SPHÃRICITà DE LA TERRE. Voici comment on montre la sphéricité de la
terre en se fondant sur les observations 1°, 2°, 3°, mentionnées dans la
note de la page 56.
On démontre d'abord que la courbe qui limite l'horizon sensible d'un
observateur placé à une hauteur quelconque est une circonférence dont
l'axe est la verticale du lieu.
[Illustration: 093, Fig. 30.]
Soit A (_fig_. 30) le point d'où on observe; AB, AG deux rayons visuels
quelconques allant à la courbe limite BC; AI la verticale du lieu A. On
sait que les angles BAI, CA1 sont égaux (1°). Nous allons prouver que
les lignes AB, AC sont égales. En effet, supposons qu'elles soient
inégales, que l'on ait AC > AB; nous pouvons prendre sur AB une longueur
AD = AC. Maintenant concevons que l'observateur s'élève en A' sur la
verticale AI, à une hauteur telle que le rayon visuel dirigé de ce point
A' dans le plan IAB, vers la nouvelle courbe limite, aille rencontrer la
ligne AD entre B et D, en E, par exemple; ce qui est toujours possible.
Le rayon visuel, dirigé de même de A' dans le plan IAC, ira rencontrer
la ligne AC en un point F situé au delà de C (2°). Les deux triangles
AA'E; A'AF sont égaux: car AA' = AA'; angle EA'I = angle FA' (1°); les
angles en A sont égaux comme suppléments des angles égaux EAI, FAI; les
triangles AA'E, AA'F étant égaux, on en conclut AE = AF. Mais AF est >
AC et AE < AD; avec AD = AC, on aurait donc une ligne AE plus petite que
AD égale à une ligne AF > AC; ce qui est absurde Cette absurdite résulte
de ce qu'on a supposé AC > AB; donc AC n'est pas plus grand que AB; ces
deux lignes ne pouvant être plus grandes l'une que l'autre, sont égales.
Les lignes allant du point A à la courbe limite étant égales, et faisant
avec la verticale AI des angles égaux; la courbe limite, lieu de ces
points B, C,..... est une circonférence qui a tous ses points également
distants de chaque point de la verticale AI.
[Illustration:094 Fig. 31]
Soient maintenant deux points d'observation A et A', situés sur deux
verticales différentes AI, A'Z (fig. 31); soit HD la corde commune aux
deux circonférences qui limitent les horizons sensibles de A et A';
menons les diamètres BCK, MCN, par le milieu C de HD. Cette corde HD est
perpendiculaire à ces deux diamètres BCK, MCN, et par suite à leur plan
BCN. Réciproquement le plan BCN est perpendiculaire à HD, et par suite
aux plans des circonférences qui ont HD pour corde commune. Le plan BCN
étant perpendiculaire au plan BHK, la perpendiculaire IA à ce plan BHK
est tout entière dans le plan BCN; de même A'Z est dans le plan BCN. Les
deux verticales IA, ZA' perpendiculaires à deux droites BC, CN, dans un
même plan avec ces droites, se rencontrent en un certain point O. Tirons
OH; le point O est à la même distance OH de tous les points de la
circonférence BHK; il est à la même distance OH de tous les points de
circ. NHM; il est donc à égale distance de tous les points de l'une et
l'autre circonférence.
Soit L un point quelconque de la surface de la terre; on peut concevoir
par L une circonférence LP, dont le plan soit perpendiculaire à la
verticale AIO ou à son prolongement OA", et qui rencontre la
circonférence NHM; dès lors OL égale la distance de O à circ. NHM,
c'est-Ã -dire OL = OH. Si circ. LP ne rencontrait pas circ. NHM, elle
rencontrerait une circonférence perpendiculaire à OZA' rencontrant déjÃ
circ. BKH; de sorte qu'on aurait toujours OL = OH. Le point O est donc Ã
égale distance de tous les points de la surface terrestre; celle-ci
ayant tous ses points à égale distance d'un point intérieur, est une
surface sphérique.