[Sidenote: EST. IX.]
Esta propriedade do circulo de que o angulo, que tem o seu vertice na
semicircumferencia, e que assenta sobre o diametro, he sempre recto,
nos conduz a procurar se as outras partes do circulo terão alguma
propriedade analoga; se, por exemplo, os angulos ACB (Estampa IX. Fig.
1.) AEB, AFB, tomados em hum segmento ACEFB, seriam todos entre si
iguaes, como o são aquelles do semicirculo.
Para nos certificarmos disto, principiaremos procurando o valor de hum
destes angulos, e depois veremos se cada hum dos outros tem o mesmo
valor. Tomemos, por exemplo, o angulo AEB, (Fig. 2.) o vertice do qual
E está no meio do arco AEB. Como a linha EDG, que passa pelo centro
D, reparte este angulo em duas partes iguaes, bastará medir o angulo
AEG, sua metade; ou, o que he o mesmo, bastará saber-se qual parte he
o angulo AEG, de hum angulo já medido, tal como ADG; digo pois, que o
angulo ADG já está medido, porque nós sabemos que o arco AG he a sua
medida. (Part. I. Art. LII.)
[Sidenote: EST. IX.]
Fazendo-se reflexão em que o triangulo AED he isosceles, facilmente se
verá que o angulo AEG he metade do angulo ADG, porque os angulos AED,
EAD (Part. I. Art. XXXI.) são iguaes; mas (Parte I. Art. LXVIII.) estes
dous angulos juntos valem o angulo exterior ADG. Logo o angulo AED, ou
AEG, he a metade do angulo ADG.
Pela mesma razão, o angulo DEB será a metade do angulo GDB. Logo o
angulo total AEB igualará a metade do angulo ADB. Logo a sua medida
será a metade do arco AGB.