Opticos maxime accommodatæ sunt figuræ Sphæricæ. Si Perspicillorum vitra
Objectiva ex vitris duobus Sphærice figuratis & Aquam inter se claudentibus
conflentur, fieri potest ut a refractionibus aquæ errores refractionum, quæ
fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia
autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis præferenda sunt, non
solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos
radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant. Verum tamen diversa
diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo minus Optica per
figuras vel Sphæricas vel alias quascunq; perfici possit. Nisi corrigi
possint errores illinc oriundi, labor omnis in cæteris corrigendis imperite
collocabitur.
* * * * *
DE MOTU CORPORUM
* * * * *
Liber SECUNDUS
* * * * *
SECT. I.
_De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis._
Prop. I. Theor. I.
_Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia
amissus est ut spatium movendo confectum._
Nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc
est ut itineris confecti particula: erit componendo motus toto tempore
amissus ut iter totum. Q. E. D.
_Corol._ Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis sola
vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus
reliquus post spatium aliquod confectum, dabitur spatium totum quod corpus
infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium jam
descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.
Lemma I.
_Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue
proportionales._
Sit A ad A - B ut B ad B - C & C ad C - D &c. & dividendo fiet A ad B ut B
ad C & C ad D &c. Q. E. D.
Prop. II. Theor. II.
_Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per
Medium similare moveatur, sumantur autem tempora æqualia: velocitates
in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geometrica, &
spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates._
_Cas. 1._ Dividatur tempus in particulas æquales, & si ipsis particularum
initiis agat vis resistentiæ impulsu unico, quæ sit ut velocitas, erit
decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas.
Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, & propterea (per
Lem. I. Lib. II.) continue proportionales. Proinde si ex æquali
particularum numero componantur tempora quælibet æqualia, erunt velocitates
ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum
capiuntur, omisso passim æquali terminorum intermediorum numero.
Componuntur autem horum terminorum rationes ex æqualibus rationibus
terminorum intermediorum æqualiter repetitis, & propterea sunt æquales.
Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione
Geometrica. Minuantur jam æquales illæ temporum particulæ, & augeatur earum
numerus in infinitum, eo ut resistentiæ impulsus reddatur continuus, &
velocitates in principiis æqualium temporum, semper continue
proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportionales. Q. E. D.
[Illustration]
_Cas. 2._ Et divisim velocitatum differentiæ, hoc est earum partes singulis
temporibus amissæ, sunt ut totæ: Spatia autem singulis temporibus descripta
sunt ut velocitatum partes amissæ, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea
etiam ut totæ. Q. E. D.
_Corol._ Hinc si Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola BG,
sintq; AB, DG ad Asymptoton AC perpendiculares, & exponatur tum corporis
velocitas tum resistentia Medii, ipso motus initio, per lineam quamvis
datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi
potest tempus per aream ABGD, & spatium eo tempore descriptum per lineam
AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum
temporis, decrescet recta DC in ratione Geometrica ad modum velocitatis, &
partes rectæ AC æqualibus temporibus descriptæ decrescent in eadem ratione.
Prop. III. Prob. I.
[Illustration]
_Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit,
resistitur in ratione velocitatis, quodq; ab uniformi gravitate
urgetur, definire motum._
Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum BC, &
resistentia Medii initio ascensus per rectangulum BD sumptum ad contrarias
partes. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola
secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tempore DGgd,
describet spatium EGge, tempore DGBA spatium ascensus totius EGB, tempore
AB2G2D spatium descensus BF2G, atq; tempore 2D2G2g2d spatium descensus
2GF2e2g: & velocitates corporis (resistentiæ Medii proportionales) in horum
temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF2D, AB2e2d respective; atq;
maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.
[Illustration]
Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c.
quæ sint ut incrementa velocitatum æqualibus totidem temporibus facta; &
erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totæ, atq; adeo (per
Hypothesin) ut resistentia Medii in principio singulorum temporum æqualium.
Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in
principio temporis secundi, deq; vi gravitatis subducantur resistentiæ, &
manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut vires absolutæ quibus corpus in
principio singulorum temporum urgetur, atq; adeo (per motus Legem II.) ut
incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c; &
propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectæ
Kk, Ll, Mm, Nn &c. productæ occurrant Hyperbolæ in q, r, s, t &c. erunt
areæ ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. æquales, adeoq; tum temporibus tum viribus
gravitatis semper æqualibus analogæ. Est autem area ABqK (per Corol. 3.
Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut Kq ad ½kq seu AC ad ½AK,
hoc est ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et
simili argumento areæ qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt
&c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi, tertii,
quarti, &c. Proinde cum areæ æquales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint
viribus grauitatis analogæ, erunt areæ Bkq, qklr, rlms, smnt, &c.
resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per Hypothesin)
velocitatibus, atq; adeo descriptis spatiis analogæ. Sumantur analogarum
summæ, & erunt areæ Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis descriptis
analogæ; necnon areæ ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. temporibus. Corpus igitur
inter descendendum, tempore quovis ABrL, describit spatium Blr, & tempore
LrtN spatium rlnt. Q. E. D. Et similis est demonstratio motus expositi
in ascensu. Q. E. D.
_Corol. 1._ Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere,
est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis
qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis
illius resistitur.
_Corol. 2._ Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa
velocitatis illius maximæ ac velocitatis in ascensu (atq; etiam earundem
differentia in descensu) decrescit in progressione Geometrica.
_Corol. 3._ Sed & differentiæ spatiorum, quæ in æqualibus temporum
differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.
_Corol. 4._ Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum
spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, &
alterum ut velocitas, quæ etiam ipso descensus initio æquantur inter se.
Prop. IV. Prob. II.
_Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac
tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum
Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem
patientis._
[Illustration]
E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quamvis rectam DP, &
per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto
P ad lineam Horizontalem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A
ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub initio
orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum sub DA &
DP ad rectangulum sub AC & CP ut resistentia tota sub initio motus ad vim
Gravitatis. Describatur Hyperbola quævis GTBS secans erecta perpendicula
DG, AB in G & B; & compleatur parallelogrammum DGKC, cujus latus GK secet
AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectæ DC
punctum quodvis R erecto perpendiculo RT, quod Hyperbolæ in T, & rectis GK,
DP in t & V occurrat; in eo cape Vr æqualem tGT ÷ N, & Projectile tempore
DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r
semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo
AB, & postea semper appropinquans ad Asymptoton PLC. Estq; velocitas ejus
in puncto quovis r ut Curvæ Tangens rL. Q. E. I.
Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeoq; RV æqualis DR × QB ÷ N, &
Rr (id est RV - Vr seu {DR × QB - tGT} ÷ N) æqualis {DR × AB - RDGT} ÷ N.
Exponatur jam tempus per aream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur
motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia
sit ut motus, distinguetur etiam hæc in partes duas partibus motus
proportionales & contrarias: ideoq; longitudo a motu ad latus descripta
erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, altitudo vero (per Prop. III.
hujus) ut area DR × AB - RDGT, hoc est, ut linea Rr. Ipso autem motus
initio area RDGT æqualis est rectangulo DR × AQ, ideoq; linea illa Rr (seu
{DR × AB - DR × AQ} ÷ N) tunc est ad DR ut AB - AQ (seu QB) ad N, id est ut
CP ad DC; atq; adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub
initio. Cum igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo,
atq; Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est ut Rr
semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus
moveatur in linea DraF, quam punctum r perpetuo tangit. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si vertice D, Diametro DE deorsum producta, & latere recto
quod sit ad 2DP ut resistentia tota, ipso motus initio, ad vim gravitatis,
Parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco D
secundum rectam DP, ut in Medio uniformi resistente describat Curvam DraF,
ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR,
ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolæ
hujus, ipso motus initio, est DV quad. ÷ Vr & Vr est tGT ÷ N seu DR × Tt ÷
2N. Recta autem, quæ, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela
est ipsi DK, ideoq; Tt est CK × DR ÷ DC, & N erat QB × DC ÷ CP. Et
propterea Vr est DRq. × CK × CP ÷ {2CDq. × QB}, id est (ob proportionales
DR & DC, DV & DP) DVq. × CK × CP ÷ {2DPq. × QB}, & Latus rectum DV quad. ÷
Vr prodit 2DPq. × QB ÷ {CK × CP}, id est (ob proportionales QB & CK, DA &
AC) 2DPq. × DA ÷ {AC × CP}, adeoq; ad 2DP ut DP × DA ad PC × AC; hoc est ut
resistentia ad gravitatem. Q. E. D.
_Corol. 2._ Unde si corpus de loco quovis D, data cum velocitate, secundum
rectam quamvis positione datam DP projiciatur; & resistentia Medii ipso
motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet.
Nam ex data velocitate datur latus rectum Parabolæ, ut notum est. Et
sumendo 2DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resistentiæ,
datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP × AC ad DP × DA in eadem illa
ratione Gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum A. Et inde datur Curva
DraF.
_Corol. 3._ Et contra, si datur curva DraF, dabitur & velocitas corporis &
resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex data ratione CP × AC ad DP ×
DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum
Parabolæ: & inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex
longitudine tangentis rL, datur & huic proportionalis velocitas, &
velocitati proportionalis resistentia in loco quovis r.
_Corol. 4._ Cum autem longitudo 2DP sit ad latus rectum Parabolæ ut
gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Velocitate augeatur resistentia
in eadem ratione, at latus rectum Parabolæ augeatur in ratione illa
duplicata: patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeoq;
velocitati semper proportionalem esse, neq; ex angulo CDP mutato augeri vel
minui, nisi mutetur quoq; velocitas.
[Illustration]
_Corol. 5._ Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phænomenis
quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus
projicitur. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem cum
velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum
literarum locis subintellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in
horizontale planum DC. Tum, assumpta quacunq; longitudine pro DP vel Dp,
fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione qualibet, &
exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem,
ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de
ratione Ff ÷ DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem per
experimentum inventa, & exponatur differentia per perpendiculum MN. Idem
fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistentiæ ad gravitatem
rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiæ
affirmativæ ad unam partem rectæ SM, & negativæ ad alteram; & per puncta N,
N, N agatur curva regularis NNN secans rectam SMMM in X, & erit SX vera
ratio resistentiæ ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione
colligenda est longitudo DF per calculum; & longitudo quæ sit ad assumptam
longitudinem DP ut modo inventa longitudo DF ad longitudinem eandem per
experimentum cognitam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum
Curva Linea DraF quam corpus describit, tum corporis velocitas &
resistentia in locis singulis.
_Scholium._
Cæterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis
Mathematica quam Naturalis. Obtinet hæc ratio quamproxime ubi corpora in
Mediis rigore aliquo præditis tardissime moventur. In Mediis autem quæ
rigore omni vacant (uti posthac demonstrabitur) corpora resistuntur in
duplicata ratione velocitatum. Actione corporis velocioris communicatur
eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris
velocitatis, adeoq; tempore æquali (ob majorem Medii quantitatem
perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, estq;
resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus
igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiæ.
* * * * *
SECT. II.
_De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum._
Prop. V. Theor. III.
_Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi
insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in
progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico
quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione
Geometrica inverse, & quod spatia sunt æqualia quæ singulis temporibus
describuntur._
[Illustration]
Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia Medii, &
resistentiæ proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in
particulas innumeras æquales dividatur, quadrata velocitatum singulis
temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia.
Sunto temporis particulæ illæ AK, KL, LM, &c. in recta CD sumptæ, &
erigantur perpendicula AB, Kk, Ll, Mm, &c. Hyperbolæ BklmG, centro C
Asymptotis rectangulis CD, CH descriptæ occurrentia in B, k, l, m, &c. &
erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB - Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim
AB - Kk ad AK ut Kk ad CA, adeoq; ut AB × Kk ad AB × CA. Unde cum AK & AB ×
CA dentur, erit AB - Kk ut AB × Kk; & ultimo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq.
Et simili argumento erunt Kk - Ll, Ll - Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum
igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differentiæ, & idcirco cum
quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiæ, similis erit
ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his
lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ
velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK
exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, &
longitudo primo tempore descripta per arcam AKkB, velocitates omnes
subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines
descriptæ per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per
summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam
partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM,
&c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes
illæ in eadem progressione, & velocitates AB, Kk, Ll, Mm, &c. in
progressione eadem inversa, atq; spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. æqualia.
Q. E. D.
_Corol. 1._ Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem
quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB;
velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium totum
descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon spatium quod
corpus aliquod eodem tempore AD, velocitate prima AB in Medio non
resistente describere posset, per rectangulum AB × AD.
_Corol. 2._ Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo
illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Medio non resistente simul
describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB × AD.
_Corol. 3._ Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio
æqualem esse vi uniformi centripetæ, quæ, in cadente corpore, tempore AC,
in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT
quæ tangat Hyperbolam in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT æqualis
erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata
tollere posset velocitatem totam AB.
_Corol. 4._ Et inde datur etiam proportio hujus resistentiæ ad vim
gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.
_Corol. 5._ Et viceversa, si datur proportio resistentiæ ad datam quamvis
vim centripetam, datur tempus AC, quo vis centripeta resistentiæ æqualis
generare possit velocitatem quamvis AB; & inde datur punctum B per quod
Hyperbola Asymptotis CH, CD describi debet; ut & spatium ABGD, quod corpus
incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quovis AD, in Medio
similari resistente describere potest.
Prop. VI. Theor. IV.
[Illustration]
_Corpora Sphærica homogenea & æqualia, resistentiis in duplicata
ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata,
temporibus quæ sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt
semper æqualia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales
totis._
Asymptotis rectangulis CD, CH descripta Hyperbola quavis BbEe secante
perpendicula AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates
initiales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd. Est ergo ut
Aa ad Dd ita (per Hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natura Hyperbolæ) CA ad
CD; & componendo, ita Ca ad Cd. Ergo areæ ABba, DEed, hoc est spatia
descripta æquantur inter se, & velocitates primæ AB, DE sunt ultimis ab,
de, & propterea (dividendo) partibus etiam suis amissis AB - ab, DE - de
proportionales. Q. E. D.
Prop. VII. Theor. V.
_Corpora Sphærica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum,
temporibus quæ sunt ut motus primi directe & resistentiæ primæ inverse,
amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent
temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia._
Namq; motuum partes amissæ sunt ut resistentiæ & tempora conjunctim. Igitur
ut partes illæ sint totis proportionales, debebit resistentia & tempus
conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut Motus directe &
resistentia inverse. Quare temporum particulis in ea ratione sumptis,
corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeoq;
retinebunt velocitates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem,
describent semper spatia quæ sunt ut velocitates primæ & tempora
conjunctim. Q. E. D.
_Corol. 1._ Igitur si æquivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione
diametrorum, Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti,
describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum
proportionales totis. Motus enim Globi cujusq; erit ut ejus velocitas &
Massa conjunctim, id est ut velocitas & cubus diametri; resistentia (per
Hypothesin) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatis conjunctim;
& tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe & ratione
posteriore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse; adeoq;
spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.
_Corol. 2._ Si æquivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera
diametrorum: Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti,
describendo spatia in sesquialtera ratione diametrorum inverse, amittent
partes motuum proportionales totis. Nam tempus augetur in ratione
resistentiæ diminutæ, & spatium augetur in ratione temporis.
_Corol. 3._ Et universaliter, si æquivelocia corpora resistuntur in ratione
dignitatis cujuscunq; diametrorum, spatia quibus Globi homogenei,
quibuscunq; cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales
totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata. Sunto
diametri D & E; & si resistentiæ sint ut D^n & E^n, spatia quibus amittent
partes motuum proportionales totis, erunt ut D^{3 - n} & E^{3 - n}. Igitur
describendo spatia ipsis D^{3 - n} & E^{3 - n} proportionalia, retinebunt
velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.
_Corol. 4._ Quod si Globi non sint homogenei, spatium a Globo densiore
descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim sub pari
velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc
Propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in
ratione temporis.
_Corol. 5._ Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio,
quod cæteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris
resistentiæ. Tempus enim (per hanc Propositionem) diminuetur in ratione
resistentiæ, & spatium in ratione temporis.
Lemma II.
_Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum generantium in
eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis._
Genitam voco quantitatem omnem quæ ex Terminis quibuscunq; in Arithmetica
per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum; in Geometria per
inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum
proportionalium absq; additione & subductione generatur. Ejusmodi
quantitates sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera
quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut indeterminatas &
instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic
considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine
momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu
affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave
tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitæ sunt
magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus
perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia
jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neq; enim spectatur in hoc Lemmate
magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco
momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas
etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ
quævis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem
cujusq; Generantis coefficiens est quantitas, quæ oritur applicando Genitam
ad hunc Terminum.