2. Muist. Jos jonkun raidon eli pystyrivan (columna) laskimet
yhteensä tekevät kahdella laskimella kirjoitettavan luvun, niin
pannaan ainoastansa jälkimmäinen suorastansa viivan alle, mutta
edellinen pidetään muistossa siksikun se edellisen raidon laskinten
kanssa luotetaan, paitsi kaikkein perimmäisessä raidossa, jossa
molemmat suorastansa viivan alle kirjoitetaan. Sama laki on, jos
tulisi kolmilaskimellinen luku. Jälkimmäinen ainoastansa pistetään
viivan alle summaan, edelliset luotetaan edelliseen raitoon, esimerk.
7899
976
84585
32150
Summa 125610
Sano: 5 ja 6 on 11, sihen 9 on 20; 0 alle 2 muistoon -- 5 ja 8 on
13, siihen 7 on 20, sihen 9 on 29, sihen 2 muistosta on 31; 1 alle,
3 muistoon -- 1 ja 5 on 6, sihen 9 on 15, sihen 8 on 23, sihen 3
muistosta on 26; 6 alle, 2 muistoon -- 2 ja 4 on 6, sihen 7 on 13,
sihen 2 muistosta on 15; 5 alle, 1 muistoon -- 3 ja 8 on 11, sihen 1
muistosta on 12; molemmat suorastansa alle.
3. Muist. Jälkimmäisestä esimerkistä on seki nähtävä, kuinka
eripituisia luotoslukuja asetetaan luotettavaksi, nimittäin viimeiset
eli loppulaskimet tasan toisensa alle, samate edellisetki niin kauas,
kun niitä kestää. Kun loppuraidon laskimet yhteensä tekevät tasalleen
20, niin kirjoitettaan ainoastansa 0 alle ja niin tehdään ainaki
tyhjykällä päätyvissä, esimerk.
3097
5980
94870
5993
80
Summa 110020
Sano: 3 ja 7 on 10 0 alle, 1 muistoon -- 8 ja 9 on 17, sihen 7 on
24, sihen 8 on 32 sihen 9 on 41, sihen 1 muistosta on 42; 2 alle, 4
muistoon -- 9 ja 8 on 17, sihen 9 on 26, sihen 4 muistosta on 30; 0
alle, 3 muistoon -- 5 ja 4 on 9, sihen 5 on 14, sihen 3 on 17, sihen
3 muistosta on 20; 0 alle, 2 muistoon 9 ja 2 muistosta on 11, 11 alle.
4. Muist. Tarkemmaksi visseydeksi siitä, että on luotos tullut oikein
lasketuksi, taitaan, sitte kun raidot esinnä ovat alapäästä ruveten
luotetut ja sillä summa saatu, niitä toistamiseen, yläpäästä ruveten
luottaa. Jos niinki saadaan yksi summa, niin on melkein vissi, ettei
ole erehdytty, esimerk.
3097
5980
94870
5993
80
Summa 110020
Sano: 7 ja 3 on 10; 0 alle, 1 muistoon -- 9 ja 8 on 17, sihen 7 on
24, sihen 9 on 33, sihen 8 on 41, sihen 1 muistosta on 42; 2 alle, 4
muistoon -- 9 ja 8 on 17, sihen 9 on 26, sihen 4 muistosta on 30; 0
alle, 3 muistoon -- 3 ja 5 on 8, sihen 4 on 12, sihen 5 on 17, sihen
3 muistosta on 20; 0 alle, 2 muistoon 9 ja 2 muistosta on 11; 11 alle.
Wielä parempi visseys eli _todistaja_ saadaan, jos seuraavan
ottolaskun avulla yksi luotosluku pois otetaan summasta. Sen, mikä
jääpi, pitää sitte olla yhtäsuuren, kun se toinen luotosluku eli
kaikki toiset yhtehensä, jos niitä on usiampia. Sillä 3+5=8 ja 8-5=3,
8-3=5, s.o. koska 3 ja 5 on 8, niin jääpi, jos otetaan 5 8:sasta 3
jäljelle ja jos otetaan 3 8:sasta 5 jälille. -- Kaksosviivat = ovat
aina yhtäsuuruuden merkkinä.
Nyt seuraa muutamia esimerkkejä luoton tarpeellisuudesta, joista
vasta-alkaja paremmaksi harjaantumiseksensa kokekoon selvän saada.
1) Antin on saamista Eskolta 175 ruplaa, Heikiltä 1550, Laurilta
84, Matilta 345, niin laskepa paljoko nämät saamiset yhtenä summana
tekemät. -- Wastaus: 2154 ruplaa.
2) Wiisi osallista ovat yhteisen laivan teettäneet. Sihen menetti
yksi 2405 riksiä, toinen 3050, kolmas 900, neljäs 1790, viides 775;
paljoko maksaa koko laiva? -- W. 8920 riksiä.
3) Suota ojittaessa meni 75 päivätyötä, kuokkiessa 120, polttaessa 8,
aidatessa 102, kyntäessä 9; montako päivätyötä kaikkinansa? -- W. 314.
4) Rikas mies testamenttasi sisarellensa 49500 ruplaa, sisarensa
pojalle 12000, veljellensä 19050, kahdelle veljensä pojalle,
kummallenki 5000, uudeksi koulunrakennukseksi 4500, vaivaisille 350,
kolmelle trengillensä, kullenki 75, kolmelle piiallensa, kullenki 45;
paljoko tekee kaikki tämä yhteensä? W. 95760.
5) Huoneen rakennuksessa makso hirret 340 ruplaa, perustus 112,
salvos 106, sisällys 283, muurit 175, maalaus 89; paljoko maksaa koko
semmoinen huone? W. 1105 ruplaa.
6) Kuningas luki armeiansa sodasta palaten ja sitä oli 435907
jalkamiestä, 68840 hevosniekkaa, 29088 laivamiestä ja siukkoja 750;
paljoko oli vielä sotaväkeä elossa? -- W. 534585 henkeä.
* * * * *
Otosta yksimääräisissä.
Otossa on kolme lukua, _vähettävä_ (minuendus), josta jotain otetaan,
_otettava_ (subtrahendus), se joka siitä otetaan, _jääpä_, (rest)
se joka ylijääpi. Näistä kirjoitetaan esinnä _vähettävä_, sen alle
_otettava_, niiden alle vedetään viiva ja viivan alle kirjoitetaan
_jääpä_. Samate kun luotossaki asetetaan ottolaskussa vähettävän ja
otettavan laskimet loppupäästä pitäen kohdalleen toinen toistensa
alle niin kauas, kun niitä kestää. Jos esimerkiksi jollain olisi
648 tynnyriä eloa ja siitä pitäis pois annettaman 324 tynn., niin
kysytään paljoko hänelle itselle jääpi. Tässä esimerkissä on 648
vähettävä, 324 otettava, vaan jääpä on haettava. Tämä löytään sillä
tavalla, että edellä annetun neuon jälkeen vähettävä 648 ja otettava
324 kirjoitetaan alatusten, vedetään viiva ja ruvetaan jääpää
hakemaan, niinkun seuraavasta esimerkistä on nähtävä.
vähettävä 648
otettava 324
jääpä 324
Sano: 4 pois 8:sasta jääpi 4; 2 pois 4:stä jääpi 2; 3 pois 6:sta
jääpi 3. Nämät jääneet 4, 2, 3 kirjoitetaan suorastaan viivan alle
niiden laskinten kohdalle, joista saatiin. Sillä tavalla saadaan
jääpä 324.
1. Muistutus. Syy sihen, että loppulaskimet ja sen edelliset niin
kauas, kun niitä kestää, sekä luotossa että otossa, asetetaan
kohdalleen toinen toistensa alle, on se, että ainoastaan sillä
tavalla yksikät tulevat yksikkäin, kymmenet kymmenien, sadat
satojen, tuhannet tuhanten jne alle. Sillä, niinkun siitä jo ennen
on mainittu, merkitsee itsekunki luvun loppulaskin yksiköitä, sen
edellinen kymmeniä, kolmas lopusta pitäen satoja, neljäs tuhansia,
viides kymmeniä tuhansia jne.
2. Muist. Jos otettavassa luvussa joku laskin on suurempi, kun sen
kohdallinen laskin vähettävässä, niin on mahdoton asia sitä siitä
ottaa, koska ei mistään taita enempätä ottaa, kun siinä itsessä
löytyy. Sentähden täytyy sihen lainata 1 edellisestä laskimesta, joka
1 tähän siaan muutettuna tekee 10, koska itsekunki edellisen sian
laskimilla on kymmenen kertaa suurempi arvo, kun laskimilla kohta
jälkeen seuraamassa siassa. Jos esimerk. 4236:sta riksistä otetaan
467 riksiä, niin toimitetaan lasku tällä tavalla:
vähettävä 4236
otettava 467
jääpä 3769
Sano: 7 pois 6:sta on mahdoton. Sentähden lainaa edellisestä
laskimesta 1 ja merkitse samassa, että se nyt on yhtä pienempi. Tämä
1 tekee jälkeisessä siassa 10 ja kun siinä ennestään oli 6, niin on
siinä nyt lainan kanssa yhteensä 16, josta kun otat 7, jääpi 9 viivan
alle pantavaksi. Sano sitte 6 pois 2:sta (ei 3:sta, koska siitä on
1 lainattu), on mahdoton, sentähden lainaa edellisestä laskimesta 1
s.o. 10 ja sano 6 pois 12:sta jääpi 6; pane 6 viivan alle. Sitte: 4
pois 1:stä (ei 2:sta) on mahdoton. Sentähden lainaa sihenki 1 s.o. 10
edellisestä ja sano 4 pois 11:sta jääpi 7, joka 7 taas pannaan viivan
alle. Ensimmäinen laskin vähettävässä tulisi nyt sillänsä viivan alle
muutettavaksi, koska otettavassa ei ole yhtään laskinta sen alla,
vaan kun samasta laskimesta 4 oli 1 pois lainattu, niin käypi se
nyt 3:na ja muutetaan niin viivan alle. Jos olisi vielä usiampataki
laskinta vähettävässä, niin muutettaisi neki viivan alle.
3. Muist. Kullaki kerralla, kun jostaan edellisestä laskimesta 1
lainataan jälkeiseen, pitää laina merkittämän muistoksi, että sama
edellinen laskin, kun sihen tullaan, on yhtä pienempi. Merkitseminen
tehdään näin:
vähetää 3245
otettava 1338
jääpä 1907
Sano: 8 pois 15:sta jääpi 7 viivan alle; 3 pois 3:sta jääpi 0;
3 pois 12 jääpi 9; 1 pois 2:sta jääpi 1. Syy sihen, minkätähden
sanottin 15:sta 3:sta, 12:sta, 2:sta, eikä 5:sta 4:stä, 2:sta, 3:sta,
kun laskimet muuten ovat vähettävässä luvussa, on nähtävä 2:sta
muistutuksesta.
4. Muist. Jos vähettävässä löytyy joku tyhjykkä (0) ja siitä tulisi
joku muu laskin otettavaksi, niin arvattavasti pitää sihenki 1
edellisestä laskimesta lainattaman, jonka kautta se tulee 10:ksi,
esimerk.
vähettävä 306
otettava 234
jääpä 72.
Sano: 4 pois 6:sta jääpi 2; 3 pois 10:stä jääpi 7.
5. Muist. Koska jostain tyhjäykästä tulisi jälkeiseen laskimeen 1
lainattavaksi, niin pitää esinnä sihen itseen 1 sen edellisestä
laskimesta lainattaman, niin että tulee 10:ksi, josta sitte taitaan
laina antaa. Jos tyhjyköitä taas on usiampia perätysten, niin
lainataan sihen ensimmäiseen niistä vieressä olevasta arvollisesta
laskimesta, siitä sitte toiseen, siitä kolmanteen jne viimeiseen
asti. Niin tulevat tyhjykät merkityksi ja semmoisina tekevät ne 10-1
s.o. 9. Se on siitäki nähtävä, että niin tapahtuu, jos esimerk. otat
1:den pois 1000:sta ja sanot 1 pois O:stä on mahdoton, jonkatähden
lainaat sihen edellisestä laskimesta. Waan kun seki ja vielä senki
edellinen on 0, niin lainaat sihen ensimmäiseen 1:den ja merkitset
1'000, siitä sitte toiseen 0:kään 1'0'00, siitä kolmanteen ja
merkitset 10'0'0, taikka
vähettävä 1000
otettava 1
jääpä 999
Sano: 1 pois 10:sta, jääpi 9; 0 (10-1) s.o. 9 muutetaan sillänsä
viivan alle niin monta kun niitä on, koska niistä tässä esimerkissä
ei ole mitään otettavaa. Niin ovat ne kaikkia 9:ksiä ja ensimmäinen
laskin 1 on jo kokonansa lainan kautta seuraavaan 0:kään kadonnut.
6. muist. Todistaja ottolaskussa saadaan sillä, että jääpä ja
otettava luotetaan yhteen. Summan niistä pitää tuleman yhtäsuureksi
koko vähettävän kanssa, sillä 8-5=3 ja 5+3=8, taikka
Todistaja.
vähettävä 312 luotettavat | 178
otettava 134 | 134
jääpä 178 Summa 312
Esimerkkejä.
1) Porvari makso voista 2540 riksiä ja sai siitä 3020; paljoko tuli
voittoa? -- Wastaus 480 riksiä.
2) Antti möi talonsa 2850 ruplaan ja oli maksanut siitä 3750; paljoko
kadotti? -- W. 900 ruplaa.
3) Ensimmäinen Kristinusko luetaan tulleeksi v. 1156 Suomeen ja nyt
on vuosi 1839; montako vuotta on siis siitä ajasta kulunut? -- W. 683
vuotta.
4) Laivassa oli eloa 5000 tynnyriä, haaksirikon jälkeen korjattiin
siitä 3760; paljoko oli mennyt hukkaan? -- W. 1240 tynn.
5) Sotamiehiä oli mennessä 32500 henkeä, palatessa ei kun 11678;
montako oli heistä sotaan jäänyt? -- W. 20822 henkeä.
6) Wanhako on nyt v. 1839 se mies, joka syntyi v. 1745? -- W. 94
vuotta.