confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit
_Galilæus_ descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum
projectilium fieri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus
motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem
Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium
Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem
& Lege tertia _D. Christopherus Wrennus_ Eques auratus, _Johannes Wallisius
S.T.D._ & _D. Christianus Hugenius_, hujus ætatis Geometrarum facile
Principes, regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim
adinvenerunt, & eodem fere tempore cum _Societate Regia_ communicarunt,
inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem _D.
Wallisius_ dein _D. Wrennus_ & _D. Hugenius_ inventum prodidit. Sed &
veritas comprobata est a _D. Wrenno_ coram _Regia Societate_ per
experimentum Pendulorum, quod etiam _Clarissimus Mariottus_ Libro integro
exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad
amussim congruat, habenda est ratio tum resistentiæ aeris, tum etiam vis
Elasticæ concurrentium corporum. Pendeant corpora A, B filis parallelis AC,
BD a centris C, D. His centris & intervallis describantur semicirculi EAF,
GBH radijs CA, DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis
R, & (subducto corpore B) demittatur inde, redeatq; post unam oscillationem
ad punctum V. Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV fiat ST pars
quarta sita in medio, & hæc exhibebit retardationem in descensu ab S ad A
quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto
S, & velocitas ejus in loco reflexionis A, absq; errore sensibili, tanta
erit ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur hæc velocitas
per chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut
chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima.
Post reflexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k.
Tollatur corpus B & inveniatur locus v, a quo si corpus A demittatur & post
unam oscillationem redeat ad locum r, sit st pars quarta ipsius rv sita in
medio, & per chordam arcus tA exponatur velocitas quam corpus A proxime
post reflexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & correctus
ad quem corpus A, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili
methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus
locus l, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto
experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem
ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quæ velocitatem ejus exhibet)
ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde in
chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reflexionem.
Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus Bl, ut habeatur motus ejus
proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul
demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusq; tam ante,
quam post reflexionem; & tum demum conferendi sunt motus inter se &
colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem
tentando, idq; in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut
corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim
concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi
corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio
motus erat corpori utriq; illata, atq; adeo quod actio & reactio semper
erant æquales. Ut si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus
motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus,
corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A
cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A cum duabus, redibat B cum
octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius A
subducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur aliæ partes duæ &
fiet motus duarum partium in plagam contrariam. & sic de motu corporis B
partium sex subducendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam
contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A velocius cum partibus
quatuordecim & B tardius cum partibus quinq; & post reflexionem pergebat A
cum quinq; partibus, pergebat B cum quatuordecim, facta translatione
partium novem de A in B. Et sic in reliquis. A congressu & collisione
corporum nunquam mutabatur quantitas motus quæ ex summa motuum
conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Namq; errorem digiti
unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis
accurate. Difficile erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se
mutuo impingerent in loco infimo AB, tum loca s, k, notare ad quæ corpora
ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inæqualis partium
densitas, & textura aliis de causis irregularis, errores inducebant.
Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc
experimentum præsupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem
perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus
naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus
mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam
pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda
est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate
vis Elasticæ. In Theoria _Wrenni_ & _Hugenij_ corpora absolute dura redeunt
ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte
Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum
vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex
congressu læduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,)
certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatq; corpora redire ab
invicem cum velocitate relativa quæ sit ad relativam velocitatem concursus
in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter
constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reflexionem,
inveni quantitatem vis Elasticæ; deinde per hanc vim determinavi
reflexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta.
Redibant semper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ esset ad
velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum
velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex subere cum paulo minore. In
vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atq; hoc pacto Lex tertia
quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata est, quæ cum experientia
plane congruit.
In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis A,
B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus
eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus corpus
alterum B, quam illud alterum B in prius A, obstaculum magis urgebitur
pressione corporis A quam pressione corporis B; proindeq; non manebit in
æquilibrio. Prævalebit pressio fortior, facietq; systema corporum duorum &
obstaculi moveri in directum in partes versus B, motuq; in spatiis liberis
semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum & Legi primæ
contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo
quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proindeq; corpora æqualiter
urgebunt obstaculum, & idcirco æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc
in Magnete & ferro. Si hæc in vasculis propriis sese contingentibus seorsim
posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed
æqualitate attractionis utrinq; sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem
in æquilibrio constituta quiescent.
Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt
reciproce ut vires insitæ: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia
idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates
secundum determinationem virium æstimatæ, sunt reciproce ut vires. Sic
pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oscillante Libra, sunt
reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta
ascendunt & descendunt, æquipollent, quæ sunt reciproce ut punctorum a
quibus suspenduntur distantiæ ab axe Libræ; sin planis obliquis aliisve
admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, æquipollent
quæ sunt ut ascensus & descensus quatenus facti secundum perpendiculum: id
adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu
Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quæ sit ad pondus vel directe
vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem
manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus
instrumentis, quæ ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrariæ ad
motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates
partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleæ ad
premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis
velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem
progressivam Cochleæ versus corpus pressum. Vires quibus cuneus urget
partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut progressus cunei
secundum determinationem vis a malleo in ipsum impressæ, ad velocitatem qua
partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares.
Et par est ratio Machinarum omnium.
Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem
augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere
Problema; _Datum pondus data vi movendi_, aliamve datam resistentiam vi
data superandi. Nam si Machinæ ita formentur ut velocitates Agentis &
Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, &
majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit
velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quæ tam ex
contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum &
ab invicem separandorum cohæsione & elevandorum ponderibus oriri solet;
superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi
proportionalem, partim in partibus Machinæ, partim in corpore resistente
producet. Cæterum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui
tantum ostendere quam late pateat, quamq; certa sit Lex tertia motus. Nam
si æstimetur Agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim; &
Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus
resistendi ab earum attritione, cohæsione, pondere & acceleratione
oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem
semper æquales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo
imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio
determinationi reactionis semper erit contraria.
* * * * *
DE MOTU CORPORUM
* * * * *
Liber PRIMUS
* * * * *
SECT. I.
_De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia
demonstrantur._
* * * * *
LEMMA I.
_Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato
tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere
possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo æquales._
Si negas, sit earum ultima differentia D. Ergo nequeunt propius ad
æqualitatem accedere quam pro data differentia D: contra hypothesin.
Lemma II.
[Illustration]
_Si in figura quavis AacE rectis Aa, AE, & curva acE comprehensa,
inscribantur parallelogramma quotcunq; Ab, Bc, Cd, &c. sub basibus AB,
BC, CD, &c. æqualibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. figuræ lateri Aa
parallelis contenta; & compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn,
&c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur
in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem
figura inscripta AKbLcMdD, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea
AabcdE, sunt rationes æqualitatis._
Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa
parallelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, hoc est (ob æquales omnium bases)
rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum
ABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur,
sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta
& multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales.
_Q. E. D._
Lemma III.
_Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogrammorum
latitudines AB, BC, CD, _&c._ sunt inæquales, & omnes minuuntur in
infinitum._
Sit enim AF æqualis latitudini maximæ & compleatur parallelogrammum FAaf.
Hoc erit majus quam differentia figuræ inscriptæ & figuræ circumscripta, at
latitudine sua AF in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis
rectangulum.
_Corol. 1._ Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit
omni ex parte cum figura curvilinea.
_Corol. 2._ Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium
arcuum ab, bc, cd, _&c._ comprehenditur, coincidit ultimo cum figura
curvilinea.
_Corol. 3._ Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum
circumscribitur.
_Corol. 4._ Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt
rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.
Lemma IV.
_Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duæ
parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi
latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum
in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint
eædem; dico quod figuræ duæ AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa
ratione._
[Illustration]
Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit
summa omnium ad summam omnium, & ita figura ad figuram; existente nimirum
figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, & posteriore figura ad
summam posteriorem in ratione æqualitatis.
_Corol._ Hinc si duæ cujuscunq; generis quantitates in eundem partium
numerum utcunq; dividantur, & partes illæ, ubi numerus earum augetur &
magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem,
prima ad primam, secunda ad secundam cæteræq; suo ordine ad cæteras; erunt
tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus
figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summæ partium semper
erunt ut summæ parallelogrammorum; atq; adeo, ubi partium &
parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in
ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin)
in ultima ratione partis ad partem.
Lemma V.
_Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt
proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in
duplicata ratione laterum._
Lemma VI.
[Illustration]
_Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in
puncto aliquo A, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinq;
producta AD; dein puncta A, B ad invicem accendant & coeant; dico quod
angulus BAD sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum &
ultimo evanescet._
Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B coeuntibus, nullaq; adeo
ipsius Ab parte AB jacente amplius intra curvam, manifestum esi quod hæc
recta Ab, vel coincidet cum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem &
curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturæ, ergo prior
obtinet. _Q. E. D._
Lemma VII.
_Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad
invicem est ratio æqualitatis. Vide _Fig._ Lem. 6 & 8 vi._
Nam producantur AB & AD ad b & d secanti BD parallela agatur bd. Sitq;
arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per
Lemma superius, evanescet; adeoq; rectæ Ab, Ad arcus intermedius Ab
coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales
rectæ AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt æqualitatis.
_Q. E. D._
[Illustration]
_Corol. 1._ Unde si per B ducatur tangenti parallela BF rectam quamvis AF
per A transeuntem perpetuo secans in F, hæc ultimo ad arcum evanescentem AB
rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo AFBD,
rationem semper habet æqualitatis ad AD.
_Corol. 2._ Et si per B & A ducantur plures rectæ BE, BD, AF, AG, secantes
tangentem AD & ipsius parallelam BF, ratio ultima abscissarum omnium AD,
AE, BF, BG, chordæq; & arcus AB ad invicem erit ratio æqualitatis.
_Corol. 3._ Et propterea hæ omnes lineæ in omni de rationibus ultimis
argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Lemma VIII.
[Illustration]
_Si rectæ datæ AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD, triangula
tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B accedunt ad invicem:
dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, &
ultima ratio æqualitatis._
Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, &
arcui AB similis ducatur arcus Ab. Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd
evanescet, & propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, suntq; eo
nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB,
RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & æqualia. _Q. E. D._
_Corol._ Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis
argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Lemma IX.
[Illustration]
_Si recta AE & Curva AC positione datæ se mutuo secent in angulo dato
A, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur BD, EC,
curvæ occurrentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad punctum A: dico
quod areæ triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata
ratione laterum._
Etenim in AD producta capiantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, &
erigantur ordinatæ db, ec ordinatis DB, EC parallelæ & proportionales.
Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi ABC similis, & recta Ag tangatur
curva utraq; in A; & secantur ordinatim applicatæ in F, G, f, g. Tum coeant
puncta B, C cum puncto A, & angulo cAg evanescente, coincident areæ
curvilineæ Abd, Ace cum rectilineis Afd, Age, adeoq; per Lemma V, erunt in
duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt
areæ ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areæ ABD, ACE sunt
ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. _Q. E. D._
Lemma X.
_Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso
motus initio in duplicata ratione temporum._
Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas
DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ ABD, ACE his
ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata
ratione temporum AD, AE. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium
figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui
viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis
generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus
ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata
temporum in quibus generantur quam proxime.
_Corol. 2._ Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis
generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.
Lemma XI.
_Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata
subtensæ arcus contermini._
[Illustration]
_Cas. 1._ Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, subtensa anguli contactus ad
tangentem perpendicularis BD, subtensa arcus AB. Huic subtensæ AB &
tangenti AD perpendiculares erigantur AG, BG, concurrentes in G; dein
accedant puncta D, B, G, ad puncta d, b, g, sitq; J intersectio linearum
BG, AG ultimo facta ubi puncta D, B accedunt usq; ad A. Manifestum est quod
distantia GJ minor esse potest quam assignata quævis. Est autem (ex natura
circulorum per puncta ABG, Abg transeuntium) AB quad. æquale AG × BD & Ab
quad. æquale Ag × bd, adeoq; ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex
rationibus AG ad Ag & BD ad bd. Sed quoniam JG assumi potest minor
longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratio AG ad Ag minus differat
a ratione æqualitatis quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ut
ratio AB quad. ad Ab quad. minus differat a ratione BD ad bd quam pro
differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultima AB quad.
ad Ab quad. æqualis rationi ultimæ BD ad bd. _Q. E. D._
_Cas. 2._ Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, & eadem semper
erit ratio ultima BD ad bd quæ prius, adeoq; eadem ac AB quad. ad Ab quad.
_Q. E. D._
_Cas. 3._ Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D, d ad æqualitatem
semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis
assignata, adeoq; ultimo æquales erunt, per Lem. I. & propterea lineæ BD,
bd in eadem ratione ad invicem ac prius. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & eorum sinus BC, bc
fiant ultimo chordis AB, Ab æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut
subtensæ BD, bd.
_Corol. 2._ Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in triplicata ratione
laterum AD, Ad, inq; sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita
ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia. Sic & triangula ABC, Abc sunt
ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.
_Corol. 3._ Et quoniam DB, db sunt ultimo parallelæ & in duplicata ratione
ipsarum AD, Ad; erunt areæ ultimæ curvilineæ ADB, Adb (ex natura Parabolæ)
duæ tertiæ partes triangulorum rectilineorum ADB, Adb, & segmenta AB, Ab
partes tertiæ eorundem triangulorum. Et inde hæ areæ & hæc segmenta erunt
in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum chordarum & arcuum AB, Ab.
_Scholium._
Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem
esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec
iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum A, nec infinite
parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AJ finitæ esse
magnitudinis. Capi enim potest DB ut AD^3: quo in casu circulus nullus per
punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proindeq; angulus
contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB
successive ut AD^4, AD^5, AD^6, AD^7, &c. habebitur series angulorum
contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite
minor priore. Et si fiat DB successive ut AD^2, AD^{3/2}, AD^{4/3},
AD^{5/4}, AD^{6/5}, AD^{7/6}, &c. habebitur alia series infinita angulorum
contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus
infinite major, & quilibet posterior infinite major priore. Sed & inter
duos quosvis ex his angulis potest series utrinq; in infinitum pergens
angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite
major priore. Ut si inter terminos AD^2 & AD^3 inseratur series AD^{13/6},
AD^{11/5}, AD^{9/4}, AD^{7/3}, AD^{5/2}, AD^{8/3}, AD^{11/4}, AD^{14/5},
AD^{17/6}, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri
potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis
differentium. Neq; novit natura limitem.
Quæ de curvis lineis deq; superficiebus comprehensis demonstrata sunt,
facile applicantur ad solidorum superficies curvas & contenta. Præmisi vero
hæc Lemmata ut effugerem tædium deducendi perplexas demonstrationes, more
veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur
demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est
indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica
censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum
evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites
summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes
qua potui breuitate præmittere. His enim idem præstatur quod per methodum
indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in
sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes
consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim
indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium
determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vimq;
talium demonstrationum ad methodum præcedentium Lemmatum semper revocari.
Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio;
quippe quæ, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est.
Sed & eodem argumento æque contendi posset nullam esse corporis ad certum
locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit
locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis
est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neq;
antequam attingit locum ultimum & motus cessat, neq; postea, sed tunc cum
attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum
ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem
quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non
antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio
prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est
quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem
velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. Hæc est
velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum
omnium incipientium & cessantium. Cumq; hic limes sit certus & definitus,
Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in
aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.
Contendi etiam potest, quod si dentur ultimæ quantitatum evanescentium
rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines; & sic quantitas omnis constabit
ex indivisibilibus, contra quam _Euclides_ de incommensurabilibus, in libro
decimo Elementorum, demonstravit. Verum hæc Objectio falsæ innititur
hypothesi. Ultimæ rationes illæ quibuscum quantitates evanescunt, revera
non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum
sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius
assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi,
neq; prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius
intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data est
differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum
ratio æqualitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimæ seu maximæ
quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum
imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes
vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed
cogita semper diminuendas sine limite.
* * * * *
SECT. II.
_De Inventione Virium Centripetarum._
Prop. I. Theorema. I.
_Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium
ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse
temporibus proportionales._
[Illustration]