crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Momenta, vel mutationum
velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit
Ab + aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc + AbC + aBC: & dignitatum A^2,
A^3, A^4, A^{1/2}, A^{3/2}, A^{1/3}, A^{2/3}, 1 ÷ A, 1 ÷ A^2, & 1 ÷ A^{1/2}
momenta 2Aa, 3aA^2, 4aA^3, 1/2aA^{-1/2}, 3/2aA^{1/2}, 1/3aA^{-2/3},
2/3aA^{-1/3}, -aA^{-2}, -2aA^{-3}, & -1/2aA^{-3/2} respective. Et
generaliter ut dignitatis cujuscunq; A^{n ÷ m} momentum fuerit n ÷ m
aA^{(n-m) ÷ m}. Item ut Genitæ A quad. × B momentum fuerit 2aAB + A^2b; &
Genitæ A^3B^4C^2 momentum 3aA^2B^4C^2 + 4A^3bB^3C^2 + 2A^3B^4Cc; & Genitæ
A^3 ÷ B^2 sive A^3B^{-2} momentum 3aA^2B^{-2} - 2A^3bB^{-3}: & sic in
cæteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.
_Cas. 1._ Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A &
B deerant momentorum dimidia ½a & ½b, fuit A - ½a in B - ½b, seu AB - ½aB -
½Ab + ¼ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta
sunt, evadit A + ½a in B + ½b seu AB + ½aB + ½Ab + ¼ab. De hoc rectangulo
subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB + Ab. Igitur laterum
incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum aB + Ab.
Q. E. D.
_Cas. 2._ Ponatur AB æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas. 1.)
erit gC + Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB + Ab) aBC + AbC +
ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.
_Cas. 3._ Ponantur A, B, C æqualia; & ipsius A^2, id est rectanguli AB,
momentum aB + Ab erit 2aA, ipsius autem A^3, id est contenti ABC, momentum
aBC + AbC + ABc erit 3aA^2. Et eodem argumento momentum dignitatis
cujuscunq; A^n est naA^{n - 1}. Q. E. D.
_Cas. 4._ Unde cum 1 ÷ A in A sit 1, momentum ipsius 1 ÷ A ductum in A, una
cum 1 ÷ A ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum
ipsius 1 ÷ A seu A^{-1} est -a ÷ A^2. Et generaliter cum 1 ÷ A^n in A^n sit
1, momentum ipsius 1 ÷ A^n ductum in A^n una cum 1 ÷ A^n in naA^{n - 1}
erit nihil. Et propterea momentum ipsius 1 ÷ A^n seu A^{-n} erit -na ÷ A^{n
+ 1}. Q. E. D.
_Cas. 5._ Et cum A^½ in A^½ sit A, momentum ipsius A^½ in 2A^½ erit a, per
Cas. 3: ideoq; momentum ipsius A^½ erit a ÷ 2A^½ sive 2aA^{-½}. Et
generaliter si ponatur A^{m ÷ n} æqualem B, erit A^m æquale B^n, ideoq;
maA^{m - 1} æquale nbB^{n - 1}, & maA^{-1} æquale nbB^{-1} seu nb ÷ A^{m ÷
n}, adeoq; {m ÷ n}aA^{(m-n) ÷ n} æquale b, id est æquale momento ipsius
A^{m ÷ n}. Q. E. D.
_Cas. 6._ Igitur Genitæ cujuscunq; A^m B^n momentum est momentum ipsius A^m
ductum in B^n, una cum momento ipsius B^n ducto in A^m, id est maA^{m - 1}
+ nbB^{n - 1}; idq; sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel
fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub
pluribus dignitatibus. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur,
momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per
numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F
continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum
terminorum erunt inter se ut -2A, -B, D, 2E, 3F.
_Corol. 2._ Et si in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta
extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligendum est de lateribus
rectanguli cujuscunq; dati.
_Corol. 3._ Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta
laterum erunt reciproce ut latera.
_Scholium._
In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo _G. G. Leibnitio_ annis abhinc
decem intercedebant, cum significarem me compotem esse methodi determinandi
Maximas & Minimas, ducendi Tangentes, & similia peragendi, quæ in terminis
surdis æque ac in rationalibus procederet, & literis transpositis hanc
sententiam involventibus [Data æquatione quotcunq; fluentes quantitates
involvente, fluxiones invenire, & vice versa] eandem celarem: rescripsit
Vir Clarissimus se quoq; in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam
communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum & notarum
formulis. Utriusq; fundamentum continetur in hoc Lemmate.
Prop. VIII. Theor. VI.
_Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta
ascendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in
partes æquales, inq; principiis singularum partium (addendo
resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel
subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutæ;
dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione Geometrica._
[Illustration]
Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resistentia per lineam
indefinitam AK; vis absoluta in descensu corporis per differentiam KC;
velocitas corporis per lineam AP (quæ sit media proportionalis inter AK &
AC, ideoq; in dimidiata ratione resistentiæ) incrementum resistentiæ data
temporis particula factum per lineolam KL, & contemporaneum velocitatis
incrementum per lineolam PQ; & centro C Asymptotis rectangulis CA, CH
describatur Hyperbola quævis BNS, erectis perpendiculis AB, KN, LO, PR, QS
occurrens in B, N, O, R, S. Quoniam AK est ut APq., erit hujus momentum KL
ut illius momentum 2APQ, id est ut AP in KC. Nam velocitatis incrementum
PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generanti KC. Componatur ratio
ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum KL × KN ut AP × KC ×
KN; hoc est, ob datum rectangulum KC × KN, ut AP. Atqui areæ Hyperbolicæ
KNOL ad rectangulum KL × KN ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est
æqualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens est ut AP. Componitur
igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper
proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto
proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes æquales ABMI, IMNK,
KNOL, &c. & vires absolutæ AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione
Geometrica. Q. E. D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo,
ad contrariam partem puncti A, æquales areas ABmi, imnk, knol, &c.
constabit quod vires absolutæ AC, iC, kC, lC, &c. sunt continue
proportionales. Ideoq; si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur
æqualia; omnes vires absolutæ lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. erunt
continue proportionales. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam
ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii
per lineas AC, AP & AK respective; & vice versa.
_Corol. 2._ Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum descendendo
potest unquam acquirere, exponens est linea AC.
_Corol. 3._ Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia
Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam
datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam
illam cognitam.
_Corol. 4._ Sed & particula temporis, quo spatii particula quam minima NKLO
in descensu describitur, est ut rectangulum KN × PQ. Nam quoniam spatium
NKLO est ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula temporis
ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam
minimum KN × KL applicatum ad AP. Erat supra KL ut AP × PQ. Ergo particula
temporis est ut KN × PQ, vel quod perinde est, ut PQ ÷ CK. Q. E. D.
_Corol. 5._ Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula nklo
in ascensu describitur, est ut pq ÷ Ck.
Prop. IX. Theor. VII.
_Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris
Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus
proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne
ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus præteriti ut
sector Hyperbolæ._
Rectæ AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æqualis ducatur
AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum
Hyperbola rectangula AVZ axem habens AX, verticem principalem A &
Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit sector circularis AtD ut tempus
ascensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis
præteriti, si modo Sectorem tangentes Ap & AP sint velocitates.
[Illustration]
_Cas. 1._ Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp momenta,
seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & pDq. Cum particulæ illæ,
ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula
tDv ut qDp ÷ pD quad. Sed pD quad. est AD quad. + Ap quad. id est AD quad.
+ Ak × AD seu AD × Ck; & qDp est ½AD × pq. Ergo Sectoris particula vDt est
ut pq ÷ Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et
componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa
particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis
amissis pq respondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta
evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus.
Q. E. D.
_Cas. 2._ Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum trianguli DAQ
particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DTq.
ad DPq. id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq.
& divisim ut DXq. - TXq. ad ADq. - APq. Sed ex natura Hyperbolæ DXq. - TXq.
est ADq., & per Hypothesin APq. est AD × AK. Ergo particulæ sunt ad invicem
ut ADq. ad ADq. - AD × AK; id est ut AD ad AD - AK seu AC ad CK: ideoq;
Sectoris particula TDV est PDQ × AC ÷ CK, atq; adeo ob datas AC & AD, ut PQ
÷ CK; & propterea per Corol. 5. Prop. VIII. Lib. II. ut particula temporis
incremento velocitatis PQ respondens. Et componendo fit summa particularum
temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ PQ generantur, ut summa
particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP, quod
corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus
semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo
describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur,
ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit
2APQ æquale AC × KL (per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq; KL ad PQ ut 2AP
ad AC, & inde LKN ad PQ × ½AD seu DPQ ut 2AP × KN ad ½AC × AD. Sed erat DPQ
ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN est ad DTV ut 2AP × KN × CK ad ½AC
cub.; id est, ob æquales CKN & ¼ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas
corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest
acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut
velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia
simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæ ABKN & AVD ut spatia
tota ab initio descensus descripta. Q. E. D.
_Corol. 2._ Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur.
Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC
eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.
_Corol. 3._ Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem,
quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD
ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret
ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD.
Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ
illæ ATD, APD.
_Corol. 4._ Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua
corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum
amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD, sive ut
recta Ap ad arcum At.
_Corol. 5._ Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo
velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non
resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: &
tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere,
ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset
amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.
_Corol. 6._ Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu
descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima,
per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse
velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus
velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et
sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur
tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad Sectorem ut
spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.
_Corol. 7._ Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel
ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.
Prop. X. Prob. III.
_Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq;
resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim:
requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus
in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem
locis._
[Illustration]
Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C
corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tangens in C. Fingatur autem corpus
C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per
eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu æque promoveri,
sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis &
regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus describat corpus
progrediens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens arcum Cg; & sint CH,
Ch longitudines æquales rectilineæ, quas corpora de loco C exeuntia, his
temporibus, absq; Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis
C, G, g, ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd,
quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Medii resistentiam fit ut
corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem
CF; & per vim gravitatis transfertur corpus de F in G: adeoq; lineola HF vi
resistentiæ, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem.
X. Lib. I.) lineola FG est ut vis gravitatis & quadratum temporis
conjunctim, adeoq; (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola
HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola
FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF ÷ FG.
Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ
magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.
Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia tempora
æquatur ipsi FG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut hf ÷ fg.
Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso motus
initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales hf ÷ fg & HF ÷ FG æquantur;
& propterea ob æquales fg & FG, æquantur etiam hf & HF, suntq; adeo CF, CH
(vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidifferentia est
ipsarum Cf & CF; & resistentia quæ supra fuit ut HF ÷ FG, est ut {Cf - CF}
÷ FG.
Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas
autem ut descripta longitudo CF directe & tempus [sqrt]FG inverse, hoc est
ut CF ÷ [sqrt]FG, adeoq; quadratum velocitatis ut CFq. ÷ FG. Quare
resistentia, ipsiq; proportionalis {Cf - CF} ÷ FG est ut Medii densitas &
ut CFq. ÷ FG conjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf - CF} ÷ FG directe &
CFq. ÷ FG inverse, id est ut {Cf - CF} ÷ CFq. Q. E. I.
_Corol. 1._ Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF, & ad
planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l;
fiet Medii densitas ut {FG - kl} ÷ {CF × {FG + kl}}. Erit enim fC ad kC ut
[sqrt]fg seu [sqrt]FG ad [sqrt]kl, & divisim fk ad kC, id est Cf - CF ad CF
ut [sqrt]FG - [sqrt]kl ad [sqrt]kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in
[sqrt]FG + [sqrt]kl) ut FG - kl ad kl + [sqrt]FG × kl, sive ad FG + kl. Nam
ratio prima nascentium kl + [sqrt]FG × kl & FG + kl est æqualitatis.
Scribatur itaq; {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} pro {Cf - CF} ÷ CF; & Medii densitas,
quæ fuit ut {Cf - CF} ÷ CF quad. evadet ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}.
_Corol. 2._ Unde cum 2HF & Cf - CF æquentur, & FG & kl (ob rationem
æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG - kl ad 2FG; et inde HF ad
FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG - kl ad 4FG
quad.
_Corol. 3._ Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem
seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor
ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos
seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.
_Exempl. 1._ Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, &
requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.
Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi
o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao - oo;
& radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e -
aaoo ÷ 2e^3 - ao^3 ÷ 2e^3 - a^3o^3 ÷ 2e^5 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa
& evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e^3 - anno^3 ÷ 2e^5 &c.
Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum
primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo
quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum,
quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic
est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ
quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ao ÷ e, denotabit
differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quæ abscinditur complendo
parallelogrammum BC - ID, atq; adeo positionem Tangentis CF semper
determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao ÷ e ad o seu a ad e.
Terminus tertius, qui hic est nnoo ÷ 2e^3 designabit lineolam FG, quæ jacet
inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FCG, seu
curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa FG finitæ est
magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in
infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes
evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus,
qui hic est anno^3 ÷ 2e^5, exhibet variationem Curvaturæ; quintus
variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non
contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a
Tangentibus & curvatura Curvarum.
Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato
termini secundi. Estq; FG + kl æqualis duplo termini tertii, & FG - kl
æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il,
& valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu -o pro +o.
Proinde cum FG sit - nnoo ÷ 2e^3 - anno^3 ÷ 2e^5 &c. erit kl = - nnoo ÷
2e^3 + anno^3 ÷ 2e^5, &c. Et horum summa est - nnoo ÷ e^3, differentia -
anno^3 ÷ e^5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores
quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Itaq; si designetur Series
universaliter his terminis ± Qo - Roo - So^3 &c. erit CF æqualis [sqrt]{oo
+ QQoo}, FG + kl æqualis 2Roo, & FG - kl æqualis 2So^3. Pro CF, FG + kl &
FG - kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG - kl}
÷ {CF in FG + kl} jam fiet ut S ÷ {R [sqrt]{1 + QQ}}. Deducendo igitur
Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo
terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii
in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S[sqrt]{1 + QQ} ad 2RR, &
velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF
egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum {1 + QQ} ÷ R habente,
deinceps moveri posset, solvetur Problema.
Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur [sqrt]1 + aa ÷ ee seu n ÷ e
pro [sqrt]{1 + QQ}, nn ÷ 2e^3 pro R, & ann ÷ 2e^3 pro S, prodibit Medii
densitas ut a ÷ ne, hoc est (ob datam n) ut a ÷ e seu OB ÷ BC, id est ut
Tangentis longitudo illa CT, quæ ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter
insistentem terminatur, & resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est
ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut [sqrt]2BC.
Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK
parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut
longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim
gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK.
Q. E. I.
At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem
egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, &
propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum -a pro +a. Quo pacto
prodiret Medii densitas ut -a ÷ e. Negativam autem densitatem (hoc est quæ
motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter
fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL.
Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a
resistente impediri.
_Exempl. 2._ Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK
perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in
ipsa moveatur.
Ex natura Parabolæ, rectangulum ADK æquale est rectangulo sub ordinata DG &
recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD
o; rectangulum a + o in c - a - o seu ac - aa - 2ao + co - oo æquale est
rectangulo b in DG, adeoq; DG æquale {ac - aa} ÷ b + {{c - 2a} ÷ b}o - oo ÷
b. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus {{c - 2a} ÷ b} o pro
Qo, & ejus coefficiens {c - 2a} ÷ b pro Q; tertius item terminus oo ÷ b pro
Roo, & ejus coefficiens 1 ÷ b pro R. Cum vero plures non sint termini,
debebit quarti termini So^3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas
S ÷ R[sqrt]{1 + QQ} cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit.
Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim
demonstravit _Galilæus_. Q. E. I.
[Illustration]
_Exempl. 3._ Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano
horizontali AK perpendicularem; & quæratur Medii densitas quæ faciat ut
Projectile moveatur in hac linea.
Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatæ DG productæ occurrens in V, &
ex natura Hyperbolæ, rectangulum XV in VG dabitur. Datur autem ratio DN ad
VX, & propterea datur etiam rectangulum DN in VG. Sit illud bb; & completo
parallelogrammo DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio data VZ ad ZX vel
DN ponatur esse m ÷ n. Et erit DN æqualis a - o, VG æqualis bb ÷ {a - o},
VZ æqualis m ÷ n {a - o}, & GD seu NX - VZ - VG æqualis c - {m ÷ n}a + {m ÷
n}o - bb ÷ {a - o}. Resolvatur terminus bb ÷ {a - o} in seriem convergentem
bb ÷ a + {bb ÷ aa}o + {bb ÷ a^3}oo + {bb ÷ a^4}o^3 etc. & fiet GD æqualis c
- {m ÷ n}a - bb ÷ a + {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o - {bb ÷ a^3}o^2 - {bb ÷ a^4}o^3
&c. Hujus seriei terminus secundus {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o usurpandus est pro
Qo, tertius cum signo mutato {bb ÷ a^3}o^2 pro Ro^2, & quartus cum signo
etiam mutato {bb ÷ a^4}o^3 pro So^3, eorumq; coefficientes m ÷ n - bb ÷ aa,
bb ÷ a^3 & bb ÷ a^4 scribendæ sunt, in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo
facto prodit medii densitas ut
bb
---
a^4 1
------------------------------ seu ------------------------------
--------------------- -------------------------
bb / mm 2mbb b^4 / mm 2mbb b^4
-- / 1 - -- - ---- + --- / aa + -- aa - ---- + ----
a^3\/ nn naa a^4 \/ nn n aa
est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut 1 ÷ XY. Namq; aa & {mm ÷ nn}aa -
2mbb ÷ n + b^4 ÷ aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem
invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est
quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum
YX quad. ÷ VG habente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis
singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodq; resistentia in loco
aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum
velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q. E. I.
_Exempl. 4._ Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X
Asymptotis MX, NX, ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus
latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce
ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua ND^n, cujus index est numerus n: &
quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.
Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; VZ ad ZX vel DN ut d ad
e, & VG æqualis bb ÷ DN^n, & erit DN æqualis A - O, VG = bb ÷ {A - O}^n, VZ
= d ÷ e in A - O, & GD seu NX - VZ - VG æqualis C - {d ÷ e}A + {d ÷ e}O -
bb ÷ {A - O}^n. Resolvatur terminus ille bb ÷ {A - O}^n in seriam infinitam
bb nbbO nn + n n^3 + 3nn + 2n
----- + ------- + -------- bbO^2 + -------------- bbO^3 &c.
A^n A^{n+1} 2A^{n+2} 6A^{n+3}
ac fiet GD æqualis