e & q, rectangulum KQ × ME æquabitur rectangulo Kq × Me, eritq; KQ ad Me ut
Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.
_Corol. 3._ Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta
bisectionum agatur, transibit hæc per centrum Sectionis Conicæ. Nam cum sit
Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK;
(per Lemma XXIII) & medium rectæ MK est centrum Sectionis.
Prop. XXVII. Prob. XIX.
[Illustration]
_Trajectoriam describere quæ rectas quinq; positione datas continget._
Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figuræ quadrilateræ sub
quatuor quibusvis contentæ ABFE diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3.
Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum
Trajectoriæ. Rursus figuræ quadrilateræ BGDF, sub alijs quibusvis quatuor
tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam) BD, GF biseca, & recta per
puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo
centrum in concursu bisecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis BC parallelam
age KL, ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, &
acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet hæc tangentes alias quasvis
duas CD, FDE in L & K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum
parallelis CF, KL concursus C & K, F & L age CK, FL concurrentes in R, &
recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis
contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet
alia contactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam
describere. _Q. E. F._
_Schol._
Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur
in præcedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur
alia totidem puncta aliæq; tangentes a centro ex altera ejus parte
æqualiter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus
terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus.
Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens
vertetur in Asymptoton, atq; constructiones Problematis XV & Casus primi
Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti
dantur.
[Illustration]
Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus
hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum
mobilium PBN, PCN crura BP, CP quorum concursu Trajectoria describebatur
sint sibi invicem parallela, eumq; servantia situm revolvantur circa polos
suos B, C in figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum
crura CN, BN concursu suo K vel k, circulum IBKGC. Sit circuli hujus
centrum O. Ab hoc centro ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN
interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalem OH
circulo occurrentem in K & L. Et ubi crura illa altera CK, BK concurrant ad
punctum istud K quod Regulæ proprius est, crura prima CP, BP parallela
erunt axi majori & perpendicularia minori; & contrarium eveniet si crura
eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriæ centrum,
dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.
Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est
Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex
punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK,
PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centroq; O &
intervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum agendo rectam quæ
circulum illum tangat, dabitur regula MN cujus ope Trajectoria describatur.
Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles
excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.
Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriæ specie datæ, datis punctis &
tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per
punctum quodvis positione datum ducatur, quæ datam Conisectionem in punctis
duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum
bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, atq;
axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.
Lemma XXVI.
[Illustration]
_Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem
positione datas, quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad singulas
ponere._
Dantur positione tres rectæ infinitæ AB, AC, BC, & oportet triangulum DEF
ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, angulus E lineam AC, & angulus F
lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE,
DGF, EMF, quæ capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB æquales respective.
Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literæ
DRED eodem ordine cum literis BACB, literæ DGFD eodem cum literis ABCA, &
literæ EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur hæc
[Illustration] segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in
G, sintq; centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad
PQ, & centro G, intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum
DGE in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE secans
circulum tertium GEc in c. Et compleatur figura ABCdef similis & æqualis
figuræ abcDEF. Dico factum.
Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG, bG, PD, QD &
producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD æqualis angulo CAB, &
angulus EcF æqualis angulo ACB, adeoq; triangulum anc triangulo ABC
æquiangulum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeoq; angulo FbD æqualis
est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui
dimidius est anguli ad centrum GPD, æqualis est angulo ad circumferentiam
GaD; & angulus GQR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD,
æqualis est angulo ad circumferentiam GbD, adeoq; eorum complementa PQG,
abG æquantur, suntq; ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP
ad PQ; id est (ex constructione) ut Ga ad AB. Æquantur itaq; ab & AB, &
propterea triangula abc, ABC, quæ modo similia esse probavimus, sunt etiam
æqualia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF anguli D, E, F trianguli
abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABCdef figuræ
abcDEF similis & æqualis, atq; eam complendo solvetur Problema.
_Q. E. F._
_Corol._ Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus
positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF
accedente, & lateribus DE, DF in directum positis, mutari in lineam rectam,
cujus pars data DE, rectis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis
positione datis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem
præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.
Prop. XXVIII. Prob. XX.
_Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datæ
rectis tribus positione datis interjacebunt._
Describenda sit Trajectoria quæ sit similis & æqualis lineæ curvæ DEF,
quæq; a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in partes datis hujus
partibus DE & EF similes & æquales secabitur.
[Illustration]
Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angulos D, E, F ad rectas
illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe
Trajectoriam curvæ DEF similem & æqualem. _Q. E. F._
Lemma XXVII.
_Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor
positione datas (quæ neq; omnes parallelæ sunt, neq; ad commune punctum
convergunt) singuli ad singulas consistent._
[Illustration]
Dentur positione rectæ quatuor ABC, AD, BD, CE, quarum prima secet secundam
in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod
sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F æqualis, tangat
rectam ABC cæteriq; anguli g, h, i cæteris angulis datis G, H, I æquales
tangant cæteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH,
FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum
FSG capiat angulum æqualem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum æqualem
angulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum æqualem angulo ACE. Describi
autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF
idem sit ordo circularis qui literarum BADB, utq; literæ FTHF eodem ordine
cum literis CBEC, & literæ FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant.
Compleantur segmenta in circulos, sitq; P centrum circuli primi FSG, & Q
centrum secundi FTH. Jungatur & utrinq; producatur PQ, & in ea capiatur QR
in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes
puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis atq; literarum A, B,
C: centroq; R & intervallo RF describatur circulus quartus FNc secans
circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans circulum primum in a &
secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figuræ abcFGHI similis constituatur
figura ABCfghi: Eritq; Trapezium fghi illud ipsum quod constituere
oportuit.
Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK,
aK, bK, cK & producatur QP ad L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK,
sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeoq; angulorum illorum
dimidiis LPK, LQK, LRK æquales. Est ergo figura PQRK figuræ abcK æquiangula
& similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC.
Angulis insuper FaG, FbH, FcI æquantur fAg, fBh, fCi per constructionem.
Ergo figuræ abcFGHI figura similis ABCfghi compleri potest. Quo facto
Trapezium fghi constituetur simile Trapezio FGHI & angulis suis f, g, h, i
tanget rectas AB, AD, BD, CE. _Q. E. F._
_Corol._ Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione
datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem.
Augeantur anguli FGH, GHI usq; eo, ut rectæ FG, GH, HI in directum jaceant,
& in hoc casu construendo Problema, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh,
hi, rectis quatuor positione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectæ,
erunt ad invicem ut lineæ FG, GH, HI, eundemq; servabunt ordinem inter se.
Idem vero sic fit expeditius.
Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut
GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectæ CE in i. Producatur iL ad M, ut sit
LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectæq; AD
occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.
[Illustration]
Secet enim Mg rectam AB in Q, & AD rectam KL in S, & agatur AP, quæ sit
ipsi BD parallela & occurrat iL in P, & erunt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi,
AK ad BK) & AP ad BL in eadem ratione. Secetur DL in R ut sit DL ad RL in
eadem illa ratione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP & DS ad DL, erit
ex æquo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL - RL ad Lh - BL
ut AS - DS ad gS - AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeoq; ut BD ad gQ. Et
vicissim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructione est BR ad
BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG. Cum igitur sit etiam ig ad
ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lineas FI, fi in g & h, G & H
similiter sectas esse. _Q. E. F._
In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans CE in i,
producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam
ipsi BD. Eodem recidit si centro i, intervallo IH describatur circulus
secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY æqualis IF, & agatur Yf ipsi
BD parallela.
Prop. XXIX. Prob. XIX.
_Trajectoriam specie datam describere, quæ a rectis quatuor positione
datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas._
[Illustration]
Describenda sit Trajectoria fghi, quæ similis sit lineæ curvæ FGHI, & cujus
partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes & proportionales,
rectis AB & AD, AD & BD, BD & EC positione datis, prima primis, secunda
secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis FG, GH, HI, FI,
describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f,
g, h, i tangant rectas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli
singulas dicto ordine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium
describatur Trajectoria curvæ lineæ FGHI consimilis.
_Scholium._
[Illustration]
Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI
produc GF ad V, jungeq; FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL
æquales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde aguntur KM, LN,
quarum KM constituat angulum AKM æqualem angulo GHI, sitq; ad AK ut est HI
ad GH; & LN constituat angulum ALN æqualem angulo FHI, sitq; ad AL ut HI ad
FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut
literæ CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, &
acta MN occurrat rectæ CE in i. Fac angulum iEP æqualem angulo IGF, sitq;
PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quæ cum recta AED contineat
angulum PQE æqualem angulo FIG, rectæq; AB occurrat in f, & jungatur fi.
Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP &
PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi
eodem quoq; literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI
simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.
Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus
inventis determinemus.
* * * * *
SECT. VI.
_De inventione motuum in Orbibus datis._
Prop. XXX. Prob. XXII.
[Illustration]
_Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad
tempus assignatum._
Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolæ, sitq; 4AS × M area
Parabolica APS, quæ radio SP, vel post excessum corporis de vertice
descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est.
Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca AS in G, erigeq;
perpendiculum GH æquale 3M, & circulus centro H, intervallo HS descriptus
secabit Parabolam in loco quæsito P. Nam demissa ad axem perpendiculari PO,
est HGq. + GSq. (= HSq. = HPq. = GOq. + {PO - HG}q.) = GOq. + HGq. - 2HG ×
PO + POq. Et deleto utrinq; HGq. fiet GSq. = GOq. - 2HG × PO + POq. seu 2HG
× PO (= GOq. + POq. - GSq. = AOq. - 2GAO + POq.) = AOq. + ¾POq. Pro AOq.
scribe AO × POq. ÷ 4AS, & applicatis terminis omnibus ad 3PO, ductisq; in
2AS, fiet 4/3GH × AS (= 1/6AO × PO + ½AS × PO = {AO + 3AS} ÷ 6 × PO = {4AO
- 3SO} ÷ 6 × PO = areæ APO - SPO) = areæ APS. Sed GH erat 3M, & inde 4/3HG
× AS est 4AS × M. Ergo area APS æqualis est 4AS × M. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descripsit arcum AP ad
tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem
ab umbilico S erectum.
_Corol. 2._ Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas
puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8;
adeoq; in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus
tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A,
describere posset.
_Corol. 3._ Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus
descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum
erige perpendiculum rectæ GH occurrens in H.
Lemma XXVIII.
_Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa,
possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas
generaliter inveniri._
Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur
perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo,
pergatq; semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ illius intra Ovalem
longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam
si area Oualis per finitam æquationem inveniri potest, invenietur etiam per
eandem æquationem distantia puncti a polo; quæ huic areæ proportionalis
est, adeoq; omnia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri possunt:
& propterea rectæ cujusvis positione datæ intersectio cum spirali inveniri
etiam potest per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta
spiralem secat in punctis numero infinitis, & æquatio, qua intersectio
aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes
radicibus totidem, adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt
intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus,
intersectio una non invenitur nisi per æquationem duarum dimensionum, qua
intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum
quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter
inveniri nisi per æquationem quatuor dimensionum, qua omnes simul
inveniantur. Nam si intersectiones illæ seorsim quærantur, quoniam eadem
est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea
eadem semper conclusio, quæ igitur debet omnes intersectiones simul
complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum
Conicarum & curvarum tertiæ potestatis, eo quod sex esse possunt, simul
prodeunt per æquationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum
tertiæ potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per æquationes
dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata
omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa
intersectiones binæ rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per
æquationes duarum dimensionum; ternæ rectarum & curvarum tertiæ potestatis
per æquationes trium, quaternæ rectarum & curvarum quartæ potestatis per
æquationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo intersectiones
numero infinitæ rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem
calculus, requirunt æquationes numero dimensionum & radicum infinitas,
quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem
demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa
polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quæq; prima erat seu
proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic
deinceps: nec interea mutabitur æquatio nisi pro mutata magnitudine
quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates
illæ post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, æquatio
redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit intersectiones
omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi
possunt. Nequit ergo intersectio rectæ & spiralis per æquationem finitam
generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis
imperatis abscissa, possit per talem æquationem generaliter exhiberi.
Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur,
capiatur Ovalis perimetro abscissæ proportionale, probari potest quod
longitudo perimetri nequit per finitam æquationem generaliter exhiberi.
_Corollarium._
Hinc area Ellipseos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto
describitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; &
propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari
nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per
longitudines æquationibus definitas, id est, per longitudinum rationes
complicatas, determinari possunt; cæterasq; (ut Spirales, Quadratrices,
Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quæ sunt vel non sunt
ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice
rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem
abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.
Prop. XXXI. Prob. XXIII.
_Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad
tempus assignatum._
[Illustration]
Ellipseos APB sit A vertex principalis, S umbilicus, O centrum, sitq; P
corporis locus inveniendus. Produc OA ad G ut sit OG ad OA ut OA ad OS.
Erige perpendiculum GH, centroq; O & intervallo OG describe circulum EFG, &
super regula GH, ceu fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem
suum, & interea puncto suo A describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK
in ratione ad rotæ perimetrum GEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo
ab A descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur
perpendiculum KL occurrens Trochoidi in L, & acta LP ipsi KG parallela
occurret Ellipsi in corporis loco quæsito P.
Nam centro O intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ
occurrat LP producta in Q, junganturq; SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F,
& in eandem OQ demittatur perpendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id
est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut
differentia rectangulorum ½Q × AQ & ½OQ × SR, hoc est, ob datam ½OQ, ut
differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeoq; (ob æqualitatem rationum SR
ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ - SR ad GF -
sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum arcus AQ.
_Q. E. D._
_Scholium._
[Illustration]
Cæterum ob difficultatem describendi hanc curvam præstat constructiones
vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis APB sit AB
axis major, O centrum, S umbilicus, OD semiaxis minor, & AK dimidium
lateris recti. Secetur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quæratur
longitudo L, quæ sit ad ½GK ut est AO quad. ad rectangulum AS × OD.
Bisecetur OG in C, centroq; C & intervallo CG describatur semicirculus GFO.
Deniq; capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam
habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitum AP, ad tempus
periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis FE,
& producatur eadem versus F ad usq; N, ut sit EN ad longitudinem L, ut
anguli illius sinus EF ad radium CF; centroq; N & intervallo AN descriptus
circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsito P quam proxime.
Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in
Apside summa B, & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem
imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima
nascentium sectorum ASP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP & OCF, eadem
est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis P, F & N
incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proximis; ob æquales An, pn,
recta nq, quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in
puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn
ut 2AK ad GK. Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut {GK ×
AOq.} ÷ {2AS × OD} ad CF, seu GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, & ex æquo Ap ad
Gf ut 2AK ad GK + GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, id est, ut AK × AOq. ad AS ×
OD × CF, hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut AO × OD ad AS × CF. Proinde
Ap × ½AS est ad Gf × ½GC ut AO × OD × AS ad AS × CF × GC, seu AO × OD ad
CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad
CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius.
_Q. E. D._ Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in
Sectoribus evanescentibus BSP, OCF: ideoq; locus puncti P prope Apsides
satis accurate inventus est. In quadraturis error quasi quingentesimæ
partis areæ Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen
propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.
Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justæ magnitudinis; dein produc
EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut ½L ad CF; centroq; N & intervallo
AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus autem GTO
determinabitur quærendo ejus punctum aliquod T; quod constructionem in illo
casu accuratam reddet.
Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, & motus
corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria
Cometarum incidit,) educere licet e puncto G rectam GI axi AB
perpendicularem, & in ea ratione ad GK quam habet area AVPS ad rectangulum
AK × AS; dein centro I & intervallo AI circulum describere. Hic enim
secabit Ellipsim in corporis loco quæsito P quamproxime. Et eadem
constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hæ autem
constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulteriore B in
infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in accuratam illam
constructionem Problematis XXII.
[Illustration]