C - -A - ----- + -O - -------O - --------bbO^2 - --------------bbO^3 &c.
e A^n e A^{n+1} 2A^{n+2} 6A^{n+3}
Hujus seriei terminus secundus {d ÷ e}O - {nbb ÷ A^{n+1}}O usurpandus est
pro Qo, tertius {{nn + n} ÷ 2A^{n+2}}bbO^2 pro Ro^2, quartus {{n^3 + 3nn +
2n} ÷ 6A^{n+3}}bbO^3 pro So^3. Et inde Medii densitas S ÷ {R × [sqrt]{1 +
QQ}}, in loco quovis G, fit
n + 2
--------------------------------------- ,
--------------------------------
/ dd 2dnbb nnb^4
3 / A^2 + -- A^2 - ------ A + ------
\/ ee eA^n A^{2n}
adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n × VG, est reciproce ut XY. Sunt enim
A^2 & {dd ÷ ee}A^2 - 2dnbb ÷ eA^n in A + nnb^4 ÷ A^{2n} ipsarum XZ & ZY
quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY ÷
A ad 2RR, id est XY ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}VG. Et velocitas ibidem ea
ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G,
diametrum GD & Latus rectum {1 + QQ} ÷ R seu 2XY quad. ÷ {{nn + n} in VG}
habente. _Q. E. I._
_Scholium._
Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in
Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum
est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit,
propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa
Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in
partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione
Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam
differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode
adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata
& simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.
Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile
colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in G
est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut [sqrt]{GTq. ÷ GV},
resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}GV.
Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat
Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI
occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut
AH, & corporis velocitas ut [sqrt]{AHq. ÷ AI}, ac resistentia ibidem ad
Gravitatem ut AH ad {3nn + 3n} ÷ {n + 2} in AI. Unde prodeunt sequentes
Regulæ.
_Reg. 1._ Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt
longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu
inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite
determinari potest.
_Reg. 2._ Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur
velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI
in duplicata ratione velocitatis reciproce.
_Reg. 3._ Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq;
acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem
augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem ratione,
manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine AHq. ÷ AI; &
propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa
duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas
specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel
resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam
pondus.
_Reg. 4._ Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam in
loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GT ad
Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in
ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad Tangentium AH.
_Reg. 5._ Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK:
produc HN ad X, ut sit HX æqualis facto sub n + 1 & AI; centroq; X &
Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad
quamvis VG ut XV^n ad XI^n.
[Illustration]
_Reg. 6._ Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt hæ Hyperbolæ in
ascensu corporis ab A, & minus accuratæ in ejus descensu ad G; & contra.
Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior. Igitur
si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet
in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat producta
AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM æqualis.
_Reg. 7._ Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex
Phænomenis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem velocitate, in
angulis diversis HAK, hAk, incidentq; in planum Horizontis in K & k; &
notetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis
perpendiculo AI, assume utcunq; longitudinem AH vel Ah, & inde collige
graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum
ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta
infinita SM longitudinem SM æqualem assumptæ AH, & erige perpendiculum MN
æquale rationum differentiæ AK ÷ Ak - d ÷ e ductæ in rectam quamvis datam.
Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt
plura puncta N: & tum demum si per omnia agatur Curva linea regularis NNXN,
hæc abscindet SX quæsitæ longitudini AH æqualem. Ad usus Mechanicos
sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin
figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit,
corrigendæ sunt semper hæ longitudines per Regulam quartam.
[Illustration]
_Reg. 8._ Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectæ
AH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in
punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectæ AC, KF horizonti
perpendiculares, quarum AC deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu ½HX.
Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per
punctum C, centroq; A & intervallo AH describatur Circulus secans
Hyperbolam illam in puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum
incidet in punctum K. _Q. E. I._ Nam punctum H, ob datam longitudinem
AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK &
KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE
æqualis AM, & propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, &
propterea CE & FH æquantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis
AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq; adeo
reperitur in communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti.
_Q. E. D._ Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive
recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis
inclinata: quodq; ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH,
NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit
circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad
punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectæ FK interjecta, æqualis sit ejus
parti CE inter punctum C & rectam HK sitæ.
[Illustration]
Quæ de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK
Parabolam designet quam recta XV tangat in vertice X, sintq; ordinatim
applicatæ IA, VG ut quælibet abscissarum XI, XV dignitates XI^n, XV^n;
agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant
in G & A: & corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa
cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij,
in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea
erit quacum Projectile pergeret, in spatio non resistente, in Parabola
Conica, verticem G, diametrum VG deorsum productam, & latus rectum
[sqrt]{2TGq. ÷ {nn - n}XVG} habente. Et resistentia in G erit ad vim
Gravitatis ut TG ad {{3nn - 3n} ÷ {n - 2}}VG. Vnde si NAK lineam
horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate
quacum corpus projicitur, mutetur utcunq; angulus NAH; manebunt
longitudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolæ vertex X, & positio rectæ
XI, & sumendo VG ad IA ut XV^n ad XI^n, dantur omnia Parabolæ puncta G, per
quæ Projectile transibit.
* * * * *
SECT. III.
_De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in
ejusdem ratione duplicata._
Prop. XI. Theor. VIII.
_Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in
velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari
movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica:
quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam
quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica._
[Illustration]
Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, &
Asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G:
Et si tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem;
dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD
una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica
crescentem.
Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd
reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1 ÷ GD decrementum,
quod (per hujus Lem. II.) est Dd ÷ GDq. erit ut CD ÷ GDq. seu {CG + GD} ÷
GDq., id est, ut {1 ÷ GD} + {CG ÷ GDq.}. Igitur tempore ABED per additionem
datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit 1 ÷ GD in eadem
ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc
est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut
velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius 1 ÷ GD decrementum est
ut summa quantitatum 1 ÷ GD & CG ÷ GDq., quarum prior est ipsa 1 ÷ GD, &
posterior CG ÷ GDq. est ut 1 ÷ GDq.. Proinde 1 ÷ GD, ob analogum
decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1 ÷ GD reciproce
proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED
uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream
Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam 1 ÷ GD.
_Corol. 2._ Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad
velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum
G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.
Prop. XII. Theor. IX.
_Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione
Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in
progressione Geometrica._
In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat
Hyperbolæ in S, exponatur descriptum spatium per aream Hyperbolicam RSED; &
velocitas erit ut longitudo GD, quæ cum data CG componit longitudinem CD,
in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RSED augetur
in Arithmetica.
Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quæ decrementum est
ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeoq; directe ut CD, hoc est ut summa
ejusdem GD & longitudinis datæ CG. Sed velocitatis decrementum, tempore
sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur,
est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum
quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, &
inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum quantitatum, quarum
una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam
lineæ GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, &
propter analoga decrementa, analogæ semper erunt quantitates decrescentes:
nimirum velocitas & linea GD. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium
descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.
_Corol. 2._ Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G,
capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium
quodvis ABED descriptum. Invento autem puncto G, datur spatium ex data
velocitate, & contra.
_Corol. 3._ Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per
hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex
dato tempore: & contra.
Prop. XIII. Theor. X.
[Illustration]
_Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta
ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis,
partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ
diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos
ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato
puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad
segmentorum terminos ductis abscissi: & contra._
_Cas. 1._ Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro
quovis DB describatur circuli quadrans BETF, & per semidiametri DB terminum
B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur punctum A, &
capiatur segmentum AP velocitati proportionale. Et cum resistentiæ pars
aliqua sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum, fit
resistentia tota in P ut AP quad. + 2PAB. Jungantur DA, DP circulum
secantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit
gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq. + 2PAB: & tempus ascensus
omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.
Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET
momentum DTV dato temporis momento respondens: & velocitatis decrementum
illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiæ APq. + 2BAP, id
est (per _Prop. 12. Lib. II._ Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ
proportionalis, est ut DP quad.; & area DTV, (quæ est ad aream DPQ ut DTq.
ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum
temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea
tempori ascensus futuri proportionalis est. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 2._ Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut
prius, & resistentia ponatur esse ut APq. + 2BAP, & si vis gravitatis minor
sit quam quæ per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit
ABq. - BDq. gravitati proportionale, sitque DF ipsi DB perpendicularis &
æqualis, & per verticem F describatur Hyperbola FTVE cujus semidiametri
conjugatæ sint DB & DF, quæq; secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit
tempus ascensus futuri ut Hyperbolæ sector TDE.
Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut
summa resistentiæ APq. + 2ABP & gravitatis ABq. - BDq. id est ut BPq. -
BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF
demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq. - DFq. ad BDq. utque GDq. ad
PBq. & divisim ut DFq. ad BPq. - DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est
ut BPq. - BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT
uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem
particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est.
_Q. E. D._
_Cas. 3._ Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq. + 2ABP resistentia,
& DBq. - ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D,
vertice principali B, describatur Hyperbola rectangula BETV secans
productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hyperbolæ hujus sector DET ut
tempus descensus.
[Illustration]
Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut
excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq. - ABq. - 2ABP -
APq. seu DBq. - BPq. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoq; ut
GTq. seu GDq. - BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq. -
BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq. - BPq. erit area DTV ut datum BDq.
Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus,
per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori
descensus proportionalis est. _Q. E. D._
_Corol._ Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in
spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere
posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo
ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non
resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio
resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est,
accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.
Prop. XIV. Prob. IV.
_Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est
ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ
cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione
Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in
progressione Geometrica._
Capiatur AC (_in Fig. tribus ultimis,_) gravitati, & AK resistentiæ
proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus
ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC:
& area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires
CK in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis
ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream DET.
Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq. + 2BAP; assumatur data quævis
quantitas Z, & ponatur AK æqualis {APq. + 2BAP} ÷ Z; & (per hujus Lem. II.)
erit ipsius AK momentum KL æquale {2APQ + 2BA × PB} ÷ Z seu 2BPQ ÷ Z, &
areæ AbNK momentum KLON æquale 2BPQ × LO ÷ Z seu {BPQ × BD cub.} ÷ {2Z × CK
× AB}.
_Cas. 1._ Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq. + BDq. existente
BET circulo, (_in Fig. Cas. 1. Prop. XIII._) linea AC, quæ gravitati
proportionalis est, erit {ABq. + BDq.} ÷ Z & DPq. seu APq. + 2BAP + ABq. +
BDq. erit AK × Z + AC × Z seu CK × Z; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut
DTq. vel DBq. ad CK × Z.
_Cas. 2._ Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq. - BDq. linea AC
(_Fig. Cas. 2. Prop. XIII._) erit {ABq. - BDq.} ÷ Z, & DTq. erit ad DPq. ut
DFq. seu DBq. ad BPq. - BDq. seu APq. + 2BAP + ABq. - BDq. id est ad AK × Z
+ AC × Z seu CK × Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z.
_Cas. 3._ Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit
ut BDq. - ABq. & linea AC (_Fig. Cas. 3. Prop. præced._) æquetur {BDq. -
ABq.} ÷ Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z: ut supra.
Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua
momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur
determinatum quodvis rectangulum, puta BD × m, erit area DPQ, id est, ½BD ×
PQ; ad BD × m ut CK in Z ad BDq. Atq; inde fit PQ in BD cub. æquale 2BD × m
× CK × Z, & areæ AbNK momentum KLON superius inventum, fit BP × BD × m ÷
AB. Auferatur areæ DET momentum DTV seu BD × m, & restabit AP × BD × m ÷
AB. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ
arearum, æqualis AP × BD × m ÷ AB; & propterea (ob datum BD × m ÷ AB) ut
velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel
descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud
proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia
vel simul evanescentia, sunt proportionalia. _Q. E. D._
_Corol._ Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET,
quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu
toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non
resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia
ad BD × V^2 ÷ 4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non
resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V^2, & ob datas BD &
AB, ut BD × V^2 ÷ 4AB. Tempus autem est ut DET seu ½BD × ET, & harum
arearum momenta sunt ut BD × V ÷ 2AB ductum in momentum ipsius V & ½BD
ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD × V ÷ 2AB in DAq. × 2m ÷ DEq. &
½BD × 2m, sive ut {BD × V × DAq. × m} ÷ {AB × DEq.} & BD × m. Et propterea
momentum areæ V^2 est ad momentum differentiæ arearum DET & AKNb, ut {BD ×
V × DA × m} ÷ {AB × DE} ad AP × BD × m ÷ AB sive ut V × DA ÷ DE ad AP;
adeoque, ubi V & AP quam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis
igitur est area quam minima BD × V^2 ÷ 4AB differentiæ quam minimæ arearum
DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel
fine ascensus simul descripta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad
invicem ut area BD × V^2 ÷ 4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum
analoga incrementa necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint
ad invicem ut area illa BD × V^2 ÷ 4AB & arearum DET & AKNb differentia.
_Q. E. D._
* * * * *
SECT. IV.
_De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus._
LEM. III.
_Sit PQRr Spiralis quæ secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in æqualibus
angulis. Agatur recta PT quæ tangat eandem in puncto quovis P, secetque
radium SQ in T; & ad Spiralem erectis perpendiculis PO, QO
concurrentibus in O, jungatur SO. Dico quod si puncta P & Q accedant ad
invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli
TQ × PS ad PQ quad. erit ratio æqualitatis._
[Illustration]
Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli æquales SPQ, SQR, &
manebunt anguli æquales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per puncta O,
S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic circulus in
loco coitus PQ tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectam
OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo
rectus. _Q. E. D._
Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum rationes ultimæ erunt
hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut PQ
ad PO. Et ex æquo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq. æqualis TQ
× PS. _Q. E. D._
Prop. XV. Theor. XI.
_Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum
a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione
densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes
a centro illo ductos intersecat in angulo dato._
Ponantur quæ in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV æqualis
SP. Temporibus æqualibus describat corpus arcus quam minimos PQ & QR,
sintque areæ PSQ, QSr æquales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus
urgetur in P est reciproce ut SPq. & (per Lem. X. Lib. I.) lineola TQ, quæ
vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione
duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu,
ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ × SPq. id est (per
Lemma novissimum) PQq. × SP, in ratione duplicata temporis, adeoque tempus
est ut PQ × [sqrt]SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore
describitur ut PQ ÷ {PQ × [sqrt]SP} seu 1 ÷ [sqrt]SP, hoc est in dimidiata
ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR
describitur, est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus
illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata
ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad [sqrt]SP × [sqrt]SQ; & ob æquales angulos
SPQ, SQr & æquales areas PSQ, QSr, est arcus PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP.
Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad
arcum Rr ut SQ ad SP - SP^½ × SQ^½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus,
ratio ultima SP - SP^½ × SQ^½ ad ½VQ fit æqualitatis. In Medio non
resistente areæ æquales PSQ, QSr (Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus
describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr, &
propterea resistentia est ut lineolæ Qr decrementum Rr collatum cum
quadrato temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est
in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr ÷ {PQq. × SP}.
Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr ÷ {PQq. × SP} fit ut ½VQ ÷ {PQ
× SP × SQ} sive ut ½OS ÷ {OP × SPq.}. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP &
SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS.
Est igitur OS ÷ {OP × SPq.} ut resistentia, id est in ratione densitatis
Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata
ratio velocitatis, nempe ratio 1 ÷ SP, & manebit Medii densitas in P ut OS
÷ {OP × SP}. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, densitas Medii
in P erit ut 1 ÷ SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut
distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio
non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.