Ici je veux vous indiquer une simplification fondamentale qui doit
vivifier et accélérer, dans une incalculable proportion, l’enseignement
des mathématiques. Je suis heureux de pouvoir m’appuyer en ce point sur
l’autorité de deux mathématiciens éminents, M. Poisson, dont les
ouvrages sont dans toutes les mains, et M. Coriolis, ancien directeur
des études de l’École polytechnique, homme d’autant d’expérience que de
pénétration. M. Poisson, pendant les dernières années de sa vie,
travaillait à renouveler en France l’enseignement des mathématiques, par
la méthode que je vais dire, et qui est aux anciennes méthodes ce que
notre nouveau moyen de locomotion est aux anciens. Mais les efforts de
l’illustre et habile géomètre ont échoué contre la force d’inertie et le
droit de possession des vieilles méthodes. Tout ce qu’il a pu obtenir
comme conseiller de l’Université, c’est une ordonnance décrétant le
changement de méthode. L’ordonnance a paru, mais elle n’a pas été suivie
d’effets.
Il faut la reprendre. M. Poisson disait que les parties des
mathématiques devaient être enseignées par la méthode infinitésimale.
Quelques personnes se souviennent encore qu’un jour, présidant un
concours d’agrégation, M. Poisson, oubliant un instant le candidat qu’il
avait à juger, prit la parole et développa ceci: «qu’il y a en géométrie
quatre méthodes: méthode de superposition, méthode de réduction à
l’absurde, méthode des limites, méthode infinitésimale. La
superposition, disait-il, n’est applicable qu’en très peu de cas; la
réduction à l’absurde suppose la vérité connue, et prouve alors qu’il ne
peut en être autrement, mais sans montrer pourquoi. La méthode des
limites, isolée de l’idée des infiniment petits[18], cette méthode plus
généralement applicable que les deux autres, suppose aussi la vérité
connue, et n’est, par conséquent, pas davantage une méthode
d’investigation: ce sont trois méthodes de démonstration, applicables
chacune, dans certains cas, aux vérités déjà connues. Au contraire, la
méthode des _infiniment petits_ se trouve être à la fois une méthode
générale et toujours applicable, et de démonstration et
d’investigation.»--Il est vrai, pendant que M. Poisson parlait ainsi, à
côté de lui, un autre mathématicien illustre croyait l’arrêter tout
court en lui disant: Qu’est-ce que les infiniment petits? Je ne sais ce
qu’a répondu M. Poisson. Mais, quant à la méthode, qu’importe la
réponse? Il suffit qu’avec notre notion, telle quelle, des infiniment
petits, qui sont ce que Dieu sait, aussi bien que le point, la ligne, la
surface, le solide et le reste, il suffit dis-je, que l’introduction de
cette notion soit la voie, sans comparaison la plus facile et la plus
courte, pour trouver et montrer la vérité mathématique.
[18] Je dis «isolée de l’idée des infiniment petits», car on est
pleinement dans le vrai lorsque, avec M. Duhamel, on regarde «la
notion des infiniment petits, et la conception fondamentale des
limites comme intimement unies l’une à l’autre, et comme étant les
deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques.»
(Préface des _Éléments de calcul infinitésimal_.)
C’est donc celle-là que nous prendrons.
Sans m’arrêter aux objections de ceux qui disent qu’on ne sait ce que
c’est, qu’elle n’est point rigoureuse, je l’emploie parce qu’elle mène
au but. D’ailleurs, nous avons répondu, ce semble, à ces difficultés
dans le quatrième livre de notre Logique, et surtout dans notre
introduction à la Logique.
Il y a, dans cette défiance de la _rationalité_ des infiniment petits,
ce que disait déjà Fontenelle, lorsque les esprits chagrins de
l’Académie des sciences voulaient étouffer dans son germe la découverte
de Leibniz, il y a _une sainte horreur de l’infini_; il y a ce
rationalisme pédant qui se donne bien du mal pour démontrer
rigoureusement le _postulatum_ d’Euclide, qui n’en a pas besoin; il y a
ce pédantisme qui se flatte, comme nous le disait un spirituel
mathématicien, de trouver des difficultés là où personne n’en avait vu;
il y a ce que pensait Bordaz-Desmoulin, lequel a dit fort à propos:
«L’infini qui ne fait qu’apparaître dans la science l’éblouit;» il y a
cette disposition qui poussa Lagrange à écrire sa _Théorie des fonctions
analytiques, dégagée de toute considération d’infiniment petits_, etc.;
Il y a enfin cet étrange aveuglement des esprits d’une certaine nature,
qui ne veulent point d’idées plus grandes que nous, et ignorent que,
comme le dit Bossuet, «nous n’égalons jamais nos idées, tant Dieu a pris
soin d’y marquer son infinité.»
Nous citions un autre mathématicien compétent, M. Coriolis, lequel, peu
de temps avant sa mort, nous avouait qu’il eût aimé à consacrer le reste
de ses forces à la réforme, dans ce sens, de l’enseignement
mathématique. Tout ramener à la méthode infinitésimale était, me
disait-il, l’idée de toute sa vie, comme professeur et comme directeur
des études. A ses yeux, l’enseignement des mathématiques, aujourd’hui en
France, était le plus lourd, le plus pédant, le plus fatigant pour les
élèves et pour les maîtres qu’il fût possible de voir, et présentait le
plus étrange exemple de routine qu’ait offert aucun enseignement dans
aucun temps. «Quand on parle comme on le fait souvent, disait-il, de la
routine des séminaires dans l’enseignement théologique, on est loin de
se douter que l’enseignement mathématique est victime d’une routine
incomparablement plus lourde et plus barbare.»
D’après ces autorités, ces raisons, et bien d’autres, je ne pense pas
qu’il soit téméraire d’affirmer qu’une seule année d’études par la
méthode infinitésimale, convenablement appliquée et présentée,
donnerait, non pas plus d’acquis ni de détail, mais plus de résultats
utiles, plus d’intuition géométrique, et surtout plus de développement
des facultés mathématiques, que le séjour même de l’École polytechnique,
qui est de deux ans, et qui suppose d’ordinaire trois années d’études
préalables.
Par cette voie, qui est vraiment, comme le disait M. Poisson, la seule
voie d’invention, ne voit-on pas qu’en peu de temps on apprendrait à
l’élève géomètre à faire de petites découvertes, et à voir par lui-même,
au lieu d’apprendre par cœur, sans voir? Il développerait ses facultés,
en acquérant la science, et accélérerait sa vitesse par chaque effort.
Je conclus, sur ce point, en répétant mon assertion: la méthode
infinitésimale appliquée partout en mathématiques, c’est la lumière
introduite dans la masse, c’est la vitesse substituée à la lenteur.
Aussi je ne doute pas un seul instant que la solution du problème de
l’enseignement ne réside surtout en ce point. On peut doubler, plus que
doubler, la vitesse, la clarté, la fécondité de l’enseignement
mathématique par l’introduction décidée de la méthode infinitésimale. On
peut alors superposer les deux éducations nécessaires de l’esprit, faire
pénétrer la science dans les lettres, trop vides et trop banales sans ce
vigoureux aliment, et par contre, donner à la science la chaleur
lumineuse, le feu, qui seul en transfigure la masse, et la change en
diamant. Le premier qui, en France, instituera sur une base durable, par
la voie que nous indiquons, cette pénétration mutuelle des lettres et
des sciences dans la première éducation, celui-là doublera les lumières
de la génération suivante, et deviendra peut-être le Richelieu d’un
grand siècle.