circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centroq; eodem
describantur alii quivis circuli ID, KE trajectoriam secantes in I & K
rectamq; CV in D & E. Age tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N &
X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y. Sint autem puncta I & K
sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sitq; A
altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem
acquirat æqualem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quæ in
Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta,
est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæ ABFD, & triangulum ICK
tempori proportionale datur, adeoq; KN est reciproce ut altitudo IC, id
est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut Q ÷ A; quam
nominemus Z. Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q ut sit [sqrt]ABFD in
aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper [sqrt]ABFD ad Z ut IK ad
KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD - ZZ ad ZZ ut IN
quad. ad KN quad. adeoq; [sqrt]{ABFD - ZZ} ad Z ut IN ad KN, & propterea A
× KN æquale Q × IN ÷ [sqrt]{ABFD - ZZ}. Unde cum YX × XC sit ad A × KN in
duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX × XC æquale Q × IN × CX quad.
÷ AA [sqrt]{ABFD - ZZ}. Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db,
Dc ipsis Q ÷ 2[sqrt]{ABFD - ZZ} & Q × CX quad. ÷ 2 AA [sqrt]{ABFD - ZZ}
æquales respective, & describantur curvæ lineæ ab, cd quas puncta b, c
perpetuo tangunt; deq; puncto V ad lineam AC erigatur perpendiculum Vad
abscindens areas curvilineas VDba, VDdc, & erigantur etiam ordinatæ Ez, Ex:
quoniam rectangulum Db × IN seu DbzE æquale est dimidio rectanguli A × KN,
seu triangulo ICK; & rectangulum Dc × IN seu Dc × E æquale est dimidio
rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam arearum VDba, VIC
æquales semper sunt nascentes particulæ DbzE, ICK, & arearum VDcd, VCX
æquales semper sunt nascentes particulæ DExc, XCY, erit area genita VDba
æqualis areæ genitæ, VIC, adeoq; tempori proportionalis, & area genita VDdc
æqualis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus
discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur
corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, eiq; æqualis Sector VCX una cum
ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & altitudine CI datur locus I, in
quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I.
_Corol. 1._ Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides
Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta
illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in
Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectæ IK & NK æquantur, adeoq; ubi area
ABFD æqualis est ZZ.
_Corol. 2._ Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam
IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, nimirum capiendo
sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areæ ABFD.
[Illustration]
_Corol. 3._ Si centro C & vertice principali V describatur sectio quælibet
Conica VRS, & a quovis ejus puncto R agatur Tangens RT occurrens axi
infinite producto CV in puncto T; dein juncta CR ducatur recta CP, quæ
æqualis sit abscissæ CT, angulumq; VCP Sectori VCR proportionalem
constituat; tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiæ locorum
a centro reciproce proportionalis, & exeat corpus de loco V justa cum
velocitate secundum lineam rectæ CV perpendicularem: progredietur corpus
illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit; adeoq; si conica
sectio CVRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit,
ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus
quacunq; cum velocitate exeat de loco V, & perinde ut incæperit vel oblique
descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura CVRS vel
Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel
minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in
centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quæ invenitur
capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem, & longitudinem
CP longitudini CT æqualem: ut supra. Consequuntur hæc omnia ex Propositione
præcedente, per Curvæ cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis
facilem brevitatis gracia missam facio.
Prop. XLII. Prob. XXIX.
_Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data
cum velocitate secundum datam rectam egressi._
Stantibus quæ in tribus Propositionibus præcedentibus: exeat corpus de loco
I secundum lineolam IT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua
uniformi centripeta, de loco P cadendo acquirere posset in D: sitq; hæc vis
uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I, ut DR ad DF. Pergat autem
corpus versus k; centroq; C & intervallo Ck describatur circulus ke
occurrens rectæ PD in e, & erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzv, dcxw
ordinatim applicatæ em, eg, ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, dataq; lege
vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur curvæ lineæ BFGg, ALMm,
per constructionem Problematis XXVIII. & ejus _Corol. 1._ Deinde ex dato
angulo CIT datur proportio nascentium IK, KN & inde, per constructionem
Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis abzv, dcxw: adeoq;
completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel Ck, tum
area Dcwe, eiq; æqualis Sector XCy, angulusq; XCy & locus k in quo corpus
tunc versabitur. Q. E. I.
Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a
centro variari secundum legem quamcunq; quam quis imaginari potest, in
æqualibus autem a centro distantiis esse undiq; eandem. Atq; hactenus
corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum
in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.
* * * * *
SECT. IX.
_De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deq; motu Apsidum._
Prop. XLIII. Prob. XXX.
_Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum virium
revolvente perinde moveri possit, atq; corpus aliud in eadem
Trajectoria quiescente._
In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A
centro C agatur semper Cp, quæ sit ipsi CP æqualis, angulumq; VCp angulo
VCP proportionalem constituat; & area quam linea Cp describit erit ad aream
VCP quam linea CP describit, ut velocitas lineæ describentis Cp ad
velocitatem lineæ describentis CP; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCP,
adeoq; in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum area
tempori proportionalis sit quam linea Cp in plano immobili describit,
manifestum est quod corpus, cogente justæ quantitatis vi centripeta,
revolvi possit una cum puncto p in curva illa linea quam punctum idem p
ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus VCv angulo
PCp, & linea Cv lineæ CV, atq; figura vCp figuræ VCP æqualis, & corpus in p
[Illustration] semper existens movebitur in perimetro figuræ revolventis
vCp, eodemq; tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi
similem & æqualem VP in figura quiescente VPK describere potest. Quæratur
igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi
possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, &
solvetur Problema. Q. E. F.
Prop. XLIV. Theor. XIV.
_Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud
in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri possunt, est in triplicata
ratione communis altitudinis inverse._
Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & æquales orbis revolventis
partes vp, pk. A puncto k in rectam, pC demitte perpendiculum kr, idemq;
produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam
corporum altitudines PC & pC, KC & kC semper æquantur, manifestum est quod
si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli (per
Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas
PC, pC; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis PC, pC
perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt æquales, & motus
transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus
angularis lineæ pC ad motum angularem lineæ PC, id est ut angulus VCp ad
angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utroq; pervenit ad
punctum K, corpus p æquali in centrum motu æqualiter movebitur a P versus
C, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, quæ per
punctum k in lineam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret
distantiam a linea pC, quæ sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a
linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum transversum alterius.
Quare cum kr æqualis sit distantiæ quam corpus alterum acquirit a linea pC,
sitq; mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus
corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p
completo illo tempore reperietur in loco m. Hæc ita se habebunt ubi corpora
P & p æqualiter secundum lineas pC & PC moventur, adeoq; æqualibus viribus
secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk
ut est angulus VCp ad angulum VCP, sitq; nC æqualis kC, & corpus p completo
illo tempore revera reperietur in n; adeoq; vi majore urgetur, si modo
angulus mCp angulo kCp major est, id est si orbis Vpk movetur in
consequentia, & minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut
locorum intervallum mn, per quod corpus illud p ipsius actione, dato illo
temporis spatio transferri debet. Centro C intervallo Cn vel Ck describi
intelligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit
rectangulum mn × mt æquale rectangulo mk × ms, adeoq; mn æquale mk × ms ÷
mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumq;
differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeoq; rectangulum mk ×
ms est reciproce ut quadratum altitudinis pC. Est & mt directe ut ½mt, id
est ut altitudo pC. Hæ sunt primæ rationes linearum nascentium; & hinc fit
mk × ms ÷ mt, id est lineola nascens mn, eiq; proportionalis virium
differentia reciproce ut cubus altitudinis pC. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua
corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P
in orbe immobili describit arcum PK, ut mk × ms ad rk quadratum; hoc est si
capiantur datæ quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus
VCP ad angulum VCp, ut Gq. - Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C
intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis æqualis areæ toti
VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad
centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe
immobili & corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua
corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo
descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq. - Fq. ad
Fq. Namq; sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus
describuntur.
_Corol. 2._ Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Apsidem summam
V; eiq; similis & æqualis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc
æqualis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro
altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto
ponatur 2R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq. ÷
Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus
revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq. ÷ Aq., & vis in V erit Fq.
÷ CV quad. Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum
velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est
ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium
lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeoq; valet RFq. ÷ CV
cub.: & vis quæ sit ad hanc ut Gq. - Fq. ad Fq., valet {RGq. - RFq.} ÷ CV
cub.: estq; hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus
P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde
cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad
seipsam in altitudine CV ut 1 ÷ A cub. ad 1 ÷ CV cub., eadem differentia in
omni altitudine A valebit {RGq. - RFq.} ÷ A cub. Igitur ad vim Fq. ÷ Aq.
qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur excessus {RGq. -
RFq.} ÷ A cub. & componetur vis tota Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. qua
corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.
_Corol. 3._ Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis VPK
Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; eiq; similis, æqualis &
concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sitq; 2R Ellipseos hujus latus
rectum, & 2T latus transversum atq; angulus VCp semper sit ad angulum VCP
ut G ad F; vires quibus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus
æqualibus revolvi possunt, erunt ut Fq.A ÷ T cub. & Fq.A ÷ T cub. + {RGq. -
RFq.} ÷ A cub. respective.
[Illustration]
_Corol. 4._ Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV nominetur T, &
radius curvaturæ quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli æqualiter
curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunq;
immobili VPK revolvi potest, in loco V dicatur {Fq. ÷ Tq.} V, atq; aliis in
locis P indefinite dicatur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F
in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus
idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk circulariter mota temporibus
iisdem peragere potest, ut summa virium X + {VRGq. - VRFq.} ÷ A cub.
_Corol. 5._ Dato igitur motu corporis in Orbe quocunq; immobili, augeri vel
minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, &
inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus
centripetis gyrentur.
_Corol. 6._ Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur perpendiculum
VP longitudinis indeterminatæ, jungaturq; PC, & ipsi æqualis agatur Cp,
constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua
corpus gyrari potest in Curva illa Vpk quam punctum p perpetuo tangit, erit
reciproce ut cubus altitudinis Cp. Nam corpus P, per vim inertiæ, nulla
alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in
centrum C, cubo altitudinis CP vel Cp reciproce proportionalis, & (per jam
demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est
autem hæc Curva Vpk eadem cum Curva illa VPQ in Corol. 3. Prop. XLI
inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique
ascendere.
Prop. XLV. Prob. XXXI.
_Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum._
Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi
mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens,
describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides
requiruntur, & quærendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili
describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetæ quibus
describuntur, inter se collatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur
proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine
maxima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro altitudinum
differentia CV - CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C (ut
in Corollario 2.) revolvente movetur, quæq; in Corollario 2. erat ut Fq. ÷
Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. id est ut {Fq. A + RGq. - RFq.} ÷ A cub.,
substituendo T - X pro A, erit ut {RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X} ÷ A cub.
Reducenda similiter est vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus
denominator sit A cub. & numeratores, facta homologorum terminorum
collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit.
_Exempl. 1._ Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeoq; ut A cub. ÷ A
cub., sive (scribendo T - X pro A in Numeratore) ut {T cub. - 3Tq.X + 3TXq.
- X cub.} ÷ A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus,
nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq. - RFq. + TFq.
ad T cub. ut -Fq.X ad -3Tq.X + 3TXq. - X cub. sive ut -Fq. ad -3Tq. + 3TX -
Xq. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum
circulo; & ob factas R, T æquales, atq; X in infinitum diminutam, rationes
ultimæ erunt RGq. ad T cub. ut -Fq. ad -3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq. ad 3Tq.
& vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3T quad. id est, ut 1 ad
3; adeoq; G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP ut 1 ad [sqrt]3. Ergo
cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo
conficiat angulum VCP (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi
mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad
Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum 180 ÷ [sqrt]3: id
adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi
centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente
gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum
collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad
formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi
centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam &
Apsidem imam conficiet semper angulum 180 ÷ [sqrt]3 graduum, seu 103 gr. 55
m. ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem imam, ubi semel
confecit hunc angulum, & inde ad Apsidem summam rediens, ubi iterum
confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.
_Exempl. 2._ Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dignitas
quælibet A^{n - 3} seu A^n ÷ A^3: ubi n - 3 & n significant dignitatum
indices quoscunq; integros vel fractos, rationales vel irrationales,
affirmativos vel negativos. Numerator ille A^n seu {T - X}^n in seriem
indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evadit
T^n - nXT^{n - 1} + {nn - n}÷2 Xq.T^{n - 2} &c. Et collatis hujus terminis
cum terminis Numeratoris alterius RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X, fit RGq. -
RFq. + TFq. ad T^n ut -Fq. ad -nT^{n - 1} + {nn - n}÷2 XT^{n - 2} &c. Et
sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit RGq.
ad T^n ut -Fq. ad -nT^{n - 1}, seu Gq. ad T^{n - 1} ut Fq. ad nT^{n - 1}, &
vicissim Gq. ad Fq. ut T^{n - 1} ad nT^{n - 1} id est ut 1 ad n; adeoq; G
ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad [sqrt]n. Quare cum angulus
VCP, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi
confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis
ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus
quodvis vi centripeta dignitati A^{n - 3} proportionali describit, æqualis
angulo graduum 180 ÷ [sqrt]n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab
Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis
centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut A seu A^4 ÷ A^3,
erit n æqualis 4 & [sqrt]4 æqualis 2; adeoq; angulus inter Apsidem summam &
Apsidem imam æqualis 180 ÷ 2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte
revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta
parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod
etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi
centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro
virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe
ut 1 ÷ A seu A^2 ÷ A^3, erit n = 2, adeoq; inter Apsidem summam & imam
angulus erit graduum 180 ÷ [sqrt]2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus
tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab
Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in æternum. Porro si vis
centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis
Altitudinis, id est reciproce ut A^{11/4}, adeoq; directe ut 1 ÷ A^{11/4}
seu ut A^¼ ÷ A^3 erit n æqualis ¼, & 180 ÷ [sqrt]n gr. æqualis 360 gr. &
propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens,
perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein
perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem
summam: & sic per vices in æternum.
_Exempl. 3._ Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum
Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam
esse ut {bA^m + cA^n} ÷ A cub. id est ut {b in [=T - X]^m + c in [=T -
X]^n} ÷ A cub. seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut
mm-m nn-n
bT^m - mbXT^{m-1} + ----bX^2T^{m-2} + cT^n - ncXT^{n-1} + ----cX^2T^{n-2}
2 2 &c.
-------------------------------------------------------------------------
A cub.
& collatis numeratorum terminis, fiet RGq. - RFq. + TFq. ad bT^m + cT^n, ut
-Fq. ad -mbT^{m - 1} - ncT^{n - 1} + {mm - m}÷2 XT^{m - 2} + {nn - n}÷2
XT^{n - 2} &c. Et sumendo rationes ultimas quæ prodeunt ubi orbes ad formam
circularem accedunt, fit Gq. ad bT^{m - 1} + cT^{n - 1}, ut Fq. ad mbT^{m -
1} + ncT^{n - 1}, & vicissim Gq. ad Fq. ut bT^{m - 1} + cT^{n - 1} ad
mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam CV
seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b + c ad mb + nc, adeoq;
ut 1 ad {mb + nc} ÷ {b + c}. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum
VCP, ut 1 ad [sqrt]{{mb + nc} ÷ {b + c}}. Et propterea cum angulus VCP
inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit
angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta
quantitati {bA^m + cA^n} ÷ A cub. proportionali describit, æqualis angulo
graduum 180 [sqrt]{{b + c} ÷ {mb + nc}}. Et eodem argumento si vis
centripeta sit ut {bA^m - cA^n} ÷ A cub., angulus inter Apsides invenietur
180 [sqrt]{{b - c} ÷ {mb - nc}} graduum. Nec secus resolvetur Problema in
casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est,
resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub.
Dein pars data Numeratoris hujus RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X ad partem non
datam in eadem ratione ponendæ sunt: Et quantitates superfluas delendo,
scribendoq; unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.