Dat de zwaarte niet enkel een aardsch verschijnsel is, was vroeger
al dikwijls door schrijvers uit de oudheid en uit lateren tijd
gezegd. De bolvormige gedaante van de hemellichamen wees er op, dat
hun deeltjes op dezelfde wijze bij elkaar gehouden en naar een
middelpunt getrokken werden als bij de aarde. Wij voerden reeds aan
(blz. 178) wat Copernicus over de zwaarte bij andere lichamen
schreef. Ook Kepler dacht er zoo over, en hij vergeleek de
zwaartekracht met de magneetkracht, die kort te voren door den
Engelschen arts Gilbert nauwkeurig bestudeerd was. "Zwaarte is een
lichamelijke eigenschap, een wederzijdsch streven van verwante
lichamen, om zich met elkaar te vereenigen en te verbinden (waartoe
ook de magnetische kracht behoort) zóó, dat de aarde veel sterker
den steen aantrekt dan de steen de aarde." Maar men was niet in
staat, deze aantrekkende kracht met de beweging der hemellichamen in
verband te brengen. Wel moest, zoodra de zon als middelpunt der
planetenbanen erkend was, vanzelf de gedachte opkomen, dat in de zon
ook de oorzaak voor het rondloopen der planeten ligt. "Daarvoor, dat
de oorzaak van de planetenbeweging," schreef Kepler, "nergens anders
dan in het zonnelichaam moet gezocht worden, spreken vooral twee
feiten: ten eerste is de beweging van de verstverwijderde planeten
het langzaamst, en ten tweede loopt elke planeet sneller of
langzamer al naar haar afstand tot de zon, zóó, dat zij dicht bij de
zon het snelst, ver van de zon het langzaamst beweegt." Maar hij
zocht deze oorzaak in een wenteling van de zon, die de planeten
meesleept en ze zoo in hun cirkels doet rondloopen. Dat een
zwaartekracht, die de lichamen naar een middelpunt trekt, de oorzaak
voor een kringloop om dit middelpunt is -- dat kon bij niemand
opkomen, zoolang niet de grondslagen der bewegingsleer tot op deze
hoogte opgebouwd waren.
Eerst in de tweede helft van de 17de eeuw kon daarom de gedachte
opkomen en tot een algemeene overtuiging worden, dat een
aantrekkingskracht, die van de zon uitgaat, de beweging van de
planeten veroorzaakt. Bewezen was het echter alleen nog maar voor
een zuivere cirkelbaan, waarin de kracht en de snelheid altijd even
groot blijven. De planeten daarentegen bewegen zich volgens de
wetten van Kepler in ellipsen met wisselende snelheid. Is deze
beweging ook door een van de zon uitgaande aantrekking te verklaren,
en hoe verandert die kracht daarbij met den afstand? Men kon wel van
te voren vermoeden, dat op grooter afstand de kracht zwakker moest
worden; maar iets zekers was over de wet, die haar beheerschte, niet
bekend.
Het antwoord op al deze vragen werd door een Engelsch geleerde,
_Isaac Newton_, gegeven. Hij ging uit van de wetten van Kepler,
waarvan de beteekenis nu eerst aan het licht trad, toen hij er door
zijn wiskundig vernuft de wetten der aantrekkingskracht uit wist af
te leiden.
Een cirkelbaan ontstaat door een kracht, die naar het middelpunt is
gericht. Bij de planetenbaan staat de zon in een der brandpunten; is
hier de kracht naar dat brandpunt gericht? Newton kon deze vraag met
behulp van Kepler's wet der perken beantwoorden. Wanneer een lichaam
de rechte lijn A B C zonder eenige uiterlijke kracht doorloopt, legt
het in elke sekonde een even langen weg AB == B C af. De
verbindingslijn van het voorwerp met een middelpunt M strijkt in de
eerste sekonde over den driehoek A M B, in de tweede over den
driehoek B M C, en deze beide driehoeken zijn even groot. Treedt nu
echter voor een oogenblik, terwijl het in B is, een kracht op, die
naar het middelpunt M gericht is en het lichaam in 1 sekonde naar d
zou brengen, dan komt het door samenvoeging van de beide snelheden
in D. De vlakte, die nu in de tweede sekonde door den voerstraal
bestreken wordt, is driehoek B M D; maar deze driehoek is even groot
als B M C -- dus ook als A M B omdat ze de zijde B M gemeen hebben,
en de toppen C en D even ver van deze grondlijn verwijderd zijn.
[Illustratie]
Deze gelijkheid geldt alleen als C en D even ver van B M verwijderd
zijn, dus wanneer d op de lijn B M ligt. Wanneer de in B optredende
kracht, alleen, het lichaam op zij van de lijn B M zou aftrekken,
dan waren de driehoeken niet gelijk; ze zijn het echter altijd,
wanneer de kracht, die in B werkt, naar het middelpunt M gericht is;
dan is de bestreken driehoek in de 2de sekonde even groot als in de
eerste. Dit geldt natuurlijk ook, wanneer de kracht niet enkel een
oogenblik in B een stootje geeft, maar voortdurend werkt en zoo de
baan regelmatig buigt. Newton kon op die manier als algemeene
waarheid bewijzen, dat, _wanneer bij een beweging de gelijkheid der
perken ten opzichte van een centrum geldt, er een kracht werkt, die
naar dit centrum gericht is_; en omgekeerd geldt hetzelfde. En daar
wij door de wet van Kepler weten, dat voor de planeten de gelijkheid
der perken met betrekking tot de zon geldt, kon Newton als zijn
_eerste wet_ vaststellen: _de oorzaak van de planetenbeweging is een
aantrekkingskracht, die naar de zon gericht is_.
Uit de tweede wet van Kepler, die zegt dat de planetenbanen ellipsen
zijn, was nu zonder moeite te vinden, volgens welke wet de
aantrekkingskracht met den afstand tot de zon verandert. Daartoe
vergelijken wij de beide plaatsen van de ellips met elkaar, die aan
het einde der groote as tegenover elkaar liggen: de eene het dichtst
bij de zon, de andere het verst er af. In die beide plaatsen heeft
de baan precies denzelfden vorm, maar zij wordt er met verschillende
snelheid doorloopen. Nemen wij zulk een ellips, dat de grootste
afstand in C 2 maal zoo groot is als de kleinste afstand in A. Loopt
de planeet op beide plaatsen hetzelfde stuk AB == C E in haar baan
voort, dan wordt zij in beide gevallen door de zon een even groot
bedrag b B == e E van den rechten weg afgetrokken. Maar deze
valhoogten worden niet in denzelfden tijd doorloopen; de weg C E op
den grooten afstand tot de zon eischt den dubbelen tijd, omdat hier
de snelheid half zoo groot is als in A.
[Illustratie]
Daar de valhoogte in een tweemaal grooter tijd viermaal grooter
wordt, zou de planeet in C in denzelfden tijd slechts viermaal zoo
weinig naar de zon toe vallen als in A; de valhoogte d D, die bij
den halven weg C D en bij hetzelfde tijdsverloop behoort, is 1/4 van
b B. De kracht, waarmee de zon de planeet van den rechten weg
aftrekt, is dus in C viermaal kleiner dan in A. Wij kunnen dezelfde
redeneering toepassen op een ellips, waarbij de grootste afstand tot
de zon 10 maal grooter is dan de kleinste afstand; de weg in C zou
dan voor een gelijk tijdsverloop 10 maal kleiner en de valhoogte 100
maal kleiner zijn dan in A. Zoo vindt men als _tweede wet_ van
Newton: _de van de zon uitgaande aantrekkingskracht neemt bij
toenemenden afstand in verhouding tot het kwadraat van den afstand
af_.
Newton bewees streng wiskundig, dat dit ook voor alle andere punten
van de ellips opgaat. Uit deze beide eerste wetten van Kepler laat
zich dus de wet van de aantrekkingskracht volkomen afleiden. Maar
wij kunnen de verandering met den afstand ook nog op andere wijze
vinden, namelijk uit de derde wet van Kepler. Wij nemen daarvoor het
geval van twee planeten, die zich in cirkels om de zon bewegen, de
eene viermaal verder dan de andere. Naar de derde wet moet dan haar
omloopstijd 8 maal grooter en haar snelheid half zoo groot zijn als
bij de andere. Hebben beide hetzelfde gedeelte van hun baan
afgelegd, dan zijn de weg A B en de valhoogte B C bij de verste
planeet 4 maal grooter dan bij de andere; om dezelfde valhoogte b c
te hebben, moet zij slechts halfzoover, tot D loopen. Deze weg A D
is nog tweemaal zoo lang als a c en wordt tweemaal zoo langzaam
doorloopen, eischt dus den vierdubbelen tijd. Op viermaal grooter
afstand van de zon is dus een viermaal grooter tijd noodig om door
de werking der zonskracht eenzelfde hoogte te vallen; in gelijke
tijden zou dus de valhoogte bij de verste planeet 1/16 van die bij
de naaste planeet zijn; m. a. w: de aantrekking van de zon
vermindert op viermaal grooter afstand tot een zestiende.
[Illustratie]
Schijnbaar hebben we hier nog eens hetzelfde gevonden, wat wij al
wisten. Maar er is toch een verschil. De eerste afleiding leerde
ons, dat _dezelfde_ planeet, wanneer zij op den dubbelen afstand van
de zon komt, viermaal zwakker aangetrokken wordt. De laatste
afleiding leert ons daarentegen, dat _een andere_ planeet op den
dubbelen afstand viermaal zwakker aangetrokken wordt dan de eerste;
dus, dat verschillende planeten, op gelijken afstand van de zon
geplaatst, even sterk door de zon worden aangetrokken en door die
aantrekking een even groote versnelling krijgen. Daar wij mogen
aannemen, dat de verschillende planeten nu niet precies dezelfde
stoffelijke samenstelling hebben, volgt hieruit de derde wet van
Newton:
_de aantrekkingskracht is onafhankelijk van de bijzondere
stoffelijke samenstelling der wereldlichamen_.
Zoo was de oorzaak van de planetenbeweging volkomen opgehelderd. De
wetten, die op grond van Kepler's berekeningen als niet meer dan
ervaringsregels konden gelden, hadden hier tot een algemeene
grondwet gevoerd, die ze in zich besloot. Daardoor verdween meteen
hun toevalligheid; terwijl te voren niet in te zien was, waarom
juist tusschen het kwadraat van den omloopstijd en de derde macht
van den afstand een vaste betrekking moest bestaan, en waarom de
banen juist ellipsen moesten zijn, kregen deze wetten van Kepler nu
een innerlijke noodzakelijkheid als uitvloeisels van een veel
algemeenere eenvoudige grondwet. De zon oefent op de planeten een
aantrekkingskracht uit, die omgekeerd evenredig met het vierkant van
den afstand afneemt en op verschillende stoffen even sterk werkt.
Ten gevolge van deze aantrekking bewegen de planeten zich volgens de
wetten van Kepler in hun banen.