quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio æqualis
subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum
etiam longitudo quædam L, quæ sit ad radium in eadem ratione inverse.
Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per
constructionem superiorem (vel utcunq; conjecturam faciendo) cognoscatur
corporis locus P quam proxime. Demissaq; ad axem Ellipseos ordinatim
applicata PR, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli
circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quæ sinus est anguli ACQ
existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis
invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis, id est, qui sit
ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus
revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D
ad angulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad
angulum N - ACQ + D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu
anguli ACQ + ½D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi
major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ
+ E ad radium, tum angulus G ad angulum N - ACQ - E + F ut est longitudo L
ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ + E + ½F diminutam ubi angulus
iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad
angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E + G ad radium; & angulus I ad
angulum N - ACQ - E - G + H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem
cosinu anguli ACQ + E + G + ½H diminutam, ubi angulus iste recto minor est,
auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deniq; capiatur
angulus ACq æqualis angulo ACQ + E + G + I &c. & ex cosinu ejus Cr &
ordinata pr, quæ est ab sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem,
habebitur corporis locus correctus p. Siquando angulus N - ACQ + D
negativus est, debet signum + ipsius E ubiq; mutari in -, & signum - in +.
Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N - ACQ - E + F,
& N - ACQ - E - G + H negative prodeunt. Convergit autem series infinita
ACQ + E + G + I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra
progredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc
Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab
umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.
[Illustration]
Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C,
Vertex A, Umbilicus S & Asymptotos CK. Cognoscatur quantitas areæ APS
tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectæ SP,
quæ aream illam abscindat quamproxime. Jungatur CP, & ab A & P ad
Asymptoton agantur AI, PK Asymptoto alteri parallelæ, & per Tabulam
Logarithmorum dabitur Area AIKP, eiq; æqualis area CPA, quæ subducta de
triangulo CPS relinquet aream APS. Applicando arearum A & APS
semidifferentiam ½APS - ½A vel ½A - ½APS ad lineam SN, quæ ab umbilico S in
tangentem PT perpendicularis est, orietur longitudo PQ. Capiatur autem PQ
inter A & P, si area APS major sit area A, secus ad puncti P contrarias
partes: & punctum Q erit locus corporis accuratius. Et computatione
repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.
Atq; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus
Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur.
Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (_Vide fig. pag. 109. 110._)
& L ipsius latere recto, quære tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium
ut est semiaxium differentia AO - OD ad eorum summam AO + OD; tum angulum
Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH
& semiaxium differentia AO - OD ad triplum rectangulum sub OQ semiaxe
minore & AO - ¼L differentia inter semiaxem majorem & quartam partem
lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps
determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP
descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulum V (primam
medii motus æquationem) ad angulum Y (æquationem maximam primam) ut est
sinus anguli T duplicati ad radium; atq; angulum X (æquationem secundam) ad
angulum Z (æquationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T
duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum
sinus anguli T ad quadratum Radii. Angulorum T, V, X vel summæ T + X + V,
si angulus T recto minor est, vel differentiæ T + X - V, si is recto major
est rectisq; duobus minor, æqualem cape angulum BHP (motum medium æquatum;)
& si HP occurrat Ellipsi in P, acta SP abscindet aream BSP tempori
proportionalem quamproxime. Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea
quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet,
positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem
angulo motus medii æquati BHP, angulus veri motus HSP & distantia SP in
promptu sunt per methodum notissimam Dris. _Sethi Wardi_ Episcopi
_Salisburiensis_ mihi plurimum colendi.
Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile
recta descendat vel recta ascendat, & quæ ad istiusmodi motus spectant,
pergo jam exponere.
* * * * *
SECT. VII.
_De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo._
Prop. XXXII. Prob. XXIV.
[Illustration]
_Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato
distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo
datis temporibus describit._
_Cas. 1._ Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem
aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex
Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corollariis constat. Sit sectio illa
Conica ARPB & umbilicus inferior S. Et primo si Figura illa Ellipsis est,
super hujus axe majore AB describatur semicirculus ADB, & per corpus
decidens transeat recta DPC perpendicularis ad axem; actisq; DS, PS erit
area ASD areæ ASP atq; adeo etiam tempori proportionalis. Manente axe AB
minuatur perpetuo latitudo Ellipseos, & semper manebit area ASD tempori
proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbe APB jam
coincidente cum axe AB & umbilico S cum axis termino B, descendet corpus in
recta AC, & area ABD evadet tempori proportionalis. Dabitur itaq; spatium
AC, quod corpus de loco A perpendiculariter cadendo tempore dato describit,
si modo tempori proportionalis capiatur area ABD, & a puncto D ad rectam AB
demittatur perpendicularis DC. _Q. E. I._
[Illustration]
_Cas. 2._ Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem
diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areæ CSP, CBfP,
SPfB sunt ad areas CSD, CBED, SDEB, singulæ ad singulas, in data ratione
altitudinum CP, CD; & area SPfB proportionalis est tempori quo corpus P
movebitur per arcum PB, erit etiam area SDEB eidem tempori proportionalis.
Minuatur latus rectum Hyperbolæ RPB in infinitum manente latere transverso,
& coibit arcus PB cum recta CB, & umbilicus S cum vertice B & recta SD cum
recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto
descensu describit lineam CB. _Q. E. I._
_Cas. 3._ Et simili argumento si figura RPB Parabola est, & eodem vertice
principali B describatur alia Parabola BED, quæ semper maneat data, interea
dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P movetur, diminuto & in
nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum linea CB, fiet segmentum
Parabolicum BDEB proportionale tempori quo corpus illud P vel C descendet
ad centrum B. _Q. E. I._
Prop. XXXIII. Theor. IX.
_Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco
quovis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum
describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia corporis a
Circuli vel Hyperbolæ vertice ulteriore A, habet ad figuræ
semidiametrum principalem ½AB._
[Illustration]
Namq; ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utriusq; figuræ RPB,
DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quæ tangat figuram
RPB in P, atq; etiam secet communem illam diametrum AB (si opus est
productam) in T; sitq; SY ad hanc rectam & BQ ad hanc diametrum
perpendicularis, atq; figuræ RPB latus rectum ponatur L. Constat per Cor.
9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis
velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa
idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½L × SP
ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2AO ad L, adeoq; 2CPq.
× AO ÷ ACB æquale L. Ergo velocitates illæ sunt ad invicem in dimidiata
ratione CPq. × AO × SP ÷ ACB ad SY quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut
BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT. Unde dividendo vel
componendo fit BO - uel + CO ad BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad
BQ; indeq; CPq. × AO × SP ÷ ACB æquale est BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC}.
Minuatur jam in infinitum figuræ RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat
cum puncto C, punctumq; S cum puncto B, & linea SP cum linea BC, lineaq; SY
cum linea BQ; & corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet
ad velocitatem corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in
dimidiata ratione ipsius BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC} ad SYq. hoc est
(neglectis æqualitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq.) in dimidiata
ratione AC ad AO. _Q. E. D._
_Corol._ Punctis B & S coeuntibus, fit TC ad ST ut AC ad AO.
Prop. XXXIV. Theor. X.
_Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in
loco quovis C æqualis est velocitati qua corpus centro B dimidio
intervalli sui BC circulum uniformiter describere potest._
[Illustration]
Nam corporis Parabolam RPB circa centrum S describentis velocitas in loco
quovis S (per Corol. 7. Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis
dimidio intervalli SP circulum circa idem S uniformiter describentis.
Minuatur Parabolæ latitudo CP in infinitum eo, ut arcus Parabolicus PfB cum
recta CB, centrum S cum vertice B, & interuallum SP cum intervallo BP
coincidat, & constabit Propositio. _Q. E. D._
Prop. XXXV. Theor. XI.
_Iisdem positis, dico quod area figuræ DES, radio indefinito SD
descripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti
figuræ DES æquante, circa centrum S uniformiter gyrando, eodem tempore
describere potest._
[Illustration]
Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam Cc cadendo
describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in circulo OKk circa
centrum S gyrando, arcum Kk describere. Erigantur perpendicula CD, cd
occurrentia figuræ DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS
occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.
_Cas. 1._ Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisecetur ejus
transversa diameter AS in O, & erit SO dimidium Lateris recti. Et quoniam
est TC ad TD ut Cc ad Dd, & TD ad TS ut CD ad SY, erit ex æquo TC ad TS ut
CD × Cc ad SY × Dd. Sed per Corol. Prop. 33. est TC ad ST ut AC ad AO, puta
si in coitu punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimæ. Ergo AC est
ad AO, id est ad SK, ut CD × Cc ad SY × Dd. Porro corporis descendentis
velocitas in C est ad velocitatem corporis circulum intervallo SC circa
centrum S describentis in dimidiata ratione AC ad AO vel SK (per Theor.
IX.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum OKk in
dimidiata ratione SK ad SC per Cor. 6. Theor. IV. & ex æquo velocitas prima
ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in dimidiata ratione AC ad SC,
id est in ratione AC ad CD. Quare est CD × Cc æquale AC × Kk, & propterea
AC ad SK ut AC × Kk ad SY × Dd, indeq; SK × Kk æquale SY × Dd, & ½SK × Kk
æquale ½SY × Dd, id est area KSk æqualis areæ SDd. Singulis igitur temporis
particulis generantur arearum duarum particulæ KSk, SDd, quæ, si magnitudo
earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent
æqualitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areæ totæ simul
genitæ sunt semper æquales. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 2._ Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD × Cc esse
ad SY × Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, adeoq; ¼CD × Cc æqualem esse ½SY
× Dd. Sed corporis cadentis velocitas in C æqualis est velocitati qua
circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit (per Theor. X.) Et hæc
velocitas ad velocitatem qua circulus radio SK describi possit, hoc est,
lineola Cc ad arcum Kk est in dimidiata ratione SK ad ½Sc, id est, in
ratione SK ad ½CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare est ½SK × Kk æquale ¼CD
× Cc, adeoq; æquale ½SY × Dd, hoc est, area KSk æqualis Areæ SDd, ut supra.
_Quod erat demonstrandum._
Prop. XXXVI. Prob. XXV.
[Illustration]
_Corporis de loco dato A cadentis determinare tempora descensus._
Super diametro AS (distantia corporis a centro sub initio) describe
semicirculum ADS, ut & huic æqualem semicirculum OKH circa centrum S. De
corporis loco quovis C erige ordinatim applicatam CD. Junge SD, & areæ ASD
æqualem constitue Sectionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo
describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa
centrum S gyrando, describere potest arcum OK. _Quod erat faciendum._
Prop. XXXVII. Prob. XXVI.
_Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora
ascensus vel descensus._
[Illustration]
Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum velocitate quacunq;. In
duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem,
qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA
ad ½AS. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad
infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice S, axe SC, latere quovis
recto describenda est. Patet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel
major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola
rectangula super diametro SA describi debet. Patet per Theorema IX. Tum
centro S, intervallo æquante dimidium lateris recti, describatur circulus
HKk, & ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quævis G, C,
erigantur perpendicula GI, CD occurrentia Conicæ Sectioni vel circulo in I
ac D. Dein junctis SI, SD, fiant segmentis SEIS, SEDS Sectores HSK, HSk
æquales, & per Theorema XI. corpus G describet spatium GC eodem tempore quo
corpus K describere potest arcum Kk. Q. E. F.
Prop. XXXVIII. Theor. XII.
_Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiæ
locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia
descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus versis & sinibus rectis
respective proportionales._
[Illustration]
Cadat corpus de loco quovis A secundum rectam AS; & centro virium S,
intervallo AS, describatur circuli quadrans AE, sitq; CD sinus rectus arcus
cujusvis AD, & corpus A, tempore AD, cadendo describet spatium AC, inq;
loco C acquisierit velocitatem CD. Demonstratur eodem modo ex Propositione
X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc æqualia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo
provenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo describit arcum
quadrantalem ADE.
_Corol. 2._ Proinde æqualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis
quibusvis ad usq; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica
(per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.
Prop. XXXIX. Prob. XXVII.
_Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum
curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel
descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad
locum quemvis perveniet: Et contra._
[Illustration]
De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, deq; loco ejus E erigatur
semper perpendicularis EG, vi centripetæ in loco illo ad centrum C tendenti
proportionalis: Sitq; BFG linea curva quam punctum G perpetuo tangit.
Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendiculari AB, & erit corporis
velocitas in loco quovis E ut areæ curvilineæ ABGE latus quadratum.
_Q. E. I._ In EG capiatur EM lateri quadrato areæ ABGE reciproce
proportionalis, & sit ALM linea curva quam punctum M perpetuo tangit, &
erit tempus quo corpus cadendo describit lineam AE ut area curvilinea ALME.
_Quod erat Inveniendum._
Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datæ longitudinis, sitq;
DLF locus lineæ EMG ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta,
ut area ABGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa
in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E
scribantur V & V + I, erit area ABFD ut V^2, & area ABGE ut V^2 + 2VI +
I^2, & divisim area DFGE ut 2VI + I^2, adeoq; DFGE ÷ DE ut {2I × V + ½I} ÷
DE, id est, si primæ quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF
ut quantitas 2I × V ÷ DE, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium I × V
÷ DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola
illa directe & velocitas V inverse, estq; vis ut velocitatis incrementum I
directe & tempus inverse, adeoq; si primæ nascentium rationes sumantur, ut
I × V ÷ DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF vel EG
proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quæ sit ut areæ
ABGE latus quadratum. Q. E. D.
Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineola DE describatur,
sit ut velocitas, adeoq; ut areæ ABFD latus quadratum inverse; sitq; DL,
atq; adeo areæ nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus
ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per
Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME.
Q. E. D.
_Corol. 1._ Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua
uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem
acquirat in loco D æqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq; cadens
acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quæ sit ad DF
ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum
PDRQ, eiq; æqualis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus
alterum cecidit. Namq; completo rectangulo EDRS, cum sit area ABFD ad aream
DFGE ut VV ad 2V × I, adeoq; ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis
totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; &
similiter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad
incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintq; incrementa
illa (ob æqualitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut
ordinatim applicatæ DF, DR, adeoq; ut areæ nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex
æquo) areæ totæ ABFD, PQRD ad invicem ut semisses totarum velocitatum, &
propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur.
_Corol. 2._ Unde si corpus quodlibet de loco quocunq; D data cum velocitate
vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur
velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo
velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadratum
rectanguli PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D
inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli
solius PQRD, id est ut [sqrt]{PQRD + vel - DFge} ad [sqrt]PQRD.
_Corol. 3._ Tempus quoq; innotescet erigendo ordinatam em reciproce
proportionalem lateri quadrato ex PQRD + vel - DFge, & capiendo tempus quo
corpus descripsit lineam De ad tempus quo corpus alterum vi uniformi
cecidit a P & cadendo pervenit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum
2PD × DL. Namq; tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam
PD est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam PE in dimidiata ratione
PD ad PE, id est (lineola DE jamjam nascente) in ratione PD ad PD + ½DE seu
2PD ad 2PD + DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam
DE ut 2PD ad DE, adeoq; ut rectangulum 2PE × DL ad aream DLME; estq; tempus
quo corpus utrumq; descripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum
inæquabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex æquo
tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2PD × DL ad aream DLme.
* * * * *
SECT. VIII.
_De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscunq; centripetis
agitata revolventur._
Prop. XL. Theor. XIII.
_Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, & corpus
aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum velocitates in aliquo
æqualium altitudinum casu æquales, velocitates eorum in omnibus
æqualibus altitudinibus erunt æquales._
[Illustration]
Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus
aliud a V in linea curva VIKk. Centro C intervallis quibusvis describantur
circuli concentrici DI, EK rectæ AC in D & E, curvæq; VIK in I & K
occurrentes. Jungatur IC occurrens ipsi KE in N; & in IK demittatur
perpendiculum NT; sitq; circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN
quam minimum, & habeant corpora in D & I velocitates æquales. Quoniam
distantiæ CD, CI æquantur, erunt vires centripetæ in D & I æquales.
Exponantur hæ vires per æquales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum
Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam NT
corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in
cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietq;
ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq; via curvilinea ITKk,
progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem
altera IT, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato
tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem.
Proinde corporum in D & I accelerationes æqualibus temporibus factæ (si
sumantur linearum nascentium DE, IN, IK, IT, NT rationes primæ) sunt ut
lineæ DE, IT: temporibus autem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora
conjunctim. Tempora ob æqualitatem velocitatum sunt ut viæ descriptæ DE &
IK, adeoq; accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK, sunt ut DE
& IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT × IK rectangulum. Sed
rectangulum IT × IK æquale est IN quadrato, hoc est, æquale DE quadrato &
propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K æquales
generantur. Æquales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem
argumento semper reperientur æquales in subsequentibus æqualibus
distantiis. Q. E. D. Sed & eodem argumento corpora æquivelocia &
æqualiter a centro distantia, in ascensu ad æquales distantias æqualiter
retardabuntur. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento
quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, &
corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; velocitates eorum in
eadem quacunq; altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis
quibuscunq; æqualibus altitudinibus æquales. Namq; impedimento vasis
absolute lubrici idem præstatur quod vi transversa NT. Corpus eo non
retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo
discedere.
_Corol. 2._ Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad
quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacunq; revolvens, deq;
quovis trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum
ascendere possit; sitq; quantitas A distantia corporis a centro in alio
quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas
quælibet A^{n - 1}, cujus Index n - 1 est numerus quilibet n unitate
diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut [sqrt]{nP^n -
nA^n}, atq; adeo datur. Namq; velocitas ascendentis ac descendentis (per
Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.
Prop. XLI. Prob. XXVIII.
_Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum
curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus
corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis._
[Illustration]