4. Das alexandrinische Zeitalter.

Wir haben uns in den ersten Abschnitten diejenige Periode in ihren

Grundzügen vergegenwärtigt, in der die Keime der Naturwissenschaften

entstanden, eine Periode, die in der zusammenfassenden,

systematisierenden Tätigkeit des *Aristoteles* ihren Höhepunkt

erreichte. Frühzeitig traten uns geistige Regungen in den ionischen

Kolonien entgegen, wo die Berührung des Griechentums mit der

älteren, orientalischen Kultur besonders innig war. Zu Hauptsitzen

der Wissenschaft wurden darauf Athen und die blühenden Städte

Unteritaliens, dort durch *Aristoteles* und seine Schule, hier durch

die Pythagoreer.

Wie *Alexander* durch gewaltige Machtentfaltung die Welt, so hatte

*Aristoteles* das gesamte Wissen seiner Zeit zu umspannen gesucht. Zu

einer dauernden Beherrschung der übrigen Völker waren die Griechen

indessen nicht imstande. Mit dem Tode des großen Eroberers zerfiel

auch sein Reich. Anders gestalteten sich die Dinge auf dem Gebiete

der Wissenschaft. Hier kann wohl von einer das Altertum überdauernden

Herrschaft der Griechen die Rede sein. Sie wurden die Lehrer der alten

Völker, während Rom die Rolle der Weltbeherrscherin zufiel.

Bei den Griechen hatte die persönliche Eigenart eine bisher unerreichte

Bedeutung erlangt, doch war die Schaffenskraft dieses Volkes nicht

mehr die frühere, nachdem es seine politische Selbständigkeit verloren

hatte. Zwar machte sich diese Schwächung mehr auf dem Gebiete der

Kunst, vor allem auf dem der Dichtkunst, und weniger auf dem Gebiete

der Wissenschaften bemerkbar. Doch zeigte sich hier eine andere,

eigenartige Erscheinung. Während des nationalen und wirtschaftlichen

Niederganges, der im Mutterlande selbst, schon im dritten Jahrhundert,

eintrat, wurde nämlich das gelehrte Griechentum kosmopolitisch. Der

Hauptsitz griechischer Weisheit wurde gleichzeitig von Athen nach

Alexandrien verlegt, das durch seine günstige Lage, seinen Reichtum,

sowie durch das Interesse, das die ägyptischen Herrscher bekundeten,

besonders geeignet war, die weitere Pflege der Wissenschaften zu

übernehmen.

Sehr eng gestalteten sich seit der Hellenisierung Vorderasiens auch die

schon seit Jahrhunderten vorhandenen Beziehungen der griechischen zur

babylonischen Wissenschaft. Die Griechen rechneten sich den Besuch der

Tempelschulen Babylons geradezu als Ehre an. Besonders rege war dieser

Verkehr unter der Herrschaft der Seleukiden und der Ptolemäer.

Die Herrschaft über Ägypten war nach dem Tode *Alexanders* (323 v.

Chr.) in die Hände des *Ptolemäos Lagi* übergegangen. Dieser Fürst,

dessen Geschlecht den ägyptischen Thron inne hatte, bis im Jahre 30 v.

Chr. das Land römische Provinz wurde, zog viele griechische Gelehrte,

insbesondere aus Athen, an seinen Hof. Er wurde dadurch der Begründer

der alexandrinischen Akademie, die berufen war, die Wissenschaft durch

eine Reihe von Jahrhunderten zu fördern und sie für die nachfolgenden

Zeiten zu erhalten. Die äußeren Einrichtungen für jene gelehrte

Körperschaft fanden ihre Vollendung durch *Ptolemäos Philadelphos*.

Letzterer errichtete ein prächtiges Gebäude, das den Gelehrten

Wohnungen und Räume zur Ausübung ihrer Tätigkeit bot. Auch gründete

er die berühmte alexandrinische Bibliothek. In einem in der Nähe des

Königsschlosses gelegenen Garten wurden Tiere aus den tropischen

Regionen Afrikas, darunter auch riesige Schlangen, unterhalten.

Der dritte *Ptolemäos*, welcher den Beinamen *Euergetes* führte

(247-222 v. Chr.), hat der Bibliothek den Bücherschatz hinzugefügt,

den einst *Aristoteles* und *Theophrast* besaßen[373]. In späteren

Zeiten umfaßte die große Bibliothek des alexandrinischen Museums

etwa 400000 Rollen. Dazu kam noch eine zweite Büchersammlung im

Serapeion. Bei der Belagerung Alexandriens durch *Cäsar* (47 v.

Chr.) wurden die dort befindlichen Bücherschätze, die *Cäsar* nach

Rom zu schaffen beabsichtigte, teilweise zerstört. Später wurden sie

durch Einverleibung der pergamenischen Bibliothek um 200000 Rollen

bereichert[374].

Fast sämtliche Gelehrte der alten Zeit, von denen noch die Rede sein

wird, gehörten entweder der alexandrinischen Akademie an, oder

standen mit ihr in mehr oder weniger enger Fühlung. Im allgemeinen

ist das Wirken dieser Männer indes nicht mehr grundlegend, sondern

auf die Erhaltung und die Fortentwicklung aller während des Altertums

gewonnenen Ansätze gerichtet gewesen. Ihre Arbeiten betrafen

dementsprechend nicht nur die Mathematik und die Naturwissenschaften,

sondern das ganze Gebiet des damaligen Wissens, von der Philosophie

und anderen Gebieten des reinen Denkens bis zu der Beschäftigung mit

den konkretesten Dingen, gehörte zu ihrem Bereich. Häufig beschränkten

sie sich auf bloßes Kommentieren der vorhandenen Schriften, wie es

bezüglich der Zoologie und der Botanik der Fall war. Wo aber das

deduktive Verfahren Anwendung finden konnte, wie auf dem Gebiete der

reinen Mathematik, fand eine Fortentwicklung der übermittelten Keime

statt. Auch einige Teilgebiete der Physik erfuhren eine namhafte

Förderung. Vor allem gilt dies von der Physik der Gase. In der späteren

alexandrinischen Zeit begegnen uns endlich die Anfänge der Alchemie und

somit die Wurzeln der chemischen Wissenschaft.

Als Mathematiker sind unter den Mitgliedern der alexandrinischen

Akademie besonders *Euklid*, *Apollonios* und *Diophant* zu nennen. Als

Astronomen wirkten *Hipparch* und *Ptolemäos*, während die Physik durch

*Ktesibios* und *Heron* gefördert wurde.

Die Begründung eines Systems der Mathematik.

Zu den frühesten Mitgliedern der alexandrinischen Schule gehört

*Euklid* (*Eukleides*), dessen Name eng mit der Geschichte der

Mathematik verbunden ist, einer Wissenschaft, die nicht etwa erst in

der neueren Zeit, sondern auch schon im Altertum in hohem Grade das

Emporblühen der Naturwissenschaften bedingt hat. Die Lebensumstände

*Euklids* sind wenig bekannt. Bezüglich seines Geburtsortes, sowie

seines Studienganges schwanken die Angaben[375]. Sicher ist, daß

*Euklid* zu Beginn der Ptolemäerzeit, also um 300 v. Chr., in

Alexandrien gelebt hat. Dem *Ptolemäos Lagi* gegenüber, der das

mathematische Studium erleichtert zu sehen wünschte, soll er den

bekannten Ausspruch: »Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik!« getan

haben.

Unter den auf uns gekommenen Werken *Euklids* nehmen die »Elemente« den

ersten Platz ein. Sie wurden wegen ihrer Vollständigkeit und ihrer

strengen Beweisführung in solchem Grade als mustergültig anerkannt,

daß sie bis in die neueste Zeit hinein sehr oft dem Anfangsunterricht

zugrunde gelegt wurden. In seine »Elemente« hat *Euklid* im

wesentlichen das damals bekannte mathematische Wissen aufgenommen und

es, wo dies noch nicht geschehen war, auf strenge Beweise gestützt. Das

Werk umfaßt die Geometrie der Ebene und des Raumes und geht auch auf

die Lehre von den Zahlen, als der Grundlage allen Messens, ein.

Eine genauere Inhaltsangabe der 13 Bücher, in welche die »Elemente«

*Euklids* zerfallen, findet sich bei *Cantor* (Gesch. d. Mathematik

Bd. I. S. 221-252)[376]. Das 1. Buch handelt von den Linien, Dreiecken

und Parallelogrammen. Den Abschluß bildet der pythagoreische Lehrsatz.

Das 2. Buch gipfelt in der Aufgabe, für jede gegebene, geradlinige

Figur ein gleich großes Quadrat zu zeichnen. Im folgenden Buch wird

dann die Lehre vom Kreise behandelt. Das vierte handelt von den ein-

und umgeschriebenen Vielecken. Die Konstruktion des Fünfecks macht

die Anwendung des goldenen Schnitts erforderlich. Das 6. Buch ist

dadurch besonders fesselnd, daß uns darin die erste Lösung einer

Maximum-Aufgabe begegnet. Es wird nämlich gezeigt, daß x(a - x) seinen

größten Wert erhält, wenn x = a/2 wird.

Im 7., 8. und 9. Buche findet sich die Lehre von den Zahlen. Begonnen

wird mit teilerfremden Zahlen und solchen, die ein gemeinsames Maß

besitzen. Die Auffindung geschieht wie heute durch fortgesetzte Teilung

des letztmaligen Divisors durch den erhaltenen Rest. Ferner werden die

Proportionen und die Primzahlen untersucht und z. B. bewiesen, daß es

unendlich viele Primzahlen gibt. Dann lehrt *Euklid* die Summierung der

geometrischen Reihe und befaßt sich mit Untersuchungen über irrationale

Zahlen. Das 12. Buch handelt von der Pyramide, dem Kegel, dem Zylinder

und der Kugel. *Euklid* läßt den Zylinder durch Drehung eines Rechtecks

um eine feststehende Seite und den Kegel, sowie die Kugel durch eine

entsprechende Drehung eines Dreiecks bzw. eines Halbkreises entstehen.

Er erwähnt zwar, daß sich die Inhalte von Kugeln wie die Kuben ihrer

Durchmesser verhalten, den Inhalt der Kugel vermochte jedoch erst

*Archimedes* zu bestimmen. Auch findet sich bei *Euklid* schon die

Bemerkung, daß man durch den schrägen Schnitt eines Zylinders oder

eines Kegels eine wie ein Schild aussehende Kurve (die Ellipse)

erhalte[377].

Das 13. Buch endlich handelt von den Polyedern, die sich aus

regelmäßigen Vielecken bilden lassen. Es schließt mit der Bemerkung,

daß es nur fünf regelmäßige Polyeder geben könne, nämlich das

Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder, die von Dreiecken begrenzt

sind, den Würfel und das von Fünfecken eingeschlossene Dodekaeder[378].

Die Klarheit und die strenge Form der Beweisführung, die *Euklid*

geschaffen, sind den späteren griechischen Mathematikern eigen

geblieben. Doch fehlt ihnen meist noch der Sinn für eine allgemeinere

Fassung der Probleme. Soviel Fälle bezüglich der Lage von Linien

in einer Aufgabe möglich sind, soviel Probleme waren auch für die

griechische Mathematik vorhanden[379]. Daher sehen wir oft ihre

hervorragendsten Schöpfer sämtliche, mitunter sehr zahlreichen Fälle

eines Problems erledigen, ohne durch eine Erweiterung der Begriffe zu

allgemeineren Sätzen zu gelangen. Daß der neueren Mathematik in dieser

Hinsicht gelang, was der griechischen versagt blieb, liegt daran, daß

erst in der viel später entstehenden Verknüpfung der Geometrie mit der

Algebra ein Mittel zur allgemeineren Lösung mathematischer Aufgaben

gewonnen wurde.

Die Bedeutung der *Euklid*ischen »Elemente« wird durch folgende Worte

treffend gekennzeichnet: »Was der Alexandriner *Euklid* um 300 vor

Beginn unserer Zeitrechnung schrieb, ist auch heute in Form und Inhalt

der eiserne Bestand der Schulmathematik. Nur wenig Zusätze sind dem

Euklidischen System eingegliedert worden. Stolzer als ein Denkmal

von Stein, schärfer und reiner in der Linienführung als irgend ein

Kunstwerk, hat es sich der Jetztzeit erhalten. Was der junge Grieche

durchdenken, lernen und üben mußte, das arbeitet mit gleicher Andacht

heute der strebsame Schüler durch[380].«

*Euklid* hatte das mathematische Wissen seiner Zeit in ein System

gebracht[381]. Er hatte zwar viel Eigenes hinzugefügt. Der weitere

Ausbau und die Erschließung neuer Gebiete erfolgte jedoch durch

*Archimedes*. In ihm begegnet uns der genialste Mathematiker des

Altertums. Zwischen *Aristoteles*, dem Hauptrepräsentanten des

vorigen Zeitabschnitts, und *Archimedes* liegt ein Zeitraum von

etwa hundert Jahren. Dieser Zeitraum ist geschichtlich dadurch von

Bedeutung, daß seit dem Eroberungszuge *Alexanders* der Orient mit

den Völkern des Mittelmeeres in die engste Fühlung kam, während

gleichzeitig ein neues Reich, dasjenige der Römer, zunächst das

westliche Mittelmeerbecken, später aber die gesamte alte Kulturwelt

zu umfassen strebte. Eine ähnliche Expansivkraft entfaltete auf dem

Gebiete der Kunst und der Wissenschaft das Griechentum, das überall,

im fernen Orient, in Ägypten, in Italien, ja selbst an den Küsten

des westlichen Mittelmeeres seine Stützpunkte fand. Griechentum und

Römerherrschaft sollten dann im Verlaufe der nächsten Jahrhunderte

die Bindemittel abgeben, welche die so verschiedenartigen Völker

Südeuropas, Vorderasiens und Nordafrikas bis zu einem gewissen Grade

zu einer staatlichen, geistigen und Handelsgemeinschaft verband, einer

Gemeinschaft, welche den Boden für die so überraschend schnelle, alles

bezwingende Ausbreitung des Christentums bereiten half.

Das Leben und die Bedeutung des Archimedes.

Bevor wir uns mit dem weiteren Ausbau der reinen und der angewandten

Mathematik durch *Archimedes* beschäftigen, wollen wir uns in aller

Kürze die bisherige Entwicklung der Mathematik vergegenwärtigen und

dann einen Blick auf die Lebensverhältnisse des großen Mathematikers

werfen.

Überwog im 4. Jahrhundert v. Chr. noch der philosophierende, auf die

Entwicklung von umfassenden Lehrsystemen gerichtete Grundzug des

griechischen Geistes, so tritt uns in dem auf *Alexander den Großen*

folgenden Zeitabschnitt mehr die Richtung auf das Empirische und

Nützliche, in Verbindung mit einer raschen Entwicklung der Mathematik

und einer Beschränkung der Spekulation auf ein bescheideneres Maß,

entgegen. Neben den Forderungen des praktischen Lebens (Handel,

Vermessungen usw.) waren es drei Probleme der reinen Wissenschaft,

welche die Mathematik bei den Griechen schon vor *Archimedes*[382]

auf eine ungewöhnliche Höhe gebracht hatten. Es waren dies die

Quadratur des Kreises, die Würfelverdoppelung und die Dreiteilung des

Winkels. So hatten die vergeblichen Versuche, den Kreis zu quadrieren,

*Hippokrates* zur Auffindung des Satzes geführt, der noch jetzt

unter dem Namen der Lunulae (kleine Monde) Hippokratis bekannt ist.

*Hippokrates*[383] hatte mit Hilfe des erweiterten pythagoreischen

Lehrsatzes bewiesen, daß sich zwei von krummen Linien begrenzte Flächen

auf ein aus geraden Linien gebildetes Flächenstück zurückführen

lassen[384]. Die Würfelverdoppelung oder das Delische Problem forderte,

die Seite (a) eines Würfels zu finden, der doppelt so groß ist wie ein

gegebener Würfel. Anders ausgedrückt, wenn x^3 = 2a^2 gegeben ist, soll

x durch Konstruktion gefunden werden. Das Bemühen, dies Problem zu

lösen, wurde durch die Auffindung einer Anzahl neuer Kurven (Cissoide,

Konchoide, Kegelschnitte) belohnt. Auch das Problem der Dreiteilung

des Winkels führte zur Auffindung neuer, bestimmte Eigenschaften

aufweisender und auf Grund derselben konstruierbarer, krummer Linien.

Eine Zusammenfassung der mathematischen Kenntnisse der Griechen

erfolgte durch *Euklid*, von dem zu Beginn des vorigen Abschnitts die

Rede gewesen ist.

[Illustration: Abb. 17. Vorrichtung zum Heben großer Lasten.]

Über *Archimedes* ist wenig Zuverlässiges bekannt. Er wurde um 287 v.

Chr. in Syrakus geboren, gehört also in die für Sizilien so bewegte

Zeit der großen Entscheidungskämpfe, welche Rom und Karthago um die

Weltherrschaft führten. Die Geschichtsschreiber dieser Periode,

*Livius*, *Polybios* und *Plutarch*, sind es auch, denen wir die

meisten Nachrichten über *Archimedes* verdanken. Was diese und andere

über ihn erzählen, setzt sich indessen zum großen Teil aus Anekdoten

zusammen, mit denen das Altertum das Leben seiner berühmten Männer,

insbesondere seiner hervorragenden Denker, auszuschmücken liebte.

*Archimedes* war nach *Plutarch*[385] ein Verwandter *Hierons* II., des

Tyrannen von Syrakus. Sein Vater war Astronom und machte ihn sehr früh

mit astronomischen Beobachtungen vertraut. *Archimedes* lebte, ohne

ein öffentliches Amt zu bekleiden, ganz der Wissenschaft. Eine Zeitlang

hielt er sich in Ägypten auf. Dort war nach dem Tode *Alexanders des

Großen* in der alexandrinischen Akademie, zu der man *Archimedes*

rechnen kann, eine Stätte hellenischer Weisheit emporgeblüht, die

berufen war, in den nachfolgenden Jahrhunderten die Fackel der

Wissenschaft hochzuhalten. Die alexandrinische Schule soll deshalb

auch noch in einem späteren Abschnitt Gegenstand der Betrachtung sein.

In Alexandrien zählte *Archimedes* zu den Schülern des Mathematikers

*Konon*. Diesem soll *Archimedes* auch nach seiner Rückkehr nach

Syrakus, wo er den größten Teil seines Lebens zubrachte, Schriften

zur Durchsicht geschickt haben, auch stand er mit ihm in regelmäßigem

brieflichen Verkehr. Seine Beziehungen zu den syrakusanischen

Machthabern veranlaßten ihn, sein außerordentliches Geschick in

mechanischen Dingen auf die Vervollkommnung der Schleuderwerkzeuge und

anderer Kriegsgeräte zu verwenden. Die Alten schrieben *Archimedes* die

Erfindung zahlreicher Maschinen zu. Unter diesen werden der Flaschenzug

und die Archimedische Schraube genannt. Letztere findet noch heute in

Ägypten zum Bewässern der dem Nil benachbarten Ländereien Verwendung.

Bei manchen Angaben, insbesondere denjenigen, die sich auf die von

*Archimedes* geleitete Verteidigung seiner Vaterstadt beziehen, ist es

nicht leicht, Wahrheit und Irrtum voneinander zu scheiden. *Archimedes*

dürfte z. B. wohl selbst die Wirkung der Brennspiegel besser gekannt

haben als die späteren Schriftsteller, die ihm das Unmögliche

zuschrieben, er habe die Schiffe der Belagerer mit Brennspiegeln in

Brand gesetzt. Es wird ferner erzählt, *Hieron* habe ihn aufgefordert,

vermittelst einer geringen Kraft eine große Last zu bewegen. Dies

habe *Archimedes* zur Erfindung des Flaschenzuges geführt, mit dem

er dann vor den Augen des erstaunten Königs eine schwer beladene

Triëre ohne Anstrengung an das Land zog. Vielleicht hat *Archimedes*

auch zu diesem Zwecke die Schraube ohne Ende in Verbindung mit einer

Zahnradübersetzung benutzt[386], einen Apparat, den uns die vorstehende

Abbildung vorführt.

Große Bewunderung erregte ferner eine Art Planetarium, das *Archimedes*

konstruierte. Im Mittelpunkt befand sich die Erde. Mond, Sonne und

Planeten wurden durch einen, wahrscheinlich hydraulisch betriebenen,

Mechanismus um den Zentralkörper herumgeführt. *Cicero* erwähnt dieses

Kunstwerk, das als Vorbild für die im Mittelalter (z. B. an der Uhr des

Straßburger Münsters) entstandenen Planetarien diente[387].

Ausführlicher lauten die Berichte über die letzten Lebensjahre des

*Archimedes*, da sie in die Zeit der Belagerung von Syrakus fallen.

Hierbei hat *Archimedes*, den Nachrichten der Geschichtsschreiber[388]

zufolge, eine wichtige Rolle gespielt und schließlich ein trauriges

Ende gefunden. Auch bezüglich der über diese Begebenheit auf uns

gelangten Nachrichten sind Wahrheit und Dichtung vermengt. Der

zweite punische Krieg, der über das Schicksal Siziliens entscheiden

sollte, hatte im Jahre 218 v. Chr. mit einem Siegeslauf Hannibals

begonnen, wie ihn die Welt seit den Tagen Alexanders nicht gesehen.

Bald jedoch wandte sich das Glück, und während Hannibal sich nur

durch geschickte Züge in Italien zu halten wußte, brachten die Römer

eine Stadt Siziliens nach der andern zu Fall, bis sich endlich die

ganze Insel in ihren Händen befand. Am meisten Schwierigkeiten

bereitete dem römischen Feldherrn *Marcellus* die Stadt Syrakus.

Daß sie viele Monate der Belagerung zu trotzen vermochte, wird vor

allem den Verteidigungsmaßregeln des *Archimedes* zugeschrieben.

Wurfmaschinen von ganz hervorragender Wirkung und Treffsicherheit, die

nach *Plutarch* Steinblöcke von Zentnerschwere auf große Entfernung

schleuderten, schreckten die Stürmenden zurück. Dem Angriff der Flotte

suchte man mit Feuerbränden zu begegnen. Spätere Berichterstatter

haben daraus die erwähnte, völlig unglaubwürdige Erzählung gemacht,

*Archimedes* habe die Schiffe der Belagerer mit Hilfe von Hohlspiegeln

in Brand gesetzt.

Als endlich die Römer Syrakus einnahmen und die Soldaten, voll Wut

über die erlittenen Mühsale und Verluste, ein furchtbares Gemetzel

anstellten, zählte *Archimedes* zu den Opfern. Über sein Ende, das

*Marcellus* sehr betrübt haben soll, lauten die Berichte verschieden.

Am bekanntesten ist die Erzählung, *Archimedes* sei, in Nachdenken über

ein mathematisches Problem versunken, von einem römischen Soldaten

niedergestoßen worden. Seine letzten Worte sollen »Noli turbare

circulos meos« gelautet haben. Das Grab des Gelehrten wurde mit einem

Stein geschmückt, in den die von dem Zylinder eingeschlossene Kugel

eingemeißelt war. So soll *Archimedes* es selbst gewünscht haben, ein

Zeichen, welchen Wert er auf seine Entdeckung legte, daß der Inhalt der

Kugel zum Inhalt des umschließenden Zylinders sich wie 2 : 3 verhält.

Dieses Grabmal, das *Marcellus* errichten ließ, wurde später von

*Cicero* in einem sehr vernachlässigten Zustande wieder aufgefunden und

der Vergessenheit entrissen[389].

Seine Bewunderung für den größten Mathematiker des Altertums hat

*Cicero* in die Worte gekleidet, *Archimedes* habe mehr Genie

besessen, als mit der menschlichen Natur verträglich zu sein

scheine[390]. An Vielseitigkeit und Genialität kann ihm unter den

Neueren vielleicht nur *Gauß* an die Seite gestellt werden[391].

Die Probleme, welche etwa 100 Jahre nach *Aristoteles* den *Archimedes*

beschäftigten, betrafen insbesondere das Gebiet der Statik. Sie

wurden nach echt naturwissenschaftlichem Verfahren, d. h. gestützt

auf Versuche und mathematische Ableitung und deshalb mit dem besten

Erfolge, behandelt. Seine Werke sind daher als das hervorragendste

Erzeugnis des griechischen Geistes auf exaktem Gebiete zu bezeichnen.

Es scheint kein Zufall zu sein, daß diese Werke nicht in dem vorwiegend

der Kunst und der Philosophie zugewandten Mutterlande, sondern in

Großgriechenland entstanden sind, wo der Handel blühte und eine

gewisse, die forschende Tätigkeit begünstigende Nüchternheit des

Verstandes vorherrschte.

Die griechische Mathematik erreicht in Archimedes und in Apollonios

ihren Höhepunkt.

Die wissenschaftliche Bedeutung des *Archimedes*[392] ist in gleicher

Weise auf den Gebieten der reinen Mathematik und der Mechanik zu

suchen. Außer dem soeben erwähnten, wichtigen Satze über den Inhalt der

Kugel und des sie umschließenden Zylinders, deren Oberflächenverhältnis

er gleichfalls auffand, lieferte *Archimedes* eine Arbeit über die

Kreismessung, die eine Berechnung der Zahl π enthält. Diese Arbeit

ist, sowohl nach ihrer Bedeutung für die Entwicklung der Geometrie,

als auch für die Geschichte der Rechenkunst, von Wichtigkeit. Sein

Verfahren ist das in der elementaren Geometrie noch jetzt gelehrte.

Ausgehend von dem Satze, daß der Umfang des Kreises kleiner als der

Umfang des umschriebenen und größer als derjenige des eingeschriebenen

regelmäßigen Vielecks ist, berechnet *Archimedes* als Grenzwerte für

π die Zahlen 3,141 und 3,142. Es sind dies die Werte, die sich für den

Umfang des ein- und umgeschriebenen regelmäßigen 96-Ecks ergeben. Das

erwähnte Verfahren wird als Exhaustionsverfahren bezeichnet, könnte

aber auch die Integrationsmethode der alten Mathematik genannt werden.

Aus dem Bestreben, bei derartigen Aufgaben die Grenzwerte beliebig nahe

zu rücken, ohne dazu umständliche, zeitraubende Berechnungen nötig zu

haben, ist im 17. Jahrhundert die Infinitesimalrechnung erwachsen.

Auch mit isoperimetrischen Problemen, d. h. Aufgaben, bei denen

es sich um die Bestimmung größter oder kleinster Werte handelt,

beschäftigte sich schon das Altertum. So war schon vor *Aristoteles*

bekannt, daß der Kreis unter allen Flächen gleichen Umfangs den größten

Flächeninhalt und die Kugel unter allen Körpern von gleicher Oberfläche

den größten Rauminhalt besitzt[393].

Das Exhaustionsverfahren wurde von den Alten nicht nur auf krummlinige

Figuren, sondern auch auf Flächen und auf Raumgebilde angewandt.

Das Verfahren lief stets darauf hinaus, den Unterschied zwischen

der zu messenden Linie, Fläche oder Raumgröße und den diesen Formen

sich nähernden, leicht zu berechnenden Hilfsgebilden immer kleiner

zu machen. Man erhielt eine noch größere Sicherheit, wenn man zwei

Hilfsgebilde, z. B. das ein- und umgeschriebene Polygon beim Kreise,

wählte und auf diese Weise zwei Grenzwerte für die zu messende

Größe ermittelte. Was den Inhalt des Kreises anbetrifft, so bewies

*Archimedes*, daß er gleich demjenigen eines rechtwinkeligen Dreiecks

ist, dessen eine Kathete gleich dem Halbmesser und dessen andere gleich

dem Umfang des Kreises ist.

Die Behandlung ebener Figuren wurde von *Archimedes* jedoch über das

Gebiet der elementaren Mathematik hinausgeführt, indem er den Inhalt

der Parabel und der Ellipse berechnen lehrte und die Eigenschaften von

Kurven höherer Ordnung, wie der Spiralen, ermittelte. Mit Hilfe der

soeben besprochenen Exhaustionsmethode wies *Archimedes* z. B. nach,

daß das Parabelsegment 4/3 eines Dreiecks von gleicher Grundlinie und

Höhe beträgt. Für die Ellipse zeigte er, daß sich ihre Fläche zur

Fläche eines mit der großen Achse als Durchmesser geschlagenen Kreises

wie die kleine Achse zur großen Achse verhält usw. Die merkwürdigste

Schrift über die Kurven ist sein Buch von den Schneckenlinien. Die nach

ihm als archimedische Spirale bezeichnete Schneckenlinie definiert

er mit folgenden Worten: »Wenn eine gerade Linie in einer Ebene um

einen ihrer Endpunkte, der unbeweglich bleibt, mit gleichförmiger

Geschwindigkeit sich dreht, und wenn gleichzeitig in der bewegten

Linie ein Punkt vom unbewegten Endpunkte aus sich gleichförmig bewegt,

so beschreibt dieser Punkt eine Schneckenlinie.« Eine derartige,

zuerst bei *Hippias* anzutreffende Verbindung von zwei bestimmt

gekennzeichneten Bewegungen stellte eine nicht geringe Bereicherung der

Wissenschaft dar[394].

Auch gelang es *Archimedes*, durch ein ähnliches Verfahren, wie

er es beim Kreise und bei der Parabel anwandte, die Quadratur der

Schneckenlinie zu finden. Sogar das Tangentenproblem vermochte er für

diese Kurve zu lösen, indem er zeigte, wie die Berührungslinie an

irgend einen ihrer Punkte gezogen werden kann.

Daß *Archimedes* sich schon einer Methode bediente, die in ihrem Wesen

unserem heutigen Integrationsverfahren entsprach, läßt sich noch

deutlicher, als aus den hier besprochenen Werken, aus der vor kurzem

durch *Heiberg* entdeckten Methodenlehre (Ephodion) ersehen[395].

Es hat den Anschein, als ob *Archimedes* die im Ephodion enthaltene

Infinitesimalmethode gewissermaßen nur zu seinem Privatgebrauch

entwickelt hätte, weil die Anwendung der Unendlichkeitsbegriffe bei

den Mathematikern, welche die Einwände der Philosophen fürchteten,

verpönt war. Als vollgültig wurde für die hier in Betracht kommenden

Probleme nur das Exhaustionsverfahren angesehen. In dieses kleidete

*Archimedes*, offenbar der herrschenden Schule zuliebe, Sätze,

die er zunächst ausgehend von der Mechanik oder mit Hilfe seiner

Infinitesimalmethode gefunden hatte. Als Beispiel dafür verdient

der Satz vom Zylinderhuf genannt zu werden[396]. Für diesen gibt

*Archimedes* einen mechanischen Beweis, einen Beweis nach dem

Exhaustionsverfahren und einen solchen mit Hilfe seiner jetzt bekannt

gewordenen Infinitesimalmethode. Letztere bestand darin, daß er die

Flächen auf Gerade und die Körper auf Flächen zurückführte, wie es

unter den neueren Mathematikern zuerst *Cavalieri* getan. Erläutert

wird die neue Methode unter anderem an dem Satz vom Flächeninhalt

des Parabelsegments und an mehreren Sätzen über Volum- und

Schwerpunktsbestimmungen.

Ein Buch des *Archimedes* über das Siebeneck im Kreise und ein anderes

über die Berührung von Kreisen sind leider verlorengegangen. Von

hervorragender Wichtigkeit sind die erhalten gebliebenen archimedischen

Schriften über die Kugel und den Zylinder. Es wird darin bewiesen,

daß die Kugeloberfläche dem Vierfachen ihres größten Kreises gleich

ist (O = 4 r^2 π). Ferner wird die Oberfläche der Kalotte oder des

Kugelabschnittes berechnet. Und endlich wird gezeigt, daß ein Zylinder,

der zur Grundfläche einen größten Kreis der Kugel, zur Höhe aber den

Durchmesser der Kugel hat, mit anderen Worten, daß ein der Kugel

umschriebener Zylinder seinem Inhalt nach sich zur Kugel selbst wie 3 :

2 verhält. Die Oberfläche dieses Zylinders fand *Archimedes* gleich dem

Anderthalbfachen der Kugeloberfläche. Die betreffende Figur hat nicht

nur auf seinem Grabstein Platz gefunden. Sie erhielt sich auch auf

Münzen der Stadt Syrakus.

Seine Untersuchungen über die Kugel führten *Archimedes* endlich noch

auf die Rotationskörper, welche durch die Umdrehung von Kegelschnitten

entstehen, seine Konoide und Sphäroide. Auch in diesen Fällen bediente

er sich der Exhaustionsmethode, indem er die zu kubierenden Körper in

Scheiben von gleicher Dicke zerlegte und die ein- und umgeschriebenen

Zylinder summierte. Die erhaltenen Summen stellen Grenzwerte dar, die

sich dem zu ermittelnden Rauminhalt um so mehr nähern, je geringer der

Abstand der Schnitte ist.

Über die Kegelschnitte hatte schon *Euklid* geschrieben. Doch hat sich

um die Begründung dieses Gegenstandes keiner unter den alexandrinischen

Mathematikern ein so großes Verdienst erworben wie *Apollonios* von

Pergä. Er war ein Zeitgenosse von *Archimedes* und *Eratosthenes*.

Seine Werke entstanden in der Zeit von 240-200 v. Chr. Erhalten ist

nur das bedeutendste, als κωνικά (Kegelschnitte) bezeichnete Werk. In

diesem zeigte *Apollonios*, daß die als Ellipse, Parabel und Hyperbel

bezeichneten Kurven auf der Oberfläche eines Kegels entstehen, wenn

durch letzteren Ebenen gelegt werden. Auch das schwierige Gebiet

der Asymptoten, die sich den Ästen der Hyperbel nähern, ohne sie zu

schneiden, hat *Apollonios* erschlossen. Seine acht Bücher über die

Kegelschnitte[397] erregten nicht nur bei den Zeitgenossen, sondern

auch bei den späteren Geschlechtern die größte Bewunderung, wenn auch

von einigen Verkleinerern dem *Apollonios* mit Unrecht vorgeworfen

wurde, daß er sich zu sehr auf die von *Euklid* und *Archimedes*

geschaffenen, indes verlorengegangenen Vorarbeiten über diesen

Gegenstand gestützt habe[398]. Besteht doch eine grundlegende Neuerung

des *Apollonios* schon darin, daß er sich nicht wie seine Vorgänger

auf den geraden Kegel beschränkte, sondern nachwies, daß alle Schnitte

auch an dem schiefen Kegel hervorgebracht werden können. Auch war

er der erste, welcher an den Kegelschnitten die Mehrzahl derjenigen

Eigenschaften nachwies, die man heute aus den Gleichungen dieser Kurven

ableitet. Der Inhalt seines Werkes ist der Hauptsache nach folgender.

Zunächst wird der Kegel als die Oberfläche definiert, welche durch

eine Linie entsteht, wenn man sie in einer Kreisperipherie herumführt,

während diese Linie zugleich durch einen festen, außerhalb der Ebene

des Kreises liegenden Punkt geht. Jeder Schnitt, welcher durch den

festen Punkt geht, erzeugt ein Dreieck. Liegt in der Schnittebene

auch die Verbindungsgrade zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und

dem festen Punkt, welcher die Spitze des Kegels bildet, so nennt man

das entstandene Dreieck, weil es jene Verbindungsgrade oder die Achse

enthält, ein Achsendreieck. Neue Schnittebenen liefern dann, je nach

ihrer Richtung, die verschiedenen Kegelschnittkurven auf der Oberfläche

des Kegels. Es werden sodann Betrachtungen über konjungierte

Durchmesser, über die Tangente an irgendeinen Punkt des Kegelschnittes,

sowie über die Asymptoten der Hyperbel angestellt. Eingehend wird auch

von denjenigen Punkten gehandelt, die wir heute als die Brennpunkte

der Kegelschnitte bezeichnen. Bewiesen wird der wichtige Satz über

die Gleichheit der Winkel, welche die Normallinie mit den beiden

Brennstrahlen des Berührungspunktes bildet, sowie auch der Satz von

der Konstanz der Summe, bzw. der Differenz der Brennstrahlen. Die

betreffenden Abschnitte des Werkes enthalten also fast sämtliche

grundlegenden Sätze der Lehre von den Kegelschnitten.

Auf dem Satz, daß die Summe der Brennstrahlen gleich der großen

Achse ist (r + r' = 2a), beruht bekanntlich die gebräuchliche

Fadenkonstruktion der Ellipse. Dies Verfahren findet sich jedoch

noch nicht bei *Apollonios*, sondern es kam erst weit später auf.

Hinsichtlich der Hyperbel sei bemerkt, daß man vor *Apollonios* die

Zusammensetzung der Kurve aus zwei Ästen nicht kannte, sondern die

Untersuchungen immer nur an einem Ast anstellte. *Apollonios* selbst

führte den zweiten Ast noch unter einem besonderen Namen auf. Die

Quadratur der Hyperbel gelang den alten Mathematikern nicht. Sie

erfolgte erst, als im 17. Jahrhundert neuere, die höhere Mathematik

ausmachende Methoden gefunden waren.

Den Höhepunkt des Werkes bildet das Buch, das von größten und

kleinsten Werten handelt, die in Verbindung mit den Kegelschnitten

auftreten[399]. Insbesondere sind es Untersuchungen über die längsten

und kürzesten Linien, die von irgendeinem Punkte der Ebene an einen

Kegelschnitt gezogen werden können.

Infinitesimalbetrachtungen, die sich schon bei *Euklid* und

*Archimedes* finden, vermochten die Alten noch nicht zu einer

allgemeinen Methode zu erweitern. Die alte Mathematik hat vielmehr

in den Werken des *Archimedes* und des *Apollonios* das erreicht,

was ohne den Besitz der Infinitesimalmethode und des analytischen

Kalkuls, die erst im 16. und 17. Jahrhundert zu allgemeinerer Anwendung

gelangten, zu erreichen möglich war[400]. Mit der Lehre von den

Kegelschnitten wurde für die spätere Entwicklung der Astronomie und

der Mechanik eine wichtige Grundlage geschaffen. Das gleiche gilt

auch von der Trigonometrie, die aus den Bedürfnissen der Astronomie

entsprang und von den späteren Alexandrinern begründet wurde. Wie wir

später sehen werden, konnte *Aristarch*, als er den Sonnenabstand aus

gegebenen Stücken eines Dreiecks ohne die Hilfsmittel der Trigonometrie

berechnete, die gesuchte Größe nur auf umständlichem Wege durch

Näherungswerte bestimmen.

Anhangsweise sei hier noch eine Schrift des *Archimedes* erwähnt, die

früher viel gelesen wurde und auch heute noch Beachtung verdient. Es

ist dies seine »Sandesrechnung«. Zum Verständnis der in dieser Schrift

gelösten Aufgabe müssen wir vorausschicken, daß die Griechen etwas

unserem heutigen Ziffernsystem Entsprechendes noch nicht besaßen. Die

Zahlen wurden durch Buchstaben bezeichnet. Größere Zahlen zu schreiben,

war daher sehr unbequem, weil man das Prinzip des Stellenwertes, das

erst durch Vermittlung der Araber aus dem Orient nach Europa gelangte,

noch nicht kannte und auch noch kein Zeichen für die Null besaß. Es ist

erstaunlich, wie weit es die Alten trotzdem in der Arithmetik gebracht

haben. Wagte sich *Archimedes* doch sogar an die geometrische Reihe 1,

1/4, 1/16, 1/64..., deren Summe er gleich 4/3 fand. Sie diente ihm bei

der Berechnung der Fläche des Parabelabschnittes. Auch vermochte er es

schon, schwierige Quadratwurzeln zu berechnen[401].

In der Sandesrechnung[402] wird gezeigt, daß sich jede, noch so

große Menge durch eine Zahl ausdrücken läßt. Indem *Archimedes* die

Abmessungen der aristarchischen Fixsternsphäre zugrunde legt, berechnet

er, wieviel Sandkörner von bestimmter Größe darin Platz finden können.

Die meisten Sternkundigen verstanden zur Zeit des *Archimedes* unter

dem Ausdruck Welt eine Kugel, deren Zentrum der Mittelpunkt der Erde

und deren Radius eine gerade Linie zwischen den Mittelpunkten von Erde

und Sonne ist. In seiner Schrift »Wider die Sternkundigen«, so erzählt

uns *Archimedes*, suchte nun *Aristarch* von Samos zu beweisen, daß

die Welt ein Vielfaches der oben bezeichneten Kugel ist. Er sei zu

der Annahme gelangt, die Fixsterne samt der Sonne seien unbeweglich,

die Erde aber werde in einer Kreislinie um die Sonne, die inmitten

der Erdbahn stehe, herumgeführt. »Der Durchmesser der Fixsternkugel

möge sich«, sagt *Archimedes*, »zu demjenigen der Welt (in dem zuerst

erwähnten Sinne) verhalten, wie der letztere zum Durchmesser der

Erde.« Er behauptet dann, wenn es auch eine Sandkugel gäbe von der

Größe dieser aristarchischen Fixsternsphäre, so lasse sich doch eine

Zahl angeben, deren Größe selbst die Menge der Körner in der gedachten

Kugel übertreffe. Nach einigen Voraussetzungen über den Umfang der

Erde, das Größenverhältnis von Erde und Sonne, aus dem, nach Bestimmung

des scheinbaren Sonnendurchmessers, die Entfernung der Sonne zu 10000

Erdhalbmessern ermittelt wird, berechnet *Archimedes* die Zahl der

Sandkörner, die innerhalb der Fixsternsphäre Platz finden, auf 10^{63}

oder 1000 Dezillionen.

Archimedes entwickelt die Prinzipien der Mechanik.

An hervorragenden Mathematikern besaß das Altertum keinen Mangel. Wir

brauchen neben *Archimedes* nur *Euklid* und *Apollonios* zu nennen.

Es gab aber niemanden bis in die neuere Periode der Geschichte der

Wissenschaften, der ähnliche Leistungen auf dem Gebiete der Mechanik

vollbracht hätte wie *Archimedes*. Letzterer muß als der Hauptbegründer

dieser Wissenschaft bezeichnet werden. Es sind die wichtigsten Sätze

vom Hebel, vom Schwerpunkt und aus der Hydrostatik, die uns bei

*Archimedes*, zum ersten Male klar ausgedrückt, begegnen. Die Gesetze

vom gleicharmigen Hebel spricht *Archimedes* in folgenden Worten aus:

a) Gleich schwere Größen, in ungleichen Entfernungen wirkend, sind

nicht im Gleichgewicht, sondern die in der größeren Entfernung wirkende

sinkt.

b) Ungleich schwere Größen sind, bei gleichen Entfernungen, nicht im

Gleichgewicht, sondern die schwerere wird sinken.

c) Wenn ungleich schwere Größen in ungleichen Entfernungen im

Gleichgewicht sind, so befindet sich die schwerere in der kleineren

Entfernung.

d) Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht, sobald sie ihren

Entfernungen umgekehrt proportional sind.

An den letzten, das Hebelgesetz zum Ausdruck bringenden Satz knüpft

sich das *Archimedes* zugeschriebene Wort: »Gib mir einen Ort, wo ich

mich hinstellen kann, und ich will die Erde bewegen[403].«

Die Schwerpunktsbestimmungen dehnt *Archimedes* im zweiten Teile

der Abhandlung vom Gleichgewicht[404] sogar auf das Parabelsegment

aus, nachdem er zuvor die Quadratur der Parabel gelehrt hat. In

den Büchern, die von den schwimmenden Körpern handeln, leitet er

aus den Grundeigenschaften der Flüssigkeiten, nämlich der leichten

Verschiebbarkeit ihrer Teilchen und der Druckfortpflanzung, eine Reihe

von Sätzen ab, von denen die wichtigsten folgendermaßen lauten:

a) Die Oberfläche einer jeden zusammenhängenden Flüssigkeit im Zustande

der Ruhe ist sphärisch, und ihr Mittelpunkt fällt mit dem Mittelpunkt

der Erde zusammen.

b) Feste Körper, die bei gleichem Rauminhalt einerlei Gewicht mit einer

Flüssigkeit haben, sinken, in diese eingetaucht, so weit ein, daß

nichts von ihnen über die Oberfläche der Flüssigkeit hervorragt.

c) Jeder feste Körper, der leichter ist als eine Flüssigkeit und in

diese eingetaucht wird, sinkt so tief, daß die Masse der Flüssigkeit,

die dem eingesunkenen Teil an Volumen gleich ist, ebensoviel wiegt wie

der ganze Körper.

d) Wenn Körper, die leichter sind als eine Flüssigkeit, in diese

eingetaucht werden, so erheben sie sich wieder mit einer Kraft, die

gleich ist dem Gewichte des dem Körper gleichen Volumens Flüssigkeit,

vermindert um das Gewicht des Körpers selbst.

e) Feste Körper, die bei gleichem Rauminhalt schwerer als eine

Flüssigkeit sind und in diese eingetaucht werden, sinken, solange sie

noch tiefer kommen können, und werden in der Flüssigkeit um so viel

leichter, wie das Gewicht einer Masse Flüssigkeit von der Größe des

eingetauchten Körpers beträgt.

Das zuletzt erwähnte Gesetz, das archimedische Prinzip, ist für die

Mechanik der Flüssigkeiten von derselben fundamentalen Bedeutung wie

das Hebelgesetz für die Mechanik der festen Körper[405]. Auf das

nach ihm benannte hydrostatische Prinzip soll *Archimedes* nach der

Erzählung des *Vitruv*[406] durch einen besonderen Anlaß gekommen

sein. Danach hatte *Hieron* aus einer abgewogenen Menge Gold einen

Kranz anfertigen lassen. Als man ihm nun hinterbrachte, daß ein Teil

des Goldes unterschlagen und durch Silber ersetzt worden sei, wurde

*Archimedes* zu Rate gezogen, um den Betrug nachzuweisen. »Dieser,

eifrig damit beschäftigt,« fährt *Vitruv* fort, »kam zufällig in ein

Bad. Als er dort in die gefüllte Wanne stieg, bemerkte er, daß das

Wasser in gleichem Maße austrat, in welchem er seinen Körper in die

Wanne niederließ. Sobald er auf den Grund dieser Erscheinung gekommen

war, verweilte er nicht länger, sondern sprang, von Freude getrieben,

aus dem Bad und rief, nackend seinem Hause zulaufend, mit lauter

Stimme: Εὕρηκα! εὕρηκα! (Ich habe es gefunden!).«

Die Lösung des von *Hieron* gestellten Problems, der sogenannten

Kronenrechnung, erzählt *Vitruv* mit folgenden Worten: »Dann soll

*Archimedes*, von jener Entdeckung ausgehend, zwei Klumpen von

demselben Gewicht, das der Kranz besaß, den einen von Gold, den andern

von Silber, hergestellt haben. Hierauf füllte er ein weites Gefäß bis

zum obersten Rande mit Wasser und senkte dann den Silberklumpen hinein,

worauf das Wasser in gleichem Maße ausfloß, wie der Klumpen in das

Gefäß getaucht wurde. Nachdem er den Klumpen wieder herausgenommen

hatte, füllte er das Wasser um so viel wieder auf, als es weniger

geworden war, und maß dabei die zugegebene Menge. Daraus ergab sich,

welches Gewicht Silber einem bestimmten Rauminhalt Wasser entspricht.

Nachdem er dies erforscht hatte, senkte er den Goldklumpen in das volle

Gefäß und füllte das verdrängte Wasser vermittelst eines Hohlmaßes

nach. Es ergab sich, daß diesmal von dem Wasser um soviel weniger

abgeflossen war, wie der Goldklumpen einen minder großen Rauminhalt

besaß als ein Silberklumpen von gleichem Gewicht. Nachdem er hierauf

das Gefäß abermals gefüllt und den Kranz selbst in das Wasser

gesenkt hatte, fand er, daß mehr Wasser bei dem Kranze als bei dem

gleichschweren Goldklumpen abfloß, und entzifferte aus dem, was mehr

bei dem Kranze abfloß, die Beimischung an Silber und machte so die

Unterschlagung offenbar.«

Im weiteren Verlaufe seiner Abhandlung über das Schwimmen untersucht

*Archimedes* die Stabilität gewisser schwimmender Körper, wie des

Kugelabschnitts und des parabolischen Konoids, wobei es ihm offenbar

mehr auf eine Betätigung seines mathematischen Geschicks als auf eine

Bereicherung der Mechanik ankam.

Auch mit Schwerpunktsbestimmungen befaßte sich *Archimedes*. So war

ihm bekannt, daß der Punkt, in welchem sich zwei Seitenhalbierende

treffen, der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Überhaupt erweisen sich die

mathematischen Hilfsmittel des *Archimedes* den ihn beschäftigenden

mechanischen Problemen gegenüber als der überlegene Teil, während in

der neueren Periode mitunter das umgekehrte Verhältnis obwaltete, so

daß der von *Leibniz* herrührende Ausspruch: »Wer in die Werke des

*Archimedes* eindringt, wird die Entdeckungen der Neueren weniger

bewundern« wohl gerechtfertigt erscheint.

Fortschritte der Optik und Akustik.

Durch die bedeutenden Fortschritte der Mathematik wurden vor allem die

Physik, die Astronomie und die mathematische Geographie gefördert.

Die ältesten Ansichten über den Schall und über das Licht haben

wir bei den Pythagoreern und bei *Aristoteles* kennen gelernt. Den

Alexandrinern, die ja besonders zur Zusammenfassung des Wissens

neigten, verdanken wir die erste zusammenfassende Bearbeitung der

Optik. Diese Bearbeitung wird dem *Euklid* zugeschrieben. Sie erfolgte

in zwei Büchern, der »Optik« und der »Katoptrik«, und ist wohl der

erste Versuch, die Geometrie, unter Benutzung des Satzes von der

geradlinigen Fortpflanzung des Lichtes und des Reflexionsgesetzes, auf

die Erklärung der scheinbaren Größe, der Gestalt, der Spiegelung und

anderer optischen Erscheinungen anzuwenden[407]. Von Interesse ist

der Satz[408], daß »von Hohlspiegeln, welche gegen die Sonne gehalten

werden, Feuer erzeugt wird«. Doch wird irrtümlich behauptet, die

Entzündung erfolge im Krümmungsmittelpunkt.

[Illustration: Abb. 18. Das Verhalten des Hohlspiegels nach

Euklid[410].]

*Euklid* sucht dies geometrisch durch obige Figur[409] (Abb. 18)

darzutun und bemerkt zu seiner Konstruktion: »Alle Strahlen, die

von der Sonne (Δ Ε Ζ) aus durch das Zentrum Θ des Spiegels (Α Β Γ)

gehen, fallen in das Zentrum Θ zurück. Durch diese Strahlen wird

daher im Zentrum die Sonnenwärme gesammelt und infolgedessen ein dort

befindlicher Körper entzündet.« Die Annahme, daß die Sonnenstrahlen

parallel in den Hohlspiegel fallen, hätte *Euklid* zur Auffindung des

richtigen Verhältnisses leiten müssen. Den Irrtum *Euklids* erkannte

schon *Apollonios*[411].

Die Spiegelung an Konkav- und Konvexspiegeln wird von *Euklid* dahin

erläutert, daß an ihnen, wie an ebenen Spiegeln, die Strahlen unter

gleichen Winkeln zurückgeworfen werden. Zur Erläuterung dient folgende

Abbildung[412]. Auch mit einem der bekanntesten Versuche über die

Brechung des Lichtes war *Euklid* schon vertraut. Er berichtet darüber

mit folgenden Worten[413]: »Legt man einen Gegenstand auf den Boden

eines Gefäßes und schiebt letzteres so weit zurück, daß der Gegenstand

eben verschwindet, so wird dieser wieder sichtbar, wenn wir Wasser in

das Gefäß gießen.«

[Illustration: Abb. 19. Die Spiegelung an einem Konkav- (links) und an

einem Konvex-Spiegel (rechts) nach der Darstellung Euklids.]

Wie die Geometrie von gewissen Grundsätzen ausgeht, die sich auf

wenige Axiome zurückführen lassen, so geht auch die Optik *Euklids*

von einer Anzahl -- es sind acht -- Grunderfahrungen aus, aus denen

*Euklid* seine Theoreme durch geometrische Konstruktion ableitet. Die

wichtigsten der von *Euklid* hervorgehobenen optischen Grundtatsachen

sind die folgenden: Die Lichtstrahlen[414] sind gerade Linien. Die

von den Strahlen eingeschlossene Figur ist ein Kegel, dessen Spitze

im Auge liegt, während der Grundfläche dieses Kegels die Umgrenzung

des gesehenen Gegenstandes entspricht. Unter größerem Winkel gesehene

Gegenstände erscheinen größer als unter kleinerem Winkel gesehene,

oder die scheinbare Größe eines Gegenstandes hängt von dem Sehwinkel ab.

Auch in der Katoptrik wird von bestimmten Erfahrungssätzen -- es sind

deren 7 -- ausgegangen. Aus ihnen werden etwa 30 Theoreme abgeleitet.

Höchstwahrscheinlich sind die optischen Schriften *Euklids* in sehr

verdorbener Gestalt auf uns gekommen. Sie waren indes trotz mancher

Mängel und Unrichtigkeiten bis zur Zeit *Keplers*, der die Optik um ein

Bedeutendes förderte, allgemein im Gebrauch.

Auch mit akustischen Problemen hat man sich in Alexandrien befaßt.

Hatten die Pythagoreer die Erscheinung der Konsonanz und Dissonanz von

Tönen einfach als Tatsache hingenommen, so finden wir bei *Euklid* zum

ersten Male das Bestreben, sich von der Ursache dieser merkwürdigen

Erscheinung Rechenschaft zu geben. Dissonanz ist für ihn die

Unfähigkeit der Töne, sich zu mischen, wodurch der Klang für das Gehör

rauh werde, während konsonierende Töne sich zu mischen vermöchten.

*Euklid* kommt damit vorahnend der später gegebenen Erklärung nahe[415].

Die Grundlagen der wissenschaftlichen Erdkunde.

Im engsten Zusammenhange mit dem Fortschreiten der gesamten

Kultur, der politischen Entwicklung und den übrigen Wissenschaften

erreichte in diesem Zeitalter die Erdkunde eine Höhe, die sie bis

zum Beginn der Neuzeit nicht überschritten hat. Vor allem kommt für

das alexandrinische Zeitalter in Betracht, daß das Verkehrs- und

Nachrichtenwesen den damaligen Gelehrten schon ausgedehnte Reisen

und weitreichende Erkundigungen gestattete. Die Bekanntschaft mit

dem fernen Osten wurde der wissenschaftlichen Erdkunde durch den

Alexanderzug erschlossen. Daß die auf diesem Zuge gesammelten

Erfahrungen die Grundlagen der Pflanzengeographie entstehen ließen,

haben wir schon an früherer Stelle gesehen. Afrika wurde seit der

Ptolemäerzeit immer weiter von Ägypten aus erschlossen. Nach Norden

hatte sich der geographische Gesichtskreis fast bis zum Lande der

Mitternachtssonne erweitert.

Mit den nördlichen Ländern Europas wurde das Altertum besonders durch

die Reisen des Massiliers *Pytheas*, eines Zeitgenossen *Alexanders*

des Großen, bekannt. *Pytheas* unternahm eine Forschungsreise bis zur

Nordspitze Britanniens. Die frühere Annahme, er sei bis nach Island

vorgedrungen, hat man nicht aufrechterhalten können. Jedenfalls

brachte er aber Kunde von der Erscheinung, daß im hohen Norden in

der Mittsommerzeit die Sonne nicht untergehe. Im Zusammenhange damit

erwähnt er das sagenhafte Thule[416].

Der geographische Gesichtskreis der Alten hat sich also von der

südlichen Halbkugel bis zum nördlichen Polarkreis erstreckt[417].

Die Ergebnisse der alten Forschungsreisen waren besonders wertvoll,

wo es sich, wie bei *Pytheas*, um einen Mann handelte, der mit

physikalischen und astronomischen Kenntnissen ausgerüstet war. Leider

sind eigene Schriften von *Pytheas* nicht erhalten und die von ihm

gewonnenen Ergebnisse nur zum geringen Teil durch Fragmente bei anderen

Schriftstellern bekanntgeworden[418].

Verarbeitet wurde das reiche, durch die Züge *Alexanders* und durch

Entdeckungsreisen gleich derjenigen des *Pytheas* gewonnene Material

durch *Dikaiarchos*, einen Schüler des *Aristoteles*, und etwa ein

halbes Jahrhundert später am umfassendsten durch *Eratosthenes*.

*Dikäarch* schätzte die Breite der den Alten bekannten Welt von Meroë

bis zum Polarkreis auf 40000 Stadien. (Die Länge des attischen Stadiums

belief sich auf 177,6 Meter.) Die Längenausdehnung von den Säulen des

Herkules (der Straße von Gibraltar) bis zur Mündung des Ganges wurde

von ihm auf 60000 Stadien veranschlagt[419].

Nach *Dikäarch* (350-290) sollten die Säulen des Herkules, die Straße

von Messina, die peloponnesische Halbinsel, die Südküste Kleinasiens

und Indien auf dem nämlichen Breitenkreise liegen und dieser sollte

die Ökumene, d. h. den als bewohnt angenommenen Teil der Erde, etwa

halbieren. Die Orientierungsfehler, die *Dikäarch* bei der Feststellung

dieser Linie beging, waren also nicht unerheblich.

Von *Dikäarch* rühren auch die ersten Höhenbestimmungen her, die über

bloße Schätzungen hinausgingen. Anfangs hatten die Alten übertriebene

Vorstellungen von der Höhe der Gebirge. So ließ *Aristoteles* die

Höhen des Kaukasusgebirges noch 4 Stunden, nachdem die Sonne für den

Fuß des Gebirges untergegangen war, in ihrem Lichte glänzen, und

*Plinius* schätzte die Alpen zehnmal zu hoch[420]. Er hätte eine solche

Übertreibung vermeiden können, wenn er die Werte mehr beachtet hätte,

die *Dikäarch* und nach ihm *Eratosthenes* schon für bedeutende Höhen

ermittelt hatte. So bestimmte *Dikäarch* die Höhe des Pelion (1620

Meter) und die Höhe von Akrokorinth (575 Meter) annähernd richtig. Als

allgemeines Ergebnis hob er schon hervor, daß solche Werte im Vergleich

zum Durchmesser der Erde verschwindend klein seien. *Dikäarch* ist wohl

als der Begründer der mathematischen Erdkunde bezeichnet worden[421].

Dieser Ehrentitel bleibt indessen besser dem etwa ein halbes

Jahrhundert nach ihm lebenden *Eratosthenes* vorbehalten.

*Eratosthenes* wurde 275 v. Chr. in Kyrene geboren. *Ptolemäos III

Euergetes* berief ihn nach Alexandria und ernannte ihn zum Bibliothekar

der großen alexandrinischen Bibliothek. Des *Eratosthenes* Hauptwerk

war seine »Erdbeschreibung«, das erste wissenschaftliche Werk über

Geographie, das indes nur aus Bruchstücken bei *Strabon* bekannt

ist[422]. Es zerfiel in drei Bücher. Das erste handelte von der

physikalischen, das zweite von der mathematischen Geographie, während

das dritte die Chorographie, d. h. die Beschreibung der einzelnen

Länder, enthielt. Außerdem hat *Eratosthenes* auch auf den Gebieten der

Astronomie Hervorragendes geleistet. Vorhanden ist ferner ein Brief,

in dem er sich mit dem berühmten delischen Problem der Verdoppelung

des Würfels beschäftigt. Auch eine Regel zur Auffindung der Primzahlen

rührt von ihm her. Im Jahre 220 v. Chr. soll *Eratosthenes* in

Alexandrien Armillen[423] aufgestellt und damit den Abstand der

Wendekreise zu 11/83 des Kreisumfanges, das sind 47,7 Bogengrade,

ermittelt haben.

Nachdem man erkannt hatte, daß die Erde die Gestalt einer Kugel

besitzt, lag der Gedanke nahe, die Größe dieser Kugel zu bestimmen. Der

Ruhm, den richtigen Weg zu einer solchen Messung eingeschlagen und auf

ihm ein, im Verhältnis zu den vorhandenen Mitteln annähernd richtiges,

Ergebnis gefunden zu haben, gebührt gleichfalls dem *Eratosthenes*[424].

Bei größerer Ausdehnung der Reisen mußte es den Alten auffallen, daß

die täglichen Kreise, welche bekannte Sterne beschreiben, nicht überall

die gleiche Neigung zur Ebene des Horizontes besitzen. Insbesondere

konnte ihnen dies nicht lange bezüglich der Sonne verborgen bleiben. So

wußte *Eratosthenes*, daß dies Gestirn zur Zeit der Sommersonnenwende

im südlichen Ägypten mittags durch den Zenit geht, während es in

Alexandrien an diesem Tage einen südlich vom Zenit gelegenen Punkt

durchläuft. Infolgedessen zeigte der Gnomon an dem Mittag jenes Tages

in Syene[425] keinen Schatten. Anknüpfend an diese, ihm bekannte

Tatsache, ging *Eratosthenes* bei der Lösung seiner Aufgabe von einigen

Voraussetzungen aus, die zwar nicht ganz zutreffend sind, der Wahrheit

aber doch so nahe kommen, daß bei dem nur rohen Verfahren, um das es

sich hier handelt, das Ergebnis dadurch nicht wesentlich beeinflußt

wird. Zunächst war dies die Annahme, daß die Erde eine vollkommene

Kugel sei. Ferner, daß die genannten Städte auf demselben Meridian

gelegen seien, während sie in Wahrheit einen Längenunterschied von

mehreren Graden[426] aufweisen.

[Illustration: Abb. 20. Das zum Messen der Sonnenhöhe dienende

Instrument der Alten[427].]

In A (Abb. 20) befindet sich das Instrument, das die Alten bei der

Bestimmung der Sonnenhöhe gewöhnlich benutzten. Es war dies eine

halbkugelige Höhlung, aus deren Mitte sich ein Gnomon (GC) erhob.

Dieses Werkzeug wurde so aufgestellt, daß der Gnomon senkrecht zum

Horizonte stand, also die Verlängerung des Erdradius bildete. Der

Winkel EDA (Abb. 21) ließ sich auf einer Gradeinteilung ablesen.

Er war gleich dem zu messenden Bogen AB des Meridians (siehe Abb.

21). *Eratosthenes* fand nun EDA gleich 1/50 des Kreisumfanges oder

gleich 7° 12'. Er schätzte ferner die Strecke Syene-Alexandrien auf

5000 Stadien. Genauere Landesvermessungen gab es nämlich nur für das

untere Ägypten, so daß *Eratosthenes* auf die Angabe von Reisenden

angewiesen war, welche die Entfernungen in Tagesmärschen aufgezeichnet

hatten[428]. Der Umfang der Erde ergab sich somit gleich 5000 × 50 =

250000 Stadien, eine Größe, die sich in heutigem Maße auf etwa 45000

Kilometer beläuft, während der wahre Wert 40000 Kilometer beträgt[429].

Diese wissenschaftliche Tat des *Eratosthenes* erregte die Bewunderung

des Altertums, das nur in den besprochenen Messungen des *Aristarch*

etwas Ähnliches aufzuweisen hatte.

[Illustration: Abb. 21. Die Gradmessung des Eratosthenes.]

Das Nächstliegende wäre nun gewesen, die Gradmessung auf einem nicht

lediglich abgeschätzten, sondern genauer gemessenen Teil des Meridians

zu wiederholen. Eine solche Untersuchung gelangte jedoch erst viel

später zur Ausführung.

Wie *Dikäarch*, so hat auch *Eratosthenes* die Messung der

Erdoberfläche durch die Bestimmung der sie überragenden Höhen zu

ergänzen gesucht. *Eratosthenes* verfuhr dabei wie *Dikäarch* auf

trigonometrischem Wege und gelangte zu dem Ergebnis, daß es sich bei

den höchsten von ihm gemessenen Berghöhen um Werte von etwa 10 Stadien

handele.

Die Anfänge der heliozentrischen Lehre.

Daß schon während der ersten Periode der alexandrinischen Akademie

die Astronomie zur Wissenschaft heranreifte, indem sie sich von der

Spekulation der messenden Beobachtung zuwandte, ersehen wir vor allem

aus den im dritten vorchristlichen Jahrhundert entstandenen Arbeiten

der Alexandriner *Aristyllos* und *Timocharis*, sowie des mit der

alexandrinischen Schule in enger Fühlung stehenden *Aristarchos*

von Samos. Dem letzteren gebührt das Verdienst, die heliozentrische

Theorie in voller Klarheit entwickelt zu haben. Daran, daß die Erde im

Mittelpunkt der Welt ruhe, haben zuerst die Pythagoreer gezweifelt.

Unter ihnen entwickelte *Philolaos* eine Theorie[430], nach der sich

die Erde innerhalb eines Tages um ein Zentralfeuer drehe. Auf diese

Weise wurde die tägliche Bewegung des Himmels als eine nur scheinbare

erklärt. Sobald man das Zentralfeuer in die Mitte der Erdkugel

verlegte, hatte man den einen Bestandteil der koppernikanischen

Lehre, nämlich die Drehung unseres Weltkörpers um seine Achse, schon

vorweggenommen.

Der Kern dieser Lehre, die Umlaufsbewegung der Erde und der übrigen

Planeten um die Sonne, läßt sich heute in seiner allmählichen

Entwicklung zurückverfolgen. Den Ausgang bilden die Beobachtungen an

Venus und Merkur. Sie führten, wie wir sahen[431], zu der Lehre des

*Herakleides Pontikos*, nach welcher diese Himmelskörper um die Sonne

kreisen. Von dieser Lehre, die früher wohl den Ägyptern zugeschrieben

wurde, hat *Koppernikus* nach seinen eigenen Worten sehr wohl gewußt.

Von hier aus konnte man leicht zu einer richtigen Auffassung des

Weltsystems gelangen, wenn man die Sonne als Mittelpunkt der Bahnen

auch der übrigen Planeten betrachtete. Sieht man von den heute schwer

sicherzustellenden Spekulationen der Pythagoreer ab, so war es vor

allem *Aristarch*, der die heliozentrische Weltansicht mit voller

Klarheit aussprach. Ihn soll die Überzeugung, daß die Sonne weit

größer als die Erde und der Mond sei, zur Aufstellung seines Systems

geführt haben. Auch ohne eine Kenntnis der Gesetze der Dynamik

fühlte *Aristarch* sozusagen durch, daß es ungereimt sei, den Umlauf

eines gewaltigen Weltkörpers um einen im Verhältnis winzig kleinen

anzunehmen. *Koppernikus* fügte zu diesem Grund noch den hinzu, daß die

Sonne als Leuchte der Welt auch in deren Mitte gehöre[432].

Bis zum Ende der ersten, etwa bis *Aristoteles* reichenden Periode der

griechischen Astronomie hatte die Spekulation überwuchert. Zum Glück

traten jedoch in der alexandrinischen Schule, und im Zusammenhange

mit dieser, Männer auf, die sich mit nüchternem Sinne der Erforschung

der Himmelserscheinungen zuwandten. Die Astronomie ging damit von den

durch mangelhafte Beobachtung gestützten Philosophemen zum messenden

Verfahren über und erhob sich dadurch auf die Stufe einer Wissenschaft

im strengen Sinne des Wortes. Als diejenigen unter den Griechen, die

zuerst diesen Weg beschritten haben, sind die Alexandriner *Aristyll*

und *Timocharis* und vor allem der schon erwähnte *Aristarch* von Samos

zu nennen. Mit der Forschertätigkeit dieser Männer heben zwei Probleme

an, die seitdem den menschlichen Geist beschäftigt haben und mit immer

größerer Schärfe ihrer Lösung zugeführt worden sind. Es sind dies die

Topographie des Fixsternhimmels, d. h. die genaue Bestimmung möglichst

vieler Sternörter, sowie die Ermittelung der Abmessungen der Erde und

unseres Planetensystems, zunächst der Entfernung der Sonne und des

Mondes. In welchem Maße die Ägypter und ganz besonders die Chaldäer

den alexandrinischen Astronomen durch das Sammeln eines reichen, sich

über lange Zeiträume erstreckenden Beobachtungsmaterials vorgearbeitet

hatten, wurde an früherer Stelle dargetan.

*Aristyll* und *Timocharis*, die ihre Beobachtungen um das Jahr 300 v.

Chr. anstellten, bedienten sich der Armillen, d. h. geteilter Kreise,

von denen der eine in der Ebene des Äquators lag, während der andere

um die Weltachse gedreht werden konnte. Mit Hilfe dieses Apparates

bestimmten sie die Lage einzelner Sterne, indem sie ihre Deklination

oder den Bogenabstand vom Äquator bis auf Bruchteile von Graden

ermittelten und gleichzeitig den Ort der Sterne auf den Frühlingspunkt

bezogen. Das von ihnen herrührende Verzeichnis, das bis auf wenige

Angaben verlorengegangen ist, gab 170 Jahre später *Hipparch* die

Möglichkeit, das Vorrücken der Nachtgleichen zu entdecken[433].

*Timocharis* bediente sich bei seinen astronomischen Beobachtungen auch

der Stundenangaben. Die (babylonische) Zwölfteilung des Tages läßt sich

bei den Griechen nicht vor *Alexander* dem Großen nachweisen[434].

Vorher richtete man sich im praktischen Leben nach der Länge des

eigenen Schattens und verabredete z. B. eine Zusammenkunft für die

Tageszeit, wann der Schatten 6 oder 8 Fuß lang sei.

[Illustration: Abb. 22. Aristarchs Verfahren, die Entfernung des Mondes

und der Sonne zu bestimmen.]

Über die Größenverhältnisse des Planetensystems hat *Aristarch* die

ersten Untersuchungen angestellt. Er war ohne Zweifel einer der

bedeutendsten Astronomen seiner Zeit. Von seinem Leben ist indessen

keine nähere Kunde auf uns gelangt. *Aristarch* wurde um das Jahr

270 v. Chr. in Samos geboren. Das einzige, was von seinen Schriften

erhalten blieb, sind Teile einer Abhandlung, die von der Größe und

den Entfernungen des Mondes und der Sonne handelt[435]. Die Abstände

dieser Weltkörper von der Erde verhalten sich nach *Aristarch* etwa wie

1 : 19, während das wahre Verhältnis annähernd 1 : 400 ist. Zu seinem

Ergebnis gelangte *Aristarch* durch folgende Überlegung. Erscheint von

einem Punkte E der Erde (siehe Abb. 22) der Mond genau zur Hälfte von

der Sonne beleuchtet, so bildet jener Punkt E mit den Mittelpunkten

des Mondes und der Sonne ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem der

Abstand des Mondes eine Kathete (ME) und die Entfernung der Sonne die

Hypotenuse (ES) ist. Der Winkel bei E mißt nun nach *Aristarch* 87°,

während er in Wahrheit viel weniger von einem Rechten abweicht und

sich auf 89° 50' beläuft. Das gesuchte Verhältnis, das *Aristarch* auf

mühsame Weise in die Grenzen 1 : 18 und 1 : 20 einschloß, ist gleich

dem Cosinus des Winkels bei E, unter dem beide Weltkörper in dem

angegebenen Falle von der Erde aus gesehen werden (EM : ES, siehe Abb.

22).

Auch die Raumverhältnisse der Weltkörper berechnete *Aristarch*. So

fand er, daß der Mond etwa 25 (statt 48) mal so klein, die Sonne

dagegen 300 (statt 1300000) mal so groß wie die Erde sei[436].

Der Weg, auf dem *Aristarch* seine Aufgabe zu lösen suchte, ist,

theoretisch genommen, zwar richtig. Daß sich trotzdem ein Resultat

ergab, das von dem heute gültigen Wert in solch erheblichem Maße

abwich, ist aus mehreren Umständen zu erklären. Einmal war man zu

jener Zeit noch nicht imstande, solch kleine Winkelunterschiede wie

diejenigen, um die es sich hier handelt, zu messen. Zum andern aber

besitzt die gesuchte Grenze zwischen dem beleuchteten und dem dunklen

Teile des Mondes keine hinlängliche Schärfe. Immerhin verdiente

*Aristarch* in vollem Maße die Anerkennung, die ihm das Altertum

dieser Bestimmung wegen zollte. Daß *Aristarch* die heliozentrische

Theorie 1-1/2 Jahrtausende vor *Koppernikus* klar aussprach, geht auch

aus einer Äußerung des *Archimedes* hervor. Sie lautet: »*Aristarch*

gelangt zu der Annahme, die Fixsterne samt der Sonne seien unbeweglich.

Die Erde aber werde in einer Kreislinie um die Sonne, die in der Mitte

der Erdbahn stehe, herumgeführt[437].«

Zu den Vorläufern des *Koppernikus* ist auch der Pythagoreer *Niketas*

zu rechnen. Auf ihn führt *Koppernikus* selbst die Anregung zurück,

die ihn veranlaßte, den geozentrischen Standpunkt aufzugeben. Von der

Lehre des *Niketas* gibt uns eine kurze Bemerkung Kunde, die sich bei

*Cicero* findet und auf die sich später *Koppernikus* berufen hat. Sie

lautet: »*Niketas* aus Syrakus nimmt an, wie *Theophrast* erzählt, daß

der Himmel, die Sonne, der Mond und die Sterne stillstehen, und daß

sich außer der Erde nichts im Weltall bewegt. Die Erde dreht sich um

eine Achse. Dadurch scheint sich der Himmel zu bewegen.« Ohne Zweifel

ist dies ein deutliches Zeugnis dafür, daß man im frühen Altertum, wenn

auch nur vereinzelt, den Versuch gemacht hat, die scheinbare tägliche

Umdrehung des Himmels aus einer Rotation der Erde zu erklären. Auch auf

*Plutarch* konnte sich *Koppernikus* berufen, da *Plutarch* in seiner

Schrift »Von den Meinungen der Philosophen« die astronomischen Lehren

des *Philolaos* und des *Herakleides Pontikos* erwähnt sowie an anderer

Stelle auch auf die Ansichten *Aristarchs* bezug genommen hat.

Fortschritte der messenden Astronomie.

Die bedeutendste Förderung während des vorchristlichen Abschnittes des

alexandrinischen Zeitalters erfuhr die Astronomie durch *Hipparch*.

Seine wissenschaftliche Tätigkeit fällt etwa in die Zeit von 160-125

v. Chr. Von seinem Leben ist wenig bekannt. Er lebte in Rhodos,

hielt sich wahrscheinlich aber auch in Ägypten auf[438]. *Hipparch*

erleichterte die Arbeit des Astronomen vor allem dadurch, daß er als

trigonometrisches Hilfsmittel eine Sehnentafel schuf. Sie enthielt für

die Winkel im Kreise den Wert der zugehörigen Sehnen, in Teilen des

Halbmessers ausgedrückt. Die Berechnung war sehr mühsam. Sie geschah,

indem man von den Sehnen der Winkel 120°, 90°, 72°, 60°, 36° ausging.

Diese Sehnen ließen sich als Seiten des regelmäßigen 3-, 4-, 5-, 6-

und 10-Ecks leicht in Teilen des Radius ausdrücken. Mit Hilfe des

Pythagoreischen Lehrsatzes und eines Hilfssatzes bestimmte man dann

die Sehnen von halben Bogen, sowie die Sehnen von Bogensummen und

Bogendifferenzen und gelangte so zu einer Tafel von zahlreichen Bogen

nebst den entsprechenden Sehnen. Anfangs wies diese Tafel bedeutende

Lücken auf, die man indessen durch Interpolation nach und nach

ausfüllte. Erst von *Ptolemäos* wurden die Sehnen aller Winkel, nach

halben Graden fortschreitend, mit hinreichender Genauigkeit bestimmt.

Seine Tafel, die einen wesentlichen Teil des 1-1/2 Jahrtausende die

Astronomie beherrschenden *Ptolemäi*schen Werkes ausmachte, hat während

jenes langen Zeitraumes den Astronomen an Stelle unserer heutigen

trigonometrischen Tabellen große Dienste geleistet.

*Ptolemäos* teilte den Radius in 60 Teile und führte diese Teilung

sexagesimal weiter. Die Sehnen wurden dann für die verschiedenen

Winkel in Sechzigsteln des Radius ausgedrückt. So wurden feststehende

Verhältnisse gewonnen, da die absolute Größe des Radius und der Sehnen

nicht in Betracht kam. Es kam auch vor, daß *Ptolemäos* mitunter statt

der ganzen die halben Sehnen benutzte, doch blieb die konsequente

Durchführung dieser Maßregel, die ja die Einführung der Sinusfunktion

bedeutet haben würde, den Indern vorbehalten.

Die Trigonometrie beschränkte sich bei den Alten auf das rechtwinklige

Dreieck. Die Ausdehnung der trigonometrischen Funktionen auf Winkel von

90°-180° erfolgte erst durch die Araber, die auch die Trigonometrie

des schiefwinkligen Dreiecks begründeten[439]. Kamen solche Dreiecke

für die alten Astronomen in Betracht, so wurden sie in rechtwinklige

Dreiecke, die man berechnen konnte, zerlegt.

Aus den Fortschritten, welche die Mathematik im alexandrinischen

Zeitalter erfuhr, zog unter allen Wissenschaften die Astronomie auch

weiterhin den größten Nutzen. Es begann für sie die Periode der

systematischen, messenden Beobachtungen. Und wenn das Ergebnis auch

noch nicht in der allgemeinen Annahme des wahren Weltsystems bestand,

so gelangte man doch zur klaren Auffassung vieler, nur vermöge exakter

Messung wahrnehmbarer Erscheinungen. Vor allem ist hier *Hipparch*

zu nennen, der für die Astronomie dieselbe Bedeutung besitzt, die

*Aristoteles* hinsichtlich der Zoologie und *Archimedes* in bezug auf

die Mechanik zugeschrieben werden muß.

Während der ersten Entwicklungsstadien der Astronomie hatte man sich

darauf beschränkt, die Stellung der wichtigeren Fixsterne dadurch

festzulegen, daß man am Himmel gewisse Figuren einzeichnete. Mitunter

brachten diese Sternbilder auch äußerliche Ähnlichkeiten zum Ausdruck,

wie z. B. beim Wagen.

In die Blütezeit der alexandrinischen Schule fällt nun der Versuch

einer genaueren, durch Winkelmessung ermittelten Ortsbestimmung der

wichtigsten Fixsterne. Man bezog ihre Stellungen auf die Punkte, in

denen die Ekliptik den Himmelsäquator schneidet, und bestimmte bei

einer größeren Anzahl auch den Abstand vom Äquator bis auf Teile eines

Grades. Ein solches, von *Aristyll* und *Timocharis* herrührendes

Fixsternverzeichnis, das etwa 150 Angaben umfaßte, befand sich in

den Händen des *Hipparch*, als plötzlich, im Jahre 134 v. Chr., ein

seltenes astronomisches Ereignis, nämlich das Auftreten eines neuen

Sternes erster Größe, eintrat[440]. Bot aber die Fixsternregion, die

*Aristoteles* als den Ort des unwandelbaren Seins bezeichnet hatte,

derartige plötzliche Veränderungen dar, so mußte sich in den Astronomen

der Wunsch nach einer genauen Topographie des Himmels regen, um auf

solche Weise späteren Zeiten eine stete Kontrolle zu ermöglichen. In

den auf jenes Ereignis folgenden Jahren bestimmte deshalb *Hipparch*

etwa tausend Sternörter[441]. *Hipparch* löste dadurch nicht nur die

gestellte Aufgabe, sondern er machte außerdem die wichtige Entdeckung,

daß der Frühlings- und der Herbstpunkt ihre Lage langsam ändern. Für

einen der hervorragendsten Sterne des Tierkreises, die Spica in der

Jungfrau nämlich, ergab sich, daß er 6° vom Herbstpunkte entfernt war,

während der 170 Jahre früher gemessene Abstand 8° betrug. Die Breite

der Fixsterne war dagegen unverändert geblieben. Dieses Vorrücken der

Äquinoktialpunkte[442] glaubte *Hipparch* aus seinen und den älteren

Beobachtungen auf mindestens einen Grad für ein Jahrhundert, also auf

36'' für das Jahr ansetzen zu dürfen, während es in Wahrheit 50''

beträgt.

Die Arbeiten, in denen *Hipparch* von der Präzession der Nachtgleichen

handelt, sind leider bis auf dasjenige, was der »Almagest« darüber

bringt, verlorengegangen. Nach *Tannery* beläuft sich der von

*Hipparch* gefundene Betrag des Vorrückens auf 1° 23' 25'' für das

Jahrhundert[443]. Auf die Entdeckung der Präzession gründet sich

die Vorstellung von einem 26000 Jahre umfassenden Zeitraum (dem

platonischen Jahr), der mit der Lehre von der steten Wiederkehr in

Beziehung gebracht wurde. Auf diese Lehre abzielende Andeutungen

finden sich schon bei *Platon*, später auch bei *Cicero*, *Seneca* und

anderen Schriftstellern des Altertums. Die Vorstellung, daß die Natur

einem regelmäßig wiederkehrenden Wechsel unterliegt, hatte ja auch

manches für sich. Die Kirchenväter verhielten sich jedoch ihr gegenüber

ablehnend, weil sie den christlichen Vorstellungen nicht entsprach.

Unter den Arabern finden sich dagegen wieder Anhänger der Lehre von der

steten Wiederkehr[444].

Auch daß sich die Erde in der Sonnennähe schneller bewegt als in der

Sonnenferne, wurde von *Hipparch* beobachtet, wenn er auch diese

Bewegung auf unser Zentralgestirn übertrug, an dem sie ja scheinbar

vorsichgeht. Da man im Altertum an der aristotelischen Voraussetzung

festhielt, daß die Bewegung der Himmelskörper gleichförmig und in

Kreisen erfolge, so erklärte *Hipparch* die beobachtete Erscheinung aus

der Epizyklentheorie, indem er die Sonne einen Kreis durchlaufen ließ,

dessen Mittelpunkt sich auf einem größeren, um die Erde gespannten

Kreise fortbewegen sollte.

Die genauere Erforschung der scheinbaren Sonnenbewegung führte

*Hipparch* ferner zu der Entdeckung, daß die Länge des Jahres, d.

h. der Zeit zwischen zwei Durchgängen des Sonnenzentrums durch den

Frühlingspunkt, nicht, wie vor ihm angenommen, 365-1/4 Tage beträgt,

sondern daß sie etwas kürzer ist[445].

Eine schärfere Bestimmung der Mond- und der Planetenbewegungen, wie sie

am Himmelsgewölbe vorsichzugehen scheinen, hat *Hipparch* gleichfalls

in Angriff genommen. Die Lösung dieser Aufgabe gelang jedoch erst

mehrere Jahrhunderte später dem *Ptolemäos*, dessen Bedeutung für die

astronomische Wissenschaft späterer Würdigung vorbehalten bleibt.

Auch das durch die Zahlenmystik der Pythagoreer angeregte, schon von

*Aristarch* behandelte Problem, die Entfernungen und die Größe der

Himmelskörper zu bestimmen, beschäftigte *Hipparch*. Behufs der Lösung

dieser Aufgabe führte er den Begriff der Parallaxe ein. Man versteht

darunter den Winkel, unter dem der Erdhalbmesser von dem Gestirne

aus erscheint, dessen Abstand gemessen werden soll. *Hipparchs*

Bestimmungen ergaben für die Entfernung des Mondes 59 Erdhalbmesser.

Dieser Wert kommt der Wahrheit ziemlich nahe[446], während die von

*Hipparch* herrührenden Werte für die Entfernung und die Größe der

Sonne von der Wirklichkeit erheblich abweichen.

Die wichtigsten Lehren der antiken Astronomie wurden nach dem von

*Hipparch* gewonnenen Standpunkte von *Geminos* zusammengestellt.

*Geminos* aus Rhodos lebte um 70 v. Chr. in Rom. Seine Einführung

in die Astronomie (εἰσαγωγή) wurde 1590 unter dem Titel Elementa

astronomiae herausgegeben[447]. Sie zeugt von großer Sachkunde,

ist frei von allem hergebrachten Aberglauben, kurz, durchaus

wissenschaftlich gehalten. Einen entschieden ablehnenden Standpunkt

nimmt *Geminos* manchen herrschenden Lehren gegenüber ein. So

spricht er sich z. B. dahin aus, daß die Hitze des Sommers nicht

von dem Hundsstern (Sirius) abhänge, sondern in dem Stande der

Sonne ihre Ursache habe. Für *Geminos* liegen ferner die Fixsterne

nicht sämtlich in einer Sphäre. Ihre Entfernung von der Erde werde

wohl sehr verschieden sein. Es fehle uns nur an einem Mittel, diese

Verschiedenheit wahrzunehmen. Das Werk des *Geminos* hat späteren

Zeiten als wertvolle Quelle für die antike Astronomie gedient.

Die Anfänge der wissenschaftlichen Kartographie.

[Illustration: Abb. 23. Breitenbestimmung mit dem Gnomon.]

Die geschilderten Fortschritte der Astronomie trugen dazu bei, daß

auch die Geographie immer mehr einen wissenschaftlichen Grundzug

erhielt. Dies sprach sich vor allem darin aus, daß man sich der

astronomischen Ortsbestimmung zu bedienen anfing. Anfangs waren die

geographischen Karten bloße Itinerarien, d. h. sie wurden auf Grund

der von den Reisenden angegebenen Wegelängen und der eingeschlagenen

Himmelsrichtung entworfen. Während *Eratosthenes* bei seiner

Bearbeitung der Länderkunde sich auf die Angabe der Polhöhe eines Ortes

oder einer Landschaft beschränkte, führte *Hipparch* die Bestimmung

nach geographischer Länge und Breite ein. Um die Breite eines Ortes zu

finden, brauchte man nur die Höhe der Sonne um Mittag während der Zeit

der Tag- und Nachtgleiche zu ermitteln und den so erhaltenen Winkel

von 90° abzuziehen. Dazu bediente man sich des Gnomons. Bei diesen

Messungen, die bis auf 1-2 Bogenminuten genau erfolgten, begingen die

alten Astronomen einen Fehler von 16 Bogenminuten, ein Wert, der dem

Halbmesser der Sonne gleichkommt. Den Ursprung dieses Fehlers erläutert

Abb. 23. Sie läßt erkennen, daß aus dem Schatten als Höhenwinkel der

Winkel BDA resultiert, während die wahre Sonnenhöhe BCA ist[448].

*Hipparch* teilte den Äquator in 360 Grade. Als Anfangsmeridian wählte

er denjenigen, welcher die Insel Rhodos schneidet, da er hier einen

Teil seiner Beobachtungen angestellt hatte. Während die Breite, nachdem

man ihren Zusammenhang mit der Polhöhe erkannt, leicht bestimmt werden

konnte, machte die Feststellung der Länge Schwierigkeiten. Diese

wurden noch im Zeitalter *Newtons* lebhaft empfunden und erst durch

die immer weiter gehende Vervollkommnung der Chronometer gehoben.

Auch *Hipparch* brachte eine Art von chronometrischem Verfahren

in Vorschlag. Unter der Voraussetzung, daß der Eintritt einer

Himmelserscheinung, z. B. der Beginn einer Mondfinsternis, von allen

Bewohnern eines Erdteils in demselben Augenblick gesehen wird, sollte

die Zeit des Eintritts für verschiedene Orte festgestellt und aus dem

Unterschied der Ortszeiten der Unterschied der Längen berechnet werden.

[Illustration: Abb. 24. Stereographische und orthographische

Projektion.]

Für die kartographische Darstellung bediente sich *Hipparch* zur

Abbildung des Himmels der stereographischen[449], zur Abbildung

von Ländern meist der orthographischen Projektion. Bei der ersten

Projektionsart wird eine Ebene zwischen das Auge und die abzubildende

krumme Fläche gebracht. Jeder Strahl, der einen Punkt der letzteren mit

dem Auge verbindet, schneidet jene Ebene. Infolgedessen projizieren

sich die Punkte der krummen Fläche in der Weise auf die Ebene, daß

das Auge von dem Bilde auf der Ebene denselben Eindruck bekommt, den

es von der krummen Fläche, z. B. der Halbkugel des Himmels, erhält.

Bei der orthographischen Projektion dagegen wird von jedem Punkte der

darzustellenden krummen Fläche eine Senkrechte auf die Projektionsebene

gefällt. Das Bild auf dieser macht also den Eindruck, den die krumme

Fläche einem weit entfernten Auge bietet.

Die Begründung einer Physik der Gase und der Flüssigkeiten.

Während die Astronomie und die Geographie sich mächtig entwickelten

und im 2. Jahrhundert nach dem Beginn der christlichen Zeitrechnung

innerhalb derselben alexandrinischen Akademie durch *Ptolemäos* eine

zweite Blütezeit erlebten, schien die wissenschaftliche Mechanik nach

den hoffnungsvollen Anfängen, die man dem *Archimedes* verdankte, zum

Stillstande verurteilt zu sein, obgleich sich auch diese Wissenschaft

für die Anwendung des durch die Mathematik gebotenen, deduktiven

Verfahrens so sehr eignete. Abgesehen von der Schwerpunktsbestimmung

körperlicher Gebilde -- *Archimedes* hatte sich hierbei auf Flächen

beschränkt -- machte die theoretische Mechanik kaum wesentliche

Fortschritte. Jene Bestimmungen rühren von *Pappos* von Alexandrien

her, der im 4. nachchristlichen Jahrhundert lebte und somit einer

späteren Periode angehört.

*Pappos* befaßte sich nach dem Vorbilde des *Archimedes* auch mit der

Untersuchung von Rotationskörpern und kam dabei auf einen wichtigen

allgemeinen Satz, der später unter dem Namen der *Guldin*schen Regel

bekannt geworden ist. *Pappos* fand nämlich, daß der Inhalt eines

Rotationskörpers aus der Fläche der sich drehenden Figur und dem von

ihrem Schwerpunkt beschriebenen Kreise berechnet werden kann. Diese

Regel wurde im Laufe der Jahrhunderte vergessen und von *Guldin*

(1577-1643), nach dem sie heute die *Guldin*sche Regel genannt wird,

von neuem gefunden.

Weit mehr als um die Fortbildung der theoretischen hat man sich während

der alexandrinischen Zeit um die der praktischen Mechanik bemüht. Man

versah z. B. die Wasseruhren mit einer Zeigervorrichtung und erfand

die Feuerspritze[450]. Diese besaß, nach einem im 18. Jahrhundert

aufgefundenen, aus der römischen Kaiserzeit herstammenden Exemplar[451]

zu urteilen, schon im Altertum eine im wesentlichen der heutigen

entsprechende Einrichtung. (Abb. 25.)

Auch gewann man damals einige Kenntnis von der Natur der Gase und

der Dämpfe. Besonders verdient um dieses Gebiet machte sich *Heron*

von Alexandrien, dessen Name noch heute in einem bekannten Apparat

unserer physikalischen Sammlungen, dem Heronsball, fortlebt[452].

*Herons* Tätigkeit fällt vielleicht um das Jahr 100 v. Chr. Doch ist

die Frage, welchem Zeitalter er eigentlich angehört hat, noch immer

nicht mit Bestimmtheit gelöst. Näheres über diese »Heronische Frage«

enthält die Einleitung der unten erwähnten Ausgabe der Werke *Herons*

(s. S. 192 Anm. 4). Sein Verdienst bestand darin, daß er zahlreiche

Erfindungen der alten Physiker und Techniker zusammenstellte und

dadurch die Entwicklung, welche die Physik seit dem 16. Jahrhundert

nahm, in hohem Grade befruchtete. Von eigenen Erfindungen *Herons* ist

in seinen Schriften kaum die Rede. Seine »Pneumatik« ist das erste auf

uns gelangte Werk[453], das sich mit Versuchen über die Eigenschaften

der Luft und der gespannten Dämpfe beschäftigt. Daß *Heron* auf diesem

Gebiete zahlreiche Vorgänger besaß, ist daraus ersichtlich, daß er

seine »Pneumatik« mit folgenden Worten beginnt: »Die Beschäftigung mit

Luft- und Wasserkünsten ist von den alten Philosophen und Mathematikern

hoch geschätzt worden. Es ist daher notwendig, das seit alters darüber

Bekannte in gehörige Ordnung zu bringen ...«

[Illustration: Abb. 25. Die Feuerspritze nach Heron.]

Unter den Vorläufern *Herons* ist als einer der frühesten, der uns

bekanntgeworden ist, *Ktesibios* von Alexandrien zu nennen (um 140 v.

Chr.).

Letzterer fand einen Nachahmer in *Philon* von Byzanz. Bei ihm findet

sich schon die Beschreibung des Heronsballs, der also eigentlich als

Philonsball bezeichnet werden müßte[454]. Auch das Thermoskop begegnet

uns schon bei *Philon*[455]. *Philons* »Pneumatik« und *Herons*

»Mechanik« waren bis vor kurzem nur in spärlichen Fragmenten bekannt.

Da entdeckte man, daß arabische Übersetzungen der griechischen Texte

existieren. So wurde man[456] 1894 mit der »Mechanik« *Herons* und 1897

mit der »Pneumatik« des *Philon* von Byzanz bekannt. Die Gesamtausgabe

der Werke *Herons* ist für die Geschichte der Mathematik sowie der

reinen und der angewandten Naturwissenschaften von großer Bedeutung.

Das Automatenwerk *Herons* ist auch kunstgeschichtlich von Wichtigkeit,

da es manchen Aufschluß über die antiken Bühneneinrichtungen gibt[457].

*Heron* beschreibt in seiner »Pneumatik« eine große Anzahl von

Apparaten, welche durch erwärmte Luft oder Dampf in Bewegung gesetzt

werden. Die Abbildungen, von denen wir einige hier wiedergeben, rühren

nicht von *Heron* selbst, sondern von einem späteren Herausgeber

her[458].

Handelt es sich zum Teil auch um physikalische Spielereien, so begegnet

uns doch manches, was den Anstoß zu späteren Erfindungen gegeben

hat. Insbesondere gilt dies von einem Apparat, bei dem der Dampf in

derselben Weise einen Körper in drehende Bewegung versetzt, wie es

das ausströmende Wasser bei den Reaktionsrädern bewirkt. Die Maschine

*Herons* (Abb. 26) besteht aus einem Kessel, von dem zwei senkrechte

Röhren ausgehen. Zwischen ihnen befindet sich eine drehbare Halbkugel

mit zwei Ansätzen, aus welchen der in die Halbkugel geleitete Dampf

in tangentialer Richtung entweicht. Dadurch wird die Kugel in Drehung

versetzt.

[Illustration: Abb. 26. Heron verwendet den Dampf zum Betriebe einer

maschinellen Einrichtung.]

Den nach ihm benannten Ball (s. Abb. 27) beschreibt *Heron* in

folgender Weise: »In die Öffnung eines Gefäßes wird eine Röhre

eingelötet, die fast bis auf den Boden reicht und in eine enge Mündung

ausläuft. Durch eine seitliche Öffnung gießen wir Wasser in das Gefäß.

Darauf blasen wir in diese Öffnung hinein, während wir auf die enge

Mündung der senkrechten Röhre den Finger legen. Schließen wir dann

die seitliche Öffnung und nehmen wir den Finger von der senkrechten

Röhre fort, so wird in ihr das Wasser durch die hineingeblasene,

zusammengepreßte Luft emporgetrieben.«

[Illustration: Abb. 27. Der Heronsball.]

Endlich sei hier noch *Herons* Abbildung des Hebers wiedergegeben (s.

Abb. 28). »Befindet sich«, sagt *Heron* in seiner Erläuterung dieses

Apparates, »die Hebermündung in gleicher Höhe mit dem Wasserspiegel,

so wird der Heber, obgleich er voll Wasser ist, nicht fließen, sondern

gefüllt bleiben. Es ist nämlich, wie bei einer Wage, das Wasser in

diesem Falle im Gleichgewicht, indem es bestrebt ist, auf der Seite

θβ sich zu heben und auf Seite βγ sich zu senken. Ist aber die äußere

Mündung des Hebers niedriger als der Wasserspiegel, so fließt das

Wasser aus, da das in dem Abschnitte κβ befindliche Wasser, das

schwerer ist als das in βθ, letzteres überwältigt und anzieht.«

[Illustration: Abb. 28. Herons Abbildung eines Hebers.]

Was die Natur der Luft betrifft, so meint *Heron*, daß sie aus Teilchen

bestehe, die wie die Körnchen des Sandes durch leere Zwischenräume

getrennt seien. Dies beweise zumal der Umstand, daß sich noch Luft in

eine Kugel zu der darin vorhandenen füllen lasse, was darauf beruhe,

daß die neuen Luftteilchen an Stelle der leeren Räume treten. Wolle man

annehmen, die Luft fülle den vorhandenen Raum ganz aus, so würde eine

Kugel beim Hineinbringen einer weiteren Luftmenge platzen müssen. Gäbe

es keine Vakua, fügt *Heron* noch hinzu, so könnten weder Licht noch

Wärme durch Wasser oder andere Flüssigkeiten dringen. Wenn nämlich die

Flüssigkeit keine Poren hätte, die Strahlen also mit Gewalt ins Wasser

drängen, so müßten volle Gefäße überlaufen[459]. Jeder Körper besteht

deshalb, nach *Heron*, aus kleinen Teilchen und dazwischen befindlichen

leeren Räumen. Ein kontinuierliches Vakuum sei dagegen ohne Mitwirkung

einer äußeren Kraft nicht möglich[460]. Daß die Luft ein Körper ist,

beweist *Heron*, indem er ein leeres Gefäß umgekehrt ins Wasser taucht.

Auch bemerkt er, die Luft habe eine eigentümliche Spannkraft, indem

sie sich, wie ein trockener Schwamm, nach dem Zusammendrücken wieder

ausdehne.

Zu welch überraschenden Kunststücken man diese Kenntnisse zu verwerten

wußte, zeigt uns die, durch nebenstehende Abbildung (29) erläuterte,

auf der Ausdehnung und der Zusammenziehung der Luft beruhende

Vorrichtung.

Wird auf dem Altar E ein Feuer angezündet, so treibt die erwärmte Luft

infolge ihrer Ausdehnung das Wasser, das sich in der Kugel P befindet,

in das aufgehängte, mit einem Drehwerk verbundene Gefäß M. Letzteres

sinkt infolge seiner Gewichtszunahme und öffnet die Tür. Nach dem

Erkalten der Luft strömt das Wasser durch die Röhre L nach P zurück,

und die Tür wird durch das Gegengewicht D geschlossen, während das

Gefäß M in seine frühere Lage zurückkehrt.

[Illustration: Abb. 29. Herons Automat zum Öffnen der Tempel[461].]

Sowohl eine Beschreibung in *Herons* »Pneumatica«, als auch die

archäologischen Funde liefern den Beweis, daß man im späteren Altertum

schon Orgeln mit Klaviaturen besaß, die man wie unsere heutigen Orgeln

und Klaviere benutzte (Abb. 30). Sie wurden durch Wasser betrieben, mit

dessen Hilfe man die Luft in einem Kasten zusammenpreßte (Wasserorgel

oder hydraulus). Eine aus Ton verfertigte Orgel wurde vor einiger Zeit

in Karthago aufgefunden. Sie läßt außer den Einrichtungen, die zur

Herstellung des Luftstromes dienen, drei Reihen von Orgelpfeifen und

eine Klaviatur erkennen[462].

[Illustration: Abb. 30. Wasserorgel oder hydraulus.]

*Heron* bringt ferner eine Beschreibung der Feuerspritze, deren

Rekonstruktion in Abb. 25 wiedergegeben wurde (s. S. 191). Seine

Beschreibung lautet: »Es seien αβγδ und εζηθ zwei bronzene Stiefel,

deren Inneres für zwei Kolben ausgedrechselt ist. Die Kolben müssen

luftdicht in die Stiefel passen. Letztere seien durch das an beiden

Enden offene Rohr ξοδζ miteinander verbunden. Außerhalb der Stiefel,

aber innerhalb dieses Rohres, sollen Klappenventile π und ρ derart

angebracht sein, daß sie sich nach der Außenseite öffnen können. Die

Stiefel sollen auch auf dem Boden runde Löcher haben, die mit kleinen,

geschliffenen Scheibchen bedeckt werden. Letztere sind durch Stifte und

Häkchen so angebracht, daß sie sich wohl auf- und abbewegen, aber sich

nicht von den Öffnungen seitlich entfernen können. Mit den Kolben seien

Kolbenstangen und ein Querbalken verbunden. Mit dem Rohre, das die

beiden Stiefel verbindet, stehe ein vertikales Steigrohr in Verbindung.

Dieses verzweige sich bei ϛ zu einem Doppelarm, der zu einer drehbaren

Mündung führt[463].« Die beschriebene Vorrichtung stimmt also mit der

heutigen Feuerspritze überein, nur daß der Windkessel fehlt.

Ein Teil der zahlreichen, in *Herons* »Pneumatica« beschriebenen

Versuche stammt von *Philon* von Byzanz, der gleich *Heron* ein Schüler

des *Ktesibios* war. Da einige von diesen Versuchen eine grundlegende

Bedeutung haben, so seien sie hier angeführt. So stellte *Philon*

ein Thermoskop her, das auf der Ausdehnung der Luft durch die Wärme

beruhte. In eine Bleikugel a wurde das doppelt gebogene Rohr b (s.

Abb. 31) luftdicht eingefügt. Das andere Ende des Rohres mündete unter

Wasser. Brachte man die Bleikugel in die Sonne, so strömte die Luft

durch b aus. Wurde dagegen die Bleikugel abgekühlt, so gelangte Wasser

durch b in die Kugel a[464].

[Illustration: Abb. 31. Philons Thermoskop.]

[Illustration: Abb. 32. Philons Saugkerze.]

Die Abbildung 32 zeigt uns *Philons* Saugkerze. In dem Gefäße a

befindet sich Wasser und eine brennende Kerze. Über diese wird

d gestülpt[465]. »Man wird«, sagt *Philon*, »bald das Wasser

aufwärtssteigen sehen. Dies geschieht, weil die in d enthaltene Luft

durch die Bewegung des Feuers verflüchtigt wird. Das Wasser steigt

empor, je nach der Quantität Luft, welche verflüchtigt wird.« Daß stets

nur eine gewisse Menge Luft verschwindet, entging also der Beobachtung

des alten Physikers. Immerhin begegnet uns hier schon derselbe Versuch,

den im 18. Jahrhundert *Scheele* und andere anstellten, um zu beweisen,

daß die Luft aus zwei verschiedenen Gasen zusammengesetzt ist.

Weitere Fortschritte der Mechanik.

[Illustration: Abb. 33. Herons Flaschenzug.]

*Heron* hat auch über die Mechanik der festen Körper ein Werk

geschrieben, das lange als verloren galt und nur auszugsweise durch

den späteren Alexandriner *Pappos* (um 300 n. Chr.) erhalten geblieben

ist[466]. Wie *Pappos* mitteilt, hat *Heron* in diesem Werk die fünf

Potenzen behandelt, nämlich den Hebel, das Rad an der Welle, den Keil,

die Schraube und den Flaschenzug. So wird, um ein Beispiel zu bringen,

der Flaschenzug mit folgenden Worten beschrieben: »Wenn wir eine Last

aufziehen wollen, so müssen wir an einem daran gebundenen Seil mit

einer Kraft ziehen, welche der Last gleich ist. Wenn wir aber das

eine Ende des Seils an einem festen Ort anbinden und das andere Ende

um eine an der Last befestigte Rolle legen, so werden wir die Last

leichter bewegen. Und wenn wir an dem festen Ort eine zweite Rolle

anbringen und das Seil auch um diese legen, werden wir die Last noch

leichter bewegen. Aber wir bringen nicht die einzelnen Rollen an dem

festen Ort, sondern, um ihre Achse drehbar, in einem hölzernen Gehäuse

an, das wir eine Flasche nennen, und binden diese Flasche mit einem

Seile an den festen Ort. Diejenigen Rollen, die mit der Last verbunden

werden sollen, schließen wir in eine andere, der ersten gleiche

Flasche ein[467]. Je zahlreicher die Rollen, desto leichter läßt sich

die Last heben.« An anderer Stelle löst *Heron* die Aufgabe, durch

Zahnradübertragungen vermöge der Kraft 5 die Last 1000 zu heben (s.

Abb. 17)[468].

[Illustration: Abb. 34. Herons Wegmesser[469].]

Durch eine ähnliche Übertragung finden wir schon bei *Heron* das

Prinzip des Taxameters gelöst. Seine Einrichtung ist aus Abb. 34

ersichtlich. An der Nabe des Rades befindet sich ein Stift, der das

horizontale, mit 8 Speichen versehene Rad EZ jedesmal um eine Speiche

weiter dreht. Einer Umdrehung des Rades EZ entspricht eine Fortbewegung

des über EZ befindlichen Zahnrades um einen Zahn. Die Übertragung

erfolgt durch das Schneckengewinde über EZ. Diese Übertragung

wiederholt sich so oft, daß eine Umdrehung des letzten Zeigers mehrere

tausend Umdrehungen des Wagenrades oder auch direkt den zurückgelegten

Weg in Stadien anzeigt[470].

Neuerdings ist die Mechanik *Herons* nach einer arabischen

Handschrift in französischer Übersetzung herausgegeben worden[471].

*Heron* bringt nicht nur die Beschreibung und die Theorie der fünf

einfachen Maschinen, sondern er beschäftigt sich auch eingehend mit

Schwerpunktsbestimmungen. So findet er den Schwerpunkt des Dreiecks

als den Schnittpunkt der Mitteltransversalen, die sich im Verhältnis 2

: 1 teilen. Um den Schwerpunkt des unregelmäßigen Vierecks zu finden,

zerlegt er es durch eine Diagonale in zwei Dreiecke, verbindet deren

Schwerpunkte und teilt dann diese Verbindungslinie im umgekehrten

Verhältnis der Gewichte dieser Dreiecke.

Beim Hebel und beim Flaschenzug untersucht *Heron* das Verhältnis des

Kraftweges zum Lastwege oder das der Zeiten, welche die Last, je nach

dem Kraftgewinn, zum Emporsteigen auf eine bestimmte Höhe gebraucht. Er

gelangt dabei zu dem Gesetz, das wir heute als die goldene Regel der

Mechanik bezeichnen. Die Fassung, welche er diesem Gesetz gibt, lautet:

»Das Verhältnis der Zeiten ist gleich dem umgekehrten Verhältnis

der bewegenden Kräfte[472].« Nicht so klar ist *Heron* die Theorie

der Schraube und des Keiles geworden. Hier vermag er das Verhältnis

von Kraft zu Last nicht anzugeben. Es rührt dies daher, daß er Keil

und Schraube nicht auf die schiefe Ebene zurückführt, sondern sich

vergeblich abmüht, sie aus der Hebelwirkung zu erklären. Die schiefe

Ebene wird von ihm nicht zu den einfachen Maschinen gerechnet und

gleichfalls in ihrer Wirkung noch nicht richtig erkannt[473].

Die wissenschaftlichen Grundlagen der Vermessungskunde.

Eine besondere Würdigung verdienen noch *Herons* Bemühungen um die

Ausgestaltung der Feldmeßkunst. *Heron* verfaßte eine Schrift »Über

die Dioptra«[474]. Es ist das ein Meßapparat, in dem wir das Urbild

des heutigen Theodolithen erblicken müssen. Eine Rekonstruktion

des interessanten Instrumentes ist in nebenstehender Abbildung

wiedergegeben[475]. Die Hauptteile waren die auf dem Stativ ruhende

Platte ΑΒ und das Zahnrad ΓΔ, welches durch die Archimedische

Schraube ΕΖ in Bewegung gesetzt wurde und dadurch eine Drehung des

ganzen Instrumentes um eine vertikale Achse ermöglichte. Eine zweite

Archimedische Schraube befand sich über ΚΛ. Man erkennt, daß sie die

Aufgabe hatte, vermittelst des vertikal gestellten, halbkreisförmigen

Zahnrades die oberste, mit dem Visierlineal versehene Platte um eine

horizontale Achse zu drehen. Da die Platte nicht unmittelbar auf

dem halbkreisförmigen Zahnrade aufsaß, sondern an eine rechteckige

Fortsetzung des letzteren angeschlossen war, so konnte die Drehung um

die horizontale Achse vermittelst der oberen Archimedischen Schraube

so lange fortgesetzt werden, bis die große Platte eine senkrechte

Stellung eingenommen hatte. Es ließ sich somit jeder Horizontal- und

jeder Höhenwinkel mit Hilfe dieses Apparates messen, so daß die Dioptra

zur Lösung von Aufgaben der Feldmeßkunst vortrefflich geeignet war.

Die Einstellungen wurden durch Wasserwage und Bleisenkel vermittelt.

Ferner besaß das Diopterlineal, um auch kleinere Winkel noch ablesen zu

können, eine bedeutende Länge.

[Illustration: Abb. 35. Herons Winkelmeßapparat.]

Von den zahlreichen Aufgaben, für welche *Heron* in seiner Schrift

das einzuschlagende Meß- und Berechnungsverfahren angibt, seien hier

nur einige erwähnt. Die wichtigste Aufgabe war die Aufnahme eines

Feldes von beliebiger Umgrenzung. *Heron* verfuhr dabei wie folgt:

Zunächst wurde ein großes Rechteck so abgesteckt, daß es innerhalb

der Umgrenzung lag (siehe Abb. 36). Dann wurde für viele Punkte der

Umgrenzung der senkrechte Abstand von der zugewandten Seite des

großen Rechtecks gemessen. Auf diese Weise wurde der außerhalb des

Rechtecks liegende Teil des zu messenden Feldes in kleinere Abschnitte

von möglichst regelmäßiger Form zerlegt, deren Flächeninhalt leicht

annähernd ausgemessen werden konnte.

[Illustration: Abb. 36. Herons Vermessung eines Feldes.]

Ein Blick auf die Abbildung lehrt uns, daß *Heron* hier mit

rechtwinkligen Koordinaten arbeitet, und daß er die umgrenzende Linie

recht genau in den Plan einzeichnen konnte, wenn er nur recht viele

Senkrechte von den Punkten der Linie aus nach den Rechteckseiten

errichtete und ausmaß.

Weiter zeigt *Heron*, wie man die Breite eines Flusses ermittelt,

ohne ihn zu überschreiten. In einem andern Abschnitt wird die Aufgabe

gelöst, ein Feld mit Hilfe eines Planes wieder abzustecken, wenn

die Umfriedigung mit Ausnahme weniger Grenzsteine verlorengegangen

ist[476]. Ein Abschnitt (30) entwickelt die *Heron*sche Formel für die

Fläche eines Dreiecks, dessen drei Seiten gegeben sind. Sie lautet:

∆ = √(((a + b + c)/2)·((a + b - c)/2)·((a + c - b)/2)·((b + c - a)/2)))

Ob *Heron* diese Formel selbst gefunden oder anderen entlehnt hat,

ist nicht bekannt. Auch weiß man nicht, wie groß sein Anteil an der

Konstruktion der Dioptra ist. Sicherlich bestand die Feldmeßkunst

in Ägypten schon Jahrtausende vor *Heron*. Doch waren ihre Regeln

zum Teil recht mangelhaft, so daß man[477] annimmt, daß *Heron*,

auf den Arbeiten seiner Vorgänger fußend, ein amtliches, zahlreiche

Verbesserungen aufweisendes Lehrbuch der Feldmeßkunst lieferte. Dieses

hat dann auch den Römern als Handbuch gedient. Stand doch bei diesem

Volke die Vermessungskunde, wie bei dem praktischen Grundzuge der Römer

nicht anders zu erwarten ist, in hoher Blüte. Wie hätte sich z. B. die

Anlage ausgedehnter Wasserleitungen ermöglichen lassen, wenn die Kunst

des Nivellierens, für welche man sich ebenfalls der Dioptra bediente,

den Römern nicht geläufig gewesen wäre.

Während der griechische Text der »Dioptra« schon seit 1858 bekannt ist,

entdeckte man erst 1896 *Herons* »Metrika«, ein Werk, das seit dem

6. Jahrhundert verschollen war. Die »Metrika« *Herons*[478] stellen

ein Handbuch dar, das eine Anweisung zur Teilung und Berechnung von

Flächen enthält, während die »Dioptra«[479] *Herons* die Beschreibung

der wichtigsten geodätischen Hilfsmittel und eine Anzahl von

Aufgabenbeispielen lieferte.

Zu den Aufgaben, deren Lösung *Heron* bringt, gehört außer den

Nivellierungen auch die Absteckung von Geraden zwischen zwei Punkten,

von denen der eine nicht vom andern aus gesehen werden kann. Die

Aufgabe war schon im Altertum praktisch wichtig, z. B. wenn es galt,

einen Tunnel durch einen Berg zu graben. Daß die alten Ingenieure schon

Tunnelbauten von beträchtlicher Länge ausführten, beweist die im Jahre

1884 erfolgte Freilegung eines Tunnels von etwa 1000 m Länge durch den

Kastroberg (auf Samos).

Wie *Heron* die Aufgabe löste, einen Berg zu durchstechen, wenn die

Mündungspunkte des Durchstichs gegeben sind, zeigt uns Abb. 37. Wir

sehen, daß er sich auch hierbei wieder eines Systems von rechtwinkligen

Koordinaten bediente.

*Heron* schließt seine Darstellung mit den zuversichtlichen Worten:

»Wird der Tunnel auf diese Weise hergestellt, so werden sich die

Arbeiter von beiden Seiten treffen.«

[Illustration: Abb. 37. Herons Tunnelaufgabe.]

Der Tunnel durch den Kastroberg ist durch deutsche Forschungen

wieder entdeckt worden. Er hatte den Zweck, eine jenseits des

Berges befindliche Quelle mit der Stadt zu verbinden. Diese Anlage,

die *Herodot* als ein Wunderwerk preist, entstand zur Zeit des

*Polykrates*. Sie verdient auch deshalb Bewunderung, weil die Arbeit ja

ohne die modernen Sprengmittel geleistet werden mußte[480].

Ein weiteres Beispiel für den Tunnelbau der Alten bietet der noch

jetzt vorhandene Abfluß (Emissar) des Albaner Sees. Dieser Abflußkanal

ist ein Stollen von 1200 m Länge. Seine Breite beträgt 1-1/2 m, seine

Höhe 2-3 m[481]. Als eine Ingenieurarbeit größeren Umfangs ist aus

der griechischen Geschichte die Trockenlegung des Kopaissees unter

*Alexander* dem Großen zu erwähnen[482].

Bei *Heron* begegnen uns auch die ersten Anweisungen darüber,

wie man sich beim Bergbau unter der Erde zu orientieren hat. Aus

diesen Anfängen hat sich, besonders seit dem Zeitalter *Agricolas*,

des Begründers der neueren Mineralogie (16. Jahrhundert), die

Markscheidekunst entwickelt.

Durch *Herons* Schriften wird man am besten mit dem konkreten Messen

und Rechnen seiner Zeit und mit den damals gebräuchlichen Maßen

bekannt. Für das kaufmännische Rechnen fehlt es leider an einer

ähnlichen Überlieferung[483]. Doch begegnet uns bei *Heron* die schon

im alten Ägypten gepflegte Verteilungs- und Gesellschaftsrechnung.

Bekannt ist beispielsweise *Herons* Brunnenaufgabe. Es wird darin nach

der Zeit gefragt, innerhalb deren durch mehrere Röhren ein Behälter mit

Wasser gefüllt werden kann, wenn man die Füllzeit für jede einzelne

Röhre kennt.

*Heron* hat auch eine Katoptrik geschrieben. Sie läßt uns erkennen, daß

schon im Altertum die Ansicht bestand, daß die Natur nichts vergeblich

tue. Von diesem Prinzip ausgehend, wurde die gradlinige Ausbreitung des

Lichtes erklärt. Die gleiche Betrachtungsweise leitete *Heron* bei dem

Nachweise, daß der Weg, den das einfallende und das reflektierte Licht

zurücklegt, nur dann ein Minimum ist, wenn der Einfallswinkel gleich

dem Reflexionswinkel ist[484].

Naturbeschreibung und Heilkunde im alexandrinischen Zeitalter.

Bei der Beurteilung der Schriften eines *Ptolemäos*, *Euklid* und

*Heron* läßt es sich schwer entscheiden, was diese Männer auf den von

ihnen behandelten Gebieten Eigenes, Neues geschaffen, und was sie

ihren Zeitgenossen und Vorgängern entlehnt haben. Es kann indessen

auch gar nicht die Aufgabe der hier gebotenen, zusammenhängenden

Darstellung einer Geschichte der Wissenschaften sein, im einzelnen

Prioritätsansprüche gegeneinander abzuwägen. Diese, in der Regel

wenig fruchtbringende Aufgabe muß der historischen Einzelforschung

überlassen bleiben, eine Einschränkung, die hier auch gleich für die

Behandlung späterer Perioden der Wissenschaft gemacht sei. Für uns ist

es viel wichtiger, in den jeweiligen Stand der Kenntnisse einzudringen

und den logischen Zusammenhang, die bedingenden Ursachen aufzuweisen.

Für diesen Zweck war die etwas ausführlichere Darstellung, die wir den

genannten drei alexandrinischen Gelehrten gewidmet haben, von Wert.

Während die Astronomie, die Mathematik und einige Zweige der Physik

von den Alexandrinern sehr gepflegt und gefördert wurden, wandten sie

den beschreibenden Naturwissenschaften eine geringere Anteilnahme

zu. Vielleicht ist dies in der kommentatorischen Gelehrsamkeit

der Alexandriner begründet. Bestand doch ihre Hauptaufgabe darin,

Handschriften zu vergleichen, zu erläutern und zu ergänzen. So sagt

*Plinius* von ihnen: »In den Schulen sitzen und Vorträge anhören, war

angenehmer, als durch Einöden zu gehen und Tag für Tag neue Pflanzen

zu suchen[485].« Als selbständige Wissenschaft hörte die Botanik

auf. Sie bestand in der alexandrinischen Schule nur noch als ein

Zweig der Heilkunde, als Heilmittellehre, weiter. Es war deshalb von

Bedeutung für die Entwicklung der Botanik, daß auch die Geographen

dieses Zeitalters der Pflanzenwelt ihre Aufmerksamkeit zuwandten.

Vor allem ist hier *Strabon* als der größte unter den Geographen der

spätalexandrinischen Schule zu nennen. Wenn dieser Mann auch nicht

selbst Pflanzenkenner war, so nahm er doch die Pflanzen- und die

Tierwelt als Gegenstand seiner Wissenschaft mit Recht in Anspruch,

so daß seit *Strabons* Auftreten die Bedeutung der Botanik für die

allgemeine Erdkunde stets gewürdigt worden ist.

In höherem Maße als die Botanik wurde die Anatomie bei den

Alexandrinern gepflegt. An erster Stelle sind hier *Herophilos* (um

300 v. Chr.) und *Erasistratos*[486] (um 280 v. Chr.) zu nennen.

Von *Herophilos*, einem der bedeutendsten Ärzte des Altertums[487],

rührt die erste eingehendere Untersuchung des Auges her, während

*Erasistratos* die blutführenden Venen von den, nach damaliger Ansicht,

mit Pneuma gefüllten Arterien unterschied. *Erasistratos* war auch

nahe daran, den Kreislauf des Blutes zu erkennen. Er scheiterte nur

an dem soeben erwähnten Irrtum, daß die Arterien das Pneuma (den

Luftgeist) enthielten. Andererseits erkannte er ganz richtig das

Herz als den Ausgangspunkt der Gefäße, sowie das Gehirn als die

Ursprungsstelle der Nerven. Vor allem wurde die Anatomie dadurch auf

eine sichere Grundlage gestellt, daß man die Sehnen von den Nerven

unterschied und letztere als die Organe der Empfindung sowie die

Muskeln als die Werkzeuge der Bewegung kennenlernte. Allerdings waren

die Alexandriner in ihren Mitteln nicht sehr wählerisch, da sie selbst

vor Vivisektionen an Menschen nicht zurückscheuten[488].