velocissime progredientis._ (Vide Fig. Pag. 325.)
Designet ABKI corpus Sphæricum centro C semidiametro CA descriptum.
Producatur CA primo ad S deinde ad R, ut sit AS pars tertia ipsius CA, & CR
sit ad CS ut densitas corporis Sphærici ad densitatem Medii. Ad CR
erigantur perpendicula PC, RX, centroque R & Asymptotis CR, RX describatur
Hyperbola quævis PVY. In CR capiatur CT longitudinis cujusvis, & erigatur
perpendiculum TV abscindens aream Hyperbolicam PCTV, & sit CZ latus hujus
areæ applicatæ ad rectam PC. Dico quod motus quem globus, describendo
spatium CZ, ex resistentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub
initio ut longitudo CT ad longitudinem CR quamproxime.
Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum
descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, æqualis est motui quem
imprimeret in easdem particulas. Ponamus quod particulæ singulæ
reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum
cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3.
si modo particulæ quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur.
Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita velocitati cylindri
componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri, &
propterea motus quem cylindrus ex reflexione particulæ cujusque amittit,
erit ad motum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Proinde
cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit
longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta, erit motus eo tempore
amissus ad motum totum cylindri ut 2Ct × CS ad AI × CR. Ea enim est ratio
materiæ Medii, a cylindro protrusæ & reflexæ, ad massam cylindri. Unde cum
globus sit duæ tertiæ partes cylindri, & resistentia globi (per
Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia cylindri: erit
motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum
globi, ut Ct × CS ad 2/3AI × CR, sive ut Ct ad CR. Erigatur perpendiculum
tv Hyperbolæ occurrens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II.) si corpus
describendo longitudinem areæ CtvP proportionalem, amittit motus sui totius
CR partem quamvis Ct, idem describendo longitudinem areæ CTVP
proportionalem, amittet motus sui partem CT. Sed longitudo Ct æqualis est
CPvt ÷ CP, & longitudo CZ (per Hypothesin) æqualis est CPTV ÷ CP, adeoque
longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et
propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus
sui partem, quæ sit ad totum ut Ct ad CR, is describendo longitudinem aliam
quamvis CZ, amittet motus sui partem quæ sit ad totum ut CT ad CR.
_Q. E. D._
_Corol. 1._ Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus quo
corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui partem Ct: & inde,
dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad
motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio
resistentiæ ad gravitatem Globi.
_Corol. 2._ Quoniam in his determinandis supposui quod particulæ Fluidi per
vim suam Elasticam quam maxime a Globo reflectantur, & particularum sic
reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur:
manifestum est quod in Fluido, cujus particulæ vi omni Elastica aliaque
omni vi reflexiva destituuntur, corpus Sphæricum resistentiam duplo minorem
patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius
progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.
_Corol. 3._ Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino
nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter
limites in constructione Problematis & Corollario superiore positos,
mediocrem rationem tenebit.
_Corol. 4._ Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione
duplicata velocitatis: hæc describendo longitudinem quamvis CZ amittent
majorem motus sui partem, quam quæ sit ad motum suum totum ut CT ad CR.
_Corol. 5._ Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet
etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistentiæ pro ratione
velocitatis inveniri potest.
Prop. XXXVII. Prob. IX.
_Aquæ de vase dato per foramen effluentis definire motum._
Si vas impleatur aqua, & in fundo perforetur ut aqua per foramen defluat,
manifestum est quod vas sustinebit pondus aquæ totius, dempto pondere
partis illius quod foramini perpendiculariter imminet. Nam si foramen
obstaculo aliquo occluderetur, obstaculum sustineret pondus aquæ sibi
perpendiculariter incumbentis, & fundum vasis sustineret pondus aquæ
reliquæ. Sublato autem obstaculo, fundum vasis eadem aquæ pressione eodemve
ipsius pondere urgebitur ac prius; & pondus quod obstaculum sustinebat, cum
jam non sustineatur, faciet ut aqua descendat & per foramen defluat.
Unde consequens est, quod motus aquæ totius effluentis is erit quem pondus
aquæ foramini perpendiculariter incumbentis generare possit. Nam aquæ
particula unaquæque pondere suo, quatenus non impeditur, descendit, idque
motu uniformiter accelerato; & quatenus impeditur, urgebit obstaculum.
Obstaculum illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; &
propterea ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit aquam
defluentem & motum sibi proportionalem generabit.
Designet igitur F aream foraminis, A altitudinem aquæ foramini
perpendiculariter incumbentis, P pondus ejus, AF quantitatem ejus, S
spatium quod dato quovis tempore T in vacuo libere cadendo describeret, & V
velocitatem quam in fine temporis illius cadendo acquisierit: & motus ejus
acquisitus AF × V æqualis erit motui aquæ totius eodem tempore effluentis.
Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem V ut d ad
e; & cum aqua velocitate V describere posset spatium 2S, aqua effluens
eodem tempore, velocitate sua {d ÷ e}V describere posset spatium {2d ÷ e}S.
Et propterea columna aquæ cujus longitudo sit {2d ÷ e}S & latitudo eadem
quæ foraminis, posset eo tempore defluendo egredi de vase, hoc est columna
{2d ÷ e}SF. Quare motus {2dd ÷ ee}SFV, qui fiet ducendo quantitatem aquæ
effluentis in velocitatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius
genitus, æquabitur motui AF × V. Et si æquales illi motus applicentur ad
FV; fiet {2dd ÷ ee}S æqualis A. Unde est dd ad ee ut A ad 2S, & d ad e in
dimidiata ratione ½A ad S. Est igitur velocitas quacum aqua exit e
foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo describens
spatium S acquireret, ut altitudo aquæ foramini perpendiculariter
incumbentis, ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam &
spatium illud S, quod corpus tempore T cadendo describeret.
Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate V ascenderet
ad altitudinem illam S de qua deciderat; & altitudines (uti notum est) sint
in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem
½A. Et propterea quantitas aquæ effluentis; quo tempore corpus cadendo
describere posset altitudinem ½A, æqualis erit columnæ aquæ totius AF
foramini perpendiculariter imminentis.
Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendiculariter surgeret
ad dimidiam altitudinem aquæ foramini incumbentis; consequens est quod si
egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non
resistentibus Parabolam cujus latus rectum est altitudo aquæ in vase supra
canalis orificium, & cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio
illo ducitur, atque ordinatim applicatæ parallelæ sunt axi canalis.
Hæc omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si aqua ex partibus
crassioribus constet, hæc tardius effluet quam pro ratione superius
assignata, præsertim si foramen angustum sit per quod effluit.
Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum
vasis integrum est, & eadem aquæ incumbentis pressione ubique urgetur ac si
aqua non efflueret; vas sustinebit pondus aquæ totius, non obstante
effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam
omnem, quam sustineret si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis
illius ubi perforatur: quæ quidem pressio æqualis est ponderi columnæ aquæ,
cujus basis foramini æquatur & altitudo eadem est quæ aquæ totius supra
foramen. Et propterea si vas, ad modum corporis penduli, filo prælongo a
clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam
horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam.
Et par est ratio motus pilarum, quæ Pulvere tormentario madefacto
implentur, &, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a
regione flammæ & in partem contrariam cum impetu feruntur.
Prop. XXXVIII. Theor. XXIX.
_Corporum Sphæricorum in Mediis quibusque Fluidissimis resistentiam in
anteriore superficie definire._
[Illustration]
Defluat aqua de vase Cylindrico ABCD, per canalem Cylindricum EFGH, in vas
inferius IKLM; & inde effluat per vasis marginem IM. Sit autem margo ille
ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo CD, eo ut aqua per totum
canalem uniformi cum motu descendat; & in medio canalis collocetur Globus
P, sitque PR altitudo aquæ supra Globum, & SR ejusdem altitudo supra fundum
vasis. Sustineatur autem Globus filo tenuissimo TV, lateribus canalis hinc
inde affixo. Et manifestum est per proportionem superiorem, quod quantitas
aquæ dato tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod defluit;
hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus adsit, ut
spatium undique inter Globum & canalem. Nam velocitas aquæ defluentis (per
superiorem Propositionem) ea erit quam corpus cadendo, & casu suo
describendo dimidiam aquæ altitudinem SR, acquirere posset: adeoque eadem
est sive Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut
amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aquæ per spatium
angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius, & propterea
velocitas ejus ubi Globus adest, non potest esse major quam cum tollitur:
ideoque major aquæ quantitas, ubi Globus adest, non effluet quam pro
ratione spatii per quod transit. Si aqua non sit liquor subtilissimus &
fluidissimus, hujus transitus per spatium angustius, ob crassitudinem
particularum, erit aliquanto tardior: at liquorem fluidissimum esse hic
supponimus. Igitur quantitas aquæ, cujus descensum Globus dato tempore
impedit, est ad quantitatem aquæ quæ, si Globus tolleretur, eodem tempore
descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium canalis;
sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diametri cavitatis canalis.
Et propterea quantitas aquæ cujus descensum Globus impedit, æqualis est
quantitati aquæ, quæ eodem tempore per foramen circulare in fundo vasis,
basi Cylindri illius æquale, descendere posset, & cujus descensus per fundi
partem quamvis circularem basi illi æqualem impeditur.
Jam vero pondus aquæ, quod vas & Globus conjunctim sustinent, est pondus
aquæ totius in vase, præter partem illam quæ aquam defluentem accelerat, &
ad ejus motum generandum sufficit, quæque, per Propositionem superiorem,
æqualis est ponderi columnæ aquæ cujus basis æquatur spatio inter Globum &
canalem per quod aqua defluit, & altitudo eadem cum altitudine aquæ supra
fundum vasis, per lineam SR designata. Vasis igitur fundum & Globus
conjunctim sustinent pondus aquæ totius in vase sibi ipsis
perpendiculariter imminentis. Unde cum fundum vasis sustineat pondus aquæ
sibi perpendiculariter imminentis, reliquum est ut Globus etiam sustineat
pondus aquæ sibi perpendiculariter imminentis. Globus quidem non sustinet
pondus aquæ illius stagnantis & sibi absque omni motu incumbentis, sed aquæ
defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; adeoque vim aquæ
defluentis sustinet ponderi illi æqualem. Nam impedit descensum & effluxum
quantitatis aquæ quem pondus illud accurate efficeret si Globus tolleretur.
Aqua pondere suo, quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne,
ideoque obstaculum, quatenus descensum aquæ impedit, vim sustinet æqualem
ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem descensum quantitatis
aquæ impedit, quem pondus columnæ aquæ sibi perpendiculariter incumbentis
efficere posset; & propterea vim aquæ decurrentis sustinet ponderi illi
æqualem. Actio & reactio aquæ per motus Legem tertiam æquantur inter se, &
in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam descendentem, ad ejus
descensum impediendum, in superiora dirigitur, & est ut descendendi motus
impeditus, eique tollendo adæquate sufficit: & propterea actio contraria
aquæ in Globum æqualis est vi quæ motum eundem vel tollere vel generare
possit, hoc est ponderi columnæ aquæ, quæ Globo perpendiculariter imminet &
cujus altitudo est RS.
Si jam canalis orificium superius obstruatur, sic ut aqua descendere
nequeat, Globus quidem, pondere aquæ in canali & vase inferiore IKLM
stagnantis, premetur undique; sed non obstante pressione illa, si ejusdem
sit specificæ gravitatis cum aqua, quiescet. Pressio illa Globum nullam in
partem impellet. Et propterea ubi canalis aperitur & aqua de vase superiore
descendit, vis omnis, qua Globus impellitur deorsum, orietur ab aquæ illius
descensu, atque adeo æqualis erit ponderi columnæ aquæ, cujus altitudo est
RS & diameter eadem quæ Globi. Pondus autem istud, quo tempore data
quælibet aquæ quantitas, per foramen basi Cylindri circa Globum descripti
æquale, sublato Globo effluere posset, sufficit ad ejus motum omnem
generandum; atque adeo quo tempore aqua in Cylindro uniformiter decurrendo
describit duas tertias partes diametri Globi, sufficit ad motum omnem aquæ
Globo æqualis generandum. Nam Cylindrus aquæ, latitudine Globi & duabus
tertiis partibus altitudinis descriptus, Globo æquatur. Et propterea aquæ
currentis impetus in Globum quiescentem, quo tempore aqua currendo
describit duas tertias partes diametri Globi, si uniformiter continuetur,
generaret motum omnem partis Fluidi quæ Globo æquatur.
Quæ vero de aqua in canali demonstrata sunt, intelligenda sunt etiam de
aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in ea quiescens urgetur. Quæque
de aqua demonstrata sunt obtinent etiam in Fluidis universis subtilissimis.
De his omnibus idem valet argumentum.
Jam vero per Legum Corol. 5, vis Fluidi in Globum eadem est, sive Globus
quiescat & Fluidum uniformi cum velocitate moveatur, sive Fluidum quiescat
& Globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat. Et propterea
resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis,
quo tempore Globus duas tertias partes diametri suæ describit, æqualis est
vi, quæ in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo & ejusdem densitatis cum
Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri
suæ progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare
posset. Tanta est resistentia Globi in superficiei parte præcedente.
_Q. E. I._
_Corol. 1._ Si solidum Sphæricum in ejusdem secum densitatis Fluido
subtilissimo libere moveatur, & inter movendum eadem vi urgeatur a tergo
atque cum quiescit; ejusdem resistentia ea erit quam in Corollario secundo
Propositionis xxxvi. descripsimus. Unde si computus ineatur, patebit quod
solidum dimidiam motus sui partem prius amittet, quam progrediendo
descripserit longitudinem diametri propriæ; Quod si inter movendum minus
urgeatur a tergo, magis retardabitur: & contra, si magis urgeatur, minus
retardabitur.
_Corol. 2._ Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam projectilium per
infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum diminui. Si Fluidum sit
valde crassum, minuetur resistentia aliquantulum per divisionem partium
ejus. At postquam competentem Fluiditatis gradum acquisiverit, (qualis
forte est Fluiditas Aeris vel aquæ vel argenti vivi) resistentia in
anteriore superficie solidi, per ulteriorem partium divisionem non multum
minuetur. Nunquam enim minor futura est quam pro limite quem in Corollario
superiore assignavimus.
_Corol. 3._ Media igitur in quibus corpora projectilia sine sensibili motus
diminutione longissime progrediuntur, non solum Fluidissima sunt, sed etiam
longe rariora quam sunt corpora illa quæ in ipsis moventur: nisi forte quis
dixerit Medium omne Fluidissimum, impetu perpetuo in posticam projectilis
partem facto, tantum promovere motum ejus quantum impedit & resistit in
parte antica. Et motus quidem illius, quem projectile imprimit in Medium,
partem aliquam a Medio circulariter lato reddi corpori a tergo verisimile
est. Nam & experimentis quibusdam factis, reperi quod in Fluidis satis
compressis pars aliqua redditur. Omnem vero in casu quocunque reddi nec
rationi consentaneum videtur, neque cum experimentis hactenus a me tentatis
bene quadrat. Fluidorum enim utcunque subtilium, si densa sint, vim ad
solida movenda resistendaque permagnam esse, & quomodo vis illius quantitas
per experimenta determinetur, plenius patebit per Propositiones duas quæ
sequuntur.
Lemma IV.
_Si vas Sphæricum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi impressa
moveatur in directum, motuque progessivo semper accelerato ita pergat
ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi, æqualiter
participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtinebit in vase
figuræ cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget demonstratione._
Prop. XXXIX. Theor. XXX.
_Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis
progreditur, & cujus partes inter se quiescunt, rapit omnia ejusdem
densitatis innatantia corpora, & secum cum eadem velocitate defert._
Nam per Lemma superius si vas Sphæricum, rigidum, Fluidoque homogeneo
quiescente plenum, motu paulatim impresso progrediatur; Fluidi motum vasis
participantis partis omnes semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes
aliquæ congelarentur, pergerent hæ quiescere inter partes reliquas. Nam
quoniam partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluidæ sint, sive
aliquæ earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa
moveatur, & motum suum imprimat in Fluidum; Fluidum quoque motum suum
imprimet in sui ipsius partes congelatas easque secum rapiet. Sed partes
illæ congelatæ sunt corpora solida ejusdem densitates cum Fluido; & par est
ratio Fluidi, sive id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad
modum venti spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato
fertur, & cujus partes inter se quiescunt, solida quæcunque ejusdem
densitatis inclusa, quæ sub initio quiescebant, rapit secum, & una moveri
cogit. _Q. E. D._
Prop. XL. Prob. X.
_Invenire resistentiam solidorum Sphæricorum in Mediis Fluidissimis
densitate datis._
In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati,
cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic: ut ejus motus amissus, quo
tempore progrediendo longitudinem semidiametri suæ describit, est ad ejus
motum totum sub initio, ita motus quem solidum quodvis datum, in Fluido
eodem jam facto subtilissimo, describendo diametri suæ longitudinem
amitteret, est ad ejus motum totum sub initio quamproxime. Nam si particulæ
minimæ Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eundemque situm ad
solidum datum in eo movens, quem particulæ totidem minimæ Fluidi non
subtiliati habent ad solidum auctum; sintque particulæ Fluidi utriusq;
summe lubricæ, & viribus centrifugis centripetisque omnino destituantur;
incipiant autem solida temporibus quibuscunque proportionalibus in his
Fluidis similiter moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo
tempore describunt spatia semidiametris suis æqualia, amittent partes
motuum proportionales totis; idque licet partes Medii subtiliati minuantur,
& magnitudo solidi in Medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum.
Ergo ex resistentia solidi aucti in Medio non subtiliato, dabitur per
proportionem superiorem resistentia solidi non aucti in Medio subtiliato.
_Q. E. I._
Si particulæ non sunt summe lubricæ, supponendum est quod in utroq; Fluido
sunt æqualiter lubricæ, eo ut ex defectu lubricitatis resistentia utrinq;
æqualiter augeatur: & Propositio etiamnum valebit.
_Corol. 1._ Ergo si ex aucta solidi Sphærici magnitudine augeatur ejus
resistentia in ratione duplicata, resistentia solidi Sphærici dati ex
diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus minuetur.
_Corol. 2._ Sin resistentia, augendo solidum Sphæricum, augeatur in minore
quam duplicata ratione diametri; eadem diminuendo particulas Fluidi,
diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata
diametri.
_Corol. 3._ Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem
partium Fluidi non multum diminui potest. Nam resistentia solidi aucti
debebit esse quam proxime ut quantitas materiæ fluidæ resistentis, quam
solidum illud movendo protrudit & a locis a se invasis & occupatis
propellit: hoc est ut spatium Cylindricum per quod solidum movetur, adeoque
in duplicata ratione semidiametri solidi quamproxime.
_Corol. 4._ Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero
quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod minus resistit est
altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum
densitates; præsertim si solida sint magna, & velociter moveantur, &
Fluidorum æqualis sit compressio.
_Scholium Generale._
Quæ hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Globum ligneum pondere
unciarum _Romanarum_ 57-7/22, diametro digitorum _Londinensium_ 6-7/8
fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum &
centrum oscillationis Globi distantia esset pedum 10½. In filo punctum
notavi pedibus decem & uncia una a centro suspensionis distans; & e regione
puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quorum ope notarem
longitudines arcuum a Pendulo descriptas. Deinde numeravi oscillationes
quibus Globus quartam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a
perpendiculo ad distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut
toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione
prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere
quatuor; idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut
ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus
quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor,
amisit octavam motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo
describeret arcum digitorum 3½. Si primo descensu descripsit arcum
digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor, amisit
octavam motus partem oscillationibus 69, 35½, 18½, 9-2/3, respective.
Igitur differentia inter arcus descensu primo & ascensu ultimo descriptos,
erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum ¼, ½,
1, 2, 4, 8 respective. Dividantur eæ differentiæ per numerum oscillationum
in casu unoquoque; & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3¾,
7½, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu &
subsequente ascensu descriptorum, erit 1/656, 1/242, 1/69, 4/71, 8/37,
24/29 partes digiti respective. Hæ autem in majoribus oscillationibus sunt
in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in minoribus vero
paulo majores quam in ea ratione, & propterea (per Corol. 2. Prop. xxxi.
Libri hujus) resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata
ratione velocitatis quamproxime; ubi tardius, paulo major quam in ea
ratione: omnino ut in Corollariis Propositionis xxxii. demonstratum est.