise suggère elle-même la loi, soit, comme il
arrive plus souvent, qu'elle ne fasse que confirmer la loi construite
par le raisonnement d'après les faits les plus communs; toujours est-il
certain que cette loi n'est envisagée comme réelle qu'autant qu'elle se
montre d'accord avec les résultats de l'expérience directe. Ainsi, la
partie concrète de toute question mathématique est nécessairement fondée
sur la considération du monde extérieur, et ne saurait jamais, quelle
qu'y puisse être la part du raisonnement, se résoudre par une simple
suite de combinaisons intellectuelles. La partie abstraite, au
contraire, quand elle a été d'abord bien exactement séparée, ne peut
consister que dans une série de déductions rationnelles plus ou moins
prolongée. Car, si l'on a une fois trouvé les équations d'un phénomène,
la détermination des unes par les autres des quantités qu'on y
considère, quelques difficultés d'ailleurs qu'elle puisse souvent
offrir, est uniquement du ressort du raisonnement. C'est à
l'intelligence qu'il appartient de déduire, de ces équations, des
résultats qui y sont évidemment compris, quoique d'une manière peut-être
fort implicite, sans qu'il y ait lieu à consulter de nouveau le monde
extérieur, dont la considération, devenue dès lors étrangère, doit même
être soigneusement écartée pour réduire le travail à sa véritable
difficulté propre.
On voit, par cette comparaison générale, dont je dois me borner ici à
indiquer les traits principaux, combien est naturelle et profonde la
division fondamentale établie ci-dessus dans la science mathématique.
Pour terminer l'exposition générale de cette division, il ne nous reste
plus qu'à circonscrire, aussi exactement que nous puissions le faire
dans ce premier aperçu, chacune des deux grandes sections de la science
mathématique.
La _mathématique concrète_ ayant pour objet de découvrir les _équations_
des phénomènes, semblerait, _à priori_, devoir se composer d'autant de
sciences distinctes qu'il y a de catégories réellement différentes pour
nous parmi les phénomènes naturels. Mais il s'en faut de beaucoup qu'on
soit encore parvenu à découvrir des lois mathématiques dans tous les
ordres de phénomènes; nous verrons même tout-à-l'heure que, sous ce
rapport, la majeure partie se dérobera très-vraisemblablement toujours à
nos efforts. En réalité, dans l'état présent de l'esprit humain, il n'y
a directement que deux grandes catégories générales de phénomènes dont
on connaisse constamment les équations; ce sont d'abord les phénomènes
géométriques, et ensuite les phénomènes mécaniques. Ainsi, la partie
concrète des mathématiques se compose donc de la géométrie et de la
mécanique rationnelle.
Cela suffit, il est vrai, pour lui donner un caractère complet
d'universalité logique, quand on considère l'ensemble des phénomènes du
point de vue le plus élevé de la philosophie naturelle. En effet, si
toutes les parties de l'univers étaient conçues comme immobiles, il n'y
aurait évidemment à observer que des phénomènes géométriques, puisque
tout se réduirait à des relations de forme, de grandeur, et de
situation; ayant ensuite égard aux mouvemens qui s'y exécutent, il y a
lieu à considérer de plus des phénomènes mécaniques. En appliquant ici,
après l'avoir suffisamment généralisée, une conception philosophique,
due à M. de Blainville, et déjà citée pour un autre usage dans la 1re
leçon (page 32), on peut donc établir que, vu sous le rapport statique,
l'univers ne présente que des phénomènes géométriques; et, sous le
rapport dynamique, que des phénomènes mécaniques. Ainsi la géométrie et
la mécanique constituent, par elles-mêmes, les deux sciences naturelles
fondamentales, en ce sens, que tous les effets naturels peuvent être
conçus comme de simples résultats nécessaires, ou des lois de l'étendue,
ou des lois du mouvement.
Mais, quoique cette conception soit toujours logiquement possible, la
difficulté est de la spécialiser avec la précision nécessaire, et de la
suivre exactement dans chacun des cas généraux que nous offre l'étude de
la nature, c'est-à-dire, de réduire effectivement chaque question
principale de philosophie naturelle, pour tel ordre de phénomènes
déterminé, à la question de géométrie ou de mécanique, à laquelle on
pourrait rationnellement la supposer ramenée. Cette transformation, qui
exige préalablement de grands progrès dans l'étude de chaque classe de
phénomènes, n'a été réellement exécutée jusqu'ici que pour les
phénomènes astronomiques, et pour une partie de ceux que considère la
physique terrestre proprement dite. C'est ainsi que l'astronomie,
l'acoustique, l'optique, etc., sont devenues finalement des applications
de la science mathématique à de certains ordres d'observations[3]. Mais,
ces applications n'étant point, par leur nature, rigoureusement
circonscrites, ce serait assigner à la science un domaine indéfini et
entièrement vague, que de les confondre avec elle, comme on le fait dans
la division ordinaire, si vicieuse à tant d'autres égards, des
mathématiques en pures et appliquées. Nous persisterons donc à regarder
la mathématique concrète comme uniquement composée de la géométrie et de
la mécanique.
[Note 3: Je dois faire ici, par anticipation, une
mention sommaire de la thermologie, à laquelle je
consacrerai plus tard une leçon spéciale. La théorie
mathématique des phénomènes de la chaleur a pris, par les
mémorables travaux de son illustre fondateur, un tel
caractère, qu'on peut aujourd'hui la concevoir, après la
géométrie et la mécanique, comme une véritable troisième
section distincte de la mathématique concrète, puisque M.
Fourier a établi, d'une manière entièrement directe, les
équations thermologiques, au lieu de se représenter
hypothétiquement les questions comme des applications de la
mécanique, ainsi qu'on a tenté de le faire pour les
phénomènes électriques, par exemple. Cette grande
découverte, qui, comme toutes celles qui se rapportent à la
méthode, n'est pas encore convenablement appréciée, mérite
singulièrement notre attention; car, outre son importance
immédiate pour l'étude vraiment rationnelle et positive d'un
ordre de phénomènes aussi universel et aussi fondamental,
elle tend a relever nos espérances philosophiques, quant à
l'extension future des applications légitimes de l'analyse
mathématique, ainsi que je l'expliquerai dans le second
volume de ce cours, en examinant le caractère général de
cette nouvelle série de travaux. Je n'aurais pas hésité dès
à présent à traiter la thermologie, ainsi conçue, comme une
troisième branche principale de la mathématique concrète, si
je n'avais craint de diminuer l'utilité de cet ouvrage en
m'écartant trop des habitudes ordinaires.]
Quant à la _mathématique abstraite_, dont j'examinerai la division
générale dans la leçon suivante, sa nature est nettement et exactement
déterminée. Elle se compose de ce qu'on appelle le _calcul_, en prenant
ce mot dans sa plus grande extension, qui embrasse depuis les opérations
numériques les plus simples jusqu'aux plus sublimes combinaisons de
l'analyse transcendante. Le _calcul_ a pour objet propre de résoudre
toutes les questions de nombres. Son point de départ est, constamment et
nécessairement, la connaissance de relations précises, c'est-à-dire
d'_équations_, entre les diverses grandeurs que l'on considère
simultanément, ce qui est, au contraire, le terme de la mathématique
concrète. Quelque compliquées ou quelque indirectes que puissent être
d'ailleurs ces relations, le but final de la science du _calcul_ est
d'en déduire toujours les valeurs des quantités inconnues par celles des
quantités connues. Cette _science_, bien que plus perfectionnée
qu'aucune autre, est, sans doute, réellement peu avancée encore, en
sorte que ce but est rarement atteint d'une manière complétement
satisfaisante. Mais tel n'en est pas moins son vrai caractère. Pour
concevoir nettement la véritable nature d'une science, il faut toujours
la supposer parfaite.
Afin de résumer le plus philosophiquement possible les considérations
ci-dessus exposées sur la division fondamentale des mathématiques, il
importe de remarquer qu'elle n'est qu'une application du principe
général de classification qui nous a permis d'établir, dans la leçon
précédente, la hiérarchie rationnelle des différentes sciences
positives.
Si l'on compare, en effet, d'une part le calcul, et d'une autre part la
géométrie et la mécanique, on vérifie, relativement aux idées
considérées dans chacune de ces deux sections principales de la
mathématique, tous les caractères essentiels de notre méthode
encyclopédique. Les idées analytiques sont évidemment à la fois plus
abstraites, plus générales et plus simples que les idées géométriques
ou mécaniques. Bien que les conceptions principales de l'analyse
mathématique, envisagées historiquement, se soient formées sous
l'influence des considérations de géométrie ou de mécanique, au
perfectionnement desquelles les progrès du calcul sont étroitement liés,
l'analyse n'en est pas moins, sous le point de vue logique,
essentiellement indépendante de la géométrie et de la mécanique, tandis
que celles-ci sont, au contraire, nécessairement fondées sur la
première.
L'analyse mathématique est donc, d'après les principes que nous avons
constamment suivis jusqu'ici, la véritable base rationnelle du système
entier de nos connaissances positives. Elle constitue la première et la
plus parfaite de toutes les sciences fondamentales. Les idées dont elle
s'occupe, sont les plus universelles, les plus abstraites et les plus
simples que nous puissions réellement concevoir. On ne saurait tenter
d'aller plus loin, sous ces trois rapports équivalens, sans tomber
inévitablement dans les rêveries métaphysiques. Car, quel _substractum_
effectif pourrait-il rester dans l'esprit pour servir de sujet positif
au raisonnement, si on voulait supprimer encore quelque circonstance
dans les notions des quantités indéterminées, constantes ou variables,
telles que les géomètres les emploient aujourd'hui, afin de s'élever à
un prétendu degré supérieur d'abstraction, comme le croient les
ontologistes?
Cette nature propre de l'analyse mathématique permet de s'expliquer
aisément pourquoi, lorsqu'elle est convenablement employée, elle nous
offre un si puissant moyen, non-seulement pour donner plus de précision
à nos connaissances réelles, ce qui est évident de soi-même, mais
surtout pour établir une coordination infiniment plus parfaite dans
l'étude des phénomènes qui comportent cette application. Car, les
conceptions ayant été généralisées et simplifiées le plus possible, à
tel point qu'une seule question analytique, résolue abstraitement,
renferme la solution implicite d'une foule de questions physiques
diverses, il doit nécessairement en résulter pour l'esprit humain une
plus grande facilité à apercevoir des relations entre des phénomènes qui
semblaient d'abord entièrement isolés les uns des autres, et desquels on
est ainsi parvenu à tirer, pour le considérer à part, tout ce qu'ils ont
de commun. C'est ainsi qu'en examinant la marche de notre intelligence
dans la solution des questions importantes de géométrie et de mécanique,
nous voyons surgir naturellement, par l'intermédiaire de l'analyse, les
rapprochemens les plus fréquens et les plus inattendus entre des
problèmes qui n'offraient primitivement aucune liaison apparente, et
que nous finissons souvent par envisager comme identiques.
Pourrions-nous, par exemple, sans le secours de l'analyse, apercevoir la
moindre analogie entre la détermination de la direction d'une courbe à
chacun de ses points, et celle de la vitesse acquise par un corps à
chaque instant de son mouvement varié, questions qui, quelque diverses
qu'elles soient, n'en font qu'une, aux yeux du géomètre?
La haute perfection relative de l'analyse mathématique, comparée à
toutes les autres branches de nos connaissances positives, se conçoit
avec la même facilité, quand on a bien saisi son vrai caractère général.
Cette perfection ne tient pas, comme l'ont cru les métaphysiciens, et
surtout Condillac, d'après un examen superficiel, à la nature des signes
éminemment concis et généraux qu'on emploie comme instrumens de
raisonnement. Dans cette importante occasion spéciale, comme dans toutes
les autres, l'influence des signes a été considérablement exagérée, bien
qu'elle soit sans doute, très réelle, ainsi que l'avaient reconnu, avant
Condillac, et d'une manière bien plus exacte, la plupart des géomètres.
En réalité, toutes les grandes conceptions analytiques ont été formées
sans que les signes algébriques fussent d'aucun secours essentiel,
autrement que pour les exploiter après que l'esprit les avait obtenues.
La perfection supérieure de la science du calcul tient principalement à
l'extrême simplicité des idées qu'elle considère, par quelques signes
qu'elles soient exprimées: en sorte qu'il n'y a pas le moindre espoir, à
l'aide d'aucun artifice quelconque du langage scientifique, même en le
supposant possible, de perfectionner, au même degré, des théories qui,
portant sur des notions plus complexes, sont nécessairement condamnées,
par leur nature, à une infériorité logique plus ou moins grande suivant
la classe correspondante de phénomènes.
L'examen que nous avons tenté de faire, dans cette leçon, du caractère
philosophique de la science mathématique, resterait incomplet, si, après
l'avoir envisagée dans son objet et dans sa composition, nous
n'indiquions pas quelques considérations générales directement relatives
à l'étendue réelle de son domaine.
À cet effet, il est indispensable de reconnaître avant tout, pour se
faire une juste idée de la véritable nature des mathématiques, que, sous
le point de vue purement logique, cette science est, par elle-même,
nécessairement et rigoureusement universelle. Car il n'y a pas de
question quelconque qui ne puisse finalement être conçue comme
consistant à déterminer des quantités les unes par les autres d'après
certaines relations, et, par conséquent, comme réductible, en dernière
analyse, à une simple question de nombres. On le comprendra si l'on
remarque effectivement que, dans toutes nos recherches, à quelque ordre
de phénomènes qu'elles se rapportent, nous avons définitivement en vue
d'arriver à des nombres, à des doses. Quoique nous n'y parvenions le
plus souvent que d'une manière fort grossière et d'après des méthodes
très incertaines, il n'en est pas moins évident que tel est le terme
réel de tous nos problèmes quelconques. Ainsi, pour prendre un exemple
dans la classe de phénomène la moins accessible à l'esprit mathématique,
les phénomènes des corps vivans, considérés même, pour plus de
complication, dans le cas pathologique, n'est-il pas manifeste que
toutes les questions de thérapeutique peuvent être envisagées comme
consistant à déterminer les quantités de tous les divers modificateurs
de l'organisme qui doivent agir sur lui pour le ramener à l'état normal,
en admettant, suivant l'usage des géomètres, les valeurs nulles,
négatives, ou même contradictoires, pour quelques-unes de ces quantités
dans certains cas? Sans doute, une telle manière de se représenter la
question ne peut être en effet réellement suivie, comme nous allons le
voir, pour les phénomènes les plus complexes, parce qu'elle nous
présente dans l'application des difficultés insurmontables; mais quand
il s'agit de concevoir abstraitement toute la portée intellectuelle
d'une science, il importe de lui supposer l'extension totale dont elle
est logiquement susceptible.
On objecterait vainement contre une telle conception la division
générale des idées humaines selon les deux catégories de Kant, de la
quantité, et de la qualité, dont la première seule constituerait le
domaine exclusif de la science mathématique. Le développement même de
cette science a montré positivement depuis long-temps le peu de réalité
de cette superficielle distinction métaphysique. Car la conception
fondamentale de Descartes sur la relation du concret à l'abstrait en
mathématiques, a prouvé que toutes les idées de qualité étaient
réductibles à des idées de quantité. Cette conception, établie d'abord,
par son immortel auteur, pour les phénomènes géométriques seulement, a
été ensuite effectivement étendue par ses successeurs aux phénomènes
mécaniques; et elle vient de l'être de nos jours aux phénomènes
thermologiques. En résultat de cette généralisation graduelle, il n'y a
pas maintenant de géomètres qui ne la considèrent, dans un sens purement
théorique, comme pouvant s'appliquer à toutes nos idées réelles
quelconques, en sorte que tout phénomène soit logiquement susceptible
d'être représenté par une _équation_, aussi bien qu'une courbe ou un
mouvement, sauf la difficulté de la trouver, et celle de la _résoudre_,
qui peuvent être et sont souvent supérieures aux plus grandes forces de
l'esprit humain.
Mais si, pour se former une idée convenable de la science mathématique,
il importe de la concevoir comme étant nécessairement douée par sa
nature d'une rigoureuse universalité logique, il n'est pas moins
indispensable de considérer maintenant les grandes limitations réelles
qui, vu la faiblesse de notre intelligence, rétrécissent singulièrement
son domaine effectif, à mesure que les phénomènes se compliquent en se
spécialisant.
Toute question peut sans doute, ainsi que nous venons de le voir, être
conçue comme réductible à une pure question de nombres. Mais la
difficulté de la traiter réellement sous ce point de vue, c'est-à-dire
d'effectuer une telle transformation, est d'autant plus grande, dans les
diverses parties essentielles de la philosophie naturelle, que l'on
considère des phénomènes plus compliqués, en sorte que sauf pour les
phénomènes les plus simples et les plus généraux, elle devient bientôt
insurmontable.
On le sentira aisément, si l'on considère que, pour faire rentrer une
question dans le domaine de l'analyse mathématique, il faut d'abord
être parvenu à découvrir des relations précises entre les quantités
coexistantes dans le phénomène étudié, l'établissement de ces équations
des phénomènes étant le point de départ nécessaire de tous les travaux
analytiques. Or, cela doit être évidemment d'autant plus difficile,
qu'il s'agit de phénomènes plus particuliers, et par suite plus
compliqués. En examinant sous ce point de vue les diverses catégories
fondamentales des phénomènes naturels établis dans la leçon précédente,
on trouvera que, tout bien considéré, c'est seulement au plus pour les
trois premières, comprenant toute la _physique inorganique_, qu'on peut
légitimement espérer d'atteindre un jour ce haut degré de perfection
scientifique, autant du moins qu'une telle limite peut être posée avec
précision. Comme je dois plus tard traiter spécialement cette discussion
par rapport à chaque science fondamentale, il suffira de l'indiquer ici
de la manière la plus générale.
La première condition pour que des phénomènes comportent des lois
mathématiques susceptibles d'être découvertes, c'est évidemment que les
diverses quantités qu'ils présentent puissent donner lieu à des nombres
fixes. Or, en comparant, à cet égard, les deux grandes sections
principales de la philosophie naturelle, on voit que la _physique
organique_ tout entière, et probablement aussi les parties les plus
compliquées de la physique inorganique, sont nécessairement
inaccessibles, par leur nature, à notre analyse mathématique, en vertu
de l'extrême variabilité numérique des phénomènes correspondans. Toute
idée précise de nombres fixes est véritablement déplacée dans les
phénomènes des corps vivans, quand on veut l'employer autrement que
comme moyen de soulager l'attention, et qu'on attache quelque importance
aux relations exactes des valeurs assignées. Sous ce rapport, les
réflexions de Bichat, sur l'abus de l'esprit mathématique en
physiologie, sont parfaitement justes; on sait à quelles aberrations a
conduit cette manière vicieuse de considérer les corps vivans.
Les différentes propriétés des corps bruts, surtout les plus générales,
se présentent dans chacun d'eux avec des degrés presque invariables, ou
du moins elles n'éprouvent que des variations simples, séparées par de
longs intervalles d'uniformité, et qu'il est possible, en conséquence,
d'assujétir à des lois précises et régulières. Ainsi, les qualités
physiques d'un corps inorganique, principalement quand il est solide, sa
forme, sa consistance, sa pesanteur spécifique, son élasticité, etc.,
présentent, pour un temps considérable, une fixité numérique
remarquable, qui permet de les considérer réellement et utilement sous
un point de vue mathématique. On sait qu'il n'en est déjà plus ainsi à
beaucoup près pour les phénomènes chimiques que présentent les mêmes
corps, et qui, plus compliqués, dépendant d'un bien plus grand nombre de
circonstances, présentent des variations plus étendues, plus fréquentes,
et par suite plus irrégulières. Aussi, d'après quelques considérations
déjà indiquées dans la première leçon (page 45) et qui seront
spécialement développées dans le troisième volume de ce cours, on ne
peut pas seulement assurer aujourd'hui, d'une manière générale, qu'il y
ait lieu à concevoir des nombres fixes en chimie, même sous le rapport
le plus simple, quant aux proportions relatives des corps dans leurs
combinaisons, ce qui montre clairement combien un tel ordre de
phénomènes est encore loin de comporter de véritables lois
mathématiques. Admettons-en néanmoins, pour ce cas, la possibilité et
même la probabilité futures, afin de ne pas rendre trop minutieuse la
discussion de la limite générale qu'il s'agit d'établir ici par rapport
à l'extension, effectivement possible, du domaine réel de l'analyse
mathématique. Il n'y aura plus le moindre doute aussitôt que nous
passerons aux phénomènes que présentent les corps, considérés dans cet
état d'agitation intestine continuelle de leurs molécules, qui
constitue essentiellement ce que nous nommons la _vie_, envisagée de la
manière la plus générale, dans l'ensemble des êtres qui nous la
manifestent. En effet, un caractère éminemment propre aux phénomènes
physiologiques, et que leur étude plus exacte rend maintenant plus
sensible de jour en jour, c'est l'extrême instabilité numérique qu'ils
présentent, sous quelque aspect qu'on les examine, et que nous verrons
plus tard, quand l'ordre naturel des matières nous y conduira, être une
conséquence nécessaire de la définition même des corps vivans. Quant à
présent, il suffit de noter cette observation incontestable, vérifiée
par tous les faits, que chaque propriété quelconque d'un corps organisé,
soit géométrique, soit mécanique, soit chimique, soit vitale, est
assujétie, dans sa quantité, à d'immenses variations numériques
tout-à-fait irrégulières, qui se succèdent aux intervalles les plus
rapprochés sous l'influence d'une foule de circonstances, tant
extérieures qu'intérieures, variables elles-mêmes; en sorte que toute
idée de nombres fixes, et, par suite, de lois mathématiques que nous
puissions espérer d'obtenir, implique réellement contradiction avec la
nature spéciale de cette classe de phénomènes. Ainsi, quand on veut
évaluer avec précision, même uniquement les qualités les plus simples
d'un être vivant, par exemple sa densité moyenne, ou celle de l'une de
ses principales parties constituantes, sa température, la vitesse de sa
circulation intérieure, la proportion des élémens immédiats qui
composent ses solides ou ses fluides, la quantité d'oxigène qu'il
consomme en un temps donné, la masse de ses absorptions ou de ses
exhalations continuelles, etc., et, à plus forte raison, l'énergie de
ses forces musculaires, l'intensité de ses impressions, etc., il ne faut
pas seulement, ce qui est évident, faire, pour chacun de ces résultats,
autant d'observations qu'il y a d'espèces ou de races et de variétés
dans chaque espèce; on doit encore mesurer le changement
très-considérable qu'éprouve cette quantité en passant d'un individu à
un autre, et, quant au même individu, suivant son âge, son état de santé
ou de maladie, sa disposition intérieure, les circonstances de tout
genre incessamment mobiles sous l'influence desquelles il se trouve
placé, telles que la constitution atmosphérique, etc. Que peuvent donc
signifier ces prétendues évaluations numériques si soigneusement
enregistrées pour les divers phénomènes physiologiques ou même
pathologiques, et déduites, dans le cas le plus favorable, d'une seule
mesure réelle, lorsqu'il en faudrait une multitude? Elles ne peuvent
qu'induire en erreur sur la vraie marche des phénomènes, et ne doivent
être appliquées rationnellement que comme un moyen, pour ainsi dire
mnémonique, de fixer les idées. Dans tous les cas, il y a évidemment
impossibilité totale d'obtenir jamais de véritables lois mathématiques.
Il en est encore plus fortement de même pour les phénomènes sociaux, qui
offrent une complication encore supérieure, et, par suite, une
variabilité plus grande, comme nous l'établirons spécialement dans le
quatrième volume de ce cours.
Ce n'est pas néanmoins qu'on doive cesser, d'après cela, de concevoir,
en thèse philosophique générale, les phénomènes de tous les ordres comme
nécessairement soumis par eux-mêmes à des lois mathématiques, que nous
sommes seulement condamnés à ignorer toujours dans la plupart des cas, à
cause de la trop grande complication des phénomènes. Il n'y a en effet
aucune raison de penser que, sous ce rapport, les phénomènes les plus
complexes des corps vivans soient essentiellement d'une autre nature
spéciale que les phénomènes les plus simples des corps bruts. Car, s'il
était possible d'isoler rigoureusement chacune des causes simples qui
concourent à produire un même phénomène physiologique, tout porte à
croire qu'elle se montrerait douée, dans des circonstances déterminées,
d'un genre d'influence et d'une quantité d'action aussi exactement fixes
que nous le voyons dans la gravitation universelle, véritable type des
lois fondamentales de la nature. Ce qui engendre la variabilité
irrégulière des effets, c'est le grand nombre d'agens divers déterminant
à la fois un même phénomène, et d'où il résulte que, dans les phénomènes
très-compliqués, il n'y a peut-être pas deux cas rigoureusement
semblables. Nous n'avons pas besoin, pour trouver une telle difficulté,
d'aller jusqu'aux phénomènes des corps vivans. Elle se présente déjà
dans ceux des corps bruts, quand nous considérons les cas les plus
complexes; par exemple, en étudiant les phénomènes météorologiques. On
ne peut douter que chacun des nombreux agens qui concourent à la
production de ces phénomènes ne soit soumis séparément à des lois
mathématiques, quoique nous ignorions encore la plupart d'entr'elles;
mais leur multiplicité rend les effets observés aussi irrégulièrement
variables que si chaque cause n'était assujétie à aucune condition
précise.
La considération précédente conduit à apercevoir un second motif
distinct en vertu duquel il nous est nécessairement interdit, vu la
faiblesse de notre intelligence, de faire rentrer l'étude des phénomènes
les plus compliqués dans le domaine des applications de l'analyse
mathématique. En effet, indépendamment de ce que, dans les phénomènes
les plus spéciaux, les résultats effectifs sont tellement variables que
nous ne pouvons pas même y saisir des valeurs fixes, il suit de la
complication des cas, que, quand même nous pourrions connaître un jour
la loi mathématique à laquelle est soumis chaque agent pris à part, la
combinaison d'un aussi grand nombre de conditions rendrait le problème
mathématique correspondant tellement supérieur à nos faibles moyens, que
la question resterait le plus souvent insoluble. Ce n'est donc pas ainsi
qu'on peut faire une étude réelle et féconde de la majeure partie des
phénomènes naturels.
Pour apprécier aussi exactement que possible cette difficulté,
considérons à quel point se compliquent les questions mathématiques,
même relativement aux phénomènes les plus simples des corps bruts, quand
on veut rapprocher suffisamment l'état abstrait de l'état concret, en
ayant égard à toutes les conditions principales qui peuvent exercer sur
l'effet produit, une influence véritable. On sait, par exemple, que le
phénomène très-simple de l'écoulement d'un fluide, en vertu de sa seule
pesanteur, par un orifice donné, n'a pas jusqu'à présent de solution
mathématique complète, quand on veut tenir compte de toutes les
circonstances essentielles. Il en est encore ainsi, même pour le
mouvement encore plus simple d'un projectile solide dans un milieu
résistant.
Pourquoi l'analyse mathématique a-t-elle pu s'adapter, avec un succès
si admirable, à l'étude approfondie des phénomènes célestes? Parce
qu'ils sont, malgré les apparences vulgaires, beaucoup plus simples que
tous les autres. Le problème le plus compliqué qu'ils présentent, celui
de la modification que produit, dans le mouvement de deux corps tendant
l'un vers l'autre en vertu de leur gravitation, l'influence d'un
troisième corps agissant sur tous deux de la même manière, est bien
moins composé que le problème terrestre le plus simple. Et, néanmoins,
il offre déjà une telle difficulté, que nous n'en possédons encore que
des solutions approximatives. Il est même aisé de voir, en examinant ce
sujet plus profondément, que la haute perfection à laquelle a pu
s'élever l'astronomie solaire par l'emploi de la science mathématique
est encore essentiellement due à ce que nous avons profité avec adresse
de toutes les facilités particulières, et, pour ainsi dire,
accidentelles, qu'offrait pour la solution des problèmes la constitution
spéciale, très-favorable sous ce rapport, de notre système planétaire.
En effet, les planètes dont il se compose sont assez peu nombreuses,
mais surtout elles sont, en général, de masses fort inégales et bien
moindres que celle du soleil, et de plus fort éloignées les unes des
autres; elles ont des formes presque sphériques; leurs orbites sont
presque circulaires, et présentent de faibles inclinaisons mutuelles,
etc. Il résulte de cet ensemble de circonstances que les perturbations
sont le plus souvent peu considérables, et que pour les calculer il
suffit ordinairement de tenir compte, concurremment avec l'action du
soleil sur chaque planète en particulier, de l'influence d'une seule
autre planète, susceptible, par sa grosseur et sa proximité, de
déterminer des dérangemens sensibles. Mais si, au lieu d'un tel état de
choses, notre système solaire eût été composé d'un plus grand nombre de
planètes concentrées dans un moindre espace, et à peu près égales en
masse; si leurs orbites avaient offert des inclinaisons fort
différentes, et des excentricités considérables; si ces corps eussent
été d'une forme plus compliquée, par exemple, des ellipsoïdes
très-excentriques, etc.; il est certain qu'en supposant la même loi
réelle de gravitation, nous ne serions pas encore parvenus à soumettre
l'étude des phénomènes célestes à notre analyse mathématique, et
probablement nous n'eussions pas même pu démêler jusqu'à présent la loi
principale.
Ces conditions hypothétiques se trouveraient précisément réalisées au
plus haut degré dans les phénomènes chimiques, si on voulait les
calculer d'après la théorie de la gravitation générale.
En pesant convenablement les diverses considérations qui précèdent, on
sera convaincu, je crois, qu'en réduisant aux diverses parties de la
physique inorganique l'extension future des grandes applications
réellement possibles de l'analyse mathématique, j'ai bien plutôt exagéré
que rétréci l'étendue de son domaine effectif. Autant il importait de
rendre sensible la rigoureuse universalité logique de la science
mathématique, autant je devais signaler les conditions qui limitent pour
nous son extension réelle, afin de ne pas contribuer à écarter l'esprit
humain de la véritable direction scientifique dans l'étude des
phénomènes les plus compliqués, par la recherche chimérique d'une
perfection impossible.
Ainsi, tout en s'efforçant d'agrandir autant qu'on le pourra le domaine
réel des mathématiques, on doit reconnaître que les sciences les plus
difficiles sont destinées, par leur nature, à rester indéfiniment dans
cet état préliminaire qui prépare pour les autres l'époque où elles
deviennent accessibles aux théories mathématiques. Nous devons, pour les
phénomènes les plus compliqués, nous contenter d'analyser avec
exactitude les circonstances de leur production, de les rattacher les
uns aux autres d'une manière générale, de connaître le genre d'influence
qu'exerce chaque agent principal, etc.; mais sans les étudier sous le
point de vue de la quantité, et par conséquent sans espoir
d'introduire, dans les sciences correspondantes, ce haut degré de
perfection que procure, quant aux phénomènes les plus simples, un usage
convenable de la mathématique, soit sous le rapport de la précision de
nos connaissances, soit, ce qui est peut-être encore plus remarquable,
sous le rapport de leur coordination.
C'est par les mathématiques que la philosophie positive a commencé à se
former: c'est d'elles que nous vient la _méthode_. Il était donc
naturellement inévitable que, lorsque la même manière de procéder a dû
s'étendre à chacune des autres sciences fondamentales, on s'efforçât d'y
introduire l'esprit mathématique à un plus haut degré que ne le
comportaient les phénomènes correspondans; ce qui a donné lieu ensuite à
des travaux d'épuration plus ou moins étendus, comme ceux de Berthollet
sur la chimie, pour se dégager de cette influence exagérée. Mais chaque
science, en se développant, a fait subir à la méthode positive générale
des modifications déterminées par les phénomènes qui lui sont propres,
d'où résulte son génie spécial; c'est seulement alors qu'elle a pris son
véritable caractère définitif, qui ne doit jamais être confondu avec
celui d'aucune autre science fondamentale.
Ayant exposé, dans cette leçon, le but essentiel et la composition
principale de la science mathématique, ainsi que ses relations générales
avec l'ensemble de la philosophie naturelle, son caractère philosophique
se trouve déterminé, autant qu'il puisse l'être par un tel aperçu. Nous
devons passer maintenant à l'examen spécial de chacune des trois grandes
sciences dont elle est composée, le calcul, la géométrie et la
mécanique.