rectam illam sibi æqualem aB, tum arcus qui describeretur in vacuo per
longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repræsentabit infimum
Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in D
secundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad
longitudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur
igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem
penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad longitudinem penduli quam
habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiæ. Centro C &
intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describat autem corpus
tempore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de
circumferentiæ occurrentibus in E & e, erunt hæc ut velocitates quas corpus
in vacuo, descendendo a puncto B, acquireret in locis D & d. Patet hoc per
Prop. LII. Lib. I. Exponantur itaq; hæ velocitates per perpendicula illa
DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio
resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM
occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque
ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde
etiam si Fg designet velocitatis momentum quod corpus D, describendo
spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN æqualis
Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia
ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione
oriundum. Ad df demittatur perpendiculum Fm, & velocitatis DF decrementum
fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi
CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia
triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex æquo Fg ad
Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex æquo perturbate Fh seu MN
ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad ½aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad
½aB; ideoque summa omnium MN × ½aB, id est Aa × ½aB, æqualis erit summæ
omnium Dd × DR, id est areæ BRrSa, quam rectangula omnia Dd × DR seu DRrd
componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½aB seu OB æqualis CP,
ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP.
Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O,
incidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter
A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu æqualiter a puncto P
in partes contrarias errans: punctum K circa medium oscillationis locum, id
est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem
oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D,
utroque in casu æqualiter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde
area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra
aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde
propemodum æquatis inter se; & propterea in casu priore addita areæ BRSa,
in posteriore eidem subducta, relinquet aream BKTa areæ BRSa æqualem quam
proxime. Ergo rectangulum Aa × ½aB seu AaO, cum sit æquale areæ BRSa, erit
etiam æquale areæ BKTa quamproxime. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc ex lege resistentiæ & arcuum Ca, CB differentia Aa, colligi
potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.
Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkT rectangulum erit sub Ba &
DK, & inde rectangulum sub ½Ba & Aa æqualis erit rectangulo sub Ba & DK, &
DK æqualis erit ½Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiæ, & longitudo
penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½Aa ad
longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.
Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkT Ellipsis erit quam proxime.
Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret
longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB
descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA
in Medio non resistente, æqualibus circiter temporibus describantur;
adeoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad
velocitates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA;
erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel Ellipseos super
diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeoque figura BKVTa Ellipsis,
quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV
exponens resistentiæ in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus
OB, OV descripta, figuram aBKVT, eique æquale rectangulum Aa × BO, æquabit
quam proxime. Est igitur Aa × BO ad OV × BO ut area Ellipseos hujus ad OV ×
BO: id est Aa ad OV ut area semicirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and
7 circiter: Et propterea: 7/11Aa ad longitudinem penduli ut corporis
oscillantis resistentia in O ad ejusdem gravitatem.
Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, figura BKTVa
Parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque æqualis erit duabus
tertiis partibus rectanguli sub Ba & OV quam proxime. Est igitur
rectangulum sub ½Ba & Aa æquale rectangulo sub 2/3Ba & OV, adeoque OV
æqualis ¾Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius
gravitatem ut ¾Aa ad longitudinem Penduli.
Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse
censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum figura BKVTa in puncto
medio V, hæc si ad partem alterutram BKV vel VTa excedit figuram illam,
deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem æquabitur quam proxime.
Prop. XXXI. Theor. XXIV.
_Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum
partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione;
differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu
descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime._
Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam
Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia
retardans. In superiore Propositione rectangulum sub recta ½aB & arcuum
illorum CB, Ca differentia Aa, æqualis erat areæ BKT. Et area illa, si
maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim
applicatarum DK; hoc est in ratione resistentiæ, adeoque est ut longitudo
aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & ½aB est ut aB
& resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resistentia. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in
eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.
_Corol. 2._ Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis,
differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.
_Corol. 3._ Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia
quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius;
& contra.
_Corol. 4._ Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis,
partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione
arcus totius & partim in ejus ratione duplicata; & contra. Eadem erit lex &
ratio resistentiæ pro velocitate, quæ est differentiæ illius pro
longitudine arcus.
_Corol. 5._ Ideoque si, pendulo inæquales arcus successive describente,
inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiæ hujus pro
longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi
resistentiæ pro velocitate majore vel minore.
* * * * *
SECT. VII.
_De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium._
Prop. XXXII. Theor. XXV.
_Si corporum Systemata duo ex æquali particularum numero constent &
particulæ correspondentes similes sint, singulæ in uno Systemate
singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, &
inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eæ
inter se quæ in uno sunt Systemate & eæ inter se quæ sunt in altero) &
si non tangant se mutuo quæ in eodem sunt Systemate, nisi in momentis
reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus
acceleratricibus quæ sint ut particularum correspondentium diametri
inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum particulæ
ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri; &
contra._
Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico,
quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes: puta
si particulæ unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus
conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes &
proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus
describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particulæ
correspondentes, ob similitudinem incæptorum motuum, pergent similiter
moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus,
progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg. I. Si viribus
aliquibus se mutuo agitant, & vires illæ sint ut particularum
correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe; quoniam
particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totæ quibus
particulæ correspondentes agitantur, ex viribus singulis agitantibus (per
Legum Corollarium secundum) compositæ, similes habebunt determinationes,
perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; & erunt
vires illæ totæ ad invicem ut vires singulæ componentes, hoc est ut
correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum
directe: & propterea efficient ut correspondentes particulæ figuras similes
describere pergant. Hæc ita se habebunt per Corol. 1. 2, & 7. Prop. IV. si
modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum
similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas;
similes inducentur mutationes in figuris quas particulæ describunt. Similes
igitur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad
occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones,
& subinde (per jam ostensa) similes motus inter se, donec iterum in se
mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si corpora duo quævis, quæ similia sint & ad Systematum
particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus
proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad
invicem ut densitates correspondentium particularum: hæc pergent temporibus
proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum
Systematis utriusque atque particularum.
_Corol. 2._ Et si similes & similiter positæ Systematum partes omnes
quiescant inter se: & earum duæ, quæ cæteris majores sint, & sibi mutuo in
utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili
cum motu utcunque moveri incipiant: hæ similes in reliquis systematum
partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas temporibus
proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis
proportionalia describere.
Prop. XXXIII. Theor. XXVI.
_Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in
ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata
ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum._
Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus
particulæ systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus
particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiæ sunt ad
invicem ut vires totæ motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totæ
acceleratrices & quantitates materiæ in partibus correspondentibus; hoc est
(per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiæ particularum
correspondentium inverse & quantitates materiæ in partibus
correspondentibus directe: ideoque (cum distantiæ particularum systematis
unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter
particulæ vel partis in systemate priore ad diametrum particulæ vel partis
correspondentis in altero, & quantitates materiæ sint ut densitates partium
& cubi diametrorum) resistentiæ sunt ad invicem ut quadrata velocitatum &
quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. _Q. E. D._
Posterioris generis resistentiæ sunt ut reflexionum correspondentium numeri
& vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates
partium correspondentium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse.
Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates
partium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & diametrorum
cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus,
resistentiæ partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata
velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim.
_Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum
Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora autem duo similia &
partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter
partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque
projiciantur; vires autem motrices, quibus particulæ Fluidorum se mutuo
agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata
velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes
excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis
proportionalia describent.
_Corol. 2._ Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in
duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulæ
distantes se mutuo agitant, augerentur in duplicata ratione velocitatis,
projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in
Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant,
resistentia est in duplicata ratione velocitatis accurate. Sunto igitur
Media tria A, B, C ex partibus similibus & æqualibus & secundum distantias
æquales regulariter dispositis constantia. Partes Mediorum A & B fugiant se
mutuo viribus quæ sint ad invicem ut T & V, illæ Medii C ejusmodi viribus
omnino destituantur. Et si corpora quatuor æqualia D, E, F, G in his Mediis
moveantur, priora duo D & E in prioribus duobus A & B, & altera duo F & G
in tertio C; sitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis E, &
velocitas corporis F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium
T ad vires V; resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis E, &
resistentia corporis F ad resistentiam corporis G in velocitatum ratione
duplicata; & propterea resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis
F ut resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora D & F
æquivelocia ut & corpora E & G; & augendo velocitates corporum D & F in
ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem
ratione duplicata, accedet Medium B ad formam & conditionem Medii C pro
lubitu, & idcirco resistentiæ corporum æqualium & æquivelocium E & G in his
Mediis, perpetuo accedent ad æqualitatem, ita ut earum differentia evadat
tandem minor quam data quævis. Proinde cum resistentiæ corporum D & F sint
ad invicem ut resistentiæ corporum E & G, accedent etiam hæ similiter ad
rationem æqualitatis. Corporum igitur D & F, ubi velocissime moventur,
resistentiæ sunt æquales quam proxime: & propterea cum resistentia corporis
F sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis D in
eadem ratione quamproxime. _Q. E. D._
_Corol. 3._ Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime moventis
eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis
destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo Fluidi vis Elastica ex
particularum viribus centrifugis oriatur.
_Corol. 4._ Proinde cum resistentiæ similium & æquivelocium corporum, in
Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata
diametrorum, sunt etiam æquivelocium & celerrime moventium corporum
resistentiæ in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.
_Corol. 5._ Et cum corpora similia, æqualia & æquivelocia, in Mediis
ejusdem densitatis, quorum particulæ se mutuo non fugiunt, sive particulæ
illæ sint plures & minores, sive pauciores & majores, in æqualem materiæ
quantitatem temporibus æqualibus inpingant, eique æqualem motus quantitatem
imprimant, & vicissim (per motus Legem tertiam) æqualem ab eadem reactionem
patiantur, hoc est, æqualiter resistantur: manifestum est etiam quod in
ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, æquales
sint eorum resistentiæ quam proxime; sive Fluida illa ex particulis
crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii
subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum
diminuitur.
_Corol. 6._ Cum autem particulæ Fluidorum, propter vires quibus se mutuo
fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu,
atque adeo difficilius moveantur inter se quam si viribus istis
destituerentur; & quo majores sint earum vires centrifugæ, eo difficilius
moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido
eo difficilius movebitur, quo vires illæ sunt intensiores; & propterea si
corporis velocissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur,
quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo
vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem
nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia diminuetur in
ratione minore quam duplicata velocitatis.
_Corol. 7._ Porro cum vires centrifugæ eo nomine ad augendam resistentiam
conducant, quod particulæ motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam
per vires illas propagent; & cum distantia illa minorem habeat rationem ad
majora corpora: manifestum est quod augmentum resistentiæ ex viribus illis
oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo
corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet
in duplicata ratione velocitatis.
_Corol. 8._ Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in
Fluidis quæ, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus
constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulæ Fluidi,
manente ejus densitate & vi Elastica, diminuantur in eadem ratione; manebit
eadem ratio resistentiæ quæ prius: ut ex præcedentibus facile colligitur.
_Corol. 9._ Hæc omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica ex
particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde
oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar Lanæ vel ramorum
arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se
redduntur minus liberi: resistentia, ob minorem Medii fluiditatem, erit
major quam in superioribus Corollariis.
Prop. XXXIV. Theor. XXVII.
_Quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent
ubi particulæ Systematum se mutuo contingunt, si modo particulæ illæ
sint summe lubricæ._
Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vires illas in
accessu ad superficies particularum augeri in infinitum, & contra, in
recessu ab iisdem celerrime diminui & statim evanescere. Concipe etiam
systemata comprimi, ita ut partes eorum se mutuo contingant, nisi quatenus
vires illæ contactum impediunt. Sint autem spatia per quæ vires
particularum diffunduntur quam angustissima, ita ut particulæ se mutuo quam
proxime contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime
ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si
essent summe lubricæ, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem
ope virium præfatarum, perinde ac si essent Elasticæ. Itaque motus erunt
iidem in utroque casu, nisi quatenus perexigua particularum sese non
contingentium intervalla diversitatem efficiant: quæ quidem diversitas
diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero
quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent in
particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum,
diminuendo spatia per quæ vires diffunduntur, diminuantur in infinitum. Et
propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus, exceptis solum
differentiis quæ tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico
igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu
quocunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data
quævis. Ergo differentia falso assignatur, & propterea nulla est.
_Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant inter se,
exceptis duabus, quæ cæteris majores sint & sibi mutuo correspondeant inter
cæteras similiter sitæ. Hæ secundum lineas similiter positas utcunque
projectæ similes excitabunt motus in Systematibus, & temporibus
proportionalibus pergent spatia similia & diametris suis proportionalia
describere; & resistentur in ratione composita ex duplicata ratione
velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis
Systematum.
_Corol. 2._ Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes
duæ majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulæ
summe lubricæ, & quoad magnitudinem & densitatem proportionales corporibus:
pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis
proportionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superiore
definita.
_Corol. 3._ Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur
in duplicata ratione velocitatis.
_Corol. 4._ At si particulæ Fluidi non sint summe lubricæ, vel si viribus
quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas diminuitur:
Projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam, & propterea magis
resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.
Prop. XXXV. Theor. XXVIII.
_Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris descripti, in Medio raro &
Elastico, secundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate
celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam
resistentia Cylindri._
[Illustration]
Nam quoniam resistentia (per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem est quam
proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mutuo fugerent, supponamus
partes Fluidi ejusmodi viribus destitutas per spatia omnia uniformiter
dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol. 5.)
sive corpus in Medio quiescente moveatur, sive Medii particulæ eadem cum
velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam
quiescens, & videamus quo impetu urgebitur a Medio movente. Designet igitur
ABKI corpus Sphæricum centro C semidiametro CA descriptum, & incidant
particulæ Medii data cum velocitate in corpus illud Sphæricum, secundum
rectas ipsi AC parallelas: Sitque FB ejusmodi recta. In ea capiatur LB
semidiametro CB æqualis, & ducatur BD quæ Sphæram tangat in B. In AC & BD
demittantur perpendiculares BE, DL, & vis qua particula Medii, secundum
rectam FB oblique incidendo, Globum ferit in B, erit ad vim qua particula
eadem Cylindrum ONGQ axe ACI circa Globum descriptum perpendiculariter
feriret in b, ut LD ad LB vel BE ad BC. Rursus efficacia hujus vis ad
movendum globum secundum incidentiæ suæ plagam FB vel AC, est ad ejusdem
efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis suæ, id est
secundum plagam rectæ BC qua globum directe urget, ut BE ad BC. Et
conjunctis rationibus, efficacia particulæ, in globum secundum rectam FB
oblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidentiæ suæ, est
ad efficaciam particulæ ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum
perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, ut BE
quadratum ad BC quadratum. Quare si ad cylindri basem circularem NAO
erigatur perpendiculum bHE, & sit bE æqualis radio AC, & bH æqualis BE
quad. ÷ CB, erit bH ad bE ut effectus particulæ in globum ad effectum
particulæ in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus bH
occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus bE occupatur, ut effectus
particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum.
Sed solidum prius est Parabolois vertice V, axe CA & latere recto CA
descriptum, & solidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: &
notum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis
tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in cylindrum. Et
propterea si particulæ Medii quiescerent, & cylindrus ac globus æquali cum
velocitate moverentur, foret resistentia globi duplo minor quam resistentia
cylindri. _Q. E. D._
_Scholium._
[Illustration]
Eadem methodo figuræ aliæ inter se quoad resistentiam comparari possunt,
eæque inveniri quæ ad motus suos in Mediis resistentibus continuandos
aptiores sunt. Ut si base circulari CEBH, quæ centro O, radio OC
describitur, & altitudine OD, construendum sit frustum coni CBGF, quod
omnium eadem basi & altitudine constructorum & secundum plagam axis sui
versus D progredientium frustorum minime resistatur: biseca altitudinem OD
in Q & produc, OQ ad S ut sit QS æqualis QC, & erit S vertex coni cujus
frustum quæritur.
Unde obiter cum angulus CSB semper sit acutus, consequens est, quod si
solidum ADBE convolutione figuræ Ellipticæ vel Ovalis ADBE circa axem AB
facta generetur, & tangatur figura generans a rectis tribus FG, GH, HI in
punctis F, B & I, ea lege ut GH sit perpendicularis ad axem in puncto
contactus B, & FG, HI cum eadem GH contineant angulos FGB, BHI graduum 135:
solidum, quod convolutione figuræ ADFGHIE circa axem eundem CB generatur,
minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagam axis
sui AB progrediatur, & utriusque terminus B præcedat. Quam quidem
propositionem in construendis Navibus non inutilem futuram esse censeo.
[Illustration]
Quod si figura DNFB ejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovis N ad axem AB
demittatur perpendiculum NM, & a puncto dato G ducatur recta GR quæ
parallela sit rectæ figuram tangenti in N, & axem productum secet in R,
fuerit MN ad GR ut GR cub. ad 4BR × GBq.: Solidum quod figuræ hujus
revolutione circa axem AB facta describitur, in Medio raro & Elastico ab A
versus B velocissime movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem
longitudine & latitudine descriptum Solidum circulare.
Prop. XXXVI. Prob. VIII.