rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela
includatur. Nam si punctum p incidit in rectam, qua quævis ex punctis
quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas,
quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua
alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi
simul sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor PQ, PR, PS, PT
ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis
æqualibus, sitq; rectangulum sub duabus ductis PS × PR æquale rectangulo
sub duabus aliis PS × PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineæ
quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ ×
PR sit ad rectangulum sub aliis duabus PS × PT ut rectangulum sub sinubus
angulorum S, T, in quibus duæ ultimæ PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub
sinubus angulorum Q, R, in quibus duæ primæ PQ, PR ducuntur. Cæteris in
casibus Locus puncti P erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur
Sectiones Conicæ. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum
cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e
punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in infinitum, eoq;
pacto latera figuræ quæ ad puncta illa convergunt, evadere parallela: quo
in casu sectio conica transibit per cætera puncta, & in plagas parallelarum
abibit in infinitum.
Lemma XIX.
[Illustration]
_Invenire punctum P, a quo si rectæ quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias
totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulæ ad singulas in
datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ × PR, sit ad
rectangulum sub aliis duabus, PS × PT, in data ratione._
Lineæ AB, CD, ad quas rectæ duæ PQ, PR, unum rectangulorum continentes
ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis A,
B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam quamlibet AH, in qua velis punctum P
reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob
datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationes PQ ad PA & PA ad PS, adeoq;
ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a data ratione PQ × PR ad PS × PT, dabitur
ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio
PI ad PH atq; adeo punctum P. _Q. E. I._
_Corol. 1._ Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punctum quodvis D
tangens duci potest. Nam chorda PD ubi puncta P ac D conveniunt, hoc est,
ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio
evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam
CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E, & DE tangens
erit, propterea quod CF & evanescens IH parallelæ sunt, & in E & P
similiter sectæ.
[Illustration]
_Corol. 2._ Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri potest. Per
quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud
quodvis punctum B duc tangenti parallelam BF occurrentem Loco in F.
Invenietur autem punctum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG
diameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Hæc AG occurrat Loco
in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AGH.
Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Locus erit
Parabola & latus rectum ejus BGq. ÷ AG. Sin ea alicubi occurrit, Locus
Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: &
Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte angulus AGB rectus sit &
insuper BG quad. æquale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.
Atq; ita Problematis veterum de quatuor lineis ab _Euclide_ incæpti & ab
_Apollonio_ continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem
Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.
Lemma XX.
_Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit
sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum
illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicæ in B &
C; a punctis autem occursuum B & C ad quintum quodvis sectionis Conicæ
punctum D agantur rectæ duæ BD, CD occurrentes alteris duobus infinite
productis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt semper
abscissæ laterum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra,
si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data ratione, punctum D
tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem._
[Illustration]
_Cas. 1._ Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectæ duæ DG, DE, quarum
prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera DE
parallela sit ipsi AC & occurrat PC, PS, AB in F, K, E: & erit (per Lemma
XVII.) rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH in ratione data. Sed est
PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeoq; ut PT ad DH; & vicissim PQ ad PT ut DE
ad DH. Est & PR ad DF ut RC ad DC, adeoq; ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR
ad PS ut DF ad DG; & conjunctis rationibus fit rectangulum PQ × PR ad
rectangulum PS × PT ut rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH, atq;
adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur.
_Q. E. D._
_Cas. 2._ Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili
ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE × DF ad rectangulum DG
× DH in ratione data, adeoq; punctum D (per Lemma XVIII.) contingere
Conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, P, C. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in
ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Conicæ sectionis ad
punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD
evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
_Corol. 2._ Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis
punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR
ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum aliquod D.
_Corol. 3._ Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus
quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per
quinq; puncta A, B, C, D, P, easq; secet recta BD in punctis D, d, & ipsam
PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut P[r] ad PT, hoc est, PR & P[r]
sibi invicem æquantur, contra Hypothesin.
Lemma XXI.
[Illustration]
_Si recta duæ mobiles & infinitæ BM, CM per data puncta B, C, ceu polos
ductæ, concursu suo M describant tertiam positione datam rectam MN; &
aliæ duæ infinitæ rectæ BD, CD cum prioribus duabus ad puncta illa data
B, C, datos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hæ duæ BD,
CD concursu suo D describent sectionem Conicam. Et vice versa, si rectæ
BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A
transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A,
cum alteræ duæ BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M continget
rectam positione datam._
Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum
N, incidat punctum mobile D in immotum P. Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto
P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, & facientes angulum
BPT æqualem angulo BNM & angulum CPR æqualem angulo CNM. Cum ergo (ex
Hypothesi) æquales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer
communes NBD & MCP, & restabunt æquales NBM & PBT, NCM & PCR: adeoq;
triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT est ad
NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem
ad NM, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctum
P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem
Conicam. _Q. E. D._
Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transeuntem per puncta
B, C, A, & ubi rectæ BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum illud D
incidit in aliquod sectionis punctum A; ubi vero punctum D incidit
successive in alia duo quævis sectionis puncta p, P, punctum mobile M
incidit successive in puncta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta
nN, & hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri
potest, versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum D
sectionem Conicam per puncta quinq; C, p, P, B, A, transeuntem, ubi punctum
M perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam
punctum D sectionem Conicam per eadem quinq; puncta C, p, P, B, A,
transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duæ
sectiones Conicæ transibunt per eadem quinq; puncta, contra Corol. 3. Lem.
XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. _Q. E. D._
Prop. XXII. Prob. XIV.
_Trajectoriam per data quinq; puncta describere._
[Illustration]
Dentur puncta quinq; A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quævis B,
C, quæ poli nominentur, age rectas AB, AC hisq; parallelas TPS, PRQ per
punctum quartum P. Deinde a polis duobus B, C age per punctum quintum D
infinitas duas BDT, CRD, novissime ductis TPS, PRQ (priorem priori &
posteriorem posteriori) occurrentes in T & R. Deniq; de rectis PT, PR, acta
recta tr ipsi TR parallela, abscinde quasvis Pt, Pr ipsis PT, PR
proportionales, & si per earum terminos t, r & polos B, C actæ Bt, Cr
concurrant in d, locabitur punctum illud d in Trajectoria quæsita. Nam
punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta
quatuor A, B, P, C transeunte; & lineis Rr, Tt evanescentibus, coit punctum
d cum puncto D. Transit ergo sectio Conica per puncta quinq; A, B, C, D, P.
_Q. E. D._
_Idem aliter._
[Illustration]
E punctis datis junge tria quævis A, B, C, & circum duo eorum B, C ceu
polos, rotando angulos magnitudine datos ABC, ACB, applicentur crura BA, CA
primo ad punctum D deinde ad punctum P, & notentur puncta M, N in quibus
altera crura BL, CL casu utroq; se decussant. Agatur recta infinita MN, &
rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut crurum BL,
CL vel BM, CM intersectio, quæ jam sit m, incidat semper in rectam illam
infinitam MN, & crurum BA, CA, vel BD, CD intersectio, quæ jam sit d,
Trajectoriam quæsitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI
continget sectionem Conicam per puncta B, C transeuntem & ubi punctum m
accedit ad puncta L, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta
A, D, P. Describetur itaq; sectio Conica transiens per puncta quinq; A, B,
C, D, P. _Q. E. F._
_Corol. 1._ Hinc rectæ expedite duci possunt quæ trajectoriam in punctis
quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum
C & recta Cd evadet tangens quæsita.
_Corol. 2._ Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta
inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.
_Schol._
Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si
opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam
infinitam p[D] ipsi SPT parallelam, inq; ea capiendo semper p[D] æqualem
Pr, & agendo rectas B[D], Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR
ad PT, pB ad PB, p[D] ad Pt in eadem ratione, erunt p[D] & Pr semper
æquales. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expeditissime, nisi
mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.
Prop. XXIII. Prob. XV.
_Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, &
rectam continget positione datam._
_Cas. 1._ Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D,
P. Junge BC, & agendo PS parallelam BH, & PQ parallelam BC, comple
parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in T, & CD secantem PQ in R.
Deniq; agendo quamvis tr ipsi TR parallelam, de PQ, PS abscinde Pr, Pt
ipsis PR, PT proportionales respective; & actarum Cr, Bt concursus d (per
Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajectoriam describendam.
[Illustration]
_Idem aliter._
Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius
quilibet rectilineus & utrinq; productus DC circa polum C. Notentur puncta
M, N in quibus anguli crus BC secat radium illum ubi crus alterum BH
concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Deinde ad actam infinitam MN
concurrant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, & cruris
alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quæsitam.
[Illustration]
[Illustration]
Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad
punctum B, lineæ CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet
tangens BH, atq; adeo constructiones ibi positæ evadent eædem cum
constructionibus hic descriptis. Delineabit igitur cruris BH concursus cum
radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH
tangentem in puncto B. _Q. E. F._
_Cas. 2._ Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge
bina BD, CP concurrentia in G, tangentiq; occurrentia in H & I. Secetur
tangens in A, ita ut sit HA ad AI, ut est rectangulum sub media
proportionali inter BH & HD & media proportionali inter CG & GP, ad
rectangulum sub media proportionali inter PI & IC & media proportionali
inter DG & GB, & erit A punctum contactus. Nam si rectæ PI parallela HX
trajectoriam secet in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad.
ad AI quad. ut rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad
rectangulum DGB) & rectangulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim. Invento
autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo.
_Q. E. F._ Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra;
& perinde Trajectoria dupliciter describi.
Prop. XXIV. Prob. XVI.
_Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta & rectas
duas positione datas continget._
[Illustration]
Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD tangentibus occurrentem in
punctis H, K & CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca
in R & S, ut sit HR ad KR ut est media proportionalis inter BH & HD ad
mediam proportionalem inter BK & KD; & IS ad LS ut est media proportionalis
inter CI & ID ad mediam proportionalem inter CL & LD. Age RS secantem
tangentes in A & P, & erunt A & P puncta contactus. Nam si A & P sint
Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, & per punctorum H, I, K, L
quodvis I agatur recta IY tangenti KL parallela & occurrens curvæ in X & Y,
& in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis,
rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad
rectangulum CLD; id est (per constructionem) ut SI quad. ad SL quad. atq;
adeo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro
tangentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ
quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad., adeoq; IZ ad IA ut GP ad GA.
Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeoq; puncta S, P & A sunt in
una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una
recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR. Hisce autem
inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris.
_Q. E. F._
Lemma XXII.
_Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare._
[Illustration]
Transmutanda sit figura quævis HGI. Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ
AO, BL tertiam quamvis positione datam AB secantes in A & B, & a figuræ
puncto quovis G, ad rectam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. Deinde a
puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL
occurrens in d; & a puncto occursus erigatur recta gd, datum quemvis
angulum cum recta BL continens, atq; eam habens rationem ad Od quam habet
GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem
ratione puncta singula figuræ primæ dabunt puncta totidem figuræ novæ.
Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figuræ
primæ, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ
& eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg
ordinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD
radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum
OABa completur) radium ordinatum novum.
Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g
tanget etiam lineam rectam positione datam. Si punctum G tangit Conicam
sectionem, punctum g tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus
hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis
Analytici, punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis; & sic de curvis
lineis superiorum ordinum: Lineæ duæ erunt ejusdem semper ordinis Analytici
quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad
DG, & AB ad AD; adeoq; AD æqualis est OA × AB ÷ ad & DG æqualis est OA × dg
÷ ad. Jam si punctum D tangit rectam lineam, atq; adeo in æquatione quavis,
qua relatio inter abscissam AD & ordinatam DG habetur, indeterminatæ illæ
AD & DG ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac æquatione
OA × AB ÷ ad pro AD, & OA × dg ÷ ad pro DG, producetur æquatio nova, in qua
abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent,
atq; adeo quæ designat lineam rectam. Sin AD & DG (vel earum alterutra)
ascendebant ad duas dimensiones in æquatione prima, ascendent itidem ad &
dg ad duas in æquatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus
dimensionibus. Indeterminatæ ad, dg in æquatione secunda & AD, DG in prima
ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineæ, quas
puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.
Dico præterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in figura prima;
hæc recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si
Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima,
puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectæ, quibus hæc
puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;.
Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico.
Sed brevitati consulo.
Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum
intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas
ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta,
tangentes & aliæ rectæ quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc
Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas
in simpliciores. Nam rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas,
adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quamvis rectam, quæ per
concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit
in infinitum, lineæ autem parallelæ sunt quæ ad punctum infinite distans
tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas
operationes transmutetur hæc figura in figuram primam, habebitur Solutio
quæsita.
Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties
duæ sectiones conicæ obvenerint, quarum intersectione Problema solvi
potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio
Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam &
circulum.
Prop. XXV. Prob. XVII.
_Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas
tres continget positione datas._
[Illustration]
Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum
tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duo data transit, age
rectam infinitam; eaq; adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur
figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illæ
duæ evadent parallelæ, & tangens tertia fiet parallela rectæ per puncta duo
transeunti. Sunto hi, kl tangentes duæ parallelæ, ik tangens tertia, & hl
recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quæ Conica sectio
in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hikl complens.
Secentur rectæ hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus quadratum
rectanguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad
summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alteræ duæ sunt latera
quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus.
Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad
id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb
rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb,
ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata
illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad
omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik &
latus quadratum rectanguli alb. Habentur igitur ex data illa ratione puncta
contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis
novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum
primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. _Q. E. F._ Cæterum
perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, debent
puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a,
b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum extra, Problema impossibile
est.
Prop. XXVI. Prob. XVIII.
_Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum & rectas
quatuor positione datas continget._
Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem
communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio
ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem. XXII) in figuram
novam, & Tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent
parallelæ. Sunto illæ hi & kl, ik & hl continentes parallelogrammum hikl.
Sitq; p punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens.
Per figuræ centrum O agatur pq, & existente Oq æquali Op erit q punctum
alterum per quod sectio Conica in hac figura nova transire debet. Per
Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram
primam, & ibi habebuntur puncta duo per quæ Trajectoria describenda est.
Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII.
_Q. E. F._
Lemma XXIII.
[Illustration]
_Si rectæ duæ positione datæ AC, BD ad data puncta A, B terminentur,
datamq; habeant rationem ad invicem, & recta CD, qua puncta
indeterminata C, D junguntur secetur in ratione data in K: dico quod
punctum K locabitur in recta positione data._
Concurrant enim rectæ AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad
AC, sitq; FD æqualis EG, & erit EC ad GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeoq;
in ratione data, & propterea dabitur specie triangulum EFC. Secetur CF in L
in ratione CK ad CD, & dabitur etiam specie triangulum EFL, proindeq;
punctum L locabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob datam FD &
datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic æqualis capiatur EH, & erit ELKH
parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi latere
positione dato HK. _Q. E. D._
Lemma XXIV.
_Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ parallelæ
sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus
parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis
contactum & tangenti tertiæ interjecta._
[Illustration]
Sunto AF, GB parallelæ duæ Conisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta
tertia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F &
G; sitq; CD semidiameter Figuræ tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG
sunt continue proportionales.
Nam si diametri conjugatæ AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, seq; mutuo
secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum
Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC - CA ad CA - CL seu
EA ad AL, & composite EA ad EA + AL seu EL ut EC ad EC + CA seu EB; adeoq;
(ob similitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG.
Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH atq;
adeo ex æquo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si tangentes duæ FG, PQ tangentibus parallelis AF, BG
occurrant in F & G, P & Q, seq; mutuo secent in O, erit (ex æquo
perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divisim ut FP ad GQ, atq; adeo ut FO ad
OG.
_Corol. 2._ Unde etiam rectæ duæ PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductæ,
concurrent ad rectam ACB per centrum figuræ & puncta contactuum A, B
transeuntem.
Lemma XXV.
_Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem
quamcunq; Conicam & abscindantur ad tangentem quamvis quintam; sumantur
autem abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi: dico
quod abscissa unius lateris ad latus illud, ut pars lateris contermini
inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam lateris hujus
contermini._
[Illustration]
Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK, KL, MI sectionem
Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ hæc latera in F, Q, H & E:
dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ & KH ad KL ut AM ad MF. Nam per
Corollarium Lemmatis superioris, est ME ad EI ut AM seu BK ad BQ, &
componendo ME ad MI ut BK ad KQ. Q. E. D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad
AF, & dividendo KH ad KL ut AM ad MF. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ ×
ME, ut & huic æquale rectangulum KH × MF. Æquantur enim rectangula illa ob
similitudinem triangulorum KQH, MFE.