est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra
ratione temporis periodici.
Prop. XV. Theor. VII.
_Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in
ratione sesquiplicata transversorum axium._
Namq; axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem
transversum appello) & latus rectum, atq; adeo rectangulum sub axibus est
in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata
ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis
Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti &
integra ratione periodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio
lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi æqualis rationi
periodici temporis. _Q. E. D._
Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis,
quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellipseon.
Prop. XVI. Theor. VIII.
_Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant
orbitas, demissisq; ab umbilico communi ad has tangentes
perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione
composita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione
laterum rectorum directe._ Vide Fig. Prop. X. &. XI.
Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis
P erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis SYq. ÷ L. Nam velocitas
illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus,
hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT &
SP ad SY) ut SP × QT ÷ SY, sive ut SY reciproce & SP × QT directe; estq; SP
× QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata
ratione lateris recti _Q. E. D._
_Corol. 1._ Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione
perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.
_Corol. 2._ Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbilico communi
distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse &
dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula jam sunt ipsæ
distantiæ.
_Corol. 3._ Ideoq; velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico
distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in
dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.
_Corol. 4._ Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus
distantiis ab umbilico communi sunt eædem quæ corporum gyrantium in
circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.)
reciproce in dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt
semi-axes minores, & hi sunt ut mediæ proportionales inter distantias &
latera recta. Componatur hæc ratio inverse cum dimidiata ratione laterum
rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.
_Corol. 5._ In eadem vel æqualibus figuris, vel etiam in figuris
inæqualibus, quarum latera recta sunt æqualia, velocitas corporis est
reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.
_Corol. 6._ In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione
distantiæ corporis ab umbilico figuræ, in Ellipsi minor est, in Hyperbola
major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum
demissum ab umbilico ad tangentem Parabolæ est in dimidiata ratione
distantiæ.
_Corol. 7._ In Parabola, velocitas ubiq; est ad velocitatem corporis
revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri
binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac
ratione. Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabolæ
est in hac ratione, & per Corollaria sexta hujus & Theorematis quarti,
servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola
velocitas ubiq; æqualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad
dimidiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.
_Corol. 8._ Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem
gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut
distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis
demissum. Patet per Corollarium quintum.
_Corol. 9._ Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc
circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in
dimidiata ratione distantiarum; fiet ex æquo velocitas gyrantis in Conica
sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media
proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti
sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis
demissum.
Prop. XVII. Prob. IX.
_Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato
distantiæ a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita;
requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data
velocitate secundum datam rectam egrediens._
[Illustration]
Vis centripeta tendens ad punctum S ea sit quæ corpus p in orbita quavis
data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus velocitas in loco p. De loco P
secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente
vi centripeta, deflectat illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR
tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad
eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1.
Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rectum orbitæ datæ, in
ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione
velocitatum, atq; adeo datur. Sit istud L. Datur præterea Conisectionis
umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat angulus RPH, &
dabitur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH
perpendiculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq. - 2KPH + PHq. (per
Prop. 13. Lib. II. Elem.) = SHq. = 4CHq. = 4BHq. - 4BCq. = {SP + PH} quad.
- L × {SP + PH} = SPq. + 2SPH + PHq. - L × {SP + PH}. Addantur utrobiq;
2KPH + L × {SP + PH} - SPq. - PHq. & fiet L × {SP + PH} = 2SPH + 2KPH, seu
SP + PH ad PH ut 2SP + 2KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam
positione. Nimirum si ea sit corporis in P velocitas, ut latus rectum L
minus fuerit quam 2SP + 2KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum
linea PS, adeoq; figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe
principali SP + PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus
rectum L æquale fuerit 2SP + 2KP, longitudo PH infinita erit, & propterea
figura erit Parabola axem habens SH parallelum lineæ PK, & inde dabitur.
Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda
erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeoq; tangente inter
umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem
differentiæ linearum SP & PH, & inde dabitur. _Q. E. I._
_Corol. 1._ Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali D, latere
recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo DH ad DS ut est
latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS. Nam proportio SP +
PH ad PH ut 2SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS + DH ad DH ut 4DS ad
L, & divisim DS ad DH ut 4DS - L ad L.
_Corol. 2._ Unde si datur corporis velocitas in vertice principali D,
invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam
distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem
corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.)
dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS.
_Corol. 3._ Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica, & ex
orbe suo impulsu quocunq; exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea
cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo
quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato
impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.
_Corol. 4._ Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo
perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis
illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia, mutationes
continuas in locis intermediis æstimando.
* * * * *
SECT. IV.
_De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex
umbilico dato._
[Illustration]
_Lemma XV._
_Si ab Ellipseos vel Hyperbolæ cujusvis umbilicis duobus S, H, ad
punctum quodvis tertium V inflectantur rectæ duæ SV, HV, quarum una HV
æqualis sit axi transverso figuræ, altera SV a perpendiculo TR in se
demisso bisecetur in T; perpendiculum illud TR sectionem Conicam
alicubi tangit: & contra, si tangit, erit VH æqualis axi figuræ._
Secet enim VH sectionem conicam in R, & jungatur SR. Ob æquales rectas TS,
TV, æquales erunt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propterea
figuram tangit: & contra. _Q. E. D._
Prop. XVIII. Prob. X.
_Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas
& Hyperbolicas, quæ transibunt per puncta data, & rectas positione
datas contingent._
[Illustration]
Sit S communis umbilicus figuraram; AB longitudo axis transversi
Trajectoriæ cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR
recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB - SP, si orbita sit
Ellipsis, vel AB + SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad
tangentem TR demittatur perpendiculum ST, & producatur ea ad V ut sit TV
æqualis ST; centroq; V & intervallo AB describatur circulus FH. Hac methodo
sive dentur duo puncta P, p, sive duæ tangentes TR, tr, sive punctum P &
tangens TR, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis,
& umbilicis S, H, axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam
Trajectoria descripta (eo quod PH + SP in Ellipsi, & PH - SP in Hyperbola
æquatur axi) transibit per punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam
TR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget
rectas duas TR, tr. _Q. E. F._
Prop. XIX. Prob. XI.
_Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quæ
transibit per puncta data, & rectas positione datas continget._
[Illustration]
Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriæ describendæ. Centro P,
intervallo PS describe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte
perpendicularem ST, & produc eam ad V, ut sit TV æqualis ST. Eodem modo
describendus est alter circulus fg, si datur alterum punctum p; vel
inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr; dein ducenda
recta IF quæ tangat duos circulos FG, fg si dantur duo puncta P, p; vel
transeat per duo puncta V, v, si dantur duæ tangentes TR, tr, vel tangat
circulum FG & transeat per punctum V, si datur punctum P & tangens TR. Ad
FI demitte perpendicularem SI, eamq; biseca in K, & axe SK, vertice
principali K describatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob æquales SK
& IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob
æquales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR. _Q. E. F._
Prop. XX. Prob. XII.
[Illustration]
_Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere,
quæ per data puncta transibit & rectas tanget positione datas._
_Cas. 1._ Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo
B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio axis transversi ad
distantiam umbilicorum. In ea ratione cape KB ad BS, & LC ad CS. Centris B,
C, intervallis BK, CL, describe circulos duos, & ad rectam KL, quæ tangat
eosdem in K & L, demitte perpendiculum SG, idemq; seca in A & a, ita ut sit
SA ad AG & Sa ad aG, ut est SB ad BK, & axe Aa, verticibus A, a,
describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim H umbilicus alter figuræ
descriptæ, & cum sit SA ad AG ut Sa ad aG, erit divisim Sa - SA seu SH ad
aG - AG seu Aa in eadem ratione, adeoq; in ratione quam habet axis
transversus figuræ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea
figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cumq; sint KB ad BS &
LC ad CS in eadem ratione, transibit hæc Figura per puncta B, C, ut ex
Conicis manifestum est.
[Illustration]
_Cas. 2._ Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria quæ rectas duas TR,
tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula ST, St
& produc eadem ad V, v, ut sint TV, tv æquales TS, ts. Biseca Vv in O, &
erige perpendiculum infinite OH, rectamq; VS infinite productam seca in K &
k ita, ut sit VK ad KS & Vk ad kS ut est Trajectoriæ describendæ axis
transversus ad umbilicorum distantiam. Super diametro Kk describatur
circulus secans rectam OH in H; & umbilicis S, H, axe transverso ipsam VH
æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge
HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad KS ut Vk ad kS; & composite ut VK + Vk ad
KS + kS; divisimq; ut Vk - VK ad kS - KS id est ut 2VX ad 2KX & 2KX ad 2SX,
adeoq; ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS, &
propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeoq; ut VK ad KS. Habet igitur
Trajectoria; descriptæ axis transversus VH eam rationem ad ipsius
umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriæ describendæ axis
transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est
speciei. Insuper cum VH, vH æquentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR,
tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas
Trajectoriam descriptam tangere. _Q. E. F._
[Illustration]
_Cas. 3._ Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quæ rectam TR tanget
in puncto dato R. In rectam TR demitte perpendicularem ST, & produc eandem
ad V, ut sit TV æqualis ST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca
in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendæ axis
transversus ad distantiam umbilicorum; circuloq; super diametro Kk
descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso
rectam HV æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Namq; VH esse ad
SH ut VK ad SK, atq; adeo ut axis transversus Trajectoriæ describendæ ad
distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Casu secundo, &
propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda:
rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R,
patet ex Conicis. _Q. E. F._
[Illustration]
_Cas. 4._ Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quæ tangat
rectam TR, transeatq; per punctum quodvis P extra tangentem datum, quæq;
similis sit figuræ apb, axe transverso ab & umbilicis s, h descriptæ. In
tangentem TR demitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV
æqualis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq æquales; centroq; q
intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe circulum secantem figuram
apb in p. Junge sp & age SH quæ sit ad sh ut est SP ad sp quæq; angulum PSH
angulo psh & angulum VSH angulo psq æquales constituat. Deniq; umbilicis S,
H, axe distantiam VH æquante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quæ sit ad sp ut est sh ad sq, quæq;
constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq æquales,
triangula svh, spq erunt similia, & propterea vh erit ad pq ut est sh ad
sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq.
Æquantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh est VH ad SH ut
vh ad sh, id est, axis Conicæ actionis jam descripta: ad illius umbilicorum
intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh, & propterea figura
jam descripta similis est figuræ apb. Transit autem hæc figura per punctum
P, eo quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH æquatur
ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR tangit eadem rectam
TR. _Q. E. F._
Lemma XVI.
_A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas
quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt._
[Illustration]
_Cas. 1._ Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z, quod invenire
oportet: Ob datam differentiam linearum AZ, BZ, locabitur punctum Z in
Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa
data. Sit axis ille MN. Cape PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR
perpendiculari ad AB, demissoq; ZR perpendiculari ad PR, erit ex natura
hujus Hyperbolæ ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discursu punctum Z
locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A, C & axis transversus
differentia inter AZ & CZ, duciq; potest QS ipsi AC perpendicularis, ad
quam si ab Hyperbolæ hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS, hæc
fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC. Dantur ergo rationes
ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem;
adeoq; rectis RP, SQ concurrentibus in T, locabitur punctum Z in recta TZ
positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici sunt B
& C & axis transversus differentia rectarum BZ, CZ, inveniri potest alia
recta in qua punctum Z locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis,
habetur punctum quæsitum Z in earum intersectione, _Q. E. I._
_Cas. 2._ Si duæ ex tribus lineis, puta AZ & BZ æquantur, punctum Z
locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius
rectilineus invenietur ut supra. _Q. E. I._
_Cas. 3._ Si omnes tres æquantur, locabitur punctum Z in centro circuli per
puncta A, B, C transeuntis. _Q. E. I._
Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum _Apollonii_ a
_Vieta_ restitutum.
Prop. XXI. Prob. XIII.
[Illustration]
_Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per
puncta data & rectas positione datas continget._
Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & inveniendus sit umbilicus
alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit
TY æqualis ST, & erit YH æqualis axi transverso. Junge SP, HP & erit SP
differentia inter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures
tangentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem YH,
vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quæ vel æquantur
axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, atq; adeo quæ vel
æquantur sibi invicem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma
superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum
axis longitudine (quæ vel est YH, vel si Trajectoria Ellipsis est, PH + SP;
sin Hyperbola PH - SP) habetur Trajectoria. _Q. E. I._
_Scholium._
[Illustration]
Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C,
D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD
ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, inq; GS
infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A
vertex, & Aa axis transversus Trajectoriæ: quæ, perinde ut GA minor,
æqualis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola;
puncto a in primo casu cadente ad eandem partem lineæ GK cum puncto A; in
secundo casu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem
lineæ GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC
ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA.
Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo
puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectæ
omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula
a punctis iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.
Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit
Clarissimus Geometra _De la Hire_, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop. XXV.
* * * * *
SECT. V.
_Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur._
_Lemma XVII._
[Illustration]
_Si a datæ conicæ sectionis puncto quovis P, ad Trapezii alicujus ABCD,
in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta AB,
CD, AC, DB, totidem rectæ PQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur,
singulæ ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo latera PQ ×
PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita PS × PT in
data ratione._
_Cas. 1._ Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse
alterutri reliquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB.
Sintq; insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta
quæ bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conicæ sectionis, &
bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO ordinatim
applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK æqualis PO, & erit
OK ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A,
B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato angulo, erit (per
Prop. 17 & 18 Lib. III _Apollonii_) rectangulum PQK ad rectangulum AQB in
data ratione. Sed QK & PR æquales sunt, utpote æqualium OK, OP, & OQ, OR
differentiæ, & inde etiam rectangula PQK & PQ × PR æqualia sunt; atq; adeo
rectangulum PQ × PR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangulum PS × PT
in data ratione. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 2._ Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela.
Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectæ ST in t, tum Conicæ sectioni
in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM secantem Cd in
M & AB in N. Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu PQ ad Tt ut DN
ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Ergo ducendo antecedentes in
antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad
rectangulum Tt in PS, ita rectangulum NDM est ad rectangulum ANB, & (per
Cas. 1) ita rectangulum QPr est ad rectangulum SPt, ac divisim ita
rectangulum QPR est ad rectangulum PS × PT. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 3._ Ponamus deniq; lineas quatuor PQ, PR, PS, PT non esse parallelas
lateribus AC, AB, sed ad ea utcunq; inclinatas. Earum vice age Pq, Pr
parallelas ipsi AC; & Ps, Pt parallelas ipsi AB; & propter datos angulos
triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur rationes PQ ad Pq, PR ad Pr, PS
ad Ps & PT ad Pt, atq; adeo rationes compositæ PQ in PR ad Pq in Pr, & PS
in PT ad Ps in Pt. Sed per superius demonstrata, ratio Pq in Pr ad Ps in Pt
data est: Ergo & ratio PQ in PR ad PS in PT. _Q. E. D._
_Lemma XVIII._
_Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera
Trapezii PQ × PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS ×
PT in data ratione; punctum P, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam
sectionem circa Trapezium descriptam._
[Illustration]
Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe
Conicam sectionem describi: dico punctum P hanc semper tangere. Si negas,
junge AP secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in P si fieri potest,
puta in b. Ergo si ab his punctis p & b ducantur in datis angulis ad latera
Trapezii rectæ pq, pr, ps, pt & bk, b[r], b[s], bd; erit ut bk × b[r] ad bd
× b[s] ita (per Lemma XVII) pq × pr ad ps × pt & ita (per hypoth.) PQ × PR
ad PS × PT. Est & propter similitudinem Trapeziorum bkA[s], PQAS, ut bk ad
b[s] ita PQ ad PS. Quare applicando terminos prioris propositionis ad
terminos correspondentes hujus, erit b[r] ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia
æquiangula D[r]bd, DRPT similia sunt, & eorum diagonales Db, DP propterea
coincidunt. Incidit itaq; b in intersectionem rectarum AP, DP adeoq;
coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicunq; sumatur, incidit in
assignatam Conicam sectionem. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc si rectæ tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem
positione datas rectas AB, CD, AC, singulæ ad singulas, in datis angulis
ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ × PR ad quadratum tertii,
PS quad. in data ratione: punctum P, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in
sectione Conica quæ tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea
BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat etiam linea
PT cum linea PS: & rectangulum PS × PT evadet PS quad. rectæq; AB, CD quæ
curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis
coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.
_Scholium._