[Sidenote: EST. VIII.]
O methodo, que acabamos de dar, para circumscrever hum circulo a hum
triangulo, sendo successivamente applicado a differentes triangulos
ACB, AEB, AGB (Fig. 11.) mais, ou menos elevados a respeito da base
delles AB, muito bem se percebe, que em passando de hum triangulo ACB,
cujo angulo do vertice he muito agudo, a outros triangulos AEB, AGB,
que tem os angulos dos seus vertices mais abertos, o centro do circulo
circumscrito se avizinha continuadamente para AB, e que este centro
passa depois para baixo de AB, quando o angulo do vertice AGB chega a
huma certa abertura. Ora vendo-se passar este centro para baixo de AB,
depois de se ter visto por sima, parece-me que deve vir ao pensamento
o procurar de qual especie he o triangulo AFB, (Fig. 12.) quando o
circulo circumscrito tem o seu centro sobre AB.
Para se conhecer este triangulo AFB, se principiará notando, que neste
caso particular a porção de circulo circumscrito a hum triangulo,
deve ser exactamente hum semicirculo: com effeito o centro do
circulo devendo estar sobre a base AB, a qual tem por supposição as
duas extremidades na circumferencia, o centro M não poderá deixar
de estar situado precisamente no meio de AB, de sorte que AB será
necessariamente hum diametro.
[Sidenote: Se de qualquer ponto da circumferencia de hum semicirculo
se tirarem duas rectas ás extremidades do diametro, se terá hum angulo
recto.]
[Sidenote: EST. VIII.]
Ver-se-ha depois, que tirando-se as linhas FA, FB de qualquer ponto F
do semicirculo, o angulo AFB será recto. Porque tirando FM, os dous
triangulos AFM, MFB serão isosceles. Logo os dous angulos AFM, MFB
serão respectivamente iguaes aos angulos FAM, FMB; ou, que vem a ser o
mesmo, o angulo total AFB igualará a somma dos dous angulos FAM, FBM;
porém os tres angulos AFB, FAM, FBM, todos juntos, valem dous rectos.
Logo o angulo AFB será recto.
Assim descrevendo-se na base AB hum triangulo rectangulo, qualquer que
seja, este triangulo terá a propriedade pedida de ser inscrito em hum
circulo, cujo centro esteja na base.