axis Sphæræ per centrum corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus
Sphæra secatur, huic axi perpendicularia, & hinc inde æqualiter distantia a
centro Sphæræ; Gg intersectiones planorum & axis, & H punctum quodvis in
plano EF. Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH
exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secundum lineam PG,
seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igitur punctorum omnium in plano EF,
hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est
ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano
ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P
trahitur versus centrum S, est ut planum illud ductum in distantiam suam
Pg; sive ut huic æquale planum EF ductum in distantiam illam Pg; & summa
virium plani utriusq; ut planum EF ductum in summam distantiarum PG + Pg,
id est, ut planum illud ductum in duplam centri & corpusculi distantiam PS,
hoc est, ut duplum planum EF ductum in distantiam PS, vel ut summa æqualium
planorum EF + ef ducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires
omnium planorum in Sphæra tota, hinc inde æqualiter a centro Sphæræ
distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam PS, hoc est, ut
Sphæra tota ducta in distantiam centri sui S a corpusculo P. Q. E. D.
_Cas. 2._ Trahat jam corpusculum P Sphæram ACBD. Et eodem argumento
probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit ut distantia PS.
Q. E. D.
_Cas. 3._ Componatur jam Sphæra altera ex corpusculis innumeris P; &
quoniam vis, qua corpusculum unumquodq; trahitur, est ut distantia
corpusculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæram eandem, atq; adeo eadem
est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphæræ; vis tota qua
corpuscula omnia in Sphæra secunda trahuntur, hoc est, qua Sphæra illa tota
trahitur, eadem erit ac si Sphæra illa traheretur vi prodeunte de
corpusculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis est
distantiæ inter centra Sphærarum. Q. E. D.
_Cas. 4._ Trahant Sphæræ se mutuo, & vis geminata proportionem priorem
servabit. Q. E. D.
_Cas. 5._ Locetur jam corpusculum p intra Sphæram ACBD, & quoniam vis plani
ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; & vis
contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex
utraq; composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa æqualium
planorum ducta in semissem differentiæ distantiarum, id est, ut summa illa
ducta in pS, distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Et simili argumento
attractio planorum omnium EF, ef in Sphæra tota, hoc est attractio Sphæræ
totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphæra tota, ducta in pS
distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Q. E. D.
_Cas. 6._ Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphæra nova intra
Sphæram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive
simplex Sphæræ unius in alteram, sive mutua utriusq; in se invicem, erit ut
distantia centrorum pS. Q. E. D.
Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII.
_Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq;
dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam
omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis attractiva
puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota
qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit proportionalis distantiæ
inter centra Sphærarum._
Demonstratur ex Propositione præcedente, eodem modo quo Propositio LXXVII.
ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.
_Corol._ Quæ superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa
centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes
fiunt vi Corporum Sphæricorum, conditionis jam descriptæ, suntq; corpora
attracta Sphæræ conditionis ejusdem.
_Scholium._
Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires
centripetæ decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in
distantiarum ratione simplici; efficientes in utroq; Casu ut corpora
gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphæricorum vires
centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum
seipsis. Quod est notatu dignum. Casus cæteros, qui conclusiones minus
elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos
methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.
Lemma XXIX.
_Si describantur centro S circulus quilibet AEB,_ (Vide Fig. Prop.
sequentis) _& centro P circuli duo EF, ef, secantes priorem in E, e,
lineamq; PS in F, f; & ad PS demittantur perpendicula ED, ed: dico quod
si distantia arcuum EF, ef in infinitum minui intelligatur, ratio
ultima lineæ evanescentis Dd ad lineam evanescentem Ff ea sit, quæ
lineæ PE ad lineam PS._
Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quæ cum arcu evanescente
Ee coincidit, producta occurrat rectæ PS in T; & ab S demittatur in PE
normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee, ut DT ad ET
seu DE ad ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem.
VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex æquo Dd ad Ff ut DE
ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS. Q. E. D.
Prop. LXXIX. Theor. XXXIX.
_Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens
EFfe, convolutione sui circa axem PS, describat solidum Sphæricum
concavo-convexum, ad cujus particulas singulas æquales tendant æquales
vires centripetæ: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum
situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi DEq. × Ff &
ratione vis qua particula data in loco Ff traheret idem corpusculum._
[Illustration]
Nam si primo consideremus vim superficiei Sphæricæ FE, quæ convolutione
arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superficiei pars
annularis, convolutione arcus rE genita, ut lineola Dd, manente Sphæræ
radio PE, (uti demonstravit Archimedes in Lib. de Sphæra & Cylindro.) Et
hujus vis secundum lineas PE vel Pr undiq; in superficie conica sitas
exercita, ut hæc ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola Dd,
vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphæræ radio PE & lineola
illa Dd: at secundum lineam PS ad centrum S tendentem minor, in ratione PD
ad PE, adeoq; ut PD × Dd. Dividi jam intelligatur linea DF in particulas
innumeras æquales, quæ singulæ nominentur Dd; & superficies FE dividetur in
totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD × Dd, hoc
est, cum lineolæ omnes Dd sibi invicem æquentur, adeoq; pro datis haberi
possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut ½PFq. - ½PDq. sive
½PEq. - ½PDq. vel ½DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data ½Dd, ut
DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe
vis exercita in corpusculum P ut DEq. × Ff: puta si detur vis quam
particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si
vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq. × Ff & vis illa
non data conjunctim. Q. E. D.
Prop. LXXX. Theor. XL.
_Si ad Sphæræ alicujus AEB, centro S descriptæ, particulas singulas
æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axem AB, in quo
corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctis singulis D
perpendicula DE, Sphæræ occurrentia in E, & in ipsis capiantur
longitudines DN, quæ sint ut quantitas DEq. × PS ÷ PE & vis quam Sphæræ
particula sita in axe ad distantiam PE exercet in corpusculum P
conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus
Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ AB & linea curva ANB,
quam punctum N perpetuo tangit._
Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt,
concipe axem Sphæræ AB dividi in particulas innumeras æquales Dd, & Sphæram
totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas EFfe; & erigatur
perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit
corpusculum P est ut DEq. × Ff & vis particulæ unius ad distantiam PE vel
PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad
PS, & inde Ff æqualis PS × Dd ÷ PE; & DEq. × Ff æquale Dd in DEq. × PS ÷
PE, & propterea vis laminæ EFfe est ut Dd in DEq. × PS ÷ PE & vis particulæ
ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN × Dd,
seu area evanescens DNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P
exercitæ, ut areæ omnes DNnd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA.
Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem
semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PE: erit vis
tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.
_Corol. 2._ Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia
corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEq.: erit vis qua
corpusculum P a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.
_Corol. 3._ Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ
corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEqq.: erit vis qua
corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.
_Corol. 4._ Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ
particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut
{DEq. × PS} ÷ {PE × V}; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur
ut area ABNA.
Prop. LXXXI. Prob. XLI.
[Illustration]
_Stantibus jam positis, mensuranda est Area ABNA._
A puncto P ducatur recta PH Sphæram tangens in H, & ad axem PAB demissa
Normali HI, bisecetur PI in L; & erit (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq.
æquale PSq. + SEq. + 2PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem
triangulorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI. Ergo PEq. æquale est contento
sub PS & PS + SI + 2SD, hoc est, sub PS & 2LS + 2SD, id est, sub PS & 2LD.
Porro DE quad. æquale est SEq. - SDq. seu SEq. - LSq. + 2SLD - LDq. id est,
SLD - LDq. - ALB. Nam LSq. - SEq. seu LSq. - SAq. (per Prop. 6 Lib. 2.
Elem) æquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq; 2SLD - LDq. - ALB pro DEq. &
quantitas {DEq. × PS} ÷ {PE × V}, quæ secundum Corollarium quartum
Propositionis præcedentis est ut longitudo ordinatim applicatæ DN, resolvet
sese in tres partes
2SLD × PS LDq. × PS ALB × PS
-------- - -------- - --------:
PE × V PE × V PE × V
[Illustration]
ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetæ, & pro PE medium
proportionale inter PS & 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ
linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt.
Q. E. F.
_Exempl. 1._ Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit
reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2PS × LD pro PEq.,
& fiet DN ut SL - ½LD - ALB ÷ 2LD. Pone DN æqualem duplo ejus 2SL - LD -
ALB ÷ LD: & ordinatæ pars data 2SL ducta in longitudinem AB describet aream
rectangulam 2SL × AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem
longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel
decrescendo æquetur semper longitudini LD, describet aream {LBq. - LAq.} ÷
2, id est, aream SL × AB; quæ subducta de area priore 2SL × AB relinquit
aream SL × AB. Pars autem tertia ALB ÷ LD ducta itidem per motum localem
normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quæ
subducta de area SL × AB relinquet aream quæsitam ABNA. Unde talis emergit
Problematis constructio. Ad puncta L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb,
quorum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA æquetur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b
describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areæ quæsitæ
ABNA æqualem.
[Illustration]
_Exempl. 2._ Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit
reciproce ut cubus distantiæ, vel (quod perinde est) ut cubus ille
applicatus ad planum quodvis datum; scribe PE cub. ÷ 2ASq. pro V, dein 2PS
× LD pro PEq.; & fiet DN ut
SL × ASq. ASq. ALB × ASq.
-------- - ---- - ----------
PS × LD 2PS 2PS × LDq.
id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut
LSI ALB × SI
--- - 1/2SI - --------.
LD 2LDq.
Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima LSI ÷ LD generabit
aream Hyperbolicam; secunda ½SI aream ½AB × SI; tertia ALB × SI ÷ 2LDq.
aream
ALB × SI ALB × SI
-------- - --------,
2LA 2LB
id est ½AB × SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit
area quæsita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L,
A, S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI æquetur, perq;
punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens
perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2ASI subductum de area
Hyperbolica AasbB relinquet aream quæsitam ABNA.
_Exempl. 3._ Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens,
decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribe PE^4 ÷
2AS^3 pro V, dein [sqrt]2PS × LD pro PE, & fiet DN ut
SL × SI^{3/2} SI^{3/2} ALB × SI^{3/2}
------------------ - ------------------- - -------------------.
[sqrt]2 × LD^{3/2} 2[sqrt]2 × LD^{1/2} 2[sqrt]2 × LD^{5/2}
Cujus tres partes ductæ in longitudinem AB, producunt Areas totidem, _viz._
[sqrt]2 × SL × SI^{3/2} [sqrt]2 × SL × SI^{3/2}
----------------------- - -----------------------,
LA^{1/2} LB^{1/2}
LB^{1/2} × SI^{3/2} - LA^{1/2} - SI^{3/2}
----------------------------------------- &
[sqrt]2
ALB × SI^{3/2} ALB × SI^{3/2}
------------------- - -------------------.
3[sqrt]2 × LA^{3/2} 3[sqrt]2 × LB^{3/2}
Et hæ post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt
8SI cub. ÷ 3LI. Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphæræ centrum
trahitur, est ut SI cub. ÷ PI, id est reciproce ut PS cub. × PI. Q. E. I.
Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram,
sed expeditius per Theorema sequens.
Prop. LXXXII. Theor. XLI.
_In Sphæra centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA, SP
continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram in loco
quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in loco P,
in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS
& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis P & I, ad
centrum tendentium._
[Illustration]
Ut si vires centripetæ particularum Sphæræ sint reciproce ut distantiæ
corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphæra
tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratione composita ex dimidiata
ratione distantiæ SI ad distantiam SP & ratione dimidiata vis centripetæ in
loco I, a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in loco P
ab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata
distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hæ duæ rationes dimidiatæ
componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphæra
tota factæ æquantur. Simili computo, si vires particularum Sphæræ sunt
reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in I
sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphæræ semidiametrum SA: Si
vires illæ sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones
in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut
SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa
fuit reciproce ut PS cub. × PI, attractio in I erit reciproce ut SA cub. ×
PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in
infinitum. Theorema vero sic demonstratur.
Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P,
ordinatim applicata DN inventa fuit ut {DEq. × PS} ÷ {PE × V}. Ergo si
agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet
ut {DEq. × IS} ÷ {IE × V}. Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis E
manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PE^n ad IE^n, (ubi
numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatæ illæ fient ut
{DEq. × PS} ÷ {PE × PE^n} & {DEq. × IS} ÷ {IE × IE^n}, quarum ratio ad
invicem est ut PS × IE × IE^n ad IS × PE × PE^n. Quoniam ob similia
triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE
scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS × IE^n ad SA ×
PE^n. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IE^n ad PE^n
dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS. Ergo ordinatæ, & propterea
areæ quas ordinatæ describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in
ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.
Prop. LXXXIII. Prob. XLII.
[Illustration]
_Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ locatum ad ejus
segmentum quodcunq; attrahitur._
Sit P corpus in centro Sphæræ, & RBSD segmentum ejus plano RDS & superficie
Sphærica RBS contentum. Superficie Sphærica EFG centro P descripta secetur
DB in F, ac distinguatur segmentum in partes BREFGS, FEDG. Sit autem
superficies illa non pure Mathematica, sed Physica, profunditatem habens
quam minimam. Nominetur ista profunditas O, & erit hæc superficies (per
demonstrata Archimedis) ut PF × DF × O. Ponamus præterea vires attractivas
particularum Sphæræ esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus
Index est n; & vis qua superficies FE trahit corpus P erit ut DF × O ÷
PF^{n - 1}. Huic proportionale sit perpendiculum FN ductum in O; & area
curvilinea BDLIB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum
continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD trahit
corpus P. Q. E. I.
Prop. LXXXIV. Prob. XLIII.
_Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphæræ in axe segmenti
cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento._
A segmento EBK trahatur corpus P (_Vide Fig. Prop. 79. 80. 81._) in ejus
axe ADB locatum. Centro P intervallo PE describatur superficies Sphærica
EFK, qua distinguatur segmentum in partes duas EBKF & EFKD. Quæratur vis
partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop.
LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD. Q. E. I.
_Scholium._
Explicatis attractionibus corporum Sphæricorum, jam pergere liceret ad
leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter
constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum
spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi
corporum, deq; motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis
aliqualem usum, subjungere.
* * * * *
SECT. XIII.
_De Corporum etiam non Sphæricorum viribus attractivis._
Prop. LXXXV. Theor. XLII.
_Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe
fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem:
vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt
in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis._
Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis;
attractio versus corpus Sphæricum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit
reciproce ut quadratum distantiæ attracti corporis a centro Sphæræ, haud
sensibiliter augebitur ex contactu; atq; adhuc minus augebitur ex contactu,
si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore.
Patet igitur Propositio de Sphæris attractivis. Et par est ratio Orbium
Sphæricorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res
constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum
attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per
Prop. LXX.) tollantur, ideoq; vel in ipso contactu nullæ sunt. Quod si
Sphæris hisce Orbibusq; Sphæricis partes quælibet a loco contactus remotæ
auferantur, & partes novæ ubivis addantur: mutari possunt figuræ horum
corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additæ vel subductæ,
cum sint a loco contactus remotæ, augebunt notabiliter attractionis
excessum qui ex contactu oritur. Constat igitur Propositio de corporibus
figurarum omnium. Q. E. D.
Prop. LXXXVI. Theor. XLIII.
_Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in
recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam
triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior
erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo
separantur ab invicem._
Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphæram
trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in
Exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa & Theorema XLI
inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes
concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra
in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphæris & Orbibus
ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora
attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit Propositio de
corporibus universis. Q. E. D.
Prop. LXXXVII. Theor. XLIV.
_Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia æqualiter attractiva
constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad
se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in
corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in
eorum particulas totis proportionales & in totis similiter positas._
Nam si corpora distinguantur in particulas, quæ sint totis proportionales &
in totis similiter sitæ; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius
corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero,
ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in
alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio
in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D.
_Corol. 1._ Ergo si vires attractivæ particularum, augendo distantias
corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis
distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora
directe & distantiarum dignitates illæ inverse. Ut si vires particularum
decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis,
corpora autem sint ut A cub. & B cub. adeoq; tum corporum latera cubica,
tum corpusculorum attractorum distantiæ a corporibus, ut A & B:
attractiones acceleratrices in corpora erunt ut A cub. ÷ A quad. & B cub. ÷
B quad. id est, ut corporum latera illa cubica A & B. Si vires particularum
decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis;
attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut A cub. ÷ A cub. & B
cub. ÷ B cub. id est, æquales. Si vires decrescant in ratione
quadruplicata, attractiones in corpora erunt ut A cub. ÷ Aqq. & B cub. ÷
Bqq. id est, reciproce ut latera cubica A & B. Et sic in cæteris.
_Corol. 2._ Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt
corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium
particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti; si modo
decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum.
Prop. LXXXVIII. Theor. XLV.
_Si particularum æqualium corporis cujuscunq; vires attractivæ sint ut
distantiæ locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius
centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili &
æquali constantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis._
[Illustration]
Corporis RSTV particulæ A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus quæ, si
particulæ æquantur inter se, sint ut distantiæ AZ, BZ; sin particulæ
statuantur inæquales, sint ut hæ particulæ in distantias suas AZ, BZ
respective ductæ. Et exponantur hæ vires per contenta illa A × AZ & B × BZ.
Jungatur AB, & secetur ea in G ut sit AG ad BG ut particula B ad particulam
A; & erit G commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis A × AZ per
Legum Corol. 2. resolvitur in vires A × GZ & A × AG, & vis B × BZ in vires
B × GZ & B × BG. Vires autem A × AG & B × BG, ob proportionales A ad B & BG
ad AG, æquantur, adeoq;, cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo
destruunt. Restant vires A × GZ & B × GZ. Tendunt hæ ab Z versus centrum G,
& vim A + B × GZ componunt; hoc est, vim eandem ac si particulæ attractivæ
A & B consisterent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi
componentes.
Eodem argumento si adjungatur particula tertia C; & componatur hujus vis
cum vi A + B × GZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad commune
centrum gravitatis globi illius G & particulæ C; hoc est, ad commune
centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit ac si globus &
particula C consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi
componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota
particularum omnium corporis cujuscunq; RSTV ac si corpus illud, servato
gravitatis centro, figuram globi indueret. Q. E. D.
_Corol._ Hinc motus corporis attracti Z idem erit ac si corpus attrahens
RSTV esset Sphæricum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat,
vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in
Ellipsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis.
Prop. LXXXIX. Theor. XLVI.
_Si Corpora sint plura ex particulis æqualibus constantia, quarum vires
sunt ut distantiæ locorum a singulis: vis ex omnium viribus composita,
qua corpusculum quodcunq; trahitur, tendet ad trahentium commune
centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato
gravitatis centro communi, coirent & in globum formarentur._
Demonstratur eodem modo, atq; Propositio superior.