vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta
pergeret ad c, (per Leg. I) describens lineam Bc æqualem ipsi AB, adeo ut
radiis AS, BS, cS ad centrum actis, consectæ forent æquales areæ ASB, BSc.
Verum ubi corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu unico sed magno,
faciatq; corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS
parallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte,
corpus (per Legum Corol. I) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo
ASB. Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, æquale erit
triangulo SBc, atq; adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis
centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis
temporis particulis singulas describat rectas CD, DE, EF, &c. jacebunt hæ
in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi
SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano immoto
describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævis SADS, SAFS inter se,
ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo
triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter ADF, (per Corollarium
quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis centripeta qua corpus
de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areæ vero
quævis descriptæ SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales,
erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales. _Q. E. D._
_Corol. 1._ In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus
proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
_Corol. 2._ In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non
tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.
Pro. II. Theor. II.
_Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad
punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens,
describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur
a vi centripeta tendente ad idem punctum._
_Cas. 1._ Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu
rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa qua
corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minima SAB,
SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus æqualibus æqualia
describere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40
Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam BS & in loco C secundum
lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper
secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. _Q. E. D._
_Cas. 2._ Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat
superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur
eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in
directum.
_Scholium._
Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc
casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur,
tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei
descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus,
sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea
in compositione virium negligenda est.
Prop. III. Theor. III.
_Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti
ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales,
urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex
vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur._
Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quæ æqualis & contraria sit illi qua
corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; secundum lineas parallelas,
perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius:
vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi æqualem
& contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet
vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia
virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum
describere. Tendit igitur (per Theor. 2.) differentia virium ad corpus
illud alterum ut centrum. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas
temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus
pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius
urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua
corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet
ad corpus alterum ut centrum.
_Corol. 2._ Et si areæ illæ sunt temporibus quamproxime proportionales, vis
reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.
_Corol. 3._ Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus
alterum, erunt areæ illæ temporibus quamproxime proportionales.
_Corol. 4._ Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quæ,
cum temporibus collatæ, sunt valde inæquales, & corpus illud alterum vel
quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetæ ad
corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur
cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Visq; tota ex omnibus, si
plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum
dirigitur, circum quod æquabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi
corpus alterum motu quocunq; movetur, si modo vis centripeta sumatur, quæ
restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.
_Scholium_
Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa
respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum
tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur
circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo &
retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum
descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in
spatiis liberis peragitur?
Prop. IV. Theor. IV.
_Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires
centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut
arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios._
[Illustration]
Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyrantia, simul
describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita describerent tangentes BC,
bc his arcubus æquales, manifestum est quod vires centripetæ sunt quæ
perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum,
atq; adeo hæ sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium CD, cd:
tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II, propterea quod areæ radiis
descriptæ ponuntur temporibus proportionales. Fiat figura tkb figuræ DCB
similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum
bt: nec non, per Lemma XI, lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut
bt quad. ad bd quad. & ex æquo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc
ut BD × bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD × bt ÷ Sb ad bd quad. ÷
Sb, adeoq; (ob æquales rationes bt ÷ Sb & BD ÷ SB) ut BD quad. ÷ SB ad bd
quad. ÷ Sb _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad
radios circulorum.
_Corol. 2._ Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad
radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ
vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe &
ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione
simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum
inverse.
_Corol. 3._ Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ
tum velocitates ut radii, & vice versa.
_Corol. 4._ Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires
centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et
vice versa.
_Corol. 5._ Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum,
vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice
versa.
_Corol. 6._ Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires
centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in
radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
_Corol. 7._ Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus
corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita
habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione præcedentium
ad hosce casus applicata.
_Scholium._
Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum
colligerunt etiam nostrates _Wrennus, Hookius & Halleus_) & propterea quæ
spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum
a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis
centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis
illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD,
quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli
diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam
continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo
tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus
idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli
diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud
ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi
Propositionibus _Hugenius_, in eximio suo Tractatu de Horologio
oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis
describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni
lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo
reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut
ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa
& numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut
longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium
circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium;
adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut
quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Hæc est vis
qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua circulus
continuo repellit corpus centrum versus.
Prop. V. Prob. I.
[Illustration]
_Data quibuscunq; in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus
ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud
invenire._
Figuram descriptam tangant rectæ tres PT, TQV, VR in punctis totidem P, Q,
R, concurrentes in T & V. Ad tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC,
velocitatibus corporis in punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur
reciproce proportionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad
velocitatem in P, & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem in Q. Per
perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur AD, DBE, EC
concurrentia in D & E: Et actæ TD, VE concurrent in centro quæsito S.
Nam cum corpus in P & Q radiis ad centrum ductis areas describat temporibus
proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates in P & Q
ductæ respective in perpendicula a centro in tangentes PT, QT demissa:
Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendicula
AP, BQ directe, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa.
Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili
argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea centrum S in
concursu rectarum TD, VE versatur. _Q. E. D._
Pro. VI. Theor. V.
_Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam quamvis
curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad
tangentem ab alio quovis curvæ Q agatur QR distantiæ SP parallela, ac
demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: Dico quod vis
centripeta sit reciproce ut solidum SP quad. × QT quad. ÷ QR, si modo
solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt
puncta P & Q._
[Illustration]
Namq; in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, dato tempore, est
ut vis centripeta (per Leg. II.) & data vi, ut quadratum temporis (per Lem.
X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis
conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum
temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla SP × QT, id est
ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe atq; SP quad. in
QT quad. inverse, id est ut SP quad. × QT quad. ÷ QR inverse. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis
centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in
figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum SP
quad. × QT quad. ÷ QR huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus
exempla in problematis sequentibus.
Prop. VII. Prob. II.
[Illustration]
_Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis
centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum._
Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in
circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA
& rectam SP demitte perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR
occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z. Ob
similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT
quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo QRL × SP quad. ÷ SA quad. æquatur QT
quad. Ducantur hæc æqualia in SP quad. ÷ QR, & punctis P & Q coeuntibus,
scribatur SP pro RL. Sic fiet SP qc. ÷ SAq. æquale QTq. × SPq. ÷ QR. Ergo
(per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc. ÷ SAq., id
est (ob datum SA quad.) ut quadrato-cubus distantiæ SP. Quod erat
inveniendum.
Prop. VIII. Prob. III.
[Illustration]
_Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis
centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes PS, RS
ad id ductæ, pro parallelis haberi possint._
A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas
perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula
CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut PQq. vel (per
Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR × RN + QN æquale
est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P, Q fit RN + QN æqualis 2PM.
Ergo est CP quad. ad PM quad. ut QR × 2PM ad QT quad. adeoq; QT quad. ÷ QR
æquale 2PM cub. ÷ CP quad., & QT quad. × SP quad. ÷ QR æquale 2PM cub. × SP
quad. ÷ CP quad. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce
ut 2PM cub. × SP quad. ÷ CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2SP
quad. ÷ CP quad.) reciproce ut PM cub. _Q. E. I._
_Scholium._
Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel
Parabola, vi centripeta quæ sit reciproce ut cubus ordinatim applicatæ ad
centrum virium maxime longinquum tendentis.
Prop. IX. Prob. IV.
[Illustration]
_Gyretur corpus in spiral PQS secante radios omnes SP, SQ, &c. in
angulo dato: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum
spiralis._
Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos omnes angulos dabitur
specie figura SPQRT. Ergo datur ratio QT ÷ RQ estq; QT quad. ÷ QR ut QT,
hoc est ut SP. Mutetur jam utcunq; angulus PSQ, & recta QR angulum
contactus QPR subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione
ipsius PR vel QT. Ergo manebit QT quad. ÷ QR eadem quæ prius, hoc est ut
SP. Quare QTq. × SPq. ÷ QR est ut SP cub. id est (per Corol. Theor. V.) vis
centripeta ut cubus distantiæ SP. _Q. E. I._
Lemma XII.
_Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se
æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum
diametros ejus descriptis._
Constat utrumq; ex Conicis.
Prop. X. Prob. V.
_Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad
centrum Ellipseos._
[Illustration]
Sunto CA, CB semiaxes Ellipseos; GP, DK diametri conjugatæ; PF, Qt,
perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applicata ad diametrum GP; & si
compleatur parallelogrammum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut PC
quad. ad CD quad. & (ob similia triangula Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt
quad. ut PC quad. ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt quad. ut
PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est vG ad Qt quad. ÷ Pv ut
PC quad. ad CDq. × PFq. ÷ PCq.. Scribe QR pro Pv, & (per Lemma xii.) BC ×
CA pro CD × PF, nec non (punctis P & Q coeuntibus) 2PC pro vG, & ductis
extremis & medijs in se mutuo, fiet QTq. × PCq. ÷ QR æquale 2BCq. × CAq. ÷
PC. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2BCq. ×
CAq. ÷ PC, id est (ob datum 2BCq. × CAq.) ut 1 ÷ PC, hoc est, directe ut
distantia PC. _Q. E. I._
_Corol. 1._ Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in
Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem
Ellipsis migrare potest.
_Corol. 2._ Et æqualia erunt revolutionum in Figuris universis circa
centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus
similibus æqualia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem
communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areæ totæ
directe & arearum particulæ simul descriptæ inverse; id est ut axes minores
directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est
ut axes illi directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverse, &
propterea (ob æqualitatem rationum directarum & inversarum) in ratione
æqualitatis.
_Scholium._
Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus
movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens,
evadet æquabilis. Hoc est Theorema _Galilei_. Et si Conisectio Parabolica,
inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam,
movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.
* * * * *
SECT. III.
_De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis._
Prop. XI. Prob. VI.
_Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetæ tendentis
ad umbilicum Ellipseos._
[Illustration]
Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellipseos tum
diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur
parallelogrammum QxPR. Patet EP æqualem esse semiaxi majori AC, eo quod
acta ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, (ob æquales
CS, CH) æquentur ES, EI, adeo ut EP semisumma sit ipsarum PS, PI, id est
(ob parallelas HI, PR & angulos æquales IPR, HPZ) ipsorum PS, PH, quæ
conjunctim axem totum 2AC adæquant. Ad SP demittatur perpendicularis QT, &
Ellipseos latere recto principali (seu 2BC quad. ÷ AC) dicto L, erit L × QR
ad L × Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC; & L × Pv ad GvP ut L ad
Gv; & GvP ad Qv quad. ut CP quad. ad CD quad.; & (per Lem. VIII.) Qv quad.
ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio æqualitatis, & Qx quad. seu
Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad., id est ut CA quad. ad PF
quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his
omnibus rationibus, L × QR fit ad QT quad. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad
CDq. + CDq. ad CBq. id est ut AC × L (seu 2CBq.) × CPq. ad PC × Gv × CBq.
sive ut 2PC ad Gv. Sed punctis Q & P coeuntibus, æquantur 2PC & Gv. Ergo &
his proportionalia L × QR & QT quad. æquantur. Ducantur hæc aqualia in SPq.
÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR. Ergo (per Corol. Theor. V.)
vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est reciproce in ratione
duplicata distantiæ SP. _Q. E. I._
Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam,
liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & usum ejus in
sequentibus, non pigebit casus cæteros demonstratione confirmare.
Prop. XII. Prob. VII.
_Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ tendentis
ad umbilicum figuræ._
[Illustration]
Sunto CA, CB semi-axes Hyperbolæ; PG, KD diametri conjugatæ; PF, Qt
perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP. Agatur
SP secans tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, &
compleatur parallelogrammum QRPx. Patet EP æqualem esse semi-axi transverso
AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico H linea HI ipsi EC
parallela, ob æquales CS, CH, æquentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia
sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos æquales IPR,
HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2AC adæquat. Ad SP
demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolæ latere recto principali (seu
2BCq. ÷ AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu
AC) ad PC; Et L × Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq. ad CDq.; &
(per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq., punctis Q & P coeuntibus fit ratio
æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq., id est ut CAq. ad
PFq., sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq.: & conjunctis his omnibus
rationibus L × QR fit ad QTq. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq.
ad CBq.: id est ut AC × L (seu 2BCq.) × PCq. ad PC × Gv × CB quad. sive ut
2PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2PC & Gv. Ergo & his
proportionalia L × QR & QTq. æquantur. Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR &
fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis
centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione duplicata distantiæ
SP. _Q. E. I._
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam
versa, movebitur in Hyperbola conjugata.
Lemma XIII.
_Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum
distantiæ verticis illius ab umbilico figuræ._ Patet ex Conicis.
Lemma XIV.
[Illustration]
_Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demittitur,
medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus &
a vertice principali figuræ._
Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, P punctum
contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum principalem, PM tangens
diametro principali occurrens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico
in tangentem. Jungatur AN, & ob æquales MS & SP, MN & NP, MA & AO,
parallelæ erunt rectæ AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A
& simile triangulis æqualibus SMN, SPN. Ergo PS est ad SN ut SN ad SA.
_Q. E. D._
Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.
Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.
Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quæ ab umbilico
in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quæ Parabolam tangit in
vertice principali.
Prop. XIII. Prob. VIII.
_Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centripetæ
tendentis ad umbilicum hujus figuræ._
[Illustration]
Maneat constructio Lemmatis, sitq; P corpus in perimetro Parabolæ, & a loco
Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR &
perpendicularem QT, necnon Qv tangentiparallelam & occurrentem tum diametro
YPG in v, tum distantiæ SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP &
æqualia unius latera SM, SP, æqualia sunt alterius latera Px seu QR & Pv.
Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ Qv æquale est rectangulo sub latere
recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4PS × Pv
seu 4PS × QR; & punctis P & Q coeuntibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit
æqualitatis. Ergo Qxq. eo in casu, æquale est rectangulo 4PS × QR. Est
autem (ob æquales angulos QxT, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc
est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4PS × QR ad 4AS × QR,
& inde (per Prop. 9. Lib. V. Elem.) QTq. & 4AS × QR æquantur. Ducantur hæc
æqualia in SPq. ÷ QR, & fiet SPq. × QTq. ÷ QR æquale SPq. × 4AS: &
propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce ut SPq. ×
4AS, id est, ob datam 4AS, reciproce in duplicata ratione distantiæ SP.
_Q. E. I._
_Corol. I._ Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si
corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacunq; cum
velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quæ sit reciproce
proportionalis quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc
corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; &
contra.
_Corol. II._ Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua
lineola PR in minima aliqua temporis particula describi possit, & vis
centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium QR:
movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est
quantitas illa QTq. ÷ QR quæ ultimo fit ubi lineolæ PR, QR in infinitum
diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum
excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.
Prop. XIV. Theor. VI.
_Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta
decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium
Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad
centrum ductis, eodem tempore describunt._
Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L æquale est quantitati QTq. ÷
QR quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato
tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce
ut SPq. Ergo QTq. ÷ QR est ut QTq. × SPq. hoc est, latus rectum L in
duplicata ratione areæ QT × SP. _Q. E. D._