quoddam æthereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum
poros & meatus liberrime permeet; a tali autem Medio per corporum poros
fluente resistentia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis
corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes
etiam internæ in superficiebus propriis resistentiam notabilem sentiant,
excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitudinis, ab unco
chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem
abiegnam rotundam, ad constituendum pendulum longitudinis prædictæ. Uncus
sursum præacutus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei
innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum.
Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum
sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus,
oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum
suspensionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum
igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso
notabam alia tria loca ad quæ redibat in fine oscillationis primæ, secundæ
ac tertiæ. Hoc repetebam sæpius, ut loca illa quam potui accuratissime
invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quæ ad manus erant, metallis
implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quæ
circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquæ quæ inter uncum &
pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio ponderis sui
pendulum a perpendiculo digressum semper urget.) Huic ponderi addebam
pondus aeris quam pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars
septuagesima octava pyxidis metallorum plenæ. Tum quoniam pyxis Metallorum
plena, pondere suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli,
contrahebam filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac
prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso, numerabam
oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo
notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad locum tertio notatum
rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum
quartum. Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plenæ non majorem
habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuæ quam 78 ad 77. Nam si
æquales essent ambarum resistentiæ, pyxis plena ob vim suam insitam
septuagies & octies majorem vi insita pyxidis vacui, motum suum
oscillatorium tanto diutius conservare deberet, atque adeo completis semper
oscillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem
completis oscillationibus 77.
Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa, & B
resistentiam pyxidis vacuæ in partibus internis; & si resistentiæ corporum
æquivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum
quæ resistuntur: erit 78B resistentia pyxidis plenæ in ipsius partibus
internis: adeoque pyxidis vacuæ resistentia tota A + B erit ad pyxidis
plenæ resistentiam totam A + 78B ut 77 ad 78, & divisim A + B ad 77B ut 77,
ad 1, indeque A + B ad B ut 77 × 77 ad 1, & divisim A ad B ut 5928 ad 1.
Est igitur resistentia pyxidis vacuæ in partibus internis quinquies millies
minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic
disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenæ oriatur
ab actione Fluidi alicujus subtilis in Metallum inclusum. Ac causam longe
aliam esse opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plenæ minora sunt quam
tempora oscillationum pyxidis vacuæ, & propterea resistentia pyxidis plenæ
in externa superficie major est, pro ipsius velocitate & longitudine spatii
oscillando descripti, quam ea pyxidis vacuæ. Quod cum ita sit, resistentia
pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis.
Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando
descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, quæ
memoria exciderunt, omittere compulsus sum. Nam omnia denuo tentare non
vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius
retardabatur. Causam quærendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi
pyxidis, & ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur.
Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, &
tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus.
Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sphæricorum in Aqua &
argento vivo, inveniri potest resistentia corporum figurarum aliarum; & sic
Navium figuræ variæ in Typis exiguis constructæ inter se conferri, ut
quænam ad navigandum aptissimæ sint, sumptibus parvis tentetur.
* * * * *
SECT. VIII.
_De Motu per Fluida propagato._
Prop. XLI. Theor. XXXI.
_Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi
particulæ Fluidi in directum jacent._
[Illustration]
Si jaceant particulæ a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pressio
directe propagari ab a ad e; at particula e urgebit particulas oblique
positas f & g oblique, & particulæ illæ f & g non sustinebunt pressionem
illatam, nisi fulciantur a particulis ulterioribus h & k; quatenus autem
fulciuntur, premunt particulas fulcientes; & hæ non sustinebunt pressionem
nisi fulciantur ab ulterioribus l & m easque premant, & sic deinceps in
infinitum. Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas quæ non in
directum jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum; &
postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores,
quæ non in directum jacent, iterum divaricabit; idque toties, quoties in
particulas non accurate in directum jacentes inciderit. _Q. E. D._
_Corol._ Si pressionis a dato puncto per Fluidum propagatæ pars aliqua
obstaculo intercipiatur, pars reliqua quæ non intercipitur divaricabit in
spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam demonstrari potest. A puncto A
propagetur pressio quaquaversum, idque si fieri potest secundum lineas
rectas, & obstaculo NBCK perforato in BC, intercipiatur ea omnis, præter
partem Coniformem APQ, quæ per foramen circulare BC transit. Planis
transversis de, fg, hi distinguatur conus APQ in frusta & interea dum conus
ABC, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in
superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fgih in superficie fg,
& frustum illud urget frustum tertium, & sic deinceps in infinitum;
manifestum est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum defg,
reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur & premetur in superficie
fg, quantum urget & premit frustum illud secundum. Frustum igitur degf
inter Conum Ade & frustum fhig comprimitur utrinque, & propterea (per
Corol. 6. Prop. XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem
comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de,
fg conabitur cedere ad latera df, eg; ibique (cum rigidum non sit, sed
omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur, nisi Fluidum ambiens adsit, quo
conatus iste cohibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum
ambiens ad latera df, eg quam frustum fghi eodem impetu; & propterea
pressio non minus propagabitur a lateribus df, eg in spatia NO, KL hinc
inde, quam propagatur a superficie fg versus PQ. _Q. E. D._
[Illustration]
Prop. XLII. Theor. XXXII.
_Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia
immota._
_Cas. 1._ Propagetur motus a puncto A per foramen BC, pergatque (si fieri
potest) in spatio conico BCQP, secundum lineas rectas divergentes a puncto
C. Et ponamus primo quod motus iste sit undarum in superficie stagnantis
aquæ. Sintque de, fg, hi, kl, &c. undarum singularum partes altissimæ,
vallibus totidem intermediis ab invicem distinctæ. Igitur quoniam aqua in
undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis LK, NO, defluet
eadem de jugorum terminis e, g, i, l, &c. d, f, h, k, &c. hinc inde versus
KL & NO: & quoniam in undarum vallibus depressior est quam in Fluidi
partibus immotis KL, NO; defluet eadem de partibus illis immotis in undarum
valles. Defluxu priore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur
& propagantur versus KL & NO. Et quoniam motus undarum ab A versus PQ fit
per continuum defluxum jugorum in valles proximos, adeoque celerior non est
quam pro celeritate descensus; & descensus aquæ hinc inde versus KL & NO
eadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde
versus KL & NO, eadem velocitate qua undæ ipsæ ab A versus PQ recta
progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde versus KL & NO ab undis
dilatatis rfgr, shis, tklt, vmnv, &c. occupabitur. _Q. E. D._ Hæc ita
se habere quilibet in aqua stagnante experiri potest.
_Cas. 2._ Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn designent pulsus a puncto A
per Medium Elasticum successive propagatos. Pulsus propagari concipe per
successivas condensationes & rarefactiones Medii, sic ut pulsus cujusque
pars densissima Sphæricam occupet superficiem circa centrum A descriptam, &
inter pulsus successivos æqualia intercedant intervalla. Designent autem
lineæ de, fg, hi, kl, &c. densissimas pulsuum partes per foramen BC
propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde
versus KL & NO, dilatabit sese tam versus spatia illa KL, NO utrinque sita,
quam versus pulsuum rariora intervalla; eoq; pacto rarius semper evadens e
regione intervallorum ac densius e regione pulsuum, participabit eorundem
motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione
partium densiorum versus antecedentia intervalla rariora; & pulsus eadem
celeritate sese in Medii partes quiescentes KL, NO hinc inde relaxare
debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia
immota KL, NO, qua propagantur directe a centro A; adeoque spatium totum
KLON occupabunt. _Q. E. D._ Hoc experimur in sonis, qui vel domo
interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes
cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a
parietibus oppositis sed a fenestra directe propagati.
_Cas. 3._ Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab A
per foramen BC: & quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes
Medii centro A propiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes
quæ urgentur Fluidæ sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi
minus premuntur: recedent eædem versus Medii partes omnes quiescentes, tam
laterales KL & NO, quam anteriores PQ, eoque pacto motus omnis, quam primum
per foramen BC transiit, dilatari incipiet, & abinde tanquam a principio &
centro in partes omnes directe propagari. _Q. E. D._
Prop. XLIII. Theor. XXXIII.
_Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsuum
undique in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem
excitabit._
_Cas. 1._ Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo,
itu suo urgebunt & propellent partes Medii sibi proximas, & urgendo
compriment easdem & condensabunt; dein reditu suo sinent partes compressas
recedere & sese expandere. Igitur partes Medii corpori tremulo proximæ
ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: &
qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, hæ
similibus tremoribus agitatæ agitabunt partes sibi proximas, eæque
similiter agitatæ agitabunt ulteriores, & sic deinceps in infinitum. Et
quemadmodum Medii partes primæ eundo condensantur & redeundo relaxantur,
sic partes reliquæ quoties eunt condensabuntur, & quoties redeunt sese
expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic enim
determinatas ab invicem distantias servando non rarefierent &
condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi condensantur, &
recedendo ubi rarefiunt, aliquæ earum ibunt dum aliæ redeunt; idque vicibus
alternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condensatæ, ob motum
suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus; & propterea pulsus
successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque
æqualibus circiter ab invicem distantiis, ob æqualia temporis intervalla,
quibus corpus tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat.
_Q. E. D._ Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum
plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per Medium
propagati sese dilatabunt ad latera, per Propositionem præcedentem; & a
corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum superficies propemodum
Sphæricas & concentricas, undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod
habemus in Undis, quæ si digito tremulo excitentur, non solum pergent hinc
inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum,
digitum statim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum
supplet locum vis Elasticæ.
Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a corporis tremuli
partibus vibratis pressæ condensari nequeunt, propagabitur motus in
instanti ad partes ubi Medium facillime cedit, hoc est ad partes quæ corpus
tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu
corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non
recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia quæ corpus
relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem
quamcunque, Medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus
relinquit, & quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde
repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non
sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat,
quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul
cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper
in Orbem ad partes quæ eidem cedunt.
_Corol._ Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammæ ad
pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere.
Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammæ sed a totius
dilatatione derivari.
Prop. XLIV. Theor. XXXIV.
_Si Aqua in canalis cruribus erectis KL, MN vicibus alternis ascendat &
descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum
suspensionis & centrum oscillationis æquetur semissi longitudinis aquæ
in Canali: dico quod aqua ascendet & descendet iisdem temporibus quibus
pendulum oscillatur._
[Illustration]
Longitudinem aquæ mensuro secundum axes canalis & crurum, eandem summæ
horum axium æquando. Designent igitur AB, CD mediocrem altitudinem aquæ in
crure utroque; & ubi aqua in crure KL ascendit ad altitudinem EF,
descenderit aqua in crure MN ad altitudinem GH. Sit autem P corpus
pendulum, VP filum, V punctum suspensionis, SPQR Cyclois quam Pendulum
describat, P ejus punctum infimum, PQ arcus altitudini AE æqualis. Vis, qua
motus aquæ alternis vicibus acceleratur & retardatur, est excessus ponderis
aquæ in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure
KL ascendit ad EF, & in crure altero descendit ad GH, vis illa est pondus
duplicatum aquæ EABF, & propterea est ad pondus aquæ totius ut AE seu PQ ad
VP seu PR. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur &
retardatur in Cycloide, est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia PQ a
loco infimo P, ad Cycloidis longitudinem PR. Quare aquæ & penduli, æqualia
spatia AE, PQ describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda;
ideoque vires illæ, si aqua & pendulum in principio, æquali cum velocitate
moveantur; pergent eadem temporibus æqualiter movere, efficientque ut motu
reciproco simul eant & redeant. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur aquæ ascendentis & descendentis, sive motus intensior
sit sive remissior, vices omnes sunt Isochronæ.
_Corol. 2._ Si longitudo aquæ totius in canali sit pedum _Parisiensium_
6-1/9, aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempore minuti
alterius secundi ascendet; & sic deinceps vicibus alternis in infinitum.
Nam pendulum pedum 3-1/18 longitudinis, tempore minuti unius secundi
oscillatur.
_Corol. 3._ Aucta autem vel diminuta longitudine aquæ, augetur vel
diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata.
Prop. XLV. Theor. XXXV.
_Undarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum._
Consequitur ex constructione Propositionis sequentis.
Prop. XLVI. Prob. XI.
_Invenire velocitatem Undarum._
Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum
oscillationis æquetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud
oscillationes singulas peragit, eodem Undæ progrediendo latitudinem suam
propemodum conficient.
Undarum latitudinem voco mensuram transversam quæ vel vallibus imis vel
summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF superficiem aquæ stagnantis,
undis successivis ascendentem ac descendentem, sintque A, C, E, &c. undarum
culmina, & B, D, F, &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per
aquæ successivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes A, C, E, &c. quæ
nunc infimæ sunt, mox fiant altissimæ; & vis motrix, qua partes altissimæ
descendunt & infimæ ascendunt, est pondus aquæ elevatæ; alternus ille
ascensus & descensus analogus erit motui reciproco aquæ in canali,
easdemque temporis leges observabit: & propterea (per Prop. XLIV.) si
distantiæ inter undarum loca altissima A, C, E, & infima B, D, F æquentur
duplæ penduli longitudini, partes altissimæ A, C, E tempore oscillationis
unius evadent infimæ, & tempore oscillationis alterius denuo ascendent.
Igitur inter transitum Undarum singularum tempus erit oscillationum duarum;
hoc est Unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis
oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est,
adeoque æquat undarum latitudinem, oscillabitur semel. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur Undæ, quæ pedes _Parisienses_ 3-1/18 latæ sunt, tempore
minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque
tempore minuti unius primi percurrent pedes 183-1/3, & horæ spatio pedes
11000 quamproxime.
_Corol. 2._ Et undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel
diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.
Hæc ita se habent ex Hypothesi quod partes aquæ recta ascendunt vel recta
descendunt; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque
tempus hac Propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo.
Prop. XLVII. Theor. XXXVI.
_Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione
composita ex dimidiata ratione vis Elasticæ directe & dimidiata ratione
densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem condensationi
proportionalis esse supponatur._
_Cas. 1._ Si Media sint homogenea, & pulsuum distantiæ in his Mediis
æquentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit: contractiones &
dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non
est hæc proportio. Verum tamen nisi contractiones & dilatationes sint valde
intensæ, non errabit sensibiliter, ideoque pro Physice accurata haberi
potest. Sunt autem vires Elasticæ motrices ut contractiones & dilatationes;
& velocitates partium æqualium simul genitæ sunt ut vires. Ideoque æquales
& correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus & reditus suos per
spatia contractionibus & dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus
quæ sunt ut spatia, simul peragent: & propterea pulsus, qui tempore itus &
reditus unius latitudinem suam progrediendo conficiunt, & in loca pulsuum
proxime præcedentium semper succedunt, ob æqualitatem distantiarum, æquali
cum velocitate in Medio utroque progredientur.
_Cas. 2._ Sin pulsuum distantiæ seu longitudines sint majores in uno Medio
quam in altero; ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus
pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo & redeundo describant: &
æquales erunt earum contractiones & dilatationes. Ideoque si Media sint
homogenea, æquales erunt etiam vires illæ Elasticæ motrices quibus
reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum
latitudo; & in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo &
redeundo moveri debent. Estque tempus itus & reditus unius in ratione
composita ex ratione dimidiata materiæ & ratione dimidiata spatii, atque
adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus & reditus unius eundo
latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia
percurrunt; & propterea sunt æquiveloces.
_Cas. 3._ In Mediis igitur densitate & vi elastica paribus, pulsus omnes
sunt æquiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis Elastica intendatur,
quoniam vis motrix in ratione vis Elasticæ, & materia movenda in ratione
densitatis augetur; tempus quo motus iidem peragantur ac prius, augebitur
in dimidiata ratione densitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis
Elasticæ. Et propterea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex
ratione dimidiata densitatis Medii inverse & ratione dimidiata vis Elasticæ
directe. _Q. E. D._
Prop. XLVIII. Theor. XXXVII.
_Pulsibus per Fluidum propagatis, singulæ Fluidi particulæ, motu
reciproco brevissimo euntes & redeuntes, accelerantur semper &
retardantur pro lege oscillantis Penduli._
[Illustration]
[Illustration]
Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivorum æquales distantias; ABC
plagam motus pulsuum ab A versus B propagati; E, F, G puncta tria Physica
Medii quiescentis, in recta AC ad æquales ab invicem distantias sita; Ee,
Ff, Gg, spatia æqualia perbrevia per quæ puncta illa motu reciproco
singulis vibrationibus eunt & redeunt; [epsilon], [phi], [gamma] loca
quævis intermedia eorundem punctorum; & EF, FG lineolas Physicas seu Medii
partes lineares punctis illis interjectas, & successive translatas in loca
[epsilon][phi], [phi][gamma] & ef, fg. Rectæ Ee æqualis ducatur recta PS.
Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo OP describatur circulus
SIPi. Per hujus circumferentiam totam cum partibus suis exponatur tempus
totum vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus; sic ut
completo tempore quovis PH vel PHSh, si demittatur ad PS perpendiculum HL
vel hl, & capiatur Ee æqualis PL vel Pl, punctum Physicum E reperiatur in
[epsilon]. Hac lege punctum quodvis E eundo ab E per [epsilon] ad e, & inde
redeundo per [epsilon] ad E iisdem accelerationis ac retardationis
gradibus, vibrationes singulas peraget cum oscillante Pendulo. Probandum
est quod singula Medii puncta Physica tali motu agitari debeant. Fingamus
igitur Medium tali motu a causa quacunque cieri, & videamus quid inde
sequatur.
In circumferentia PHSh capiantur æquales arcus HI, IK vel hi, ik, eam
habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent æquales rectæ EF, FG
ad pulsuum intervallum totum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN vel im,
kn; quoniam puncta E, F, G motibus similibus successive agitantur, si PH
vel PHSk sit tempus ab initio motus puncti E, erit PI vel PHSi tempus ab
initio motus puncti F, & PK vel PHSh tempus ab initio motus puncti G; &
propterea E[epsilon], F[phi], G[gamma] erunt ipsis PL, PM, PN in itu
punctorum, vel ipsis Pn, Pm, Pl in punctorum reditu, æquales respective.
Unde [epsilon][gamma] in itu punctorum æqualis erit EG - LN, in reditu
autem æqualis EG + ln. Sed [epsilon][gamma] latitudo est seu expansio
partis Medii EG in loco [epsilon][gamma], & propterea expansio partis
illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut EG - LN ad EG; in
reditu autem ut EG + ln seu EG + LN ad EG. Quare cum sit LN ad KH ut IM ad
radium OP, & EG ad BC ut HK ad circumferentiam PHShP, & vicissim EG ad HK
ut BC ad circumferentiam PHShP, id est (si circumferentia dicatur Z) ut OP
× BC ÷ Z ad OP, & ex æquo LN ad EG ut IM ad OP × BC ÷ Z: erit expansio
partis EG in loco [epsilon][gamma] ad expansionem mediocrem quam habet in
loco suo primo EG, ut {OP × BC ÷ Z} - IM ad OP × BC ÷ Z in itu, utque {OP ×
BC ÷ Z} + im ad OP × BC ÷ Z in reditu. Unde si OP × BC ÷ Z dicatur V, erit
expansio partis EG, punctive Physici F, ad ejus expansionem mediocrem in
itu, ut V - IM ad V, in reditu ut V + im ad V; & ejusdem vis elastica ad
vim suam elasticam mediocrem in itu, ut 1 ÷ {V - IM} ad 1 ÷ V; in reditu,
ut 1 ÷ {V + im} ad 1 ÷ V. Et eodem argumento vires Elasticæ punctorum
Physicorum E & G in itu, sunt ut 1 ÷ {V - HL} & 1 ÷ {V - KN} ad 1 ÷ V; &
virium differentia ad Medii vim elasticam mediocrem, ut
HL - KN 1
------------------------------ ad ---.
VV - V × HL - V × KN + HL × KN V
Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus HK & KN indefinite minores
esse quantitate V) ut {HL - KN} ÷ VV ad 1 ÷ V, sive ut HL - KN ad V. Quare
cum quantitas V detur, differentia virium est ut HL - KN, hoc est (ob
proportionales HL - KN ad HK, & OM ad OI vel OP, datasque HK & OP) ut OM;
id est, si Ff bisecetur in [Omega], ut [Omega][phi]. Et eodem argumento
differentia virium Elasticarum punctorum Physicorum [epsilon] & [gamma], in
reditu lineolæ Physicæ [epsilon][gamma] est ut [Omega][phi]. Sed
differentia illa (id est excessus vis Elasticæ puncti [epsilon] supra vim
elasticam puncti [gamma],) est vis qua interjecta Medii lineola Physica
[epsilon][gamma] acceleratur; & propterea vis acceleratrix lineolæ Physicæ
[epsilon][gamma] est ut ipsius distantia a Medio vibrationis loco [Omega].
Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) recte exponitur per arcum PI; &
Medii pars linearis [epsilon][gamma] lege præscripta movetur, id est lege
oscillantis Penduli: estque par ratio partium omnium linearium ex quibus
Medium totum componitur. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero
vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progressu. Nam
lineola Physica [epsilon][gamma], quamprimum ad locum suum primum redierit,
quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli,
vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur.
Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt.
Prop. XLIX. Prob. XII.
_Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum._