los elementos; y al querer percibir la relacion de estos, se ve
precisada á echar mano de la unidad de forma.
[32.] La coexistencia en el tiempo es una relacion que por sí sola, no
da ni quita nada á los objetos. Estos tienen su existencia independiente
de dicha relacion: para que coexistan es necesario que existan. La
relacion solo significa algo perceptible por el entendimiento, en cuanto
se presenta á este bajo la unidad: que en tal caso es unidad de tiempo,
así como en el anterior, era unidad de espacio.
[33.] La asociacion de actividades tampoco significa nada concebible,
sino en cuanto expresa la convergencia de las fuerzas hácia un mismo
objeto. Si faltase la unidad del punto de direccion, la reunion no
espresaria nada; y la inteligencia tendria por objeto las actividades
dispersas sin ninguna relacion.
[34.] Queda pues demostrado que la unidad es una ley de nuestro
entendimiento, fundada en la misma naturaleza de las cosas. El ser
absoluto no se encuentra en lo compuesto sino en lo simple; y el ser
relativo no es ni siquiera concebible, sino en cuanto está sometido á la
unidad.
[35.] El otro orígen de la tendencia de nuestro espíritu hácia la
unidad, le encontramos en la naturaleza del mismo. Él en sí, es uno,
simple, y por consiguiente procura asimilárselo todo en esa unidad y
simplicidad. Bajo la variedad inmensa de los fenómenos sensibles,
intelectuales y morales, que experimenta sin cesar, se siente uno en
medio de la multiplicidad, permanente al través de la sucesion. La
identidad del _yo_ le está atestiguada por el sentido íntimo con una
certeza irresistible. Esa unidad, esa identidad, es tan cierta, tan
evidente para el niño que comienza á sentir dolor ó placer, y que está
seguro de que es él mismo quien experimenta ambas impresiones, como para
el filósofo que ha invertido largos años en investigaciones profundas
sobre la idea del _yo_ y la unidad de la conciencia.
La unidad y simplicidad que experimentamos en nosotros, nos obligan á
reducir lo compuesto á lo simple, y lo múltiplo á lo uno. La percepcion
de las cosas mas compuestas se refiere á una conciencia esencialmente
una: aun cuando percibiésemos con un solo acto toda la complicacion que
hay en el universo, este acto seria simplicísimo, pues que nó de otro
modo podria el _yo_ decir: _yo percibo_.
[36.] Existen pues dos razones para que nuestro espíritu busque en todo
la unidad. La inteligibilidad de los objetos no existe sino en cuanto
están sometidos á una cierta unidad perceptible, á una forma bajo la
cual lo múltiplo se haga uno y lo compuesto simple. El objeto del
entendimiento es el ser; y el ser está en lo simple. Lo compuesto
envuelve un conjunto de elementos simples, con la relacion que se llama
_union_: pero esta no forma objeto perceptible, sino en cuanto se
presenta bajo cierta unidad.
La inteligencia es inconcebible en el sujeto, sin la indivisible unidad
de la conciencia. Todo ser inteligente necesita este vínculo que une la
variedad de los fenómenos, de que es sujeto: si llegase á faltar dicha
unidad, estos fenómenos serian un conjunto informe, sin ninguna relacion
entre sí; serian actos intelectuales sin un ser inteligente.
La tendencia á la unidad nace de la perfeccion de nuestro espíritu, y es
en sí misma una perfeccion: pero es necesario guardarse de extraviarla,
buscando una unidad real, donde solo podemos encontrarla facticia. De
esta exageracion dimana un error funesto, el error de nuestra época, el
panteismo. La unidad está en nuestro espíritu; está en la esencia
infinita, causa de todos los seres finitos; pero no está en el conjunto
de estos seres, que aunque unidos por muchos lazos, no dejan de ser
distintos. En el mundo hay unidad de órden, unidad de armonía, unidad de
orígen, unidad de fin; pero no hay unidad absoluta. En la unidad
armónica entra tambien el número, el cual es incompatible con esa unidad
absoluta, que combaten á un mismo tiempo la experiencia y la razon.
CAPÍTULO V.
GENERACION DE LA IDEA DEL NÚMERO.
[37.] La unidad es el primer elemento del número, mas por sí sola no
constituye el número: este no es la unidad, sino la coleccion de
unidades.
[38.] El dos, ya es número. ¿Qué es la idea del dos? Salta á la vista
que esta idea no se confunde con su signo: los signos son muchos y muy
diferentes; ella es una, y siempre la misma.
[39.] A primera vista parece que la idea del dos es independiente del
modo de su generacion; y que siendo única se puede formar por adicion ó
sustraccion; sumando uno con uno; ó restando uno de tres. 1+1=2; 3-1=2.
Pero reflexionando sobre estas dos expresiones se descubre que la
segunda es imposible sin la primera. No sabríamos que 3-1=2, si no
supiéramos que el dos entra en la composicion del tres, y de qué modo;
nada de esto puede sernos conocido, si no tenemos de antemano idea del
dos. La idea de suma es pues esencial á la idea del dos: y esta no es
mas que la percepcion de dicha suma.
[40.] La idea del dos no es sensacion, pues que se extiende á lo
sensible como á lo insensible, á lo simultáneo como á lo sucesivo. Su
objeto es compuesto; ella en sí, es simple.
[41.] Como en el dos la coleccion es de pocos objetos, la imaginacion
puede representarse lo que el entendimiento percibe; así la idea nos
parece mas clara, porque tiene delante una representacion, en que puede
sensibilizarse. La idea de adicion hecha _in facto_, es decir la de
suma, entra en la idea del dos; mas nó la adicion _in fieri_. Tenemos de
este número una idea clarísima, sin pensar en uno mas uno,
sucesivamente.
[42.] La idea del dos se refiere así á lo simultáneo como á lo sucesivo;
pero nuestro espíritu no la descubre en las cosas hasta que se ha puesto
la última. Esta percepcion tiene por objeto la relacion de las cosas
reunidas; el entendimiento las percibe como tales, y solo entonces tiene
idea del dos.
[43.] La percepcion sucesiva, ó simultánea de dos objetos, si no está
acompañada de relacion, no es idea del dos. En esto se funda lo que
suele decirse de que un hombre y un caballo no hacen dos, sino uno y
uno: porque entonces se presentan al entendimiento el hombre y el
caballo, nó por lo que se parecen, sino por lo que se diferencian; y
solo forman número cuando se ofrecen al espíritu bajo una idea comun.
Así, prescindiendo de su diferencia, y considerados solo como animales,
ó seres corpóreos, ó seres, ó cosas, forman dos.
[44.] No hay pues número cuando entre los objetos no hay semejanza, ó no
están comprendidos de algun modo bajo una idea comun. El número por
excelencia es el abstracto; porque prescindiendo de lo que distingue las
cosas numeradas, las considera únicamente como seres, y por tanto como
semejantes, como contenidas bajo la idea general de ser. Los números
concretos, no son números, sino cuando participan de esta propiedad.
_Dos_, que puede aplicarse á un caballo y un caballo, no es aplicable á
un caballo y un hombre; pero lo es, si no pensando en la diferencia de
racional é irracional, los confundo en la idea de animal. El número
concreto necesita una denominacion comun; de lo contrario no es número.
[45.] En la idea del dos, entra la de distincion; es decir la de que un
objeto no sea otro: por manera que envuelve por necesidad una afirmacion
y una negacion. Afirmacion de la existencia, real, ó posible, ó
imaginada, de los objetos contados; negacion del uno con respecto al
otro. La afirmacion, sin distincion, sin negacion, envuelve la
identidad. Las dos ideas de identidad y de distincion entran en la del
dos, y de todo número. Identidad de cada extremo para consigo;
distincion de ellos entre sí. La identidad en la cosa es la cosa misma;
la identidad en la idea es la simple percepcion de la cosa. La
distincion en la cosa es la negacion con respecto á otra; la distincion
en la idea, es la percepcion de la negacion. Cuando percibimos una cosa
siempre la percibimos idéntica: y por tanto la idea de unidad está
contenida en toda percepcion. Cuando percibimos una cosa, no siempre
atendemos á su negacion con respecto á otra, y por tanto no siempre
percibimos el número. La idea de este nace al hacer la comparacion;
cuando vemos un objeto que no es otro.
[46.] En la idea del dos entran las siguientes: ser, distincion,
semejanza. Ser, porque la nada no se cuenta. Distincion, ó negacion de
que uno sea otro; porque lo idéntico no forma número. Semejanza; porque
solo se numeran las cosas, en cuanto se prescinde de su diferencia. El
ser es la base de la percepcion. La distincion es la base de la
comparacion. La semejanza es la base de la reunion. La percepcion
comienza por la unidad, sigue por la distincion, y acaba por la
semejanza, que es una especie de unidad. La percepcion de esta semejanza
hace reunir lo distinto. La reunion no siempre está en las cosas, basta
que se halle en la idea que las comprende. Los polos del mundo son dos,
y no están reunidos. Para la percepcion del número dos, no basta
percibir simplemente los objetos, es necesario poder compararlos y en
seguida reunirlos en una idea comun. Luego esta percepcion exige
comparacion y abstraccion, y hé aquí por qué los animales son incapaces
de contar. Ellos no comparan ni generalizan.
[47.] El análisis de la idea del dos, es el análisis de todos los
números; la diferencia no está en su naturaleza, sino en el mas y en el
menos. Está en la repeticion de las mismas percepciones.
[48.] Aquí se ofrece una cuestion: ¿el número se halla en las cosas ó
solo en el espíritu? Está en las cosas como en su fundamento, porque en
las cosas están la distincion, y la semejanza; es decir el no ser la una
la otra, y el tener ambas una cosa comun. Está en el espíritu, que
percibe este ser y no ser.
[49.] Percibida la distincion y la reunion de dos objetos, podemos
percibir todavía un objeto, que no sea ninguno de ellos, y que pueda ser
contenido con ellos en una idea general. Esta es la percepcion ó la idea
del tres. Imagínense todos los números que se quiera, y no se encontrará
en ellos otra cosa, que percepcion simultánea de objetos, de distincion
de objetos, de semejanza de objetos. Cuando estos se determinan, el
número es concreto; cuando se comprenden en la idea general de ser, de
cosa, el número es abstracto.
[50.] La limitacion de nuestro espíritu hace que ni pueda comparar
muchos objetos á un tiempo, ni recordar fácilmente las comparaciones que
haya hecho. Para auxiliar la percepcion de estas relaciones, y la
memoria, empleamos los signos. En pasando de tres ó cuatro, ya falta la
fuerza para una percepcion simultánea; entonces dividimos el objeto en
grupos que nos sirven de nuevas unidades, y estos grupos los expresamos
por signos. En el sistema decimal se ve claro que el grupo general es el
diez; pero antes de llegar á él ya hemos formado otros subalternos, pues
para contar el diez no decimos uno mas uno, mas uno etc. etc.; sino uno
mas uno, dos. Dos mas uno, tres. Tres mas uno, cuatro etc. etc. En lo
que se ve que á medida que añadimos una unidad, formamos un nuevo
grupo, que á su vez nos sirve para formar otro. Con el dos formamos el
tres; con el tres el cuatro y así sucesivamente. Esto da una idea de la
relacion de los números con sus signos; pero la importancia de la
materia exige ulteriores explicaciones, que daré en los capítulos
siguientes.
CAPÍTULO VI.
VINCULACION DE LAS IDEAS DE LOS NÚMEROS CON LOS SIGNOS.
[51.] La vinculacion de las ideas é impresiones en un signo, es uno de
los fenómenos intelectuales mas curiosos; y al propio tiempo, uno de los
mejores auxiliares de nuestro espíritu. Sin esta vinculacion, apenas
podríamos pensar en objetos algo complexos: y sobre todo, la memoria
seria sumamente limitada (V. lib. IV. cap. XXVIII y XXIX).
[52.] Condillac, que ha hecho excelentes observaciones sobre esta
materia, las aplica de una manera especial á los números, haciendo notar
que sin signos no podríamos contar sino un número muy corto, que segun
él, no pasaria de tres ó cuatro. En efecto: supóngase que no tenemos
mas signo que el de la unidad; podemos contar fácilmente el dos,
diciendo uno y uno. Como no hay mas que dos ideas, nos es fácil
asegurarnos de que hemos repetido dos veces el uno. Pero si hemos de
contar, hasta tres, diciendo uno y uno y uno, ya no es tan fácil
asegurarnos de la exactitud de la repeticion; pero todavía no es
difícil. Ya lo es algun tanto con el cuatro; y es poco menos que
imposible en llegando por ejemplo á diez. Hágase un esfuerzo por
prescindir de los signos, y se verá que no es posible formarse idea de
un diez con la repeticion del uno; y que no es dable asegurarse de que
el uno se ha repetido diez veces, si no se emplea algun signo.
[53.] Suponiendo inventado el signo dos, ya las dificultades disminuyen
por mitad. Así el tres, será mucho mas fácil diciendo dos y uno, que
diciendo uno, uno y uno. El cuatro en este caso, no será mas difícil que
el dos en el primero; pues así como para el dos decíamos uno y uno, para
el cuatro diremos, dos y dos. La atencion que se habia de dividir en la
repeticion de cuatro veces uno se dividirá solo en dos. El seis que en
el primer supuesto era un número muy difícil de contar, será ahora tan
fácil como antes lo era el tres; pues repitiendo dos, dos y dos, se
tendrá seis. La atencion que antes se dividia en seis signos, se divide
ahora en solo tres. Es evidente que si se continúa inventando los
nombres, tres, cuatro y demás que expresen distintas colecciones, se irá
facilitando la numeracion hasta llegar á la sencillez de la que ahora
empleamos, llamada decimal.
[54.] Ocurre aquí una cuestion: ¿el sistema actual es el mas perfecto
posible? Si la facilidad depende de la distribucion de las colecciones
en signos, ¿cabe perfeccionar esta distribucion? Puede hablarse de
nuevos signos para designar nuevas colecciones; ó de la combinacion de
ellos. Nada hay que inventar para significar nuevas colecciones, pues
que con nuestro sistema no hay número que no podamos expresar. Para las
mismas colecciones, podrian inventarse nuevos signos; esas mismas
colecciones podrian quizás distribuirse de otra manera mas sencilla y
mas cómoda. En esto último admito la posibilidad de un adelanto, aunque
me parece difícil: en lo primero nó. En una palabra: el progreso puede
estar en expresar mejor, nó en expresar mas.
[55.] El signo vincula muchas ideas que sin él no tendrian enlace: de
aquí su necesidad en muchos casos; de aquí su utilidad en todos. Con la
palabra ciento, ó su cifra 100, yo sé muy bien que tengo la repeticion
de uno, uno, uno, hasta ciento. Si este auxilio me faltase, me seria
imposible hablar del ciento, ni calcular sobre él, ni aun formarle.
Porque si bien se observa, no llego á su formacion sino pasando por
diez, y repitiendo la coleccion diez, otras diez veces.
[56.] Mas no se crea por esto que la idea del número sea la idea del
signo: porque es evidente que la misma idea del diez corresponde á la
palabra hablada diez, á la escrita, y á la cifra 10; que son tres
signos muy diferentes. Cada lengua tiene su palabra propia para expresar
el diez, y la idea es una misma en todos los pueblos.
[57.] De esta última consideracion nace una dificultad particular; ¿en
qué consiste la idea del diez? No podemos decir que sea el recuerdo de
la repeticion de uno, uno, hasta diez veces: 1.º porque en este recuerdo
no pensamos, cuando pensamos en el diez. 2.º Porque por lo dicho (52)
nos es imposible un recuerdo claro de esta repeticion. Tampoco es la
idea del signo; porque cuando se ha inventado el signo, existia ya la
idea significada; de lo contrario la invencion no tenia objeto, y hasta
era imposible. No hay signo cuando no hay nada que significar.
La idea del número encierra mas dificultades de lo que creyó Condillac;
quien, si despues de haber analizado con sagacidad lo que facilita la
numeracion, hubiese meditado profundamente sobre la idea misma, no
habria reprendido tan fácilmente á san Agustin, á Malebranche, y á toda
la escuela platónica, por haber dicho que los números percibidos por el
entendimiento puro, eran algo muy superior á los percibidos por los
sentidos.
CAPÍTULO VII.
ANÁLISIS DE LA IDEA DEL NÚMERO, EN SÍ Y EN SUS RELACIONES CON LOS
SIGNOS.
[58.] Para concebir con toda claridad lo que es la idea del número, y
cómo se engendra en nuestro espíritu, enseñemos á contar á un sordo
mudo.
La idea de unidad, no se la podemos dar mejor que presentándole un
objeto. Veamos ahora cómo le daremos la del dos. Mostrémosle dos dedos;
despues dos naranjas; despues dos libros; y en cada una de estas
operaciones, hágase un signo cualquiera, pero siempre el mismo.
Repitiéndose esta operacion muchas veces, el sordo mudo unirá la idea de
dos á la del signo, y con la una se le excitará la otra. Para indicaros
que ha visto dos objetos cualesquiera, procurará acompañar la expresion
del objeto con el signo de dos. Lo mismo sucederá con el tres, y con el
cuatro. En llegando á números mas altos, ya el signo se hace mas
indispensable; ya la idea del número no se representa tan fácilmente, y
por tanto le será todavía mas necesario el vincularla. Lo que haremos
para dar cuenta de los números al sordo mudo; lo que hace él propio para
expresar el número que concibe, esto hacemos todos para dárnosla á
nosotros mismos.
[59.] La numeracion es una repeticion de operaciones; y el arte para
facilitarla consiste en dejar señales que nos recuerden lo que hemos
hecho. Es un laberinto muy complicado; podemos recorrerle todo con
seguridad de volver, si á medida que adelantamos, tenemos el cuidado de
marcar el camino.
La admirable sencillez del sistema decimal, unida á su inagotable
variedad, es la causa de la facilidad y fecundidad de nuestra
aritmética. El álgebra que ha dado un paso mas, que expresa los números
sin determinarlos, y que presenta los resultados de las operaciones sin
borrar la huella del camino por donde se ha llegado á ellos, es muy
superior á la aritmética, y ha hecho dar agigantados pasos al espíritu
humano. ¿Con qué medio? Solo auxiliando la memoria. De suerte, que el
mismo principio que guia al niño para decir cuatro y uno cinco; en vez
de decir uno y uno etc. etc.; el mismo que guia al mudo para que exprese
el cinco por una mano; el ciento por un grano, por un nudo etc. etc.,
guia al algebrista que expresa por una fórmula fácil de retener en la
memoria, el resultado de prolijas operaciones. Ambos alcanzan su objeto,
con solo auxiliar la memoria. Para el mudo, un grano de maíz expresará
la idea del ciento, que luego aplicará á todos las colecciones
semejantes; para el matemático algunas letras combinadas de una manera
sencilla, expresarán una propiedad de ciertas cantidades, que luego
aplicará á todas las que se hallen en el mismo caso.
[60.] La numeracion no es mas que un conjunto de fórmulas; cuanto mas
fáciles sean de trasformarse la una en la otra con una ligera
modificacion, tanto la numeracion será mas perfecta. Cuanto mejor se
conocen las relaciones de estas fórmulas, y el modo de transformarlas,
tanto mas se sabe contar. Cuanto mas fuerza intelectual hay para dirigir
simultáneamente la atencion á muchas fórmulas, comparándolas, hay mas
perfeccion aritmética, porque la simultánea comparacion de muchas hace
percibir nuevas relaciones.
[61.] ¿Qué es para mí la idea de ciento? Es la reunion de las unidades
que le componen, reunion que hice una ó mas veces, cuando me enseñaron á
contar. ¿Y cómo sé que es la misma? Porque me dieron una fórmula, la
llamaron ciento, y me la expresaron con una cifra 100; y como esta
fórmula es muy fácil de recordar, recuerdo con facilidad la idea del
ciento y todas las propiedades que se han ligado con ella, aunque haya
sido por una sola vez. Me preguntan si el ciento es mayor que noventa;
si hubiese de contar uno, mas uno, mas uno, perderia la cuenta, y jamás
llegaria á distinguir cuál es mayor; pero como sé que para llegar á la
fórmula ciento, pasamos antes por otra fórmula, noventa, y que esto era
creciendo, sé muy bien con una vez para todas, que por el ciento
expresamos el noventa y algo mas, es decir que el ciento es mayor que
el noventa. Si me preguntan cuánto es el exceso, tampoco lo buscaré por
uno, mas uno etc. etc., sino por la relacion de las dos fórmulas noventa
y diez, con las que compuse la fórmula ciento.
[62.] En la generalizacion reunimos en una idea muchas cosas semejantes.
La idea general, es una especie de fórmula. En la numeracion reunimos en
un signo, muchas cosas, que convienen en una idea general, pero este
signo representa al propio tiempo su distincion respectiva. Así la idea
general, conviene á todos los particulares como predicado: el número, no
conviene á ninguno en particular, sino á todos juntos. En la abstraccion
percibimos una propiedad comun, y prescindimos de los particulares que
nos la han suministrado; en la numeracion, percibimos la semejanza, pero
siempre con la distincion. En la abstraccion hay el resultado de la
comparacion; mas nó la comparacion. En la numeracion hay la comparacion
perenne, ó el recuerdo de ella.
[63.] La idea del número no es convencional, el ciento es siempre
ciento, con todas sus propiedades y relaciones, anteriormente á toda
convencion, y aun á toda percepcion humana. Lo que hay convencional es
el signo, nada mas. Si no existiendo ninguna criatura intelectual,
existiesen cien seres distintos entre sí, habria en la realidad el
número. En el augusto misterio de la Trinidad existe el número tres,
desde toda la eternidad, por una necesidad absoluta. Para el número,
basta la existencia de cosas distintas; pues por mas diferentes que sean
entre sí, tendrán algo comun, que podrá ser contenido en una idea
general, el ser, y por tanto reunirán las dos condiciones necesarias
para formar número.
[64.] La percepcion del ser y de la distincion, es decir del ser
substantivo y del no ser relativo, es la percepcion del número; la
ciencia de las relaciones de cada coleccion con su medida que es la
unidad, es la ciencia de los números.
FIN DEL LIBRO SEXTO.
LIBRO SÉPTIMO.
EL TIEMPO.
CAPÍTULO I.
IMPORTANCIA Y DIFICULTAD DE LA MATERIA.
[1.] La explicacion de la idea del tiempo no es una mera curiosidad, es
un objeto de la mas alta importancia. Basta para convencerse de ello el
considerar, que se interesa en la explicacion todo el edificio de los
conocimientos humanos. El principio mas fundamental, el indispensable
para que los demás se sostengan, encierra la idea del tiempo. Es
imposible que una cosa sea y no sea á _un mismo tiempo_. «Impossibile
est idem _simul_ esse, et non esse.» La imposibilidad de ser y no ser,
solo subsiste, por el _simul, á un mismo tiempo_. Luego la idea del
tiempo entra por necesidad en el mismo principio de contradiccion.
[2.] La idea del tiempo se mezcla en todas nuestras percepciones; se
extiende á muchos mas objetos que la del espacio. Con el tiempo medimos,
no solo el movimiento de los cuerpos, sino tambien las operaciones del
espíritu. Concebimos que se mide con el tiempo una serie de
pensamientos, lo mismo que una serie de movimientos corpóreos.
[3.] En la idea del tiempo entra por necesidad la de sucesion; y
recíprocamente, en la de sucesion, entra por necesidad la de tiempo.
Podemos concebir que una cosa _sucede_ á otra; pero esta sucesion es
imposible, sin _antes y despues_, es decir, sin tiempo. Este cálculo
vicioso en apariencia, tal vez indica que las ideas de sucesion y
tiempo, no se han de explicar la una por la otra, porque son idénticas.
[4.] El tiempo no parece que pueda ser distinto de las cosas; porque
¿hay quien pueda pensar ni imaginar lo que es una duracion distinta de
lo que dura, una sucesion distinta de lo que sucede? ¿Será una
substancia? ¿Será una modificacion inherente á las cosas, pero distinta
de ellas? Todo lo que es algo, existe; y sin embargo, el tiempo no lo
encontrais existente nunca. Su naturaleza se compone de instantes
divisibles hasta lo infinito, esencialmente sucesivos, y por tanto
incapaces de simultaneidad. Fingid el instante mas pequeño que querais,
ese instante no existe; porque se compone de otros infinitamente
pequeños, que no pueden existir juntos. Para concebir un tiempo
existente, es necesario concebirle actual; y para esto es preciso
sorprenderle en un instante indivisible; mas este ya no es tiempo; ya
no envuelve sucesion; ya no es _duracion_ en que haya _antes y
despues_.