Zoo was nu de beweging der planeten in vrijwel ronde ellipsen door
een van de zon uitgaande aantrekkingskracht verklaard. Maar de zon
is niet het eenige centrum, waaromheen zich hemellichamen in zulke
banen bewegen: wij vermeldden reeds de manen, die om Jupiter
rondloopen; naderhand waren dergelijke manen bij Saturnus ontdekt,
en om de aarde beweegt zich onze eigen maan. Dan moet voor die banen
-- die ook alle vrij ronde ellipsen zijn -- dezelfde verklaring
gelden; _ook Jupiter en Saturnus bewerken door hun aantrekking de
beweging van hun manen; ook van de aarde gaat een aantrekking uit_,
die de maan in haar baan houdt en van dezelfde natuur is als de
aantrekkingskracht van de zon.
Maar kennen wij zulk een aantrekking der aarde niet al lang? Wanneer
een steen door zijn zwaarte naar beneden valt, is het toch ook een
soort aantrekkingskracht, die hem naar beneden trekt. _Is misschien
de kracht, die de maan in haar baan houdt, dezelfde kracht, die een
steen doet vallen, en die wij tot nog toe zwaartekracht noemden?_
Deze vraag beteekent niet, of zij evenals de zwaartekracht werkt;
dat weten wij al, want wij hebben in het begin de aardsche zwaarte
als voorbeeld van een aantrekkende kracht gebruikt, waaruit een
cirkelbeweging ontstaat. De vraag is, of de op de maan werkende
kracht de _zwaartekracht zelf_ is. Om ze te beantwoorden, behoefde
men het niet bij ijdel vragen en filosofeeren te laten; de
berekening kon het uitwijzen. Want wanneer de kracht, die de maan
van den rechten weg trekt en haar zoo haar baan doet doorloopen, de
zwaartekracht zelf is, moet zij bij de maan, die 60 keer verder van
het aardmiddelpunt verwijderd is dan een voorwerp op het
aardoppervlak, volgens de boven gevonden wet 60 x 60 == 3600 maal
zwakker werken dan de zwaartekracht in onze omgeving; dan moet dus
de valhoogte in één sekonde bij de maan 3600 maal geringer zijn dan
490 cM., de valhoogte in één sekonde op aarde. Newton voerde deze
berekening reeds in het jaar 1666 uit. Hij nam, zooals toen in
Engeland algemeen gedaan werd, voor de middellijn der aarde 34
millioen Parijsche voeten aan (wat met 11 millioen Meter
overeenkomt); de afstand van de maan, 30 maal meer, wordt dan 330
millioen M., de lengte van haar baan 2070 millioen M. Deze baan
wordt in 27 1/3 dag == 27 1/3 X 86400 == 2360000 sekonden
doorloopen: per sekonde legt de maan dus een weg van 877 M. af.
Naar den bekenden, vroeger vermelden regel (blz. 242) is dan de
valhoogte van de maan in 1 sekonde 0.00117 M. == 1.17 millimeter
(want 877 x 877 == 0.00117 x 660 millioen). De valhoogte op aarde
moet dan 3600 maal grooter zijn; 3600 x 1.17 mM. == 4.21 Meter. De
werkelijke valhoogte op aarde is echter 4.90 M., dus aanmerkelijk
meer. Teleurgesteld legde Newton zijn berekeningen weg; zijn mooi en
eenvoudig idee had de proef niet doorstaan, want uit de berekening
was gebleken, dat buiten de gewone aardsche zwaarte nog een andere
kracht op de maan moest werken.
Zoo meende hij. Maar in 1682 vernam hij toevallig, dat de Fransche
graadmeting, die Picard in 1671 voltooid had, een belangrijk
grootere waarde voor den omvang der aarde opgeleverd had dan hij had
aangenomen. Hij had inderdaad de aarde en dus ook de maanbaan
aanmerkelijk te klein aangenomen, hoewel Snellius vroeger al een
veel juister bedrag gevonden had. Hij ging toen opnieuw aan het werk
en nu met een heel ander resultaat. Neemt men, zooals het moet, voor
den omvang der aarde 40 millioen M., voor de maanbaan 2400 millioen
M. en voor haar middellijn 762 millioen M. aan (dus alles 1/6 à 1/7
meer), dan vindt men voor de snelheid van de maan 1017 M. per
sekonde en voor haar valhoogte in één sekonde 1.36 mM. Dit met 3600
vermenigvuldigd, geeft 4.90 meter voor de valhoogte op aarde,
precies wat het zijn moet.
Hetzelfde resultaat is ook nog op andere wijze af te leiden. Wij
vonden vroeger, dat een kogel, horizontaal met zoo groote snelheid
afgeschoten, dat hij in een cirkelbaan om de aarde loopt, daarvoor
5070 sekonden == 1.41 uren noodig zou hebben. Zulke om de aarde
rondloopende lichamen kan men zich ook verder van de aarde
voorstellen; en wanneer de zwaarte op grooter afstand van de aarde
met het vierkant van den afstand afneemt, moeten omloopstijd en
afstand van al die lichamen aan de derde wet van Kepler gehoorzamen.
Wat moet dan de omloopstijd van een lichaam zijn, dat onder de
werking der zwaartekracht op maansafstand rondloopt? Is zijn afstand
60 maal zoo groot als bij onzen vroegeren kogel, dan moet zijn
omloopstijd 466 maal zoo groot zijn (60 X 60 x 60 is nagenoeg 466 x
466) dus 466 x 1.41 uren == 657 uren == 27 1/3 dag, precies de
omloopstijd van de maan. Onder de werking van de aardsche
zwaartekracht moet, wanneer ze volgens de wet van Newton afneemt,
een lichaam op den afstand van de maan zich juist zoo bewegen als de
maan het doet. _De kracht, die de maan in haar baan doet loopen, is
dus de aardsche zwaartekracht zelf_.
Door deze ontdekking was meteen het wezen van de aantrekkingskracht
der zon opgehelderd. Zij was niet een soort van magneetkracht, die
"verwante" lichamen -- zooals Kepler het uitdrukte -- naar elkaar
toedrijft; zij is niets anders dan de van ouds bekende
zwaartekracht. Daarom noemde Newton haar ook, als een soort meer
algemeen geldige zwaarte: de _gravitatie_ (gravitas is het
latijnsche woord voor zwaarte): "de planeten graviteeren naar de
zon," d.w.z. zij zijn zwaar naar de zon, zooals een steen zwaar is
naar de aarde. De zwaartekracht huist in de aarde en trekt de
steenen en ook de maan naar deze toe; zij huist in de zon en trekt
alle planeten, ook de aarde, naar de zon toe; zij huist in de
planeten, wat niet slechts hun manen bewijzen, maar ook hun ronde
vorm aantoont. Zij moet dus aan alle wereldlichamen als eigenschap
toekomen.
Is nu deze eigenschap aan die lichamen zelf gebonden? Zou een
gedeelte van de zon, als het van de geheele zon gescheiden werd,
niet ook nog een aantrekking uitoefenen? Wanneer men eenmaal weet,
dat de aantrekking in alle wereldlichamen huist, ligt het voor de
hand, haar ook aan de samenstellende deelen van deze lichamen toe te
kennen, en _de aantrekkingskracht van de zon als de totaalsom van de
aantrekking van al haar deelen_ op te vatten. Was de aantrekking tot
nog toe alleen opgetreden als een op de wereldbollen werkende
kracht, die hun beweging in ellipsen naar Kepler veroorzaakte, zoo
kreeg zij nu een veel omvattender beteekenis: _de aantrekking is een
algemeene eigenschap van de stof_. Op dit principe bouwde Newton in
zijn hoofdwerk, dat in 1686 verscheen: "Wiskundige beginselen der
natuurfilosofie," zijn theorie ter verklaring der hemelsche
bewegingen op, die nog steeds als het fundament der astronomie en
als een der belangrijkste aanwinsten der menschelijke kennis geldt.
Dat was echter alleen mogelijk, doordat hij tegelijk de leer van de
bewegingen en krachten, waarvan Galilei het begin opgebouwd had, tot
algeheele klaarheid en volmaaktheid bracht.
Wij vonden, dat lichte en zware lichamen onder den invloed der
zwaarte even snel vallen, of juister uitgedrukt, met dezelfde
versnelling vallen. Wil dat zeggen, dat de aarde ze even sterk
aantrekt? Natuurlijk niet; wij voelen met de hand het verschil in
deze aantrekking als een verschil in zwaarte; een groote steen wordt
door de aarde sterker aangetrokken dan een kleine, en de grootte van
die aantrekking wordt ons juist door het gewicht aangegeven. Hoe
komt het dan, dat de groote steen, die de grootste kracht
ondervindt, niet veel sterker, met grooter versnelling valt, dan de
kleine?
Het antwoord op die vraag wordt door het vroeger (bij de behandeling
van de tegenwerpingen tegen de beweging der aarde) vermelde feit
gegeven: een zelfde kracht brengt een licht voorwerp gemakkelijker
in beweging dan een zwaar lichaam. Om bij verschillende lichamen --
zoo werd daar gezegd -- eenzelfde verandering in de voorhanden
beweging (of rust) te bewerken, is een des te grooter kracht noodig,
naarmate het lichaam zwaarder is. Wij kunnen nu echter het gewicht
niet meer als de beste uitdrukking gebruiken voor de mate, waarin
een kracht op een lichaam werkt; terwijl wij het vroeger voor iets
hielden, dat voor elk lichaam vast bepaald en onveranderlijk was,
weten wij nu, dat het gewicht, als werking van de
aantrekkingskracht, met de plaats wisselt. Een ding, dat hier een
pond weegt, zou op maansafstand gebracht, slechts 1/3600 van een
pond wegen; en ook in Afrika weegt het minder dan hier. Toch zou
eenzelfde stoot het daarginds geen grooter snelheid geven dan hier.
Wat de werking van een kracht op een voorwerp bepaalt, is niet zijn
gewicht, dat slechts iets uiterlijks en veranderlijks is, maar zijn
_massa_, die iets innerlijks en blijvends uitdrukt en ook wel als
_hoeveelheid stof_ betiteld wordt. Bij de voorwerpen in onze
omgeving, die alle onder de werking van dezelfde aantrekkingskracht
staan, kennen wij de massa aan het gewicht; daarom spreken wij zoo
dikwijls van gewicht, waar wij de massa bedoelen. Wie een pond
suiker koopt, is het om een bepaalde massa, een bepaalde hoeveelheid
suiker te doen; in Afrika bedoelt hij niet iets minder suiker te
krijgen, al is het gewicht daar ook minder; het gewicht dient alleen
om de juiste hoeveelheid af te meten.
Een steen, die 5 maal zoo zwaar is als een andere, heeft dus ook een
5 maal grootere massa en komt daarom 5 maal moeilijker in beweging;
een 5 maal grootere kracht is noodig, om hem, als zij voortdurend
werkt, dezelfde versnelling te geven. Wij kunnen nu onze vroegere
stelling van blz. 160 scherper en juister uitdrukken: _Om bij een
voorwerp een bepaalde verandering der beweging te bewerken, is een
kracht noodig, die evenredig is met de massa van het voorwerp._ En
daar wij vroeger reeds vonden, dat de versnelling in gelijke reden
met de grootte van de kracht grooter of kleiner wordt, kunnen wij
nog algemeener zeggen: _de kracht is evenredig met het produkt van
de door haar bewerkte versnelling en de massa van het voorwerp._
Nu is elke tegenstrijdigheid opgeheven. De groote steen van 5 pond
wordt wel met een 5 maal grootere kracht door de aarde aangetrokken
dan de steen van 1 pond; maar deze 5 maal grootere kracht moet een 5
maal grootere massa in beweging brengen, en daardoor krijgt de
groote steen precies dezelfde versnelling als de kleine. En
omgekeerd kunnen we nu zeggen: daar de ondervinding ons leert, dat
alle voorwerpen bij het vallen dezelfde versnelling krijgen,
besluiten wij daaruit -- wat wij straks eenvoudig aangenomen hebben
-- dat bij al deze voorwerpen gewicht (de kracht van de aarde) en
massa precies evenredig met elkaar zijn. Maar nu zal ons deze
gevolgtrekking niet meer dienen, om iets over de grootte van de
massa te weten te komen, doch omgekeerd, om een eigenschap van de
aantrekkingskracht uit te drukken. Om het verschil in gedrag
tusschen verschillend zware lichamen vast te houden nadat wij
ingezien hadden, dat gewicht en zwaarte zelf iets toevalligs en
veranderlijks zijn, hebben wij daaruit de massa als eenvoudigst
grondbegrip afgeleid, dat het verschil in gedrag der voorwerpen
uitdrukt in een grootheid, die voor elk ding vast en onveranderlijk
is. En vinden wij nu, uit de gelijkheid der versnellingen, dat
gewicht en massa steeds in dezelfde verhouding tot elkaar staan, dan
beteekent dit: _de aantrekkingskracht, die de aarde op een voorwerp
uitoefent, is evenredig met de massa van dit voorwerp_. Omdat de
groote steen een 5 maal grootere massa heeft, _daarom_ wordt hij door
de aarde 5 maal sterker aangetrokken, en daarom weegt hij 5 maal zoo
zwaar.
Deze kracht hangt natuurlijk niet enkel van de massa van den steen
(en van den afstand) af. Konden wij de aarde in twee helften
verdeelen, dan zou iedere helft den steen nog maar met halve kracht
aantrekken. _De aantrekkingskracht is ook evenredig met de massa van
het aantrekkende lichaam_. Konden wij uit de aarde een steen van 10
pond, die misschien het duizendtrillioenste deel van de geheele
aarde mag zijn, afzonderen en op zijn eentje op denzelfden afstand
van ons als het aardmiddelpunt plaatsen, dan zou deze op onzen
vijfpondssteen een aantrekking uitoefenen, die slechts een
duizendtrillioenste van zijn gewicht, van 5 pond, zou bedragen. Maar
wordt deze aantrekking nu enkel door den tienpondssteen op den
vijfpondssteen uitgeoefend? De een is evengoed een deel van de aarde
als de ander. Of trekken misschien alleen de groote lichamen de
kleine aan? Wij behoeven slechts onzen tienponder in tien stukken
van 1 pond te verdeelen, die ieder met een tiende van de eerste
kracht den vijfponder aantrekken, om te zien, dat dat geheel
onaannemelijk is. Wij kunnen de dingen niet in twee groepen
verdeelen, zoo, dat de eene soort, de grooten, de aantrekking alleen
uitoefenen, en de anderen, de kleinen, de aantrekking ondergaan. Ook
de wereldlichamen bewijzen dat: de aarde ondergaat, als alle
planeten, de aantrekking van de zon; zijzelf trekt de maan aan;
waarom zou zij alleen op de maan en niet ook op de zon een
aantrekkingskracht uitoefenen? Al zulke tegenstrijdigheden zijn
alleen te vermijden, als men aanneemt, dat niet slechts sommige
lichamen andere aantrekken, maar _dat alle lichamen elkaar
aantrekken_. De aantrekking werkt tusschen elke twee lichamen en
tracht ze naar elkaar toe te trekken met een kracht, die van hun
beider massa's op dezelfde wijze af hangt, en waarin beide volkomen
dezelfde rol spelen; beide trekken aan en beide worden aangetrokken.
Op het eerste gezicht lijkt het vreemd, dat, zonder dat wij het
bemerken, de aarde de zon even sterk zou aantrekken als de zon de
aarde; maar een kort nadenken toont ons, dat het niet anders kan
zijn.
De aarde trekt den steen aan; maar met dezelfde kracht trekt de
steen de aarde aan. Waarom valt dan alleen de steen naar de aarde en
niet omgekeerd ook de aarde naar den steen? Er is geen enkele reden,
waarom de aarde niet naar den steen toe zou vallen, want de aarde
zweeft even vrij in de wereldruimte als de steen. Beide lichamen
bewegen zich dus naar elkaar toe, de steen wordt naar beneden en de
aarde met dezelfde kracht naar boven getrokken. Daar echter de aarde
wel duizendtrillioen maal grooter is dan de steen, dus ook haar
massa zooveel grooter dan die van den steen moet zijn, bewerkt
dezelfde kracht bij haar een versnelling, die duizendtrillioen maal
kleiner is dan bij den steen. In denzelfden tijd dat de steen een
meter naar beneden valt, valt de aarde een trillioenste millimeter
naar den steen toe, naar boven. En wie zou meenen, dat daardoor dan
toch de plaats van de aarde in het heelal dit kleine bedrag
gewijzigd zou worden, vergist zich ook nog daarin; want toen ik te
voren den steen opbeurde, dus de aarde en den steen tegen hun
wederzijdsche aantrekking in van elkaar verwijderde, door met de
hand den steen aan te vatten en met de voeten tegen de aarde te
drukken, werd de aarde ditzelfde bedragje van een trillioenste
millimeter naar beneden geduwd, terwijl de steen een meter omhoog
ging; bij het vallen nemen beide hun oude plaats weer in.
Wij zien hier nu, waarom wij de aantrekkingskracht eerst als een
eenzijdige werking van het eene ding op het andere leerden kennen.
Van de lichamen, bij welke wij haar ontmoetten, was altijd het eene
veel grooter dan het andere, en daarom bemerkten wij alleen de
beweging van het kleine lichaam: het vallen van den steen op de
aarde, het rondloopen van de planeet om de zon -- de beweging van
het groote lichaam was onmerkbaar. Eerst door deze theoretische
redeneeringen konden wij tot het eigenlijke wezen doordringen. En
zoo kon Newton zijn wet der aantrekking, onafhankelijk van planeten,
zon en aarde, als een algemeene grondwet der natuur in dezen vorm
vaststellen:
_alle stofdeeltjes, die de lichamen van het heelal samenstellen,
trekken elkaar aan met een kracht, die met beider massa
evenredig is en omgekeerd evenredig met het vierkant van hun
afstand_.
Van een bepaalden afstand kan men natuurlijk alleen bij kleine
deeltjes, van punten spreken. De aantrekking van een geheel lichaam
is dan het totaal der aantrekkingen van al zijn deeltjes. De zwaarte
van een steen ontstaat hierdoor, dat alle deeltjes die te zamen de
aarde vormen en waarvan sommige dichtbij, vlak onder onze voeten
liggen en andere zeer ver af, den steen aantrekken en deze
aantrekkingen zich samenvoegen. Wiskundig laat zich bewijzen, dat
bij een _bolvormig_ lichaam de totale aantrekking precies zoo groot
is, als wanneer de geheele massa in zijn middelpunt verzameld was.
De aarde trekt den steen op haar oppervlak en de maan in de verte
juist zoo aan, alsof zij alleen met haar middelpunt aantrekt; deze
eigenschap, waarvan wij als iets vanzelfsprekends al gebruik gemaakt
hebben, veroorlooft, de wet der aantrekking ineens op groote
wereldbollen toe te passen, en daarbij van "hun" afstand te spreken,
evenalsof zij kleine punten zijn.
De massa van een hemellichaam bepaalt dus de aantrekkingskracht, die
het uitoefent; deze massa is het grondelement, dat wij moeten
kennen, om de aantrekking te kunnen berekenen; wij willen dus in de
eerste plaats de massa van de zon kennen in verhouding tot die van
de aarde. Daartoe moeten wij hun werkingen vergelijken, die voor de
zon uit de beweging van de aardplaneet, voor de aarde uit de baan
van de maan blijkt. Dat kan echter alleen, wanneer wij de grootte
der aardbaan, d.w.z. den afstand van de zon tot de aarde nauwkeurig
kennen.
In de oudheid was over dezen afstand niets zekers bekend; ook
Copernicus, Tycho en Kepler behielpen zich nog met de uitkomst van
Aristarchus (zie blz. 56). Maar juist ten tijde van Newton was zij
voor het eerst met eenige zekerheid gemeten. Het daarbij toegepaste
beginsel is hetzelfde als vroeger bij de maan uitgelegd is (blz.
80), alleen met dit verschil, dat niet de parallaxe van de zon zelf,
maar van Mars bepaald werd, die in zijn oppositie veel dichter bij
ons is. Daartoe diende de reis van Richer naar Cayenne in 1672. In
Cayenne, waar Mars hoog aan den hemel stond, zag hij hem
noordelijker tusschen de sterren staan, dan de sterrekundigen te
Parijs, voor wie Mars laag in het Zuiden stond; dit verschil leverde
de parallaxe en den afstand van Mars, en uit de tafels van Kepler
was te zien, hoeveel malen de zon verder dan Mars van de aarde af
stond. Zoo werd gevonden, dat de zon 20 000 aardstralen van ons
verwijderd is en een parallaxe van 10 seconden bezit. Daar de maan
60 aardstralen verwijderd is, is de zon ruim 330 maal verder dan de
maan van ons verwijderd.
Nu is de berekening van de massa der zon niet moeilijk meer. Wij
stellen eerst de vraag: hoever zou een maan van de aarde verwijderd
moeten zijn, om in een jaar rond te loopen? De derde wet van Kepler
geeft het antwoord: daar het kwadraat van 13 1/3 gelijk is aan de
derde macht van 5,6, zal een maan, die 5,6 keer verder dan onze maan
van de aarde verwijderd is, in 13 1/3 maal langeren tijd, dus juist
in een jaar rondloopen. Om de zon en de aarde beide loopt dan een
hemellichaam in een jaar rond; maar de baan van het om de zon
loopende lichaam is 330/5.6 == 59 maal grooter dan de andere. Alles
in deze baan, dus ook het bedrag, dat het lichaam in 1 sekonde van
den rechten weg afgetrokken wordt, de werking dus van de aantrekking
de zon, is 59 maal grooter dan de werking van de aarde. Maar deze
zonswerking vindt op 59 maal grooteren afstand plaats; 59 maal
dichterbij, dus op gelijken afstand als de aarde op het om haar
loopend lichaam werkt, zou ze nog 59 x 59 keer sterker zijn. Op
gelijken afstand moet dus de werking van de zon 59 X 59 X 59 ==
205000 maal sterker zijn dan die van de aarde.
Nu hebben de nauwkeurigste moderne metingen voor de parallaxe van de
zon een nog iets kleiner bedrag, nl. 8.8 sekonden opgeleverd, dus
een iets grooteren afstand, nl. 23400 aardstralen. Daarmee worden
alle getallen eenigszins anders; de zon is in werkelijkheid 389 maal
verder dan de maan van ons verwijderd; in plaats van 59 moet ruim 69
gelezen worden, _en de massa van de zon is 330000 maal grooter dan
de massa van de aarde_.