servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideoq;
si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel
progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in
Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.
Prop. XC. Prob. XLIV.
_Si ad singula circuli cujuscunq; puncta tendant vires centripetæ
decrescentes in quacunq; distantiarum ratione: invenire vim qua
corpusculum attrahitur ubivis in recta quæ ad planum circuli per
centrum ejus perpendicularis consistit._
[Illustration]
Centro A intervallo quovis AD, in plano cui recta AP perpendicularis est,
describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvis P
in eundem attrahitur. A circuli puncto quovis E ad corpus attractum P
agatur recta PE: In recta PA capiatur PF ipsi PE æqualis, & erigatur
Normalis FK, quæ sit ut vis qua punctum E trahit corpusculum P. Sitq; IKL
curva linea quam punctum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in
L. In PA capiatur PH æqualis PD, & erigatur perpendiculum HI curvæ prædictæ
occurrens in I; & erit corpusculi P attractio in circulum ut area AHIL
ducta in altitudinem AP. Q. E. I.
Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur
Pf ipsi Pe æqualis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad
se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus
P versus A est ut AP × FK ÷ PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P
versus A, ut annulus & AP × FK ÷ PE conjunctim; annulus autem iste est ut
rectangulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob
proportionales PE & AE, Ee & cE) æquatur rectangulo PE × cE seu PE × Ff;
erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE × Ff & AP × FK ÷
PE conjunctim, id est, ut contentum Ff × AP × FK, sive ut area FKkf ducta
in AP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui
centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut
area tota AHIKL ducta in AP. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum
ratione, hoc est, si sit FK ut 1 ÷ PF quad., atq; adeo area AHIKL ut {1 ÷
PA} - {1 ÷ PH}; erit attractio corpusculi P in circulum 1 - {PA ÷ PH}, id
est, ut AH ÷ PH.
_Corol. 2._ Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint
reciproce ut distantiarum dignitas quælibet D^n, hoc est, si sit FK ut 1 ÷
D^n, adeoq; area AHIKL ut {1 ÷ PA^{n - 1}} - {1 ÷ PH^{n - 1}}; erit
attractio corpusculi P in circulum ut {1 ÷ PA^{n - 2}} - {PA ÷ PH^{n - 1}}.
_Corol. 3._ Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & numerus n sit
unitate major; attractio corpusculi P in planum totum infinitum erit
reciproce ut PA^{n - 2}, propterea quod terminus alter PA ÷ PH^{n - 1}
evanescet.
Prop. XCI. Prob. XLV.
_Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta
singula tendunt vires centripetæ in quacunq; distantiarum ratione
decrescentes._
[Illustration]
In solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe AB. Circulo
quolibet RFS ad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus
diametro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per Prop.
XC.) longitudo FK vi qua corpusculum P in circulum illum attrahitur
proportionalis. Tangat autem punctum K curvam lineam LKI, planis extimorum
circulorum AL & BI occurrentem in A & B; & erit attractio corpusculi P in
solidum ut area LABI. Q. E. D.
_Corol. 1._ Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo ADEB circa axem
AB revoluto descriptus, & vires centripetæ in singula ejus puncta tendentes
sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio
corpusculi P in hunc Cylindrum ut BA - PE + PD. Nam ordinatim applicata FK
(per Corol. 1. Prop. XC.) erit ut 1 - PF ÷ PR. Hujus pars 1 ducta in
longitudinem AB, describit aream 1 × AB; & pars altera PF ÷ PR ducta in
longitudinem PB, describit aream 1 in {PE - AD} (id quod ex curvæ LKI
quadratura facile ostendi potest:) & similiter pars eadem ducta in
longitudinem PA describit aream 1 in PD - AD, ductaq; in ipsarum PB, PA
differentiam AB describit arearum differentiam 1 in {PE - PD}. De contento
primo 1 × AB auferatur contentum postremum 1 in PE - PD, & restabit area
LABI æqualis 1 in AB - PE + PD. Ergo vis huic areæ proportionalis est ut AB
- PE + PD.
[Illustration]
_Corol. 2._ Hinc etiam vis innotescit qua Sphærois AGBCD attrahit corpus
quodvis P, exterius in axe suo AB situm. Sit NKRM Sectio Conica cujus
ordinatim applicata ER, ipsi PE perpendicularis, æquetur semper longitudini
PD, quæ ducitur ad punctum illud D, in quo applicata ista Sphæroidem secat.
A Sphæroidis verticibus A, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula AK, BM
ipsis AP, BP æqualia respective, & propterea Sectioni Conicæ occurrentia in
K & M; & jungantur KM auferens ab eadem segmentum KMRK. Sit autem
Sphæroidis centrum S & semidiameter maxima SC: & vis qua Sphærois trahit
corpus P erit ad vim qua Sphæra, diametro AB descripta, trahit idem corpus,
ut
AS × CSq. - PS × KMRK AS cub.
--------------------- ad ---------.
PSq. + CSq. - ASq. 3PS quad.
Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum Sphæroidis.
[Illustration]
_Corol. 3._ Quod si corpusculum intra Sphæroidem in data quavis ejusdem
diametro collocetur; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod
facilius colligetur hoc argumento. Sit AGOF Sphærois attrahens, S centrum
ejus & P corpus attractum. Per corpus illud P agantur tum semidiameter SPA,
tum rectæ duæ quævis DE, FG Sphæroidi hinc inde occurrentes in D & E, F &
G: Sintq; PCM, HLN superficies Sphæroidum duarum interiorum, exteriori
similium & concentricarum, quarum prior transeat per corpus P & secet
rectas DE & FG in B & C, posterior secet easdem rectas in H, I & K, L.
Habeant autem Sphæroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc
inde interceptæ DP & BE, FP & CG, DH & IE, FK & LG sibi mutuo æquales;
propterea quod rectæ DE, PB & HI bisecantur in eodem puncto, ut & rectæ FG,
PC & KL. Concipe jam DPF, EPG designare Conos oppositos, angulis
verticalibus DPF, EPG infinite parvis descriptos, & lineas etiam DH, EI
infinite parvas esse; & Conorum particulæ Sphæroidum superficiebus abscissæ
DHKF, GLIE, ob æqualitatem linearum DH, EI, erunt ad invicem ut quadrata
distantiarum suarum a corpusculo P, & propterea corpusculum illud æqualiter
trahent. Et pari ratione, si superficiebus Sphæroidum innumerarum similium
concentricarum & axem communem habentium dividantur spatia DPF, EGCB in
particulas, hæ omnes utrinq; æqualiter trahent corpus P in partes
contrarias. Æquales igitur sunt vires coni DPF & segmenti Conici EGCB, &
per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiæ
omnis extra Sphæroidem intimam PCBM. Trahitur igitur corpus P a sola
Sphæroide intima PCBM, & propterea (per Corol. 3. Prop. LXXII.) attractio
ejus est ad vim, qua corpus A trahitur a Sphæroide tota AGOD, ut distantia
PS ad distantiam AS. Q. E. I.
Prop. XCII. Prob. XLVI.
_Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium
centripetarum in ejus puncta singula tendentium._
E corpore dato formanda est Sphæra vel Cylindrus aliave figura regularis,
cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens (per Prop.
LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda
est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum
inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum, quam
invenire oportuit.
Prop. XCIII. Theor. XLVII.
_Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infinitum,
constet ex particulis æqualibus æqualiter attractivis, quarum vires in
recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum
plusquam quadraticæ, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani
partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in
recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis,
cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor
quam Index potestatis distantiarum._
[Illustration]
_Cas. 1._ Sit LGl planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex
parte plani hujus versus I, inq; plana innumera mHM, nIN &c. ipsi GL
parallela resolvatur. Et primo collocetur corpus attractum C extra solidum.
Agatur autem CGHI planis illis innumeris perpendicularis, & decrescant
vires attractivæ punctorum solidi in ratione potestatis distantiarum, cujus
index sit numerus n ternario non minor. Ergo (per Corol. 3. Prop. XC) vis
qua planum quodvis mHM trahit punctum C est reciproce ut CH^{n - 2}. In
plano mHM capiatur longitudo HM ipsi CH^{n - 2} reciproce proportionalis, &
erit vis illa ut HM. Similiter in planis singulis lGL, nIN, oKO &c.
capiantur longitudines GL, IN, KO &c. ipsis CG^{n - 2}, CI^{n - 2}, CK^{n -
2} &c. reciproce proportionales; & vires planorum eorundem erunt ut
longitudines captæ, adeoq; summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis
solidi totius ut area GLOK in infinitum versus OK producta. Sed area illa
per notas quadraturarum methodos est reciproce ut CG^{n - 3}, & propterea
vis solidi totius est reciproce ut CG^{n - 3} Q. E. D.
_Cas. 2._ Collocetur jam corpusculum C ex parte plani lGL intra solidum, &
capiatur distantia CK æqualis distantiæ CG. Et solidi pars LGloKO, planis
parallelis lGL, oKO terminata, corpusculum C in medio situm nullam in
partem trahet, contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per
æqualitatem tollentibus. Proinde corpusculum C sola vi solidi ultra planum
OK siti trahitur. Hæc autem vis (per Casum primum) est reciproce ut CK^{n -
3}, hoc est (ob æquales CG, CK) reciproce ut CG^{n - 3}. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis parallelis LG, IN
utrinq; terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subducendo de vi
attractiva solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris
NIKO, in infinitum versus KO productæ.
_Corol. 2._ Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus
collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti,
rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet
quam proxime in ratione potestatis CG^{n - 3}.
_Corol. 3._ Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat
corpusculum e regione medii illius plani, & distantia inter corpusculum &
planum collata cum dimensionibus corporis attrahentis perexigua sit,
constet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires
attractivæ decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatæ
distantiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in
ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index
ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex particulis
constante, quarum vires attractivæ decrescunt in ratione potestatis
triplicatæ distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu,
attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo,
semper est infinite major quam attractio partis citerioris.
_Scholium._
Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, & ex data
lege attractionis quæratur motus corporis: Solvetur Problema quærendo (per
Prop. XXVII.) motum corporis recta descendentis ad hoc planum, & (per Legum
Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem
plano parallelas facto. Et contra, si quæratur Lex attractionis in planum
secundum lineas perpendiculares factæ ea conditione ut corpus attractum in
data quacunq; curva linea moveatur, solvetur Problema operando ad exemplum
Problematis tertii.
Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series
convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur
longitudo B, quæ sit ut basis dignitas quælibet A^{m÷n}; & quæratur vis qua
corpus, secundum positionem ordinatim applicatæ, vel in basem attractum vel
a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata
termino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri parte quam
minima O, & ordinatim applicatam {A + O}^{m÷n} resolvo in Seriem infinitam
A^{m÷n} + m ÷ n OA^{{m - n}÷n} + {mm - mn} ÷ 2nn O^2 A^{{m - 2n}÷n} &c.
atq; hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino {mm -
mn} ÷ 2nn O^2 A^{(m - 2n)÷n} vim proportionalem esse suppono. Est igitur
vis quæsita ut {mm - mn} ÷ nn A^{(m - 2n)÷n}, vel quod perinde est, ut {mm
- mn} ÷ nn B^{(m - 2n)÷m}. Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat,
existente m = 2, & n = 1: fiet vis ut data 2B^0, adeoq; dabitur. Data
igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodum _Galilæus_
demonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente m
= 0 - 1, & n = 1; fiet vis ut 2B^3: adeoq; vi, quæ sit ut cubus ordinatim
applicatæ, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hujusmodi
Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.
* * * * *
SECT. XIV.
_De motu corporum minimorum, quæ viribus centripetis ad singulas magni
alicujus corporis partes tendentibus agitantur._
Prop. XCIV. Theor. XLVIII.
[Illustration]
_Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrinq; terminato,
distinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium
attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum,
neq; ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in
æqualibus ab utroq; plano distantiis ad eandem ipsius partem captis,
ubiq; eadem: dico quod sinus incidentiæ in planum alterutrum erit ad
sinum emergentiæ ex plano altero in ratione data._
_Cas. 1._ Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus in planum prius
Aa secundam lineam GH, ac toto suo per spatium intermedium transitu
attrahatur vel impellatur versus medium incidentiæ, eaq; actione describat
lineam curvam HI, & emergat secundum lineam IK. Ad planum emergentiæ Bb
erigatur perpendiculum IM, occurrens tum lineæ incidentiæ GH productæ in M,
tum plano incidentiæ Aa in R; & linea emergentiæ KI producta occurrat HM in
L. Centro L intervallo LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q,
quam MI productam in N; & primo si attractio vel impulsus ponatur
uniformis, erit (ex demonstratis _Galilæi_) curva HI Parabola, cujus hæc
est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM æquale sit
HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur in L. Unde si ad MI demittatur
perpendiculum LO, æquales erunt MO, OR; & additis æqualibus IO, ON, fient
totæ æquales MN, IR. Proinde cum IR detur, datur etiam MN, estq;
rectangulum NMI ad rectangulum sub latere recto & IM, hoc est, ad HMq., in
data ratione. Sed rectangulum NMI æquale est rectangulo PMQ, id est,
differentiæ quadratorum MLq. & PLq. seu LIq.; & HMq. datam rationem habet
ad sui ipsius quartam partem LMq.: ergo datur ratio MLq. - LIq. ad MLq., &
divisim, ratio LIq. ad MLq., & ratio dimidiata LI ad ML. Sed in omni
triangulo LMI, sinus angulorum sunt proportionales lateribus oppositis.
Ergo datur ratio sinus anguli incidentiæ LMR ad sinum anguli emergentiæ
LIR. Q. E. D.
[Illustration]
_Cas. 2._ Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis
terminata, AabB, BbcC &c. & agitetur vi quæ sit in singulis separatim
uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiæ
in planum primum Aa erit ad sinum emergentiæ ex plano secundo Bb, in data
ratione; & hic sinus, qui est sinus incidentiæ in planum secundum Bb, erit
ad sinum emergentiæ ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad
sinum emergentiæ ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: &
ex æquo sinus incidentiæ in planum primum ad sinum emergentiæ ex plano
ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla & augeatur numerus
in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem
quamcunq; assignatam continua reddatur; & ratio sinus incidentiæ in planum
primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum
dabitur. Q. E. D.
Prop. XCV. Theor. XLIX.
_Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad
ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiæ ad sinum
incidentiæ._
Capiantur AH, Id æquales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia
lineis incidentiæ & emergentiæ GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH æqualis
IK, & ad planum Aa demittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2.
distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c.
perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus
agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas,
& propterea corpus hoc motu conficiet æqualibus temporibus æqualia illa
secundum parallelas intervalla, quæ sunt inter lineam AG & punctum H,
interq; punctum I & lineam dK; hoc est, æqualibus temporibus describet
lineas GH, IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post
emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est
(respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiæ ad sinum incidentiæ.
Q. E. D.
Prop. XCVI. Theor. L.
_Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea:
dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ, reflectetur tandem, &
angulus reflexionis fiet æqualis angulo incidentiæ._
[Illustration]
Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus
Parabolicos, ut supra; sintq; arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineæ
incidentiæ GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiæ sit ad
radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus
incidentiæ ad sinum emergentiæ ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum
emergentiæ jam factum æqualem radio, angulus emergentiæ erit rectus, adeoq;
linea emergentiæ coincidet cum plano Dd. Perveniat corpus ad hoc planum in
puncto R; & quoniam linea emergentiæ coincidit cum eodem plano, perspicuum
est quod corpus non potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest
idem pergere in linea emergentiæ Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel
impellitur versus medium incidentiæ. Revertetur itaq; inter plana Cc, Dd
describendo arcum Parabolæ QRq, cujus vertex principalis (juxta demonstrata
_Galilæi_) est in R; secabit planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q;
dein pergendo in arcubus parabolicis qp, ph &c. arcubus prioribus QP, PH
similibus & æqualibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in p, h &c.
ac prius in P, H &c. emergetq; tandem eadem obliquitate in h, qua incidit
in H. Concipe jam planorum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui
& numerum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem
quamcunq; assignatam continua reddatur; & angulus emergentiæ semper angulo
incidentiæ æqualis existens, eidem etiamnum manebit æqualis. Q. E. D.
_Scholium._
[Illustration]
Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflexiones &
refractiones, factæ secundum datam Secantium rationem, ut invenit
_Snellius_, & per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit
_Cartesius_. Namq; Lucem successive propagari & spatio quasi decem
minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam constat per Phænomena
Satellitum _Jovis_, Observationibus diversorum Astronomorum confirmata.
Radii autem in aere existentes (uti dudum _Grimaldus_, luce per foramen in
tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quoq; expertus sum) in
transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos (quales
sunt nummorum ex auro, argento & ære cusorum termini rectanguli circulares,
& cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum
corpora, quasi attracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illo
propius accedunt ad corpora incurvantur magis, quasi magis attracti, ut
ipse etiam diligenter observavi. In figura designat s aciem cultri vel
cunei cujusvis AsB; & gowog, fnvnf, emtme, dlsld sunt radii, arcubus owo,
nvn, mtm, lsl versus cultrum incurvati; idq; magis vel minus pro distantia
eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra
cultrum, debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in
aere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in vitrum. Fit
igitur refractio, non in puncto incidentiæ, sed paulatim per continuam
incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum,
partim (ni fallor) in vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in radiis
ckzkc, biyib, ahxha incidentibus ad r, q, p, & inter k & z, i & y, h & x
incurvatis, delineatum est. Igitur ob analogiam quæ est inter propagationem
radiorum lucis & progressum corporum, visum est Propositiones sequentes in
usus opticos subjungere; interea de natura radiorum (utrum sint corpora
necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis
radiorum persimiles solummodo determinans.
Prop. XCVII. Prob. XLVII.
_Posito quod sinus incidentiæ in superficiem aliquam sit ad sinum
emergentiæ in data ratione, quodq; incurvatio viæ corporum juxta
superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum
considerari possit; determinare superficiem quæ corpuscula omnia de
loco dato successive manantia convergere faciat ad alium locum datum._
[Illustration]
Sit A locus a quo corpuscula divergunt; B locus in quem convergere debent;
CDE curva linea quæ circa axem AB revoluta describat superficiem quæsitam;
D, E curvæ illius puncta duo quævis; & EF, EG perpendicula in corporis vias
AD, DB demissa. Accedat punctum D ad punctum E; & lineæ DF qua AD augetur,
ad lineam DG qua DB diminuitur, ratio ultima erit eadem quæ sinus
incidentiæ ad sinum emergentiæ. Datur ergo ratio incrementi lineæ AD ad
decrementum lineæ DB; & propterea si in axe AB sumatur ubivis punctum C,
per quod curva CDE transire debet, & capiatur ipsius AC incrementum CM, ad
ipsius BC decrementum CN in data ratione; centrisq; A, B, & intervallis AM,
BN describantur circuli duo se mutuo secantes in D: punctum illud D tanget
curvam quæsitam CDE, eandemq; ubivis tangendo determinabit. Q. E. I.
_Corol. 1._ Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc
migret ad alteras partes puncti C, habebuntur figuræ illæ omnes quas
_Cartesius_ in Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum
inventionem cum _Cartesius_ maximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit
hic propositione exponere.
[Illustration]
_Corol. 2._ Si corpus in superficiem quamvis CD, secundum lineam rectam AD
lege quavis ductam incidens, emergat secundum aliam quamvis rectam DK, & a
puncto C duci intelligantur lineæ curvæ CP, CQ ipsis AD, DK semper
perpendiculares: erunt incrementa linearum PD, QD, atq; adeo lineæ ipsæ PD,
QD, incrementis istis genitæ, ut sinus incidentiæ & emergentiæ ad invicem:
& contra.
Prop. XCVIII. Prob. XLVIII.
_Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacunq;
attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A
exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam EF,
quæ corpora illa ad locum datum B convergere faciat._
Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E, puncto D utcunq;
assumpto. Et posito sinu incidentiæ in superficiem primam ad sinum
emergentiæ ex eadem, & sinu emergentiæ e superficie secunda ad sinum
incidentiæ in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc
tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M - N ad N, tum AD ad H ut sit AH æqualis
AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Junge KB, & centro D
intervallo DH describe circulum occurrentem KB productæ in L, ipsiq; DL
parallelam age BF: & punctum F tanget lineam EF, quæ circa axem AB revoluta
describet superficiem quæsitam. Q. E. F.
Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & lineas ER, ES ipsis
FB, FD ubiq; perpendiculares esse, adeoq; QS ipsi CE semper æqualem; & erit
(per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut M ad N, adeoq; ut DL ad DK vel FB
ad FK; & divisim ut DL - FB seu PH - PD - FB ad FD seu FQ - QD; & composite
ut HP - FB ad FQ, id est (ob æquales HP & CG, QS & CE) CE + BG - FR ad CE -
FS. Verum (ob proportionales BG ad CE & M - N ad N) est etiam CE + BG ad CE
ut M ad N: adeoq; divisim FR ad FS ut M ad N, & propterea per Corol. 2.
Prop. XCVII. superficies EF cogit corpus in se secundum lineam DF incidens
pergere in linea FR, ad locum B. Q. E. D.
_Scholium._