simplement présenté ses résultats comme des approximations successives,
on lui reprocha d’avoir abandonné la rigueur traditionnelle des
méthodes mathématiques. Fontaine était habitué à la rectitude
inflexible du géomètre qui, ne souffrant rien d’imparfait, atteint,
par une voie toujours droite, la vérité tout entière. En voyant
cette marche timide, par laquelle de continuelles et croissantes
approximations font tourner, pour ainsi dire, autour d’une difficulté
qui reste invincible, et ces calculs qui, n’étant jamais achevés et
ne pouvant jamais l’être, ne prétendent jamais non plus à la dernière
perfection, il cria au paralogisme, presque à la trahison. Mais, non
content de protester contre cette dérogation nécessaire à la sévère
rigueur d’Euclide, il affirma que les principes de Clairaut, exactement
et régulièrement suivis, assignaient à la lune une orbite circulaire.
La question était facile à éclaircir, et l’erreur de Fontaine bien
aisée à démontrer. Clairaut, sans abuser de son avantage, répondit avec
autant de modération que de force. Un seul point, dit-il, l’a choqué
dans les critiques de M. Fontaine et lui semble révoltant. Le mot
n’est pas trop fort, car non content d’indiquer les calculs à faire,
Clairaut les avait effectués; et contester ses résultats, presque tous
conformes aux observations, c’était l’accuser tout ensemble d’erreur
et d’imposture. Pressé par l’évidence de la vérité, Fontaine n’avait
rien à répondre; il se tut en effet. Mais après la mort de Clairaut, il
écrivit son éloge, dans lequel on lit les lignes suivantes:
«Newton n’a pu tout faire dans le Système du monde... sa Théorie de la
lune n’était qu’ébauchée. M. Clairaut a tracé la ligne qu’elle doit
suivre en obéissant à la triple action qui maîtrise son cours et qui la
retient suspendue entre le soleil et la terre, il nous a montré dans
des tables exactes tous les pas qu’elle fait dans les cieux.» Il est
impossible, on le voit, de faire plus complétement amende honorable.
Vers la fin de l’année 1757, les savants commencèrent à se préoccuper
du retour de la comète de 1682, hardiment annoncé, soixante-seize ans
à l’avance, par l’astronome anglais Halley. L’orbite de cette comète,
calculée par lui, se rapprochait assez en effet de celles des comètes
de 1607 et de 1531 pour faire croire à l’identité des trois astres.
Il y avait toutefois cette différence qu’il s’était écoulé plus de
soixante-seize ans entre les deux premières apparitions, et un peu
moins de soixante-quinze entre la seconde et la troisième. Mais Halley
expliquait cette irrégularité par l’action des planètes rencontrées
pendant ce long circuit. Il avait même ajouté que l’action de Jupiter
devant vraisemblablement augmenter le temps de la révolution nouvelle,
ses successeurs verraient sans doute l’astre errant vers la fin de
1758 ou le commencement de 1759. Une telle prédiction n’était pas sans
précédent. Jacques Bernoulli en avait hasardé une plus précise encore,
en annonçant le retour de la comète de 1680 pour le 17 juin 1705. Mais
l’astre ne parut pas, et tous les astronomes de l’Europe restèrent en
observation pendant la nuit entière et en furent pour leur peine.
Clairaut, acceptant l’hypothèse de Halley, voulut convertir en une
appréciation exacte et précise les vagues indications de l’astronome
anglais. L’exécution d’un tel projet devait être immédiate, et après
l’événement accompli, ses résultats eussent semblé sans valeur.
Abandonnant tout autre travail, il commença d’immenses calculs, dont
le plus grand mérite est cependant l’art avec lequel il sut les
abréger; car une heureuse avarice en pareille matière est, comme l’a
dit Fontenelle, la meilleure marque de la richesse, et il faut bien
connaître le pays pour suivre les petits sentiers qui épargnent tant de
peine au voyageur.
Tout était terminé le 14 novembre 1758, et Clairaut annonçait à
l’Académie que la comète, retardée de 100 jours par l’action de
Saturne, et de 118 par celle de Jupiter, passerait au périhélie vers le
13 avril 1759.
«On sent, ajoutait-il, avec quel ménagement je présente une telle
annonce, puisque tant de petites quantités, négligées nécessairement
par les méthodes d’approximation pourraient bien en altérer le terme
d’un mois.» Cette prédiction fut ponctuellement accomplie. La comète
se montrant au temps préfix, passa au périhélie le 13 mars 1759.
L’admiration fut universelle, mais elle ne fit pas taire l’envie,
et l’applaudissement ne fut pas tout entier pour Clairaut. Ceux
qui, n’ayant pas cru à l’exactitude de la prédiction, s’apprêtaient
à rire de sa déconvenue, furent les plus ardents à rapporter à
Halley tout l’honneur du succès. Qui osera prétendre après cela,
dit spirituellement Clairaut, que l’apparition d’une comète soit
sans influence sur l’esprit humain? _Le Mercure_ du mois d’avril,
en annonçant la grande nouvelle, parle, sans nommer Clairaut, de la
prédiction heureusement accomplie de _Halley_. Dans une lettre adressée
au journal encyclopédique de juillet, l’académicien Lemonnier qui, sur
les glaces de la Tornéa, avait partagé les travaux de Clairaut, pousse
encore plus loin le mauvais vouloir et l’injustice. Halley, suivant
Lemonnier, a tout fait et doit seul être loué; ceux qui citent, dit-il,
un mémoire lu à la rentrée publique de l’Académie en novembre 1758,
n’ont jamais cité qu’un discours sans analyse, lequel n’a pas même
été relu et examiné, selon l’usage, dans les séances particulières
de l’Académie, et il ajoute, avec une intention blessante à la fois
pour Clairaut et pour d’Alembert: «On ne doute pas que les méthodes
d’approximation n’aient fait dans ces derniers temps un progrès
considérable, ou du moins que dans un temps où M. Euler publie
successivement tant de méthodes analytiques dont il est l’inventeur,
on ne puisse produire aujourd’hui des calculs d’approximation plus
satisfaisants que n’ont fait quelques astronomes anglais contemporains
de Newton.» L’injustice et l’esprit de dénigrement se montrent avec
tant d’évidence, que le public même ne dut pas s’y méprendre. Clairaut
fut cependant profondément blessé et bien des ennuis se mêlèrent pour
lui à la joie du triomphe. Une objection plus fondée fut adressée
aux admirateurs trop exaltés de Clairaut. Les calculs sont tellement
exacts, avait-on dit, que sur une période de soixante-seize ans,
l’erreur est d’un mois à peine, c’est-à-dire 1/900 environ du tout.
On répondait, et non sans raison, que l’inconnue à calculer n’était
pas la durée de la révolution, et que la différence des deux périodes
consécutives était seule en question. Cette appréciation, sans être
injuste, tend à diminuer le mérite de Clairaut, et d’Alembert, qui lui
prêta, en la développant, toute l’autorité de son nom, aurait mieux
fait de laisser ce soin à d’autres.
Clairaut répondit à ses adversaires, à d’Alembert surtout, avec
beaucoup de sincérité, de modération, de douceur même, et, pour
tout dire enfin, avec la droiture d’un géomètre. Il tient à établir
d’abord qu’il n’est pas l’agresseur: «Les fautes de procédé, dit-il,
m’ont toujours en effet paru plus importantes que celles que l’on peut
commettre dans les calculs.»
Clairaut mourut, le 17 mai 1765, à l’âge de cinquante-deux ans, après
une courte maladie. Son père, qui lui survécut, avait perdu avant lui
dix-neuf autres enfants; il lui restait une fille, à laquelle le roi
accorda immédiatement une pension, en mémoire des services rendus à la
science par son illustre frère.
Jean Lerond d’Alembert, né à Paris le 16 novembre 1717, fut exposé
immédiatement après sa naissance sur les marches de l’église
Saint-Jean-Lerond, située près de Notre-Dame. Le commissaire de police
du quartier, touché de sa chétive apparence, n’osa pas l’envoyer aux
enfants trouvés, et le confia à une pauvre et honnête vitrière par
laquelle il fut bientôt adopté complétement. Sans se faire connaître,
le père de d’Alembert lui assura une pension de 1,200 livres qui, en
apportant un peu d’aisance dans la maison de sa mère d’adoption, permit
de développer par l’éducation les rares facultés du pauvre enfant
abandonné. Placé à l’âge de quatre ans dans une petite pension, il y
resta jusqu’à douze; mais son maître, dès sa dixième année, déclarait
n’avoir plus rien à lui apprendre et proposait de le faire entrer au
collége dans la classe de seconde. La santé encore languissante du
jeune écolier ne permit pas de suivre ce conseil, et ce fut deux ans
après seulement qu’on le plaça au collége Mazarin, où sous la règle du
plus austère jansénisme, il termina brillamment ses études.
La philosophie qu’on lui enseigna fut celle de Descartes: les idées
innées, la prémotion physique et les tourbillons choquèrent son
esprit rigoureux et précis sans y apporter aucune lumière. Les seules
leçons fructueuses qu’il reçut, dit-il, pendant ses deux années de
philosophie, furent celles de M. Caron, professeur de mathématiques
qui, sans être profond géomètre, enseignait avec clarté et précision.
Il ne fit que lui ouvrir la voie, d’Alembert la suivit seul. Cédant à
son inclination naturelle, il allait, tout en faisant ses études de
droit, s’instruire sommairement dans les bibliothèques des théories
mathématiques les plus difficiles, dont il s’exerçait ensuite à
retrouver les détails dans sa tête. Celui qui peut suivre une telle
méthode est bien près de devenir inventeur: d’Alembert s’élançait
en effet avec tant d’ardeur vers les régions encore inconnues que,
devançant quelquefois ses livres, il croyait découvrir des vérités et
des méthodes nouvelles, qu’il rencontrait ensuite, avec un dépit mêlé
de plaisir, dans quelque auteur plus avancé.
Les amis de d’Alembert le détournaient des travaux mathématiques,
qu’ils regardaient, non sans quelque raison, comme un mauvais moyen
d’arriver à la fortune. Il se décida, suivant leurs sages conseils,
à étudier la médecine, et bien résolu de s’y livrer tout entier,
eut le courage de porter chez un ami tous ses livres de science,
dont la séduction pourrait mettre obstacle à ses projets; mais son
esprit heureusement était moins soumis que sa volonté: la géométrie
le poursuivait au milieu de ses nouvelles études. Lorsqu’un problème
venait à troubler son repos, d’Alembert, impatient de toute contrainte
même volontaire, allait chercher un des volumes qui, peu à peu, et
presque sans qu’il s’en fût aperçu, revinrent chez lui l’un après
l’autre. Reconnaissant alors que la lutte était inutile et la maladie
sans remède, il en prit joyeusement son parti; les travaux commencés
timidement et comme à regret furent continués sans scrupule et avec
ardeur. Rassemblant bientôt ses forces, inutilement dispersées
jusque-là, d’Alembert composa deux mémoires de mathématiques qui, à
l’âge de vingt-trois ans, lui ouvrirent les portes de l’Académie des
sciences; il ne fut plus dès lors question de médecine.
Trois ans après son entrée à l’Académie, d’Alembert publiait le célèbre
_Traité de Mécanique_ dont le principe, entièrement nouveau, devait
renouveler et changer la science du mouvement.
_La Théorie de la précession des équinoxes_, publiée en 1749, marque
un nouveau progrès dans le talent de d’Alembert. Le phénomène de la
précession des équinoxes, signalé par Hipparque, 130 ans avant notre
ère, consiste dans le déplacement continu des points équinoxiaux où le
plan de l’équateur rencontre celui de l’écliptique. L’un de ces plans
au moins change donc avec le temps; la comparaison de chacun d’eux avec
les étoiles montre avec évidence, dans le déplacement de l’équateur et
par suite de l’axe terrestre, la cause du phénomène. La terre, Copernic
a osé l’affirmer, ne tourne donc pas toujours autour du même axe;
mais quelle peut être la cause de cette rotation si régulière et si
lente, et la signification des vingt-six mille ans nécessaires pour en
accomplir la perfection?
Cette recherche avait occupé et découragé l’imagination si hardie de
Képler, et l’honneur d’en révéler le secret était réservé à Newton.
La terre n’étant ni homogène ni parfaitement sphérique, les forces
d’attraction de la lune et du soleil qui déterminent et troublent son
mouvement elliptique ne passant pas rigoureusement par son centre, il
en résulte qu’en la déplaçant dans l’espace, elles tendent en même
temps à lui imprimer un mouvement de rotation qui, se combinant avec
celui qu’elle possède déjà, altère incessamment la direction de l’axe
autour duquel elle tourne. Pour calculer avec précision les lois d’un
tel phénomène, il fallait créer la théorie du mouvement d’un corps
solide sollicité par des forces connues; cette théorie manquait à
Newton, et les considérations par lesquelles il tente d’y suppléer sont
sans rigueur comme sans exactitude. D’Alembert vit dans ce nouveau
problème une belle application de son principe de dynamique, et après
avoir fait connaître la méthode exacte relative au cas général, en
déduisit habilement non-seulement les lois de la précession, mais
celles de la nutation, récemment révélées par les observations de
Bradley.
En 1747, d’Alembert avait présenté à l’Académie des sciences de Paris
un mémoire sur le problème des trois corps dont l’apparition marque
pour la mécanique céleste le commencement d’une période nouvelle
de découvertes et de progrès. La théorie de la gravitation, qui
depuis la publication du livre des _Principes_ n’avait subi aucun
perfectionnement sérieux, était reprise pour la première fois après
cinquante ans, à l’aide de méthodes nouvelles et plus puissantes. Par
une coïncidence singulière, Clairaut, dans la même séance, présentait
un mémoire sur le même sujet, dont Euler, alors à Berlin, s’occupait
activement, sans en avoir toutefois rien communiqué au public.
En réalité, l’illustre auteur du livre des _Principes_ n’avait fait,
suivant d’Alembert, qu’ébaucher les premiers traits de la matière.
Quelque lumière qu’il ait portée dans l’ordre de l’univers, il n’a
pu manquer, ajoute-t-il, de sentir qu’il laisserait beaucoup à faire
à ceux qui le suivraient, et c’est le sort des pensées des grands
hommes d’être fécondes non-seulement dans leurs mains, mais dans
celles des autres. L’analyse mathématique a heureusement acquis depuis
Newton,—c’est toujours d’Alembert qui parle,—différents degrés
d’accroissement; elle est devenue d’un usage plus étendu et plus
commode, et nous met en état de perfectionner l’ouvrage commencé par ce
grand philosophe. Il suffit à sa gloire que plus d’un demi-siècle se
soit écoulé sans qu’on ait presque rien ajouté à sa théorie de la lune,
et il y a peut-être plus loin du point d’où il est parti à celui où il
est parvenu, que du point où il est resté à celui auquel nous pouvons
maintenant atteindre.
D’Alembert, âgé de trente-deux ans et membre des Académies de Paris et
de Berlin, ne s’était fait connaître que comme géomètre; il trouvait
sous le toit de celle qui lui servait de mère toute la tranquillité
nécessaire à ses profondes recherches. Le monde, je veux dire les
sociétés brillantes dans lesquelles d’Alembert devait être bientôt
recherché et admiré, était alors pour lui sans attrait; il ne le
connaissait ni ne le désirait. Quelques amis dévoués, dont plusieurs
devinrent illustres, formaient sa société habituelle, et le profond
géomètre était cité comme le plus gai, le plus plaisant et le plus
aimable de tous. L’un d’eux, Diderot, exerça sur d’Alembert une
grande influence, et leurs noms, attachés à une œuvre célèbre et
grandiose, sont pour bien des gens devenus inséparables. Le discours
préliminaire de l’_Encyclopédie_, écrit en entier par d’Alembert,
contient, dit-il, la quintessence des connaissances mathématiques,
philosophiques et littéraires, acquises par vingt années d’études. Il
fut reçu avec applaudissement et considéré comme une œuvre de premier
ordre. L’admiration de Voltaire et de Montesquieu, les louanges sans
restriction du roi Frédéric, celles enfin de Condorcet, ne permettent
pas de traiter légèrement cette célèbre préface, aujourd’hui bien
oubliée. La classification des connaissances humaines par laquelle
il débute est cependant incomplète et arbitraire, et la manière plus
ingénieuse que naturelle dont il croit les faire naître les unes
des autres semble singulièrement choisie comme introduction à un
dictionnaire, où l’ordre alphabétique seul règle la succession des
articles.
D’Alembert, peu de temps après, fut nommé membre de l’Académie
française. Vers la même époque, la réputation croissante du philosophe
géomètre décida celle qui l’avait abandonné lors de sa naissance à
réclamer les droits dont elle était devenue fière. M^{me} de Tencin lui
fit savoir qu’elle était sa mère; mais d’Alembert, la repoussant à son
tour, n’en voulut jamais reconnaître d’autre que la pauvre vitrière,
dont il resta jusqu’au dernier jour le fils affectueux et dévoué.
Malgré ses occupations littéraires, d’Alembert ne cessa jamais
d’accorder une grande place dans ses travaux à la haute géométrie.
Également attiré par la recherche des vérités utiles et par le plaisir
de vaincre les difficultés de la science, il publia, de 1761 à 1782,
huit volumes d’opuscules mathématiques, contenant de nombreux mémoires
relatifs aux sujets les plus élevés et les plus difficiles de la
mécanique céleste, de l’analyse pure et de la physique. La division
des forces de d’Alembert ne semble pas les avoir affaiblies, et ces
écrits suffiraient pour placer l’auteur au nombre des grands géomètres.
Il serait malaisé d’en faire ici le dénombrement. Parmi les questions
traitées par d’Alembert, nous en citerons une seulement sur laquelle il
est revenu à plusieurs reprises, après en avoir fait le sujet de l’une
de ces lectures écoutées avec tant d’empressement par les gens du monde.
Malgré les travaux de Pascal, d’Huyghens et de Jacques Bernoulli,
d’Alembert refuse d’accepter leurs principes sur la théorie des
chances, et de voir dans le calcul des probabilités une branche
légitime des mathématiques. Le problème qui fut le point de
départ de ses doutes et l’occasion de ses critiques est resté
célèbre dans l’histoire de la science sous le nom de «problème de
Saint-Pétersbourg.» On suppose qu’un joueur, Pierre, jette une pièce
en l’air autant de fois qu’il faut pour amener face. Le jeu s’arrête
alors, et il paye à son adversaire, Paul, un franc s’il a suffi de
jeter la pièce une fois, deux francs s’il a fallu la jeter deux fois,
quatre francs s’il y a eu trois coups, puis huit francs, et ainsi
de suite en doublant la somme chaque fois que l’arrivée de face est
retardée d’un coup. On demande combien Paul doit payer équitablement en
échange d’un tel engagement?
Le calcul fait par Daniel Bernoulli, qui avait proposé le problème, et
conforme aux principes admis par tous les géomètres, à l’exception du
seul d’Alembert, exige que l’enjeu de Paul soit infini. Quelque somme
qu’il paye à Pierre avant de commencer le jeu, l’avantage sera de son
côté; tel est dans ce cas le sens du mot infini. Ce résultat, quoique
très-véritable, semble étrange et difficile à concilier avec les
indications du bon sens, d’après lesquelles aucun homme raisonnable ne
voudrait risquer à un tel jeu une somme un peu forte, 1,000 francs par
exemple.
L’esprit de d’Alembert, embarrassé dans ce paradoxe, ne craignit pas
de condamner les principes, indubitables pourtant, qui y conduisent,
en proposant, pour en nier la rigueur et en contester l’évidence, les
raisonnements les moins fondés et les plus singulières objections. Il
refuse, par exemple, aux géomètres le droit d’assimiler dans leurs
déductions cent épreuves faites successivement avec la même pièce à
cent autres faites simultanément avec cent pièces différentes. «Les
chances, dit-il, ne sont pas les mêmes dans les deux cas,» et la
raison qu’il en donne est fondée sur un singulier sophisme: «Il est
très-possible, dit-il, et même facile de produire le même événement en
un seul coup autant de fois qu’on le voudra, et il est au contraire
très-difficile de le produire en plusieurs coups successifs, et
peut-être impossible, si le nombre des coups est très-grand.»—«Si
j’ai, ajoute d’Alembert, deux cents pièces dans la main, et que je les
jette en l’air à la fois, il est certain que l’un des coups croix ou
pile se trouvera au moins cent fois dans les pièces jetées, au lieu
que si l’on jetait une pièce successivement en l’air cent fois, on
jouerait peut-être toute l’éternité avant de produire croix ou pile
cent fois de suite.» Est-il nécessaire de faire remarquer que les deux
cas assimilés sont entièrement distincts, et que jeter deux cents
pièces en l’air pour choisir celles qui tournent la même face, c’est
absolument comme si l’on jetait en l’air une pièce deux cents fois de
suite, en choisissant après, pour les compter seules, les épreuves qui
ont fourni le résultat désiré? Dans cette discussion, qui d’ailleurs
n’occupe qu’une bien faible place parmi ses opuscules, d’Alembert se
trompe complétement et sur tous les points. Son esprit, toujours prêt
à s’arrêter, en déclarant impénétrable tout ce qui lui semble obscur,
était plus qu’un autre exposé au péril de condamner légèrement les
raisonnements si glissants et si fins du calcul des chances.
Quant au paradoxe du problème de Saint-Pétersbourg, il disparaît
entièrement lorsqu’on interprète exactement le sens du résultat fourni
par le calcul: une convention équitable n’est pas une convention
indifférente pour les parties; cette distinction éclaircit tout. Un
jeu peut être à la fois très-juste et très-déraisonnable pour les
joueurs. Supposons, pour mettre cette vérité dans tout son jour, que
l’on propose à mille personnes possédant chacune un million de former
en commun un capital d’un milliard, qui sera abandonné à l’une d’elles
désignée par le sort, toutes les autres restant ruinées. Le jeu sera
équitable, et pourtant aucun homme sensé n’y voudra prendre part.
En termes plus simples et plus évidents encore, le jeu, lors même
qu’il n’est pas inique, devient imprudent et insensé pour le joueur
dont la mise est trop considérable. Le problème de Saint-Pétersbourg
offre, sous l’apparence d’un jeu très-modéré, dans lequel on doit
vraisemblablement payer quelques francs seulement, des conventions
qui peuvent, dans des cas qui n’ont rien d’impossible, forcer l’un des
joueurs à payer une somme immense, et la répugnance instinctive qu’un
homme de bon sens éprouve à admettre les conditions fournies par le
calcul n’est autre chose au fond que la crainte très-fondée d’exposer à
un jeu de hasard, même équitable, une somme de grande importance avec
la presque certitude de la perdre.
Honnête homme et homme de bien, d’Alembert fut aimé et estimé de tous
ceux qui l’ont connu. Ses contemporains ont exalté à l’envi sa bonté
et sa générosité, toujours prête, sans ostentation de vertu. Admiré
et vanté, jeune encore, par les juges les plus illustres, il n’excita
l’envie de personne. Il s’exerça dans les genres les plus divers,
et, sans avoir produit dans tous d’immortels chefs-d’œuvre, il fut
placé par l’opinion au premier rang des savants, des littérateurs et
des philosophes. Sans fortune, sans dignités, malgré le malheur de
sa naissance et l’humble simplicité de sa vie, il fut grand entre
ses contemporains par l’étendue de son influence. L’élévation de son
caractère égala celle de son esprit. Dans son commerce familier et
intime avec les plus grands personnages de son siècle, il sut conserver
sans froideur toute la dignité de ses manières et obtenir sans l’exiger
autant de déférence au moins qu’il en accordait; mais quoique sensible
à la gloire et aux satisfactions de l’amour-propre, il ne cessa jamais,
au milieu de ses succès, si nombreux et si constants, de chercher en
vain le bonheur, qu’il n’entrevit qu’un instant; celui d’une affection
profonde, dévouée, exclusive, et pour tout dire enfin, égale à celle
dont il se sentait capable.