entendimiento alcanza con toda claridad, y á que asiente con absoluta
certeza sin que intervenga ningun _medio_, como lo dice el mismo
nombre. Estas verdades se enuncian en las proposiciones llamadas _per
se notæ_, primeros principios ó axiomas; en las cuales basta entender
el sentido de los términos, para ver que el predicado está contenido
en la idea del sujeto. Las proposiciones de esta clase son pocas en
todas las ciencias: la mayor parte de nuestros conocimientos es fruto
de raciocinio, el cual procede por evidencia mediata. En la geometría
son en muy reducido número las proposiciones que no han menester ser
demostradas sino explicadas; el cuerpo de la ciencia geométrica con
las dimensiones colosales que tiene en la actualidad, ha dimanado del
raciocinio: aun en las obras mas extensas los axiomas ocupan pocas
páginas; lo demás está formado de teoremas, esto es, de proposiciones
que no siendo evidentes por sí mismas, necesitan demostracion. Lo
mismo se verifica en todas las ciencias.
[265.] Como en los axiomas percibe el entendimiento la identidad del
sujeto con el predicado, viendo por intuicion que la idea de este se
halla contenida en la de aquel, surge aquí una cuestion filosófica
sumamente grave, que puede ser muy difícil y dar pie á extrañas
controversias, si no se tiene cuidado de colocarla en su verdadero
terreno. ¿Todo conocimiento humano se reduce á la simple percepcion de
la identidad? y su fórmula general, ¿podria ser la siguiente: A es A,
ó bien una cosa es ella misma? Filósofos de nota opinan por la
afirmativa, otros sienten lo contrario. Yo creo que hay en esto cierta
confusion de ideas, relativa mas bien al estado de la cuestion que no
al fondo de ella misma. Conduce mucho á resolverla con acierto el
formarse ideas bien claras y exactas de lo que es el juicio, y la
relacion que por él se afirma ó se niega.
[266.] En todo juicio hay percepcion de identidad ó de no identidad
segun es afirmativo ó negativo. El verbo _es_ no expresa union de
predicado con el sujeto, sino identidad; cuando va acompañado de la
negacion diciéndose _no es_, se expresa simplemente la no identidad,
prescindiendo de la union ó separacion. Esto es tan verdadero y
exacto, que en cosas realmente unidas no cabe juicio afirmativo por
solo faltarles la identidad; en tales casos, para poder afirmar, es
preciso expresar el predicado en concreto, esto es, envolviendo en él
de algun modo la idea del sujeto mismo; por manera que la misma
propiedad que en concreto debiera ser afirmada, no puede serle en
abstracto, antes bien debe ser negada. Así se puede decir: el hombre
es racional; pero nó, el hombre es la racionalidad; el cuerpo es
extenso; pero nó, el cuerpo es la extension; el papel es blanco; pero
nó el papel es la blancura. Y esto ¿por qué? ¿es que la racionalidad
no está en el hombre, que la extension no se halle unida al cuerpo y
la blancura al papel? nó ciertamente; pero, aunque la racionalidad
esté en el hombre y la extension en el cuerpo y la blancura en el
papel, basta que no percibamos identidad entre los predicados y los
sujetos para que la afirmacion no pueda tener cabida: por el
contrario, lo que la tiene es la negacion, á pesar de la union: así se
podrá decir: el hombre no es la racionalidad; el cuerpo no es la
extension; el papel no es la blancura.
He dicho que para salvar la expresion de identidad empleábamos el
nombre concreto en lugar del abstracto, envolviendo en aquel la idea
del sujeto. No se puede decir el papel es la blancura, pero sí el
papel es blanco: porque esta última proposicion significa el papel es
una cosa blanca; es decir, que en el predicado, blanco, en concreto,
hacemos entrar la idea general de _una cosa_, esto es, de un sujeto
modificable, y este sujeto es idéntico al papel modificado por la
blancura.
[267.] Así se echa de ver que la expresion: _union del predicado con
el sujeto_, es cuando menos inexacta. En toda proposicion afirmativa
se expresa la identidad del predicado con el sujeto; el uso autoriza
estos modos de hablar, que sin embargo no dejan de producir alguna
confusion cuando se trata de entender perfectamente estas materias. Y
es de notar que el lenguaje comun por sí solo, es en este punto como
en muchos otros, admirablemente propio y exacto; nadie dice, el papel
es la blancura, sino el papel es blanco; solo cuando se quiere
encarecer mucho la perfeccion con que un sujeto posee una calidad, se
la expresa en abstracto, uniéndole el pronombre _mismo_: así se dice
hiperbólicamente: es la misma belleza, es la misma blancura, es la
misma bondad.
[268.] Hasta lo que se llama igualdad en las matemáticas, viene á
significar tambien identidad, de suerte que en esta clase de juicios,
á mas de lo que hemos observado de general en todos, á saber, la
identidad salvada por la expresion del predicado en concreto, hay que
la misma relacion de igualdad significa identidad: esto necesita
explicacion.
Si digo 6 + 3 = 9, expreso lo mismo que 6 + 3 es idéntico á 9. Claro
es que en la afirmacion de igualdad no se atiende á la forma con que
las cantidades están expresadas, sino á las cantidades mismas; pues de
lo contrario, no solo no se podria afirmar la identidad, pero ni aun
la igualdad: porque es evidente que 6 + 3 en cuanto á su forma, ni
escrita, ni hablada, ni pensada, no es idéntico ni igual con 9. La
igualdad se refiere á los valores expresados, y estos no solo son
iguales, sino idénticos: 6 + 3 es lo mismo que 9. El todo no se
distingue de sus partes reunidas: el 9 es el todo; 6 + 3 con sus
partes reunidas.
El modo diferente con que se conciben 9 y 6 + 3, no excluye la
identidad: esta diferencia es relativa á la forma intelectual; y tiene
lugar no solo en este caso, sino en las percepciones de las cosas mas
simples; no hay nada que nosotros no concibamos bajo aspectos
diferentes, y cuyo concepto no podamos descomponer de diversos modos;
y sin embargo nó por esto se dice que la cosa deje de ser simple é
idéntica consigo misma.
Lo que se aplica á una ecuacion aritmética, puede extenderse á las
algebráicas y geométricas. Si se tiene una ecuacion en que el primer
miembro sea muy sencillo, por ejemplo Z, y el segundo muy complicado,
por ejemplo el desarrollo de una serie, no se quiere decir que la
expresion primera sea igual á la segunda; la igualdad se refiere, nó á
la misma expresion sino á lo expresado, al valor que con las letras se
designa: esto último es verdadero; lo primero seria evidentemente
falso.
Dos circunferencias que tengan un mismo radio son iguales. Aquí parece
que se trata solamente de igualdad, pues que hay en efecto dos objetos
distintos que son las dos circunferencias, las cuales pueden trazarse
en el papel ó representarse en la imaginacion: no obstante, ni aun en
este caso la distincion es verdadera y sí solo aparente, verificándose
lo que en las ecuaciones aritméticas y algebráicas, de que hay
distincion y hasta diversidad en las formas, é identidad en el fondo.
Desde luego se puede combatir el argumento principal en que se funda
la distincion, si se observa que las circunferencias que se pueden
trazar ó representar, no son mas que formas de la idea, y de ningun
modo la idea misma. Ya se tracen ya se representen, tendrán una
magnitud determinada y una cierta posicion en los planos que se tengan
á la vista ó que se imaginen: en la idea y en la proposicion que á
ella se refiere, no hay nada de esto; se prescinde de todas las
magnitudes, de todas las posiciones, se habla en un sentido general y
absoluto. Es verdad que las representaciones pueden ser infinitas, ya
en la imaginacion ya en lo exterior: pero esto, lejos de probar su
identidad con la idea, indica su diversidad; pues que la idea es
única, ellas son infinitas; la idea es constante, ellas son variables;
la idea es independiente de las mismas, y ellas son dependientes de la
idea, teniendo el carácter y la denominacion de circunferencias en
cuanto se le aproximan representando lo que ella contiene.
¿Qué se expresa pues en la proposicion: dos circunferencias que tengan
un mismo radio, son iguales? la idea fundamental es que el valor de la
circunferencia depende del radio; y la proposicion aquí enunciada no
es mas que una aplicacion de aquella propiedad al caso de igualdad de
los radios. Luego las circunferencias que concebimos como distintas,
no son mas que ejemplos que nos ponemos en lo interior para hacernos
visible la verdad de la aplicacion; pero en el fondo puramente
intelectual, no se encuentra mas que la descomposicion de la idea
misma de la circunferencia, ó su relacion con el radio aplicada al
caso de igualdad. No hay pues dos circunferencias en el órden
puramente ideal; hay una sola cuyas propiedades conocemos bajo
diferentes conceptos y que expresamos de diversas maneras.
Si en todos los juicios hay afirmacion de identidad ó no identidad, y
todos nuestros conocimientos ó nacen de un juicio ó van á parar á él,
parece que todos se han de reducir á una simple percepcion de
identidad: entonces, la fórmula general de nuestros conocimientos
será: A es A, ó una cosa es ella misma. Este resultado parece una
paradoja extravagante, y lo es segun el modo con que se le entiende;
pero si se explica como se debe, puede ser admitido como una verdad, y
verdad muy sencilla. Por lo dicho en los párrafos anteriores, se puede
columbrar cuál es el sentido de esta opinion; pero la importancia de
la materia exige otras aclaraciones.
CAPÍTULO XXVII.
CONTINUACION.
[269.] Es hasta ridículo el decir que los conocimientos de los mas
sublimes matemáticos, se hayan reducido á esta ecuacion: A es A. Esto,
dicho absolutamente, es no solo falso sino contrario al sentido comun;
pero ni es contrario al sentido comun, ni es falso, el decir que los
conocimientos de todos los matemáticos, son percepciones de identidad,
la cual presentada bajo diferentes conceptos sufre infinitas
variaciones de forma, que fecundan al entendimiento y constituyen la
ciencia. Para mayor claridad tomemos un ejemplo y sigamos una idea al
través de sus transformaciones.
[270.] La ecuacion círculo = círculo(1) es muy verdadera, pero nó muy
luminosa, pues no sirve para nada, á causa de que hay identidad no
solo de ideas sino tambien de conceptos y expresion. Para que haya un
verdadero progreso en la ciencia, no basta que la expresion se mude,
es necesario que se varié en algun modo el concepto bajo el cual se
presenta la cosa idéntica. Asi es que si la ecuacion anterior la
abreviamos en esta forma C = círculo(2) nada hemos adelantado, sino en
cuanto á la expresion puramente material. La única ventaja que puede
resultarnos, es el que aliviamos un tanto la memoria porque en vez de
expresar el círculo por una palabra la expresamos por una letra, la
inicial C. ¿Por qué? porque la variedad está en la expresion, no en el
concepto.
Si en vez de considerar la identidad en toda su simplicidad en ambos
miembros de la ecuacion, referimos el valor del círculo al de la
circunferencia, tendremos C = circunferencia x ½ R (3) es decir que el
valor del círculo es igual á la circunferencia multiplicada por la
mitad del radio. En la ecuacion (3) hay identidad como en las (1) y
(2) porque en ella se significa que el valor expresado por C es el
mismo expresado por circunferencia x ½ R; de la propia suerte que en
las anteriores se expresa que el valor del círculo es el valor del
círculo. ¿Pero hay alguna diferencia de esta ecuacion á las
anteriores? sí, y muy grande. ¿Cuál es? en las primeras se expresaba
simplemente la identidad concebida bajo un mismo punto de vista; el
círculo expresado en el segundo miembro no excitaba ninguna idea que
no excitase el primero; pero en la última el segundo miembro expresa
el mismo círculo sí, pero en sus relaciones con la circunferencia y el
radio, y por consiguiente á mas de contener una especie de análisis de
la idea del círculo, recuerda el análisis que anteriormente se ha
hecho de la idea de la circunferencia con relacion á la del radio. La
diferencia pues no está en la sola expresion material, sino en la
variedad de conceptos bajo los cuales se presenta una cosa misma.
Llamando N el valor de la relacion de la circunferencia con el
diámetro, y C al círculo, la ecuacion se nos convierte en esta otra C
= N R¹(4). Aquí hay tambien identidad en los valores, pero encontramos
un progreso notable en la expresion del segundo miembro, en el cual se
nos ofrece el valor del círculo desembarazado de sus relaciones con el
de la circunferencia y dependiente tan solo de un valor numérico N y
de una recta que es el radio. Sin perder pues la identidad y solo por
sucesion de percepciones de identidad, hemos llegado á adelantar en la
ciencia, y habiendo partido de una proposicion tan estéril como
círculo = círculo, nos encontramos en otra por la cual podemos desde
luego calcular el valor de un círculo cualquiera con tal que se nos dé
su radio.
Saliendo de la geometría elemental y considerando el círculo como una
curva referida á dos ejes y cuyos puntos se determinan con respecto á
estos, tendremos Z = 2Bx-x¹ (5); expresando Z el valor de la ordenada;
B el de una parte constante del eje de las abscisas; y x la abscisa
correspondiente á Z. Aquí encontramos ya otro progreso de ideas
todavía mas notable; en ambos miembros, no expresamos ya el valor del
círculo sino el de unas líneas, con las cuales se determinan todos los
puntos de la curva; y concebimos fácilmente que esta curva que nos
cerraba la figura cuyas propiedades determinábamos en la geometría
elemental, puede ser concebida bajo tal forma que pertenezca á un
género de curvas de las cuales ella constituya una especie por la
particular relacion de las cantidades 2 x y B; de manera que
modificando la expresion con la añadidura de una nueva cantidad
combinada de este ó de aquel modo, puede resultarnos una curva de otra
especie. Entonces, si queremos determinar el valor de la superficie
encerrada en esto círculo, podremos considerarla, no simplemente con
respecto al radio, sino á las áreas encerradas entre las varias
perpendiculares cuyos extremos determinan los puntos de la curva y que
se llaman ordenadas: con lo cual resultará que el mismo valor del
círculo se determinará bajo conceptos diferentes, no obstante de que
ese valor es siempre idéntico: la transicion de unos conceptos á otros
será la sucesion de las percepciones de identidad presentada bajo
formas diferentes.
Consideremos ahora que el valor del círculo depende del radio, lo cual
nos da C = funcion x (6). Ecuacion que nos lleva á concebir el círculo
bajo la idea general de una funcion de su radio ó de x, y por
consiguiente nos autoriza á someterle á todas las leyes á que una
funcion está sujeta y nos conduce á las propiedades de las
diferencias, de los límites, y de las relaciones de estos; con lo cual
entramos en el cálculo infinitesimal cuyas expresiones nos presentan
la identidad bajo una forma que nos recuerda una serie de conceptos de
análisis detenida y profunda. Así, expresando la diferencial del
círculo por dc; y su integral por S. dc; tendremos c = S. dc (7)
ecuacion en que se expresan los mismos valores que en aquella otra,
círculo = círculo, pero con la diferencia de que la (7) recuerda
inmensos trabajos analíticos, es el resultado de la dilatada sucesion
de conceptos del cálculo integral, del diferencial, de los límites de
las diferencias de las funciones, de la aplicacion del álgebra á la
geometría y de una muchedumbre de nociones geométricas elementales,
reglas y combinaciones algebráicas y de todo cuanto ha sido menester
para llegar al resultado. Entonces, cuando se integre la diferencial,
y por integracion se llegue á sacar el valor del círculo, es claro que
seria lo mas extravagante el afirmar que la ecuacion integral no es
mas que la de círculo = círculo; pero no lo es el decir que en el
fondo hay identidad, y que la diversidad de expresion á que hemos
llegado es el fruto de una sucesion de percepciones de la misma
identidad presentada bajo aspectos diferentes. Suponiendo que los
conceptos por los cuales haya sido necesario pasar sean A B C D E M;
la ley de su enlace científico podrá expresarse de esta manera: A = B,
B = C, C = D, D = E, E = M; luego A = M.
[271.] Lo que acabo de explicar no puede comprenderse bien si no se
recuerdan algunos caractéres de nuestra inteligencia, en los cuales se
encuentra la razon de tamañas anomalías. Nuestro entendimiento tiene
la debilidad de no poder percibir muchas cosas sino sucesivamente, y
de que aun en las ideas mas claras, no ve lo que en ellas se contiene,
sino con mucho trabajo. De esto resulta una necesidad á la cual
corresponde con admirable armonía una facultad que la satisface: una
necesidad de concebir bajo varias formas no solo distintas sino
diferentes, aun las cosas mas simples; una facultad de descomponer un
concepto en muchas partes, multiplicando en el órden de las ideas lo
que en realidad es uno. Esta facultad de descomposicion seria inútil
si al pasar el entendimiento por la sucesion de conceptos, no tuviese
medio de enlazarlos y retenerlos, en cuyo caso iría perdiendo el fruto
de sus tareas escapándosele de la mano tan pronto como lo acababa de
coger. Afortunadamente, este medio le tiene en los signos escritos,
hablados ó pensados; expresiones misteriosas que á veces designan no
solo una idea, sino que son como el compendio de los trabajos de una
larga vida y quizás de una dilatada serie de siglos. Al presentársenos
el signo, no vemos ciertamente con entera claridad todo lo que por él
se expresa, ni las razones de la legitimidad de la expresion; pero
sabemos en confuso el significado que allí se encierra, sabemos que en
caso necesario nos basta tomar el hilo de las percepciones por las
cuales hemos pasado, volviendo así con paso retrógrado hasta los
elementos mas simples de la ciencia. Al hacer los cálculos, el
matemático mas eminente no ve con toda claridad lo que significan las
expresiones que va empleando, sino en cuanto se refieren al objeto que
le ocupa; pero está cierto que aquellas expresiones no le engañan, que
las reglas por las cuales se guia son enteramente seguras; porque sabe
que en otro tiempo las afianzó en inconcusas demostraciones. El
desarrollo de una ciencia puede compararse á una serie de colunas en
las cuales se han marcado las distancias de un camino; el ingeniero
que ha hecho las operaciones se sirve de los guarismos de las colunas,
sin necesidad de recordar las operaciones que le condujeron á marcar
la cantidad que tiene á la vista; bástale saber que las operaciones
fueron bien hechas y que el resultado de ellas se escribió bien.
[272.] La prueba de esta necesidad de descomposicion, á mas de tenerla
ampliamente consignada en los ejemplos anteriores, se la encuentra en
los elementos de toda enseñanza, donde se hace preciso explicar bajo
una forma de demostracion proposiciones que nada mas dicen que las
definiciones ó axiomas que se han asentado. Por ejemplo, en las obras
elementales de geometría se encuentra este teorema: todos los
diámetros de un círculo son iguales; y si se quiere que los
principiantes le comprendan, es necesario dar la forma de demostracion
á lo que no es ni puede ser mas que una explicacion, y casi un
recuerdo de la idea del círculo. Cuando se traza la circunferencia se
fija un punto en torno del cual se hace girar una línea que se llama
radio; pues bien, no siendo el diámetro otra cosa que el conjunto de
los dos radios continuados en una misma línea, parece que debiera
bastar la enunciacion del teorema para que se le viese evidentemente
contenido en la idea del círculo y como una especie de repeticion del
postulado en que se funda la construccion de la curva; sin embargo no
sucede así, y es necesario explicar, haciendo como que se prueba, y
mostrar el diámetro igual á dos radios, y recordar que estos son
iguales, y á veces repetir que así se supone en la misma construccion;
en una palabra, emplear una porcion de conceptos para convencer de una
verdad que debiera ser conocida con la simple intuicion de uno solo,
como sucede cuando las fuerzas geométricas del entendimiento han
adquirido cierta robustez.
[273.] Ahora podrémos apreciar en su justo valor la opinion de
Dugald-Steward en sus _Elementos de la filosofía del espíritu humano_,
cuando dice: «es lícito dudar que aun esta ecuacion aritmética 2 x 2 =
4 pueda ser representada con exactitud por la fórmula A = A. Esta
ecuacion es una proposicion que enuncia _la equivalencia de dos
expresiones diferentes_, equivalencia cuyo descubrimiento puede ser de
la mayor importancia en una infinidad de casos. La fórmula es una
proposicion del todo insignificante y frivola que no puede en ningun
caso recibir la menor aplicacion práctica; ¿qué pensaremos pues de
esta proposicion A = A, si se la compara con la fórmula del binomio de
Newton á la cual en tal caso representaria? sin duda cuando se la
aplica á la ecuacion 2 x 2 = 4 (que por su extrema simplicidad y
vulgaridad puede pasar por un axioma) la paradoja no presenta tan de
bulto su monstruosidad; pero en este segundo caso parece del todo
imposible que tenga ni aun significacion» (2. p. cap. 2. seccion 3. §
2.). Este filósofo no advierte que la pretendida monstruosidad nace de
la errada interpretacion que él mismo da á la opinion de sus
adversarios. Nadie ha pensado en negar la importancia de los
descubrimientos en que se prueba la equivalencia de expresiones
diferentes; nadie dudará de que la fórmula del binomio de Newton sea
un gran progreso sobre la fórmula A = A; pero la cuestion no está
aquí, está en ver si la fórmula del binomio de Newton es mas que la
expresion de cosas idénticas, y si aun el mérito mismo de la
expresion, es ó no el fruto de una serie de percepciones de identidad.
Si la cuestion se presentase bajo el punto de vista de Dugald-Steward,
seria hasta indigna de ser ventilada: en buena filosofía no puede
disputarse sobre cosas no solo absurdas sino ridiculas.
CAPÍTULO XXVIII.
CONTINUACION.
[274.] Expliquemos ahora cómo la doctrina de la identidad se aplica en
general á todos los raciocinios, versen ó no sobre objetos
matemáticos; para esto examinaremos algunas de las formas dialécticas
en las cuales está consignado el arte de raciocinar.
Todo A es B; M es A, luego M es B. En este silogismo encontramos en la
mayor, la identidad de todo A con B, y en la menor la de M con A, de
lo cual sacamos la de M con B. En las tres proposiciones hay
afirmacion de identidad, y por consiguiente percepcion de ella: veamos
lo que sucede en el enlace que constituye la fuerza del raciocinio.
¿Por qué digo que M es B? porque M es A, y todo A es B. M es uno de
los A, que estaba expresado ya en las palabras: todo A; luego cuando
digo M es A, no digo nada nuevo sobre lo que habia dicho por todo A;
¿qué diferencia hay pues? hay la diferencia de que en la expresion
todo A, no hacia atencion á uno de sus contenidos M, del cual sin
embargo afirmaba que era B, por lo mismo que decia todo A es B. Si en
la expresion todo A hubiese visto distintamente á M, no hubiera sido
necesario el silogismo, pues por lo mismo que decia todo A es B,
hubiera entendido M es B.
Esta observacion es tan verdadera y exacta, que en tratándose de
relaciones demasiado claras se suprime el silogismo y se le reemplaza
por el entimema. El entimema es ciertamente la abreviacion del
silogismo; pero en esta abreviacion debemos ver algo mas que un ahorro
de palabras; hay un _ahorro de conceptos_, porque el entendimiento ve
intuitivamente lo uno en lo otro sin necesidad de descomposicion. Es
hombre, luego es racional; callamos la mayor y ni aun la pensamos,
porque en la idea de hombre y en su aplicacion á un individuo, vemos
intuitivamente la de racional, sin gradacion de ideas ni sucesion de
conceptos.