distantia illa non datur, ut OS ÷ {OP × SP}. Et inde Spiralis ad quamlibet
Medii densitatem aptari potest.
_Corol. 3._ Vis resistentiæ in loco quovis P, est ad vim centripetam in
eodem loco ut ½OS ad OP. Nam vires illæ sunt ut lineæ Rr & TQ seu ut ½VQ ×
PQ ÷ SQ & PQq. ÷ SP quas simul generant, hoc est, ut ½VQ & PQ, seu ½OS &
OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiæ ad vim centripetam, &
viceversa ex data illa proportione datur Spiralis.
_Corol. 4._ Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis
resistentiæ minor est quam dimidium vis centripetæ. Fiat resistentia
æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea recta PS,
inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate
qua probavimus in superioribus in casu Parabolæ (Theor. X. Lib. I.)
descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt
dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.
_Corol. 5._ Et quoniam in æqualibus a centro distantiis velocitas eadem est
in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem
rectæ PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad OS; tempus descensus
in Spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione,
proindeque datur.
_Corol. 6._ Si centro S intervallis duobus describantur duo circuli;
numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere
potest, est ut PS ÷ OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum
radio PS; tempus vero revolutionum earundem ut OP ÷ OS, id est reciproce ut
Medii densitas.
[Illustration]
_Corol. 7._ Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut distantia
locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEB circa centrum illud
fecerit, & Radium primum AS in eodem angulo secuerit in B quo prius in A,
idque cum velocitate quæ fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce
in dimidiata ratione distantiarum a centro (id est ut BS ad mediam
proportionalem inter AS & CS:) corpus illud perget innumeras consimiles
revolutiones BFC, CGD, &c. facere, & intersectionibus distinguet Radium AS
in partes AS, BS, CS, DS &c. continue proportionales. Revolutionum vero
tempora erunt ut Perimetri orbitarum AEB, BFC, CGD &c. directe, &
velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est ut AS^½, BS^½, CS^½.
Atq; tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus
revolutionis primæ, ut summa omnium continue proportionalium AS^½, BS^½,
CS^½ pergentium in infinitum, ad terminum primum AS^½; id est ut terminus
ille primus AS^½ ad differentiam duorum primorum AS^½ - BS^½, & quam
proxime ut 2/3AS ad AB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.
_Corol. 8._ Ex his etiam præterpropter colligere licet motus corporum in
Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem
assignatam observat. Centro S intervallis continue proportionalibus SA, SB,
SC &c. describe circulos quotcunque, & statue numerum revolutionum inter
perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse
ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi
densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem
mediocrem inter eosdem quam proxime; Sed & in eadem quoq; ratione esse
Tangentem anguli quo Spiralis præfinita, in Medio de quo egimus, secat
radium AS, ad tangentem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in
Medio proposito: Atq; etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse
tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si hæc
fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes.
Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac
temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.
_Corol. 9._ Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium
accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum singulas
revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad
centrum accedere cum Spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo
motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.
Prop. XVI. Theor. XII.
_Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua
distantiæ locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut
distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in
Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo
dato._
Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis
centripeta in P sit reciproce ut distantiæ SP dignitas quælibet SP^{n + 1}
cujus index est n + 1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus
describit arcum quemvis PQ erit ut PQ × SP^{½n} & resistentia in P ut Rr ÷
{PQq. × SP^n} sive ut ½nVQ ÷ {PQ × SP^n × SQ}, adeoque ut ½OS ÷ {OP × SP^{n
+ 1}}. Et propterea densitas in P est reciproce ut SP^n.
_Scholium._
Cæterum hæc Propositio & superiores, quæ ad Media inæqualiter densa
spectant, intelligendæ sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno
corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat.
Resistentiam quoque cæteris paribus densitati proportionalem esse suppono.
Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo
usque augeri vel diminui, ut resistentiæ vel tollatur excessus vel defectus
suppleatur.
Prop. XVII. Prob. V.
_Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali
data lege revolvi potest._ Vide _Fig. Prop. XV._
Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate qua corpus percurrit arcum quam
minimum PQ dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quæ est ut vis centripeta &
quadratum temporis dabitur vis. Deinde ex arearum, æqualibus temporum
particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis
retardatio, & ex retardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.
Prop. XVIII. Prob. VI.
_Data lege vis centripetæ, invenire Medii densitatem in locis singulis,
qua corpus datam Spiralem describet._
Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde ex
velocitatis retardatione quærenda Medii densitas: ut in Propositione
superiore.
Methodum vero tractandi hæc Problemata aperui in hujus Propositione decima,
& Lemmate secundo; & Lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus
diutius detenere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad
progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus
hactenus expositi & his affines peraguntur.
* * * * *
SECT. V.
_De Densitate & compressione Fluidorum, deque Hydrostatica._
Definitio Fluidi.
Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illatæ, & cedendo
facile movetur inter se.
Prop. XIX. Theor. XIII.
_Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur &
undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensationis, gravitatis
& virium omnium centripetarum consideratione) æqualiter premuntur
undique, & absque omni motu a pressione illa orto permanent in locis
suis._
[Illustration]
_Cas. 1._ In vase sphærico ABC claudatur & uniformiter comprimatur fluidum
undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si
pars aliqua D moveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a
centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; atq;
hoc adeo quia similis & æqualis est omnium pressio, & motus omnis exclusus
supponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes ad
centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum condensetur; contra
Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere nisi fluidum ad
circumferentiam condensetur; etiam contra Hypothesin. Non possunt servata
sua a centro distantia moveri in plagam quamcunq; quia pari ratione
movebuntur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non potest pars
eadem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur.
_Q. E. D._
_Cas. 2._ Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphæricæ æqualiter
premuntur undique: sit enim EF pars sphærica fluidi, & si hæc undiq; non
premitur æqualiter, augeatur pressio minor, usq; dum ipsa undiq; prematur
æqualiter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed
ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum,
& additione pressionis novæ movebuntur de locis suis, per definitionem
Fluidi. Quæ duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod Sphæra EF non undique
premebatur æqualiter. _Q. E. D._
_Cas. 3._ Dico præterea quod diversarum partium sphæricarum æqualis sit
pressio. Nam partes sphæricæ contiguæ se mutuo premunt æqualiter in puncto
contactus, per motus Legem III. Sed & per Casum secundum, undiq; premuntur
eadem vi. Partes igitur duæ quævis sphæricæ non contiguæ, quia pars
sphærica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi.
_Q. E. D._
_Cas. 4._ Dico jam quod fluidi partes omnes ubiq; premuntur æqualiter. Nam
partes duæ quævis tangi possunt a partibus Sphæricis in punctis
quibuscunque, & ibi partes illas Sphæricas æqualiter premunt, per Casum 3.
& vicissim ab illis æqualiter premuntur, per Motus Legem Tertiam.
_Q. E. D._
_Cas. 5._ Cum igitur fluidi pars quælibet GHI in fluido reliquo tanquam in
vase claudatur, & undique prematur æqualiter, partes autem ejus se mutuo
æqualiter premant & quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi
cujuscunque GHI, quod undique premitur æqualiter, partes omnes se mutuo
premunt æqualiter, & quiescunt inter se. _Q. E. D._
_Cas. 6._ Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique
non prematur æqualiter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem
Fluiditatis.
_Cas. 7._ Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem
fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idq; in momento
temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem.
Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad æqualitatem
verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere
conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur
pressio undique ad æqualitatem in momento temporis absque motu locali; &
subinde, partes fluidi, per Casum quintum, se mutuo prement æqualiter, &
quiescent inter se. _Q. E. D._
_Corol._ Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido
ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, quatenus aut
figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel
remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se.
Prop. XX. Theor. XIV.
_Si Fluidi Sphærici, & in æqualibus a centro distantiis homogenei,
fundo sphærico concentrico incumbentis partes singulæ versus centrum
totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis æqualis
est superficiei fundi, & altitudo eadem quæ Fluidi incumbentis._
[Illustration]
Sit DHM superficies fundi, & AEI superficies superior fluidi. Superficiebus
sphæricis innumeris BFK, CGL distinguatur fluidum in Orbes concentricos
æqualiter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem
superiorem Orbis cujusque, & æquales esse actiones in æquales partes
superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema AE vi simplici
gravitatis propriæ, qua & omnes Orbis supremi partes & superficies secunda
BFK (per Prop. XIX.) premuntur. Premitur præterea superficies secunda BFK
vi propriæ gravitatis, quæ addita vi priori facit pressionem duplam. Hac
pressione & insuper vi propriæ gravitatis, id est pressione tripla, urgetur
superficies tertia CGL. Et similiter pressione quadrupla urgetur
superficies quarta, quintupla quinta & sic deinceps. Pressio igitur qua
superficies unaquæque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi
incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; & æquatur
gravitati Orbis infimi multiplicatæ per numerum Orbium: hoc est gravitati
solidi cujus ultima ratio ad Cylindrum præfinitum, (si modo Orbium augeatur
numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a
superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio æqualitatis.
Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri præfiniti. _Q. E. D._
Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in
ratione quavis assignata distantiæ a centro, ut & ubi Fluidum sursum rarius
est, deorsum densius. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere,
sed eam solummodo ponderis partem sustinet quæ in Propositione describitur;
pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato.
_Corol. 2._ In æqualibus autem a centro distantiis eadem semper est
pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti parallela vel
perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum
continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam rectam, vel serpit
oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime
irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil
mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus
singulos Fluidorum.
_Corol. 3._ Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop. XIX.) quod
fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt
motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.
_Corol. 4._ Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificæ corpus, quod
sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione
ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet,
non cogetur figuram suam mutare. Si Sphæricum est manebit sphæricum, non
obstante pressione; si quadratum est manebit quadratum: idq; sive molle
sit, sive fluidissimum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat.
Habet enim fluidi pars quælibet interna rationem corporis submersi, & par
est ratio omnium ejusdem magnitudinis, figuræ & gravitatis specificæ
submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret &
indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet vel descenderet vel ex
pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel
figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus cæteræque
motuum causæ permanent. Atqui, per Cas. 5. Prop. XIX. jam quiesceret &
figuram retineret. Ergo & prius.
_Corol. 5._ Proinde corpus quod specifice gravius est quam Fluidum sibi
contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascendet, motumque &
figuræ mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus
gravitatis efficere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem
habet impulsus, quo corpus, alias in æquilibrio cum fluidi partibus
constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis
in lance alterutra libræ.
_Corol. 6._ Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas:
altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & comparativa. Gravitas
absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit: relativa & vulgaris est
excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens.
Prioris generis Gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in
locis suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam
totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; & pondus
totius æquale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur.
Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est
inter se collata non prægravant, sed mutuos ad descendendum conatus
impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quæ
in Aere sunt & non prægravant, Vulgus gravia non judicat. Quæ prægravant
vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera
vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus Aeris.
Unde & vulgo dicuntur levia, quæ sunt minus gravia, Aerique prægravanti
cedendo superiora petunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt
in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quæ ob majorem vel minorem gravitatem
descendunt vel ascendunt, sunt comparative & apparenter gravia vel levia, &
eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus
quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquæ vel ab ea superatur.
Quæ vero nec prægravando descendunt, nec prægravanti cedendo ascendunt,
etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen &
in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum Casuum
Demonstratio.
_Corol. 7._ Quæ de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque
viribus centripetis.
_Corol. 8._ Proinde si Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel
a gravitate propria, vel ab alia quacunq; vi centripeta, & corpus ab eadem
vi urgeatur fortius: differentia virium est vis illa motrix, quam in
præcedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus
a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi
debet.
_Corol. 9._ Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum
Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non
mutabunt situm partium internarum inter se: proindeque, si Animalia
immergantur, & sensatio omnis a motu partium oriatur; nec lædent corporibus
immersis, nec sensationem ullam excitabunt, nisi quatenus hæc corpora a
compressione ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum
Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem
agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent
gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum
nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur.
Prop. XXI. Theor. XV.
_Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes
ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali
deorsum trahantur: dico quod si distantiæ illæ sumantur continue
proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam
continue proportionales._
[Illustration]
Designet ATV fundum Sphæricum cui fluidum incumbit, S centrum, SA, SB, SC,
SD, SE, &c. distantias continue proportionales. Erigantur perpendicula AH,
BI, CK, DL, EM, &c. quæ sint ut densitates Medii in locis A, B, C, D, E; &
specificæ gravitates in iisdem locis erunt ut AH ÷ AS, BI ÷ BS, CK ÷ CS,
&c. vel, quod perinde est, ut AH ÷ AB, BI ÷ BC, CK ÷ CD &c. Finge primum
has gravitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D &c.
factis per gradus decrementis in punctis B, C, D &c. Et hæ gravitates ductæ
in altitudines AB, BC, CD &c. conficient pressiones AH, BI, CK, quibus
fundum ATV (juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particula A
pressiones omnes AH, BI, CK, DL, pergendo in infinitum; & particula B
pressiones omnes præter primam AH; & particula C omnes præter duas primas
AH, BI; & sic deinceps: adeoque particulæ primæ A densitas AH est ad
particulæ secundæ B densitatem BI ut summa omnium AH + BI + CK + DL, in
infinitum, ad summam omnium BI + CK + DL, &c. Et BI densitas secundæ B, est
ad CK densitatem tertiæ C, ut summa omnium BI + CK + DL, &c. ad summam
omnium CK + DL, &c. Sunt igitur summæ illæ differentiis suis AH, BI, CK,
&c. proportionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem. I.
proindeq; differentiæ AH, BI, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam
continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C sint ut AH,
BI, CK, &c. erunt etiam hæ continue proportionales. Pergatur per saltum, &
(ex æquo) in distantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt
densitates AH, CK, EM continue proportionales. Et eodem argumento in
distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ densitates AH,
DL, QT erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c.
eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem Fluidi
continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA,
SD, SQ, densitates AH, DL, QT, semper existentes continue proportionales,
manebunt etiamnum continue proportionales. _Q. E. D._
[Illustration]
_Corol._ Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A & E, colligi
potest ejus densitas in alio quovis loco Q. Centro S, Asymptotis
rectangulis SQ, SX describatur Hyperbola secans perpendicula AH, EM, QT in
a, e, q, ut & perpendicula HX, MY, TZ ad asymptoton SX demissa in h, m, &
t. Fiat area ZYmtZ ad aream datam YmhX ut area data EeqQ ad aream datam
EeaA; & linea Zt producta abscindet lineam QT densitati proportionalem.
Namque si lineæ SA, SE, SQ sunt continue proportionales, erunt areæ EeqQ,
EeaA æquales, & inde areæ his proportionales YmtZ, XhmY etiam æquales &
lineæ SX, SY, SZ id est AH, EM, QT continue proportionales, ut oportet. Et
si lineæ SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue
proportionalium, lineæ AH, EM, QT, ob proportionales areas Hyperbolicas,
obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue
proportionalium.
Prop. XXII. Theor. XVI.
_Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes
ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce
proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiæ sumantur in
progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in
progressione Geometrica._
[Illustration]
Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in Progressione
Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quæ sint ut Fluidi
densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravitates specificæ in
iisdem locis erunt AH ÷ SAq., BI ÷ SBq., CK ÷ SCq., &c. Finge has
gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, secundam a B ad C,
tertiam a C ad D, &c. Et hæ ductæ in altitudines AB, BC, CD, DE, &c. vel,
quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis
proportionales, conficient exponentes pressionum AH ÷ SA, BI ÷ SB, CK ÷ SC,
&c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summæ, differentiæ
densitatum AH - BI, BI - CK, &c. erunt ut summarum differentiæ AH ÷ SA, BI
÷ SB, CK ÷ SC, &c. Centro S Asymptotis SA, SX describatur Hyperbola quævis,
quæ secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c; ut & perpendicula ad
Asymptoton SX demissa Ht, Iu, Kw in h, i, k; & densitatum differentiæ tu,
uw, &c. erunt ut AH ÷ SA, BI ÷ SB, &c. Et rectangula tu × th, uw × ui, &c.
seu tp, uq, &c. ut AH × th ÷ SA ut BI × ui ÷ SB, &c. id est ut Aa, Bb &c.
Est enim ex natura Hyperbolæ SA ad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque AH × th
÷ SA æquale Aa. Et simili argumento est BI × ui ÷ SB æqualis Bb, &c. Sunt
autem Aa, Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis
suis Aa - Bb, Bb - Cc, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce
proportionalia sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis differentiarum Aa -
Cc vel Aa - Dd summæ rectangulorum tp + uq, vel tp + uq + wr. Sunto
ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa - Ff,
erit summæ omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur
numerus terminorum & minuantur distantiæ punctorum A, B, C, &c. in
infinitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæ zthn, adeoque
huic areæ proportionalis est differentia Aa - Ff. Sumantur jam distantiæ
quælibet, puta SA, SD, SF in Progressione Musica, & differentiæ Aa - Dd, Dd
- Ff erunt æquales; & propterea differentiis hisce proportionales areæ
thlx, xlnz æquales erunt inter se, & densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL,
FN, continue proportionales. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc si dentur Fluidi densitates duæ quævis, puta AH & CK, dabitur
area thkw harum differentiæ tw respondens; & inde invenietur densitas FN in
altitudine quacunque SF, sumendo aream thnz ad aream illam datam thkw ut
est differentia Aa - Ff ad differentiam Aa - Cc.
_Scholium._