inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus
totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem
revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium
n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A^{nn÷mm -
3}, cujus Index est nn÷mm - 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est.
Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione
decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens deq; Apside discedens, si
cæperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem
minimam, sed descendet usq; ad centrum, describens curvam illam lineam de
qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens
vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad
Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in
eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro
decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside
discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel descendet ad
centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel
decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in
altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq; sed
ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad
Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad
centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam
triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad
Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa
triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1½ de Apside
summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si
fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1½ ad 1, adeoq; {nn ÷ mm} - 3 ualeat
1/64 - 3 vel 1/16 - 3 vel 1/4 - 3 vel 4/9 - 3, erit vis ut A^{1/64 - 3}
vel A^{1/16 - 3} vel A^{1/4 - 3} vel A^{4/9 - 3}, id est reciproce ut A^{3
- 1/64} vel A^{3 - 1/16} vel A^{3 - 1/4} vel A^{3 - 4/9}. Si corpus
singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut
1 ad 1, adeoq; A^{nn÷mm - 3} æqualis A^{-2} seu 1 ÷ A^2, & propterea
decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus
demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis,
vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem
redierit, erit m ad n ut 3/4 vel 2/3 vel 1/3 vel 1/4 ad 1, adeoq;
A^{nn÷mm - 3} æqualis A^{16/9 - 3} vel A^{9/4 - 3} vel A^{9 - 3} vel A^{16
- 3} & propterea Vis aut reciproce ut A^{11/9} vel A^{3/4}, aut directe ut
A^6 vel A^{13}. Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam
confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa
singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres,
erit m ad n ut 363gr. ad 360gr. adeoq; A^{nn÷mm - 3} erit æquale
A^{-265707÷131769}, & propterea Vis centripeta reciproce ut
A^{265707÷131769} seu A^{2-4/243}. Decrescit igitur Vis centripeta in
ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 60¾ propius ad
duplicatam quam ad triplicatam accedit.
_Corol. 2._ Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut
quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro
virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis
extranea; cognosci potest (per Exempla tertia) motus Apsidum qui ex vi illa
extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit
ut 1 ÷ A^2, & vis extranea ablata ut cA, adeoq; vis reliqua ut {A - cA^4} ÷
A^3; erit (in Exemplis tertiis) A æqualis 1 & n æqualis 4, adeoq; angulus
revolutionis inter Apsides æqualis angulo graduum 180[sqrt]{{1 - c} ÷ {1 -
4c}}. Ponatur vim illam extraneam esse 357,45 vicibus minorem quam vis
altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 100 ÷ 35745, &
180[sqrt]{{1 - c} ÷ {1 - 4c}} evadet 180[sqrt]{35645 ÷ 35345} seu 180,7602,
id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu
angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato
ad Apsidem summam redibit: adeoq; Apsis summa singulis revolutionibus
progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.
Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium
transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam
Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus &
descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunq; datis, quam
perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscunq; centra
petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana
autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent.
Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt
quasq; tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra
corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus
corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.
* * * * *
SECT. X.
_De Motu Corporum in Superficiebus datis, deq; Funipendulorum Motu
reciproco._
Prop. XLVI. Prob. XXXII.
_Posita cujuscunq; generis vi centripeta, datoq; tum virium centro tum
plano quocunq; in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum
curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data
cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi._
[Illustration]
Sit S centrum virium, SC distantia minima centri hujus a plano dato, P
corpus de loco P secundum rectam PZ egrediens, Q corpus idem in Trajectoria
sua revolvens, & PQR Trajectoria illa in plano dato descripta, quam
invenire oportet. Jungantur CQ, QS, & si in QS capiatur SV proportionalis
vi centripetæ qua corpus trahitur versus centrum S, & agatur VT quæ sit
parallela CQ & occurrat SC in T: Vis SV resolvetur (per Legum Corol. 2.) in
vires ST, TV; quarum ST trahendo corpus secundum lineam plano
perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TV,
agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus punctum C in
plano datum, adeoq; facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis ST
tolleretur, & corpus vi sola TV revolveretur circa centrum C in spatio
libero. Data autem vi centripeta TV qua corpus Q in spatio libero circa
centrum datum C revolvitur, datur per Prop. XLII. tum Trajectoria PQR quam
corpus describit, tum locus Q in quo corpus ad datum quodvis tempus
versabitur, tum deniq; velocitas corporis in loco illo Q; & contra.
Q. E. I.
Prop. XLVII. Theor. XV.
_Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a
centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia describent
Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus peragent; quæq; moventur
in lineis rectis ultro citroq; discurrendo, singulas eundi & redeundi
periodos iisdem temporibus absolvent._
Nam stantibus quæ in superiore Propositione; vis SV qua corpus Q in plano
quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ; atq;
adeo ob proportionales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur versus
punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ. Vires igitur, quibus
corpora in plano PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratione
distantiarum æquales viribus quibus corpora unaquaq; trahuntur versus
centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem
figuris in plano quovis PQR circa punctum C, atq; in spatiis liberis circa
centrum S, adeoq; (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.)
temporibus semper æqualibus, vel describent Ellipses in plano illo circa
centrum C, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per centrum
C in plano illo ductis, complebunt. Q. E. D.
_Scholium._
His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis.
Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per
centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas
describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus
perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo
currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem
transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ
superficies genitæ sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his
lineis curvis considerare.
Prop. XLVIII. Theor. XVI.
_Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum
revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris
curvilinei, quod punctum quodvis in rotæ perimetro datum, ex quo globum
tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui
globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi &
rotæ ad semidiametrum globi._
Prop. XLIX. Theor. XVII.
_Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat &
revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris
curvilinei quod punctum quodvis in Rotæ Perimetro datum, ex quo globum
tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui
globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia
diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi._
[Illustration]
Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei insistens, E centrum rotæ, B
punctum contactus, & P punctum datum in perimetro rotæ. Concipe hanc Rotam
pergere in circulo maximo ABL ab A per B versus L, & inter eundum ita
revolvi ut arcus AB, PB sibi invicem semper æquentur, atq; punctum illud P
in Perimetro rotæ datum interea describere viam curvilineam AP. Sit autem
AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in A, & erit
viæ hujus longitudo AP ad duplum sinum versum arcus ½PB, ut 2CE ad CB. Nam
recta CE (si opus est producta) occurrat Rotæ in V, junganturq; CP, BP, EP,
VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tangant PH, VH circulum in P
& V concurrentes in H, secetq; PH ipsam VF in G, & ad VP demittantur
Normales GI, HK. Centro item C & intervallo quovis describatur circulus nom
secans rectam CP in n, Rotæ perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m,
centroq; V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q.
Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus B, manifestum
est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam Rotæ
punctum P describit, atq; adeo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto
P. Circuli nom radius sensim auctus æquetur tandem distantiæ CP, & ob
similitudinem figuræ evanescentis Pnomq & figuræ PFGVI, ratio ultima
lineolarum evanescentium Pm, Pn, Po, Pq, id est ratio incrementorum
momentaneorum curvæ AP, rectæ CP & arcus circularis BP, ac decrementi rectæ
VP, eadem erit quæ linearum PV, PF, PG, PI respective. Cum autem VF ad CF &
VH ad CV perpendiculares sunt, anguliq; HVG, VCF propterea æquales; &
angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet
angulum VEP ad duos rectos, adeoq; angulo CEP æqualis est, similia erunt
triangula VHG, CEP; & inde fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI
ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequentibus ut
CB ad 2CE ita PI ad PV. Est igitur decrementum lineæ VP, id est incrementum
lineæ BV - VP, ad incrementum lineæ curvæ AP in data ratione CB ad 2CE, &
propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudines BV - VP & AP incrementis illis
genitæ sunt in eadem ratione. Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli
VPB seu ½BEP, adeoq; BV - VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in
hac Rota cujus radius est ½BV, erit BV - VP duplus sinus versus arcus ½BP.
Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½BP ut 2CE ad CB. Q. E. D.
Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in
posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.
_Corol. 1._ Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisecetur ea in S,
erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quæ duplus est sinus anguli
VBP, existente EB radio) ut 2CE ad CB atq; adeo in ratione data.
_Corol. 2._ Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS æquabitur lineæ rectæ,
quæ est ad Rotæ diametrum BV ut 2CE ad CB.
_Corol. 3._ Ideoq; longitudo illa est ut rectangulum BEC, si modo Globi
detur semidiameter.
Prop. L. Prob. XXXIII.
[Illustration]
_Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data._
Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R &
punctis suis extremis Q & S superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur
CR bisecans arcum QS in O, & producatur ea ad A, ut sit CA ad CO ut CO ad
CR. Centro C intervallo CA describatur Globus exterior ABD, & intra hunc
globum Rota, cujus diameter sit AO, describantur duæ semicycloides AQ, AS,
quæ globum interiorem tangant in Q & S & globo exteriori occurrant in A. A
puncto illo A, filo APT longitudinem AR æquante, pendeat corpus T, & ita
intra semicycloides AQ, AS oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a
perpendiculo AR, filum parte sui superiore AP applicetur ad semicycloidem
illam APS, versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum
flectatur, parteq; reliqua PT cui semicyclois nondum objicitur, protendatur
in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in Cycloide data QRS. Q. E. F.
Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum circulo QOS in V,
agaturq; CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e
punctis extremis P ac T, erigantur perpendicula PB, TW, occurrentia rectæ
CV in B & W. Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW,
abscindent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR æquales, atq;
adeo quod punctum B incidet in circulum ABD. Est igitur TP ad VP (duplum
sinum anguli VBP existente ½BV radio) ut BW ad BV, seu AO + OR ad AO, id
est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad OR proportionales,) ut CA
+ CO seu 2CE ad CA. Proinde per Corol. 1. Prop. XLIX. longitudo PT æquatur
Cycloidis arcui PS, & filum totum APT æquatur Cycloidis arcui dimidio APS,
hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX) longitudini AR. Et propterea vicissim
si filum manet semper æquale longitudini AR movebitur punctum T in Cycloide
QRS. Q. E. D.
_Corol._ Filum AR æquatur Cycloidis arcui dimidio APS.
Prop. LI. Theor. XVIII.
_Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrum C sit in locis
singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente
Corpus T oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis QRS:
dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt Tempora._
Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX &
jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut
distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX, quarum CX
impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistentiam
tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo
corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide;
manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici
proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV,
WV iisq; proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1.
Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT,
Apt de perpendiculo AR inæqualiter deductis & simul dimissis,
accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem
partes sub initio descriptæ ut accelerationes, hoc est ut totæ sub initio
describendæ, & propterea partes quæ manent describendæ & accelerationes
subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totæ; & sic
deinceps. Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitæ & partes
his velocitatibus descriptæ partesq; describendæ, semper ut totæ; &
propterea partes describendæ datam servantes rationem ad invicem simul
evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad
perpendiculum AR. Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R,
per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis
singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet
velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum æquales esse,
atq; adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæ
RS & RQ ad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & æquales,
pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus
semper peragent. Q. E. D.
Prop. LII. Prob. XXXIV.
_Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus
tum oscillationes totæ, tum singulæ oscillationum partes peraguntur._
[Illustration]
Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS æquante, describe
semicirculum HKMG semidiametro GK bisectum. Et si vis centripeta distantiis
locorum a centro proportionalis tendat ad centrum G, sitq; ea in perimetro
HIK æqualis vi centripetæ in perimetro globi QOS (_Vide Fig. Prop. L. &
LI._) ad ipsius centrum tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur
e loco supremo S, cadat corpus aliquod L ab H ad G: quoniam vires quibus
corpora urgentur sunt æquales sub initio & spatiis describendis TR, GL
semper proportionales, atq; adeo, si æquantur TR & LG, æquales in locis T &
L; patet corpora illa describere spatia ST, HL æqualia sub initio, adeoq;
subinde pergere æqualiter urgeri, & æqualia spatia describere. Quare, per
Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum ST est ad tempus
oscillationis unius, ut arcus HI (tempus quo corpus H perveniet ad L) ad
semicirculum HKM (tempus quo corpus H perveniet ad M.) Et velocitas
corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, (hoc
est velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu
incrementum momentaneum lineæ HL ad incrementum momentaneum lineæ HG,
arcubus HI, HK æquabili fluxu crescentibus) ut ordinatim applicata LI ad
radium GK, sive ut [sqrt]{SRq. - TRq.} ad SR. Unde cum in Oscillationibus
inæqualibus describantur æqualibus temporibus arcus totis Oscillationum
arcubus proportionales, habentur ex datis temporibus & velocitates & arcus
descripti in Oscillationibus universis. Quæ erant primo invenienda.
[Illustration]
Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inæqualibus & earum
semiarcubus æquales capiantur rectæ GH, gh, centrisq; G, g & intervallis
GH, gh describantur semicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hm
capiantur lineolæ æquales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz
circumferentiis occurrentes in Z & z. Quoniam corpora pendula sub initio
motus versantur in circumferentia globi QOS, adeoq; a viribus æqualibus
urgentur in centrum, incipiuntq; directe versus centrum moveri, spatia
simul consecta æqualia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a
viribus iisdem in H & h, sintq; HY, hy spatia æqualia ipso motus initio
descripta, & arcus HZ, hz denotabunt æqualia tempora. Horum arcuum
nascentium ratio prima duplicata est eadem quæ rectangulorum GHY, ghy, id
est, eadem quæ linearum GH, gh adeoq; arcus capti in dimidiata ratione
semidiametrorum denotant æqualia tempora. Est ergo tempus totum in circulo
HKM, Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulo
hkm Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia HKM ad
medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli
alterius hkm, id est in dimidiata ratione diametri HM ad diametrum hm, hoc
est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primæ ad perimetrum Cycloidis
alterius, adeoq; tempus illud in Cycloide quavis est (per Corol. 3. Prop.
XLIX.) ut latus quadratum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotæ,
qua Cyclois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam &
semidiametrum globi. Q. E. I. Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.)
in dimidiata ratione longitudinis fili AR. Q. E. I.
Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam
earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis
perimetrorum locis sunt ut distantiæ locorum a communi globorum centro, hoc
est ut globorum semidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri &
perimetrorum partes similes, æqualia erunt tempora quibus perimetrorum
partes similes Oscillationibus similibus describuntur, & propterea
Oscillationes omnes erunt Isochronæ. Cum igitur Oscillationum tempora in
Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, atq; adeo (ob datam
AC) in dimidiata ratione numeri AR ÷ AC, id est in ratione integra numeri
[sqrt]{AR ÷ AC}; & hic numerus [sqrt]{AR ÷ AC} servata ratione AR ad AC (ut
fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, & propterea in globis
diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod
Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, atq; adeo in globis
omnibus concentricis sunt ut numerus [sqrt]{AR ÷ AC}, id est, in ratione
composita ex dimidiata ratione longitudinis fili AR directe & dimidiata
ratione semidiametri globi AC inverse. Q. E. I.
Deniq; si vires absolutæ diversorum globorum ponantur inæquales,
accelerationes temporibus æqualibus factæ, erunt ut vires. Unde si tempora
capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem
dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt æqualia quæ his
temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis & Cycloidibus
omnibus, quibuscunq; cum viribus absolutis factæ, sunt in ratione quæ
componitur ex dimidiata ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata
ratione distantiæ inter centrum Penduli & centrum globi inverse, &
dimidiata ratione vis absolutæ etiam inverse, id est, si vis illa dicatur
V, in ratione numeri [sqrt]{AR ÷ {AC × V}}. Q. E. I.
_Corol. 1._ Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum
tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotæ, qua Cyclois intra globum
describitur, diameter constituatur æqualis semidiametro globi, Cyclois
evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit
descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus
descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus
uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum
quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad tempus
semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½BC ad [sqrt]BEC.
_Corol. 2._ Hinc etiam consectantur quæ _D. C. Wrennus_ & _D. C. Hugenius_
de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in
infinitum, mutabitur ejus superficies Sphærica in planum, visq; centripeta
aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, & Cyclois
nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus
Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, æqualis evadet
quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum
describens; ut invenit _D. C. Wrennus_: Et pendulum inter duas ejusmodi
Cycloides in simili & æquali Cycloide temporibus æqualibus Oscillabitur, ut
demonstravit _Hugenius_. Sed & descensus gravium, tempore Oscillationis
unius, is erit quem _Hugenius_ indicavit.
Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratæ ad veram constitutionem
Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maximis describunt motu
clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis
Terra suspensa, in Cycloidibus intra globos Oscillari debent, ut
Oscillationes omnes evadant Isochronæ. Nam Gravitas (ut in Libro tertio
docebitur) decrescit in progressu a superficie Terræ, sursum quidem in
duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione
simplici.
Prop. LIII. Prob. XXXV.
_Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus
corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas
peragent._
[Illustration]
Oscilletur corpus T in curva quavis linea STRQ, cujus axis sit OR transiens
per virium centrum C. Agatur TX quæ curvam illam in corporis loco quovis T
contingat, inq; hac Tangente TX capiatur TY æqualis arcui TR. Nam longitudo
arcus illius ex figurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotescit. De
puncto Y educatur recta YZ Tangenti perpendicularis. Agatur CT
perpendiculari illi occurrens in Z, & erit vis centripeta proportionalis
rectæ TZ. Q. E. I.
Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ
captam ipsi proportionalem, resolvetur hæc in vires TY, YZ; quarum YZ
trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis
autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe
retardat. Proinde cum hæc sit ut via describenda TR, accelerationes
corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris)
partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illæ, &
propterea facient ut partes illæ simul describantur. Corpora autem quæ
partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent
totas. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pendens,
describat arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas
parallelas deorsum a vi aliqua, quæ sit ad vim uniformem gravitatis, ut
arcus TR ad ejus sinum TN: æqualia erunt Oscillationum singularum tempora.
Etenim ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea
TZ erit ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur
per longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscillationes evadent Isochronæ,
erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY æqualis ad arcus illius
sinum TN.
_Corol. 2._ Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum
conservandum impressæ ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota
deorsum semper sit ut linea quæ oritur applicando rectangulum sub arcu TR &
radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronæ.
Prop. LIV. Prob. XXXVI.
_Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus
corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq; curvis in plano
per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent._
[Illustration]
Descendat enim corpus de loco quovis S per lineam quamvis curvam STtR in
plano per virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS & dividatur eadem
in partes innumeras æquales, sitq; Dd partium illarum aliqua. Centro C,
intervallis CD, Cd describantur circuli DT, dt, Lineæ curvæ STtR
occurrentes in T & t. Et ex data tum lege vis centripetæ, tum altitudine CS
de qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine
CT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus describit lineolam Tt, est ut
lineolæ hujus longitudo (id est ut secans anguli tTC) directe, & velocitas
inverse. Tempori huic proportionalis sit ordinatim applicata DN ad rectam
CS per punctum D perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum Dd × DN,
hoc est area DNnd, eidem tempori proportionale. Ergo si SNn sit curva illa
linea quam punctum N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori
quo corpus descendendo descripsit lineam ST; proindeq; ex inventa illa area
dabitur tempus. Q. E. I.
Prop. LV. Theor. XIX.