proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur.
Inæqualitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam
proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunæ circularem
esse, & inæqualitates omnes negligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur.
Ob ingentem verò Solis distantiam ponamus etiam lineas QP, QS sibi invicem
parallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam
quantitatem SP, ut & vis SM ad mediocrem suam quantitatem 3PK. Hæ vires,
per Legum Corol. 2. componunt vim SL; & hæc vis, si in radium SP demittatur
perpendiculum LE, resolvitur in vires SE, EL, quarum SE, agendo semper
secundum radium SP, nec accelerat nec retardat descriptionem areæ QSP radio
illo SP factam; & EL agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat
ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunæ, in
transitu ipsius à Quadratura C ad conjunctionem A, singulis temporis
momentis facta, est ut ipsa vis accelerans EL, hoc est ut 3PK × SK ÷ SP.
Exponatur tempus per motum medium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit)
per angulum CSP, vel etiam per arcum CP. Ad CS erigatur Normalis CG ipsi CS
æqualis. Et diviso arcu quadrantali AC in particulas innumeras æquales Pp
&c. per quas æquales totidem particulæ temporis exponi possint, ductâque pk
perpendiculari ad CS, jungatur SG ipsis KP, kp productis occurrens in F &
f; & erit Kk ad PK ut Pp ad Sp, hoc est in data ratione, adeoque FK × Kk
seu area FKkf ut 3PK × SK ÷ SP id est ut EL; & compositè, area tota GCKF ut
summa omnium virium EL tempore toto CP impressarum in Lunam, atque adeò
etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut acceleratio descriptionis
areæ CSP, seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad
distantiam SP, tempore suo periodico CADBC dierum 27. hor. 7. min. 43.
revolvi posset, efficeret ut corpus, tempore CS cadendo, describeret
longitudinem ½CS, & velocitatem simul acquireret æqualem velocitati, qua
Luna in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol. Prop. IV. Lib. I. Cum autem
perpendiculum Kd in SP demissum sit ipsius EL pars tertia, & ipsius SP seu
ML in octantibus pars dimidia, vis EL in Octantibus, ubi maxima est,
superabit vim ML in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna
tempore suo periodico circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad
2/3 × 17872½ seu 11915, & tempore CS velocitatem generare deberet quæ esset
pars 100/11915 velocitatis Lunaris, tempore autem CPA velocitatem majorem
generaret in ratione CA ad CS seu SP. Exponatur vis maxima EL in Octantibus
per aream FK × Kk rectangulo ½SP × Pp æqualem. Et velocitas, quam vis
maxima tempore quovis CP generare posset, erit ad velocitatem quam vis
omnis minor EL eodem tempore generat ut rectangulum ½SP × CP ad aream KCGF:
tempore autem toto CPA, velocitates genitæ erunt ad invicem ut rectangulum
½SP × CA & triangulum SCG, sive ut arcus quadrantalis CA ad radium SP.
Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitatis posterior, toto tempore
genita, erit pars 100/11915 velocitatis Lunæ. Huic Lunæ velocitati, quæ
areæ momento mediocri analoga est, addatur & auferatur dimidium velocitatis
alterius; & si momentum mediocre exponatur per numerum 11915 summa 11915 +
50 seu 11965 exhibebit momentum maximum areæ in Syzygia A, ac differentia
11915 - 50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur areæ
temporibus æqualibus in Syzygiis & Quadraturis descriptæ, sunt ad invicem
ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad
momentorum differentiam 100 ut trapezium FKCG ad triangulum SCG (vel quod
perinde est, ut quadratum Sinus PK ad quadratum Radii SP, id est ut Pd ad
SP) & summa exhibebit momentum areæ, ubi Luna est in loco quovis intermedio
P.
Hæc omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol & Terra quiescunt, & Luna
tempore Synodico dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvitur. Cum autem periodus
Synodica Lunaris verè sit dierum 29. hor. 12. & min. 44. augeri debent
momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum,
quod erat pars 100/11915 momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars
100/11023. Ideoque momentum areæ in Quadratura Lunæ erit ad ejus momentum
in Syzygia ut 11023 - 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073, & ad ejus
momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio P versatur, ut 10973 ad
10973 + Pd, existente videlicet SP æquali 100.
Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis particulis
æqualibus describit, est quam proximè ut summa numeri 219-46/100 & Sinus
versi duplicatæ distantiæ Lunæ à Quadratura proxima, in circulo cujus
radius est unitas. Hæc ita se habent ubi Variatio in Octantibus est
magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet
vel minui Sinus ille versus in eadem ratione.
Prop. XXVII. Prob. VII.
_Ex motu horario Lunæ invenire ipsius distantiam à Terra._
Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis,
describit, est ut motus horarius Lunæ & quadratum distantiæ Lunæ à Terrâ
conjunctim; & propterea distantia Lunæ à Terrâ est in ratione compositâ ex
dimidiatâ ratione Areæ directè & dimidiatâ ratione motus horarii inversè.
_Q. E. I._
_Corol. 1._ Hinc datur Lunæ diameter apparens: quippe quæ sit reciprocè ut
ipsius distantia à Terra. Tentent Astronomi quàm probè hæc Regula cum
Phænomenis congruat.
_Corol. 2._ Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiùs ex Phænomenis quàm antehac
definiri potest.
Prop. XXVIII. Prob. VIII.
_Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri
deberet._
[Illustration]
Curvatura Trajectoriæ, quam mobile, si secundum Trajectoriæ illius
perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum
velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima
proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios æquales
pertinentium, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lunæ
in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim
Solarem 2PK (Vide _Figur. pag. 434._) qua gravitas acceleratrix Lunæ in
Solem superat gravitatem acceleratricem Terræ in Solem. In Quadraturis
autem attractio illa est summa gravitatis Lunæ in Terram & vis Solaris KS,
qua Luna in Terram trahitur. Et hæ attractiones, si {AS + CS} ÷ 2 dicatur
N, sunt ut 178725 ÷ ASq. - 2000 ÷ {CS × N} & 178725 ÷ CSq. + 1000 ÷ {AS ×
N} quam proxime; seu ut 178725N in CSq. - 2000ASq. in CS, & 178725N in ASq.
+ 1000 CSq. × AS. Nam se gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur per
numerum 178725, vis mediocris ML, quæ in Quadraturis est PS vel SK & Lunam
trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de
qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis
distrahitur à Terra, quamque jam ante nominavi 2PK. Velocitas autem Lunæ in
Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS
& momentum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad
momentum ejusdem areæ in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073CS ad
10973AS. Sumatur hæc ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet
Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut
120407 × 178725ASq. × CSq. × N - 120407 × 2000AS qq. × CS ad 122611 ×
178725ASq. × CSq. × N + 122611 × 1000CS qq. × AS, id est ut 2151969AS × CS
× N - 24081AS cub. ad 2191371AS × CS × N + 12261CS cub.
Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA,
in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis,
minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu
angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam
consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino
destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo
describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p
inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunæ
representet, & ducendo Sp æqualem SP, ea lege ut angulus PSp æqualis sit
motui apparenti Solis à tempore Quadraturæ C confecto; vel (quod eodem fere
recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicæ
Lunaris ad tempus revolutionis Periodicæ seu 29 d. 12. h. 44', ad 27 d. 7
h. 43'. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA,
& sit longitudo Sa æqualis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis
summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia
inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S
intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter curvaturam Ellipseos in
vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad
angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli
illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad
curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus
autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC;
& differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli
novissimi, ad differentiam inter curvaturam figuræ Spa in vertice C &
curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp.
Quæ quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum
angulorum facilè colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se,
prodit curvatura figuræ Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub. +
16824/100000CSq. × AS ad CS cub. + 16824/100000ASq. × CS. Ubi numerus
16824/100000 designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp
applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est)
differentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43', & 29 d. 12 h. 44',
applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43'.
Igitur cum a designet Syzygiam Lunæ, & C ipsius Quadraturam, proportio jam
inventa eadem esse debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis
ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut
inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et
termini prodeuntes ad AS × CS applicati, fiunt 2062,79CS qq. - 2151969N ×
CS cub. + 368682N × AS × CSq. + 36342ASq. × CSq. - 362046N × ASq. × CS +
2191371N × AS cub. + 4051,4AS qq. = 0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ
N scribo 1, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit CS = 1 + x, & AS
= 1 - x: quibus in æquatione scriptis, & æquatione prodeunte resolutâ,
obtinetur x æqualis 0,0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, &
semidiameter AS 0,9928, qui numeri sunt ut 69-11/12 & 68-11/12 quam
proximè. Est igitur distantia Lunæ à Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam
in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut
68-11/12 ad 69-11/12, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.
Prop. XXIX. Prob. IX.
_Invenire Variationem Lunæ._
[Illustration]
Oritur hæc inæqualitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex
inæqualitate momentorum areæ, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si
Luna P in Ellipsi DBCA circa Terram in centro Ellipseos quiescentem
moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori
proportionalem; esset autem Ellipseos semidiameter maxima CS ad
semidiametrum minimam SA ut 69-11/12 ad 68-11/12: foret Tangens anguli CSP
ad Tangentem anguli motus medii à quadratura C computati, ut Ellipseos
semidiameter SA ad ejusdem semidiametrum SC seu 68-11/12 ad 69-11/12. Debet
autem descriptio areæ CSP, in progressu Lunæ à Quadratura ad Syzygiam, ea
ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunæ sit ad ejus momentum
in Quadratura ut 11073 ad 10973, utq; excessus momenti in loco quovis
intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli
CSP. Id quod satis accuratè fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in
dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri
68-5958/10000 ad numerum 68-11/12. Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad
tangentem motus medii ut 68-5958/10000 ad 69-11/12, & angulus CSP in
Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 27'. 29": qui
subductus de angulo motus medii 45 gr. relinquit Variationem 32'. 31". Hæc
ita se haberent si Luna, pergendo à Quadratura ad Syzygiam, describeret
angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terræ, quo Sol in
antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur,
describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris
Synodicæ ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 44'. ad
27 d. 7 h. 43'. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S dilatantur in
eadem ratione, & Variatio quæ secus esset 32'. 31". jam aucta in eadem
ratione, fit 35'. 9". Hæc ab Astronomis constituitur 40', & ex
recentioribus Observationibus 38'. _Halleius_ autem recentissimè
deprehendit esse 38' in Octantibus versus oppositionem Solis, & 32' in
Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 35': quæ cum
magnitudine à nobis inventa 35'. 9" probe congruit. Magnitudinem enim
mediocrem computavimus, neglectis differentiis, quæ à curvaturâ Orbis
magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam &
plenam, oriri possint.
Prop. XXX. Prob. X.
_Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe circulari._
[Illustration]
Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lunæ, Npn vestigium Orbis in
plano Eclipticæ; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinitè productam, PI,
PK; perpendicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in
planum Eclipticæ; Q, q Quadraturas Lunæ in plano Eclipticæ & pK
perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad
perturbandum motum Lunæ (per Prop. XXV.) duplex erit, altera lineæ 2IT vel
2Kp, altera lineæ PI proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore
in lineam ST trahitur. Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT &
PT, quarum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani
nil mutat. Hæc igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2IT componit vim
totam 3IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et hæc vis per Prop. XXV.
est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo
periodico revolvi posset, ut 3IT ad Radium circuli multiplicatum per
numerum 178,725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59,575. Cæterum in
hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes à Luna ad Solem
ductas tanquam parallelas lineæ quæ à Terra ad Solem ducitur, propterea
quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus,
quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis
istiusmodi minutiis, quæ calculum nimis impeditum redderent.
Designet jam PM arcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit, & ML
lineolam quam Luna, impellente vi præfata 3IT, eodem tempore describere
posset. Jungantur PL, MP, & producantur eæ ad m & l, ubi secent planum
Eclipticæ; inque Tm demittatur perpendiculum PH. Et quoniam ML parallela
est ipsi ST, si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticæ, &
contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticæ, parallela erit ipsi ML, &
similia erunt triangula LMP, Lmp. Jam cum MPm sit in plano Orbis, in quo
Luna in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per Orbis illius
Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul
& semel in loco P impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu,
cujus Chorda esset LP, atque adeò transferret Lunam de plano MPmT in planum
LPlT; motus Nodorum à vi illa genitus æqualis erit angulo mTl. Est autem ml
ad mP ut ML ad MP, adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut
rectangulum ML × mP, id est ut rectangulum IT × mP. Et angulus mTl, si modo
angulus Tml rectus sit, est ut ml ÷ Tm, & propterea ut IT × Pm ÷ Tm id est
(ob proportionales Tm & mP, TP & PH) ut IT × PH ÷ TP, adeoque ob datam TP,
ut IT × PH. Quod si angulus Tml, seu STN obliquus sit, erit angulus mTl
adhuc minor, in ratione Sinus anguli STN ad Radium. Est igitur velocitas
Nodorum ut IT × PH & Sinus anguli STN conjunctim, sive ut contentum sub
sinubus trium angulorum TPI, PTN & STN.
Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existentibus, recti
sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mTl evadet angulo mPl
æqualis. Hoc autem in casu, angulus mPl est ad angulum PTM, quem Luna eodem
tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad 59,575. Nam
angulus mPl æqualis est angulo LPM, id est angulo deflexionis Lunæ à recto
tramite, quam præfata vis Solaris 3IT dato illo tempore generare possit; &
angulus PTM æqualis est angulo deflexionis Lunæ à recto tramite, quem vis
illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et hæ vires,
uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius
horarius Lunæ (respectu fixarum) sit 32'. 56". 27"'. 12^{iv}½, motus
horarius Nodi in hoc casu erit 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v. Aliis autem in
casibus motus iste horarius erit ad 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v. ut contentum
sub sinibus angulorum trium TPI, PTN, & STN (seu distantiarum Lunæ à
Quadratura, Lunæ à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum
anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum
mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in
regressivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter
Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum versatur. Aliis in
casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis
mensibus feruntur in antecedentia.
[Illustration]
_Corol. 1._ Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam
Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque
producantur donec secent lineam Nodorum Nn in D & d; erit motus horarius
Nodorum ut area MPDd & quadratum lineæ AZ conjunctim. Sunto enim PK, PH &
AZ prædicti tres Sinus. Nempe PK Sinus distantiæ Lunæ à Quadratura, PH
Sinus distantiæ Lunæ à Nodo, & AZ Sinus distantiæ Nodi à Sole: & erit
velocitas Nodi ut contentum PK × PH × AZ. Est autem PT ad PK ut PM ad Kk,
adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut
AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD × AZ proportionalis, & conjunctis
rationibus, PK × PH est ut contentum Kk × PD × AZ, & PK × PH × AZ ut Kk ×
PD × AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim. _Q. E. D._
_Corol. 2._ In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est
semissis motus horarii in Syzygiis Lunæ, ideoque est ad 16". 35"'. 16^{iv}.
36^v. ut quadratum Sinus distantiæ Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii,
sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet
semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad
M, erit area QMdE quæ ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore
Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD
describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, &
aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quæ, quoniam Nodi
prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore,
& cum æqualis sit areæ QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa
omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area
semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area
circuli totius. At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est
rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic æqualium arearum,
quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia
tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit æquale duobus circulis,
duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate
uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo
majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris
quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inæquabili cum motu
revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in
Syzygiis Lunæ. Unde cum motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis
versantur, sit 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v, motus mediocris horarius in hoc
casu erit 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. Et cum motus horarius Nodorum semper
sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in
Syzygiis Lunæ ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, id est (ob datam aream PDdM
in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu.
atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16".
35"'. 16^{iv}. 36^v. ut AZ qu. ad AT qu. _Q. E. D._
Prop. XXXI. Prob. XI.
_Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico._
[Illustration]
Designet Qpmaq Ellipsim, axe majore Qq, minore ab descriptam, QAq circulum
circumscriptum, T Terram in utriusque centro communi, S Solem, p Lunam in
Ellipsi moventem, & pm arcum quem data temporis particula quam minima
describit, N & n Nodos linea Nn junctos, pK & mk perpendicula in axem Qq
demissa & hinc inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & lineæ
Nodorum in D & d. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat
tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi ut area pDdm.
Nam si PF tangat circulum in P, & producta occurrat TN in F, & pf tangat
Ellipsin in p & producta occurrat eidem TN in f, conveniant autem hæ
Tangentes in axe TQ ad Y; & si ML designet spatium quod Luna in circulo
revolvens, interea dum describit arcum PM, urgente & impellente vi prædicta
3IT, motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod Luna in
Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3IT, describere posset; &
producantur LP & lp donec occurrant plano Eclipticæ in G & g; & jungantur
FG & fg, quarum FG producta secet pf, pg & TQ in c, e & R respectivè, & fg
producta secet TQ in r: Quoniam vis 3IT seu 3PK in circulo est ad vim 3IT
seu 3pK in Ellipsi, ut PK ad pK, seu AT ad aT; erit spatium ML vi priore
genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut PK ad pK, id est ob
similes figuras PYKp & FYRc, ut FR ad cR. Est autem ML ad FG (ob similia
triangula PLM, PGF) ut PL ad PG, hoc est (ob parallelas Lk, PK, GR) ut pl
ad pe, id est (ob similia triangula plm, cpe) ut lm ad ce; & inversè ut LM
est ad lm, seu FR ad cR, ita est FG ad ce. Et propterea si fg esset ad ce
ut fY ad cY, id est ut fr ad cR, (hoc est ut fr ad FR & FR ad cR
conjunctim, id est ut fT ad FT & FG ad ce conjunctim,) quoniam ratio FG ad
ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG & fT ad FT, foret fg ad FG
ut fT ad FT; propterea quod anguli, quos FG & fg subtenderent ad Terram T,
æquarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quæ in præcedente Propositione
exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum PM, in
Ellipsi arcum pm percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi
æquarentur inter se. Hæc ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad
cY, id est si fg æqualis esset ce × fY ÷ cY. Verum ob similia triangula
fgp, cep, est fg ad ce ut fp ad cp; ideoque fg æqualis est ce × fp ÷ cp, &
propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum priorem, quem
FG subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo,
ut hæc fg seu ce × fp ÷ cp ad priorem fg seu ce × fY ÷ cY, id est ut fp ×
cY ad cp × fY, seu fp ad fY & cY ad cp; hoc est, si pb ipsi TN parallela
occurrat FP in b, ut Fb ad FY & FY ad FP; hoc est ut Fb ad FP seu Dp ad DP,
adeoque ut area Dpmd ad aream DPMd. Et propterea, cum area posterior
proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis
motui Nodorum in Ellipsi. _Q. E. D._
_Corol._ Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearum pDdm,
quo tempore Luna pergit à Quadratura ad locum quemvis m, sit area mpQEd,
quæ ad Ellipseos Tangentem QE terminatur; & summa omnium arearum illarum,
in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum
in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad
circulum, id est ut Ta ad TA, seu 68-11/12 ad 69-11/12. Et propterea, cum
motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 16". 35"'. 16^{iv}.
36^v. ut AZ qu. ad AT qu. si capiatur angulus 16". 21"'. 2^{iv}. 36^v. ad
angulum 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. ut 68-11/12 ad 69-11/12, erit motus
mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 16". 21"'. 2^{iv}. 36^v. ut AZq.
ad ATq.; hoc est ut quadratum Sinus distantiæ Nodi à Sole ad quadratum
Radii.