Facilmente se podia demonstrar, que na prática se tem tirado varios
outros soccorros das propriedades do circulo, que se acabam de
demonstrar; porém he mais a proposito passar a outras propriedades do
circulo, as quaes foram tiradas das precedentes, e que tambem tiveram a
sua utilidade.
[Sidenote: EST. X.]
Para proceder com ordem no descubrimento destas propriedades,
principiaremos, observando que dous angulos, quaesquer que sejam EDC,
(Estamp. 10. Fig. 1.) EBC, que assentam sobre o mesmo arco EC, sendo
iguaes, se segue que os triangulos DAE, BAC tem os angulos iguaes; isto
he, (Part. I. Art. XXXIX.) que estes triangulos são semelhantes.
[Sidenote: EST. X.]
Pois pela mesma razão, por que o angulo EDC he igual no angulo EBC,
o angulo DEB será igual ao angulo DCB; e quanto aos angulos DAE,
BAC, elles serão visivelmente iguaes; seja porque são feitos com as
mesmas linhas, ou porque dous triangulos, hum dos quaes tem dous
angulos respectivamente iguaes a dous angulos do outro, tem tambem
necessariamente o terceiro angulo igual. (P. I. Art. XXXVIII.)
Para depois mais facilmente se reconhecer nos triangulos ADE, (Figur.
1. e 2.) ABC as propriedades geraes dos triangulos semelhantes,
applicaremos o triangulo DAE sobre o triangulo BAC, pondo AD sobre
AB, e AE sobre AC, a sim que DE seja parallela a BC. Nós então nos
lembraremos.
1.º Que se dous triangulos ADE, ABC são semelhantes, os quatro lados
AC, AE, AB, AD estão em proporção. (Part. I. Art. XXXIX.)
[Sidenote: EST. X.]
[Sidenote: Se duas cordas se cortarem em hum circulo, o rectangulo das
partes de huma he igual ao rectangulo das partes da outra.]
2.º Que em toda a proporção, o producto dos extremos he igual ao
producto dos medios; (Part. II. Art. VIII.) e disto concluiremos, que o
rectangulo, ou o producto de AC por AD he igual ao rectangulo de AE por
AB; propriedade notabilissima do circulo, que se póde exprimir deste
modo: Se em hum circulo se tiram á vontade duas rectas, que se cortem,
o producto das duas partes da primeira he igual ao producto das duas
partes da segunda.