diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; & quadratorum
distantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nempe SA cub. ÷ SAq., SA cub. ÷
SBq., SA cub. ÷ SCq.) sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH,
BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et si gravitas diminuatur in
quadruplicata ratione distantiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta
SA qq. ÷ SA cub., SA qq. ÷ SB cub., SA qq. ÷ SC cub.) sumantur in
progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione
Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in
omnibus distantiis eadem sit, & distantiæ sint in progressione Arithmetica,
densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl.\ _Edmundus
Halleius_ invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum
sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione
Geometrica. Et sic in infinitum. Hæc ita se habent ubi Fluidi compressione
condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est,
spatium a Fluido occupatum reciproce ut hæc vis. Fingi possunt aliæ
condensationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut
quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis æqualis
quadruplicatæ rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut
quadratum distantiæ a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiæ.
Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si
gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ, densitas erit reciproce in
sesquiplicata ratione distantiæ. Fingatur quod vis comprimens sit in
duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata
distantiæ, & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere
longum esset.
Prop. XXIII. Theor. XVII.
_Particulæ viribus quæ sunt reciproce proportionales distantiis
centrorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus
densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex
particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio,
vires centrifugæ particularum sunt reciproce proportionales distantiis
centrorum._
[Illustration]
Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico ACE, dein compressione redigi
in spatium cubicum minus ace; & particularum similem situm inter se in
utroque spatio obtinentium distantiæ erunt ut cuborum latera AB, ab; &
Medii densitates reciproce ut spatia continentia AB cub. & ab cub. In
latere cubi majoris ABCD capiatur quadratum DP æquale lateri cubi minoris
db; & ex Hypothesi, pressio qua quadratum DP urget Fluidum inclusum, erit
ad pressionem qua latus illud quadratum db urget Fluidum inclusum, ut Medii
densitates ad invicem, hoc est ab cub. ad AB cub. Sed pressio qua quadratum
DB urget Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum DP urget idem
Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoc est ut AB quad. ad ab quad.
Ergo ex æquo pressio qua latus DB urget Fluidum, est ad pressionem qua
latus db urget Fluidum, ut ab ad AB. Planis FGH, fgh per media cuborum
ductis distinguatur Fluidum in duas partes, & hæ se mutuo prement iisdem
viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc est in proportione ab ad AB:
adeoque vires centrifugæ, quibus hæ pressiones sustinentur, sunt in eadem
ratione. Ob eundem particularum numerum similemq; situm in utroque cubo,
vires quas particulæ omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt
ut vires quas singulæ exercent in singulas. Ergo vires, quas singulæ
exercent in singulas secundum planum FGH in cubo majore, sunt ad vires quas
singulæ exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore ut ab ad
AB, hoc est reciproce ut distantiæ particularum ad invicem. _Q. E. D._
Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut
distantiæ, id est reciproce ut cuborum latera AB, ab; summæ virium erunt in
eadem ratione, & pressiones laterum DB, db ut summæ virium; & pressio
quadrati DP ad pressionem lateris DB ut ab quad. ad AB quad. Et ex æquo
pressio quadrati DP ad pressionem lateris db ut ab cub. ad AB cub. id est
vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem.
_Q. E. D._
_Scholium._
Simili argumento si particularum vires centrifugæ sint reciproce in
duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium
erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifugæ sint reciproce
in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium
comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum. Et
universaliter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate Fluidi
compressi, & vires centrifugæ sint reciproce ut distantiæ dignitas quælibet
Dn, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica
Dignitatis E^{n + 2}, cujus index est numerus n + 2; & contra. Intelligenda
vero sunt hæc omnia de particularum Viribus centrifugis quæ terminantur in
particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in
corporibus Magneticis. Horum Virtus attractiva terminatur fere in sui
generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminam
ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non
tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulæ fugant
alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores
virtutem nullam nisi forte per particulas intermedias virtute illa auctas
exerceant, ex hujusmodi particulis componentur Fluida de quibus actum est
in hac propositione. Quod si particulæ cujusq; virtus in infinitum
propagetur, opus erit vi majori ad æqualem condensationem majoris
quantitatis Fluidi. Ut si particula unaquæq; vi sua, quæ sit reciproce ut
distantia locorum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum;
Vires quibus Fluidum in vasis similibus æqualiter comprimi & condensari
possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in
eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi
densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus
constent, Quæstio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi
particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam
præbeamus Quæstionem illam tractandi.
* * * * *
SECT. VI.
_De Motu & resistentia Corporum Funependulorum._
Prop. XXIV. Theor. XVIII.
_Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quorum centra
oscillationum a centro suspensionis æqualiter distant, sunt in ratione
composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum
oscillationum in vacuo._
Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest,
est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo major est vis vel majus
tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus
Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint
longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo æqualiter distantibus
sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus
æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus
corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora
oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus
oscillationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora
directe & quantitates materiæ reciproce: adeoque quantitates materiæ ut
vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce. Sed
velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe &
velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates
materiæ sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera &
quadrata temporum. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Ideoque si tempora sunt æqualia, quantitates materiæ in
singulis corporibus erunt ut pondera.
_Corol. 2._ Si pondera sunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata
temporum.
_Corol. 3._ Si quantitates materiæ æquantur, pondera erunt reciproce ut
quadrata temporum.
_Corol. 4._ Unde cum quadrata temporum cæteris paribus sint ut longitudines
pendulorum; si & tempora & quantitates materiæ æqualia sunt, pondera erunt
ut longitudines pendulorum.
_Corol. 5._ Et universaliter, quantitas materiæ pendulæ est ut pondus &
quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.
_Corol. 6._ Sed & in Medio non resistente quantitas Materiæ pendulæ est ut
pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli
inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis
gravi, ut supra explicui; adeoque idem præstat in tali Medio non resistente
atque pondus absolutum in vacuo.
_Corol. 7._ Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad
quantitatem materiæ in singulis, tum comparandi pondera ejusdem corporis in
diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem
experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiæ in
corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse.
Prop. XXV. Theor. XIX.
_Corpora Funependula quæ in Medio quovis resistuntur in ratione
momentorum temporis, quæque in ejusdem gravitatis specificæ Medio non
resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt,
& arcuum partes proportionales simul describunt._
[Illustration]
Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non
resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum
ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D
vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per
eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur,
exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & sumatur arcus Od in
ratione ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d
urgetur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO,
exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio
non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD; & propterea etiam in
loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco
B & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB,
erunt velocitates primæ & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto
arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od erunt in eadem ratione. Proinde
vires ipsis CD, Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio,
& propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur
vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CD,
OB, & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D,
d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad
locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in
C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo
simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in
Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio
resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiæ CO, id est ut
Oe; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe
proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione
retardatæ manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus
iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB &
OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D,
d simul describent hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent.
Isochronæ sunt igitur oscillationes totæ, & arcubus totis BA, BE
proportionales sunt arcuum partes quælibet BD, Bd vel BE, Be quæ simul
describuntur. _Q. E. D._
_Corol._ Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in
punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus
descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus
retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a B ad O.
Prop. XXVI. Theor. XX.
_Corporum Funependulorum, quæ resistuntur in ratione velocitatum,
oscillationes in Cycloide sunt Isochronæ._
Nam si corpora duo a centris suspensionum æqualiter distantia, oscillando
describant arcus inæquales, & velocitates in arcuum partibus
correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistentiæ velocitatibus
proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus
motricibus a gravitate oriundis, quæ sint ut iidem arcus auferantur,
conferantur vel addantur hæ resistentiæ, erunt differentiæ vel summæ ad
invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel
decrementa sint ut hæ differentiæ vel summæ, velocitates semper erunt ut
arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti,
manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora
incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus
proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo
velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi
simul describentur. _Q. E. D._
Prop. XXVII. Theor. XXI.
_Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum,
differentiæ inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora
oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente,
erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime._
Nam pendulis æqualibus in Medio resistente describantur arcus inæquales A,
B; resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam corporis in parte
correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est ut A quad.
ad B quad. quamproxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in
arcu A ut rectangulum AB ad A quad. tempora in arcubus A & B forent æqualia
per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia A quad. in arcu A, vel AB
in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A supra tempus in Medio non
resistente; & resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra
tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires
efficientes AB & BB quam proxime, id est ut arcus A & B. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente in
arcubus inæqualibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in
ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente. Nam si verbi gratia
arcus sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum
temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut
differentia arcuum ad arcum minorem.
_Corol. 2._ Oscillationes breviores sunt magis Isochronæ, & brevissimæ
iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime.
Earum vero quæ in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora,
propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur,
major sit pro ratione longitudinis in descensu descriptæ, quam resistentia
in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum
tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam
corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, &
corpora accelerata paulo magis quam quæ uniformiter progrediuntur: id adeo
quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo,
in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel
minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis
resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa
tempus producitur.
Prop. XXVIII. Theor. XXII.
_Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione
momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut
excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente
descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam._
Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, & Aa
differentiam arcuum: & stantibus quæ in Propositione XXV. constructa &
demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D,
ad uim resistentia ut arcus CD ad arcum CO, qui semissis est differentiæ
illius Aa. Ideoque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio
seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus
Cycloidis inter punctum illud supremum & punctum infimum C ad arcum CO; id
est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli
longitudo, ad arcum Aa. _Q. E. D._
Prop. XXIX. Prob. VII.
_Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata
ratione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis._
[Illustration]
Sit Ba (_Fig. Prop. XXV._) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C
infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloidis totius,
longitudini Penduli æqualis; & quæratur resistentia corporis in loco quovis
D. Secetur recta infinita OQ in punctis O, C, P, Q ea lege ut (si erigantur
perpendicula OK, CT, PI, QE, centroque O & Asymptotis OK, OQ describatur
Hyperbola TIGE secans perpendicula CT, PI, QE in T, I & E, & per punctum I
agatur KF occurrens Asymptoto OK in K, & perpendiculis CT & QE in L & F)
fuerit area Hyperbolica PIEQ ad aream Hyperbolicam PITC ut arcus BC
descensu corporis descriptus ad arcum Ca ascensu descriptum, & area IEF ad
aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica
PINM quæ sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu
descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area Hyperbolica PIGR, quæ
sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD ad arcum BC descensu toto
descriptum: erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area {OR ÷ OQ}
IEF - IGH ad aream PIENM.
Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locis Z, B, D, a
urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areæ PINM,
PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective.
Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, &
exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehensam;
& producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR
decrementa. Et areæ {OR ÷ OQ} IEF - IGH incrementum GHhg - {Rr ÷ OQ} IEF,
seu Rr × HG - {Rr ÷ OQ} IEF, erit ad areæ PIGR decrementum RGgr seu Rr ×
RG, ut HG - {IEF ÷ OQ} ad RG; adeoque ut OR × HG - {OR ÷ OQ} IEF ad OR × GR
seu OP × PI: hoc est (ob æqualia OR × HG, OR × HR - OR × GR, ORHK - OPIK,
PIHR & PIGR + IGH) ut PIGR + IGH - {OR ÷ OQ} IEF ad OPIK. Igitur si area
{OR ÷ OQ} IEF - IGH dicatur Y, atque areæ PIGR decrementum RGgr detur, erit
incrementum areæ Y ut PIGR - Y.
Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describendo CD
proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resistentia ponatur: erit
V - R vis tota qua corpus urgetur in D, adeoque ut incrementum velocitatis
in data temporis particula factum. Est autem resistentia R (per Hypothesin)
ut quadratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resistentiæ ut
velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data
temporis particula descriptum & V - R conjunctim; atque adeo, si momentum
spatii detur, ut V - R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, &
resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR - Z.
Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem uniformiter
decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR - Y, & area Z in ratione PIGR
- Z. Et propterea si areæ Y & Z simul incipiant & sub initio æquales sint,
hæ per additionem æqualium momentorum pergent esse æquales, & æqualibus
itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si
simul incipiunt & simul evanescunt, æqualia habebunt momenta & semper erunt
æquales: id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum arcu
illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo
motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C,
resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi
resistentia diminuitur.
Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in
principio & fine motus, ubi arcus CD, CD arcubus CB & Ca æquantur, adeoque
ubi recta RG incidit in rectas QE & CT. Et area Y seu {OR ÷ OQ} IEF - IGH
incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi {OR ÷ OQ} IEF & IGH æqualia
sunt: hoc est (per constructionem) ubi recta RG incidit in rectam QE & CT.
Proindeque areæ illæ simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper
sunt æquales. Igitur area {OR ÷ OQ} IEF - IGH æqualis est areæ Z, per quam
resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas
exponitur, ut resistentia ad gravitatem. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut
area {OP ÷ OQ} IEF ad aream PINM.
_Corol. 2._ Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ.
Eo enim in casu momentum ejus (nimirum PIGR - Y) evadit nullum.
_Corol. 3._ Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quæ
est in dimidiata ratione resistentiæ, & ipso motus initio æquatur
velocitati corporis in eadem Cycloide absque omni resistentia oscillantis.
Cæterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc
Propositionem inveniendæ sunt, visum est Propositionem sequentem
subjungere, quæ & generalior sit & ad usus Philosophicos abunde satis
accurata.
Prop. XXX. Theor. XXIII.
_Si recta aB æqualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando
describit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quæ
sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis
correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum
descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum,
ducta in arcuum eorundem semisummam, æqualis erit areæ BKaB a
perpendiculis omnibus DK occupatæ, quamproxime._
[Illustration]