Eratosthenes had zijn methode ter bepaling van de grootte der aarde
slechts voor een ruwe schatting gebruikt. Wil men de grootte van de
aarde zoo nauwkeurig mogelijk kennen, dan kan men zich voor den
afstand van de twee plaatsen niet met de ruwe opgaven van reizigers
tevreden stellen; dan moet men dien afstand nauwkeurig meten.
Om een kleinen afstand op aarde te meten, bedient men zich eenvoudig
van een meetlat of een meetketting, zooals de landmeters ze
gebruiken. Zelfs grootere afstanden kunnen bij behoorlijke
voorzorgen op die manier zeer nauwkeurig gemeten worden. Zoo heeft
b.v. de sterrekundige Bessel in 1820 in Oost Pruisen een afstand van
2 KM. gemeten, door stevige ijzeren stangen waarvan de lengte
nauwkeurig bekend was, op houten schragen in een rij te leggen en de
kleine tusschenruimten tusschen de stangen te meten door er zuiver
bewerkte spitse wiggen tusschen te steken, die er des te dieper
ingingen, naarmate de stangen verder uit elkaar lagen. Omdat metalen
door de warmte uitzetten, moest natuurlijk ook hun temperatuur
gemeten en in aanmerking genomen worden. Zoo gelukte het hem den
gezochten afstand zoo nauwkeurig te meten, dat de mogelijk
overblijvende fout niet grooter dan 4 millimeter, dus 1/500000 van
het geheel was. Met de moderne hulpmiddelen is de nauwkeurigheid nog
tweemaal zoo groot, zoodat op een kilometer geen grooter fout dan
een millimeter kan overblijven.
Zulke metingen zijn echter alleen op bijzonder gunstige, vlakke
terreinen uit te voeren, waar geen heuvels of rivieren in den weg
komen. Voor grootere afstanden, die men voor de bepaling van de
grootte der aarde noodig heeft, is deze methode niet bruikbaar. Moet
men zich hier dus toch maar met ruwe schattingen tevreden stellen,
of bestaat er een middel de nauwkeurigheid van deze metingen op
groote afstanden over te dragen? Zulk een middel bezitten wij in de
_driehoeksmeting_.
De driehoeksmeting of trigonometrie is een methode, om door het
meten van hoeken de ligging van verschillende plaatsen op aarde ten
opzichte van elkaar in kaart te brengen en in getallen te berekenen.
Op een plaats A (b.v. den top van een heuvel) leggen wij een blad
papier op een tafel, en trekken daarop van uit een middelpunt de
lijnen, die nauwkeurig naar verwijderde toppen of andere voorwerpen
B, C, D, E, gericht zijn. Wij doen dan hetzelfde op den heuveltop B,
waar wij op een papier van uit punt b lijnen in de richting van A,
C, D, E, trekken. Leggen wij nu naderhand de beide bladen papier op
elkaar, zoo, dat de lijn a-b op beide samenvalt en a en b op
willekeurigen afstand van elkaar op deze lijn liggen, dan geeft het
gekombineerde beeld op kleinere schaal nauwkeurig de ligging van de
plaatsen A, B, C, D, E, ten opzichte van elkaar weer. Is nu de
afstand A-B bekend, is hij b.v. 2 KM., en maken wij b.v. op onze
teekening den afstand a-b gelijk aan 20 cM., dus 1/10000 van den
werkelijken afstand, dan is op onze kaart alles op 1/10000
verkleind. Wij behoeven dan slechts den een of anderen afstand b-c
of a-d op de kaart te meten; en zooveel centimeters wij daarvoor
vinden, zooveel keer honderd meter moeten de werkelijke afstanden
B-C en A-D bedragen, die wij door de tusschenliggende rivier niet
eens direkt kunnen meten.
De uitvoering in de praktijk verschilt in tweëerlei opzicht van deze
eenvoudigste toepassing van het principe. Terwijl de uitvoerigste
terreinkaarten ook werkelijk door het teekenen van richtingslijnen
op het papier gemaakt worden, worden de richtingen voor de
eigenlijke driehoeksmeting met een instrument, een theodoliet,
nauwkeurig gemeten. Een verrekijker, waaraan een nauwkeurig in
graden en onderdeelen verdeelde cirkel vastzit, wordt
achtereenvolgens op elk der verwijderde voorwerpen gericht en de
hoek, dien kijker en cirkel telkens daarbij draaien, wordt met
behulp van vaste merken of mikroskopen afgelezen.
[Illustratie]
Bovendien worden de afstanden niet gevonden door ze op een kaart in
kleineren maatstaf uit te meten, maar door ze te berekenen; alles,
wat meetkundig te konstrueeren en dan te meten is, is ook in
getallen met elke gewenschte nauwkeurigheid te berekenen; de daartoe
dienende rekenmethoden (goniometrie en trigonometrie) zijn reeds
vroeg ontwikkeld, gedeeltelijk in de oudheid, maar vooral in de 15de
en 16de eeuw.
Deze driehoeksmeting werd het eerst in het begin van de 17de eeuw
door Snellius te Leiden op de meting der aarde toegepast.
[Illustratie: De graadmeting van Snellius.]
Een aantal stads- en dorpstorens in Holland vormden hoekpunten van
een zich van het Noorden naar het Zuiden uitstrekkende reeks van aan
elkaar sluitende driehoeken. Op iederen toren mat hij de hoeken
tusschen de richtingen naar de omliggende plaatsen. Zoo kon hij het
geheele net van driehoeken nauwkeurig nakonstrueeren, en hij behoefde
slechts één van de driehoekszijden, dus den afstand van twee naburige
driehoekspunten zorgvuldig te meten, om alle andere afstanden in het
net, dus ook den afstand tusschen het noordelijkste en het
zuidelijkste punt te kunnen berekenen.
Hij mat direkt een afstand a-b van 326 voet op een weide tusschen
Leiden en Soeterwoude, berekende daaruit de afstanden van Leiden
naar de torens van Soeterwoude, Voorschoten, Wassenaar, daaruit de
driehoekszijde Leiden--Haag, en zoo kon hij steeds verder gaan en
met behulp van de gemeten hoeken alle andere driehoekszijden
berekenen. Zoo was hij in staat den afstand van twee steden, die 100
KM. van elkaar lagen en door breede zeearmen van elkaar gescheiden
waren (Alkmaar en Bergen op Zoom,) zonder direkte meting met groote
nauwkeurigheid te vinden. Hij behoefde nu nog slechts door
waarnemingen der sterren te bepalen, hoeveel de richting van het
schietlood in beide plaatsen verschilde, om daaruit den omtrek der
aarde af te leiden.
Deze methode is sinds dien tijd overal op de landmeting toegepast,
Om nauwkeurige kaarten te maken, wordt eerst uit torens en uit
speciaal daarvoor op heuvels gebouwde stellages een driehoeksnet
gevormd, dat zich over het geheele land uitstrekt; op ieder punt
worden de richtingen naar de omliggende punten gemeten, zoodat men
in staat is de relatieve ligging van deze punten nauwkeurig te
berekenen en in kaart te brengen. Daarmee is dan als het ware een
vast geraamte gevormd, waarin naderhand allerlei plaatsen, toppen,
rivieren en andere voorwerpen door verdere metingen vanuit de
driehoekspunten op de juiste plaats in te voegen zijn.
Naar de methoden van Snellius zijn alle latere bepalingen van de
grootte der aarde uitgevoerd. In de 17de eeuw steeg het
natuuronderzoek meer en meer van een private liefhebberij van enkele
personen tot den rang van een door den staat erkende aangelegenheid
van openbaar nut. Toen werden in verschillende landen officieele
vereenigingen van geleerden gesticht, z.g. akademies, die door
staatshulp in staat waren gesteld, grootere wetenschappelijke
ondernemingen te volbrengen, die boven de krachten van enkele
personen gingen. Onder de ondernemingen, die op deze wijze door de
Fransche Akademie bevorderd werden, behoorde een nauwkeurige
bepaling van den omtrek der aarde door meting van een afstand in
Noord-Frankrijk, die onder leiding van den astronoom Picard
ondernomen en in 1671 voltooid werd. Toen dit onderzoek in de
volgende jaren nog verder uitgebreid werd door het meten van een
zuidelijk stuk, dat er bij aansloot, kwam daarbij de verrassende
uitkomst voor den dag, dat het eerste noordelijke stuk een kleineren
omtrek van de aarde opleverde dan het zuidelijke stuk, anders
uitgedrukt: de kromming van de aardoppervlakte scheen ten Noorden
van Parijs kleiner te zijn dan ten Zuiden van Parijs.
Wij hebben tot nog toe aangenomen, dat het aardoppervlak overal even
sterk gekromd en de vorm van de aarde dus precies een bol is; alleen
door dat te veronderstellen, was het mogelijk uit de kromming van
een deel de grootte van het geheel te berekenen, Maar het was toch
niet meer dan een veronderstelling, die voor de eenvoudigheid
gemaakt werd, en men moest dus steeds met de mogelijkheid rekenen,
dat de aarde niet precies een bol is, en dat verschillende deelen
van haar oppervlak een verschillende kromming kunnen bezitten. Dat
hier in Frankrijk nu zulk een verschil gevonden werd, kon dus op
zich zelf niet zoozeer verrassen. Het zonderlinge van deze uitkomst
lag in iets anders: uit theoretische beschouwingen hadden Newton en
Huijgens juist het tegengestelde afgeleid van wat de Fransche
onderzoekers gevonden hadden.
[Illustratie]
Volgens deze beschouwingen, waarop wij later nog terugkomen, kan de
aarde niet precies den vorm van een bol hebben, maar moet zij in de
richting van de as, dus aan de polen iets samengedrukt zijn, dus
iets meer van een sinaasappel hebben. De middellijn van pool tot
pool is in dit geval iets korter dan de middellijn van den evenaar;
aan de polen is, zooals aan een sinaasappel en aan bovenstaande
figuur dadelijk te zien is, de oppervlakte minder gekromd dan aan
den evenaar, en hoe verder men b.v. in Europa van het Noorden naar
het Zuiden gaat, des te sterker moet de kromming worden. Dat was dus
in tegenspraak met de uitkomsten der Fransche metingen.
Over de vraag, wie hier gelijk had, is lang getwist, tot men
eindelijk inzag, dat deze Fransche metingen geen beslissende
uitspraak veroorloofden. Het verschil in kromming tusschen Noord- en
Zuid-Frankrijk was slechts gering, en onvermijdelijke kleine fouten
der meting konden bewerken, dat dit verschil geheel verdween of
zelfs omgekeerd werd. Om de kwestie uit te maken zond de Parijsche
Akademie in 1736 twee expedities uit; de een zou zoo ver mogelijk in
het Noorden, in Lapland, de ander aan den evenaar, in Peru, de
kromming van het aardoppervlak bepalen. En toen bleek dadelijk
onmiskenbaar, dat de theorie gelijk had. Terwijl de lengte van een
graad, d.w.z. de afstand op aarde, waarop de richting van het
schietlood precies een graad verandert, in Frankrijk 57012 toisen
(de toenmalige Fransche lengtemaat van nagenoeg twee meter) bedroeg,
werd daarvoor in Lapland 57438 en in Peru 56734 toisen gevonden. _De
kromming van het aardoppervlak is aan den evenaar het sterkst en
wordt des te kleiner, naarmate men dichter bij de polen komt.
Daaruit volgt: de aarde is niet precies een bol, maar in de richting
van de polen iets samengedrukt_. Uit de uitkomsten van deze metingen
werd berekend, dat de middellijn van pool tot pool 1/300 (de
zoogenaamde _afplatting_ der aarde) kleiner is dan de middellijn van
den evenaar.
Onder de latere aardmetingen of graadmetingen, zooals ze meestal
genoemd worden, is vooral diegene beroemd geworden, die in opdracht
van de Nationale Konventie in 1793 ondernomen werd, om aan de natuur
een nieuwe lengte-eenheid te ontleenen.
Het veertigmillioenste deel van een door de polen gaanden omtrek der
aarde is onder den naam van _meter_ in bijna alle landen (Engeland
houdt nog aan zijn oude maten vast) in stede van de vroegere van
plaats tot plaats verschillende ellen en voeten als internationale
lengtemaat ingevoerd. Op den meter berusten ook de eenheden van
vlaktemaat (een hektare is 10000 vierkante meter), van inhoudsmaat
(een liter is 1/1000 kubieke meter), en van gewicht (een kilogram is
het gewicht van een liter water). Ten gevolge van eenige meet- en
rekenfouten is echter de aangenomen meter niet precies het
veertigmillioenste deel van den aardomtrek: volgens de nauwkeurigste
metingen bedraagt deze omtrek ongeveer 8300 meter meer dan 40
millioen, zoodat de meter eigenlijk 1/5 millimeter te kort is. Men
denkt er echter niet over om die eenheid nog weer te veranderen; men
heeft het idee van een aan de natuur direkt ontleende lengte-eenheid
opgegeven, daar die ten gevolge van de onvermijdelijke foutjes toch
altijd weer opnieuw zou moeten veranderd worden. De lengte van een
meter is nu eenvoudig door den standaardmeter van platina gegeven,
die in Parijs bewaard wordt.
In de 19de eeuw zijn met steeds betere instrumenten nog vele
graadmetingen gedaan in allerlei deelen der wereld, hoewel
natuurlijk het meest in Europa. Zij bevestigen alle, dat de kromming
van het aardoppervlak naar den evenaar toe grooter wordt, en dat dus
de aarde een afgeplatte bol is met een afplatting van ongeveer
1/300, (Bessel vond 1/299, Clarke 1/293, Helmert 1/296.)
Maar precies komt dat toch niet uit. Overal waar men het
aardoppervlak nauwkeurig onderzocht heeft, vertoont het bovendien
nog weliswaar geringe, maar toch duidelijk merkbare
onregelmatigheden in de kromming, die vooral in bergachtige streken
van beteekenis zijn. Natuurlijk moet men daarbij niet aan de vaste
oppervlakte van het land met al zijn heuvels, bergen en dalen
denken, -- bij de aardmetingen heeft men daarmee niets te maken --
maar aan de oppervlakte van stilstaand water. Men stelt zich voor,
dat het zeeoppervlak over het landgebied voortgezet wordt, b.v. zoo,
dat het zeewater zich door een menigte diepe kanalen overal binnen
de vastelanden kan uitbreiden. Het door al deze wateren gevormde
oppervlak is het grondvlak, van waaruit de hoogte der bergen en
andere vaste punten boven den zeespiegel gerekend wordt. Op dit
oppervlak staat het schietlood natuurlijk overal loodrecht, omdat
het water anders zou gaan stroomen en een anderen stand aannemen.
Over dit oppervlak denkt men zich de meetketting gelegd, wanneer men
den afstand van twee plaatsen door driehoeksmeting afleidt; dit
oppervlak is het dus, waarvan de kromming bij de graadmeting bepaald
wordt.
[Illustratie]
En nu is gebleken, dat dit oppervlak wel ongeveer, maar niet precies
samenvalt met een regelmatig afgeplatte bolfiguur. Op sommige
plaatsen verheft het zich een weinig er boven, op andere zinkt het
er iets onder, en daardoor kan de kromming van dit oppervlak niet
geheel regelmatig van het Noorden naar het Zuiden toenemen, en niet
van het Oosten naar het Westen nauwkeurig gelijk blijven. De
nevenstaande teekening toont hiervan een voorbeeld in een doorsnee
door Noord-Duitschland van het Noorden naar het Zuiden, tusschen
Kiel en Koburg, juist door de Broeken heen. Vergeleken met den
maatstaf der afstanden zijn hier de hoogten van het land alle 100
maal te groot, de hoogten van den rustenden waterspiegel boven of
onder de afgeplatte bolfiguur alle 10000 maal te groot genomen. De
hellingen der bergen zijn dus 100 maal, de schuinschheid der pijlen,
die de richtingen van het schietlood loodrecht op den waterspiegel
aangeven, 10000 maal overdreven voorgesteld. Het nauwkeurig
onderzoek van dit soort onregelmatigheden van het aardoppervlak is
het doel van de tegenwoordige astronomisch-geodetische metingen, die
door een internationale kommissie geleid, sinds een halve eeuw eerst
alleen in Europa en nu in alle werelddeelen een geheel leger van
landmeters en sterrekundigen bezighoudt.
Hoe staat het nu echter met de werkelijke vaste oppervlakte, met
haar hemelhooge bergen en diepe zeebassins? Kan haar gedaante ook
nog ongeveer door een afgeplatten bol voorgesteld worden? De hoogste
bergtoppen in de Alpen verheffen zich bijna 5000 meter, de hoogste
toppen van de geheele aarde bijna 9000 meter boven den zeespiegel,
en ongeveer even diep ligt de diepste zeebodem onder het
wateroppervlak. Dit bedrag is minder dan 1/1000 van de middellijn
der aarde, die bijna 13 millioen meter bedraagt. Stelt men de aarde
voor door een bol van een meter middellijn, dan moet de middellijn
van pool tot pool 3 millimeter korter zijn; de hoogste bergtoppen
kwamen dan 2/3, millimeter boven, de grootste zeediepten evenveel
beneden deze oppervlakte. Om groote hooglanden als die van
Midden-Azië en Amerika voor te stellen, zou op die plaats het
oppervlak een paar tiende deelen van een millimeter verhoogd, en een
even dun laagje zou voor de groote oceanen weggeschaafd moeten
worden. _Ondanks alle hoogten en diepten, heeft dus ook de vaste
aardoppervlakte op zeer weinig na de gedaante van een afgeplatten
bol_.