Démonstration des deux principes relatifs à la projection
stéréographique des cercles d'une sphère, énoncés n° 92, page 74.
Théorème I. Tout cercle ED de la sphère a pour perspective, ou
projection stéréographique, un cercle.
[Illustration: 095, Fig. 40 _bis_.]
[Illustration: 095, Fig. 41.]
Observons d'abord que les droites qui projettent les points d'une
circonférence, circ.ED (V. la _fig_. 41 ci-après) sont les génératrices
d'un cône circulaire qui a le point de vue O pour sommet et cette
circonférence pour base. L'intersection d'une pareille surface par un
plan KBL parallèle à la base est une autre circonférence. En effet,
menons les génératrices quelconques OA, OE, OD qui rencontrent la
section en K, B, L (_fig_. 40 _bis_); les triangles semblables OIB, OIA
donnent O_i_/OI = _i_B/IA; les triangles OIK, OIE donnent O_i_/OI =
_i_K/IE; donc _i_B/IA = _i_K/IE; mais IA=IE, donc _i_B = _i_K; on
prouverait de même que _i_B = _i_L; donc la courbe KBL est une
circonférence dont le centre est _i_. Cela posé, soit O (_fig_. 41) le
point de vue sur la sphère; on sait que le tableau ou plan de projection
est un grand cercle ASB perpendiculaire au rayon OC. Soit HMF la
perspective d'une circonférence quelconque de la sphère, circ.ED; il
faut prouver que HMF est une circonférence. Pour cela, observons que la
ligne CI, qui joint le centre C de la sphère et le centre I de circ. ED,
est perpendiculaire au plan de cette circonférence; de sorte que le plan
OCI est à la fois perpendiculaire à cercle ASB et à cercle ED. Ce plan
OCI coupe la surface conique suivant le triangle OED, et le tableau ASB
suivant un diamètre ACB. Soit M un point quelconque de la projection HMF
de cercle ED; abaissons de M la perpendiculaire MP sur l'intersection CB
ou HF du plan OED et du plan ASB. Comme ces plans sont perpendiculaires,
MP, qui est dans le plan ASB, est perpendiculaire au plan OED; MP est
donc parallèle à cercle ED. Conduisons par MP un plan parallèle à cercle
ED; ce plan coupe le cône suivant une circonférence KML, dont KL,
parallèle à ED, est un diamètre. D'après un théorème connu (3° livre de
géométrie), (MP)² = KP à PL (1). Cela posé, observons que l'angle HFO =
OED; en effet HFO a pour mesure 1/2 AO + 1/2 BD; OED a pour mesure 1/2
DB + 1/2 OB; or AO = OB (ce sont deux quadrants). De ce que HFO = 0ED,
et OED=OKL, on conclut OKL = HFO; de OKL = HFO, on conclut que l'arc du
segment circulaire capable de l'angle HFO, qui aurait HL pour corde,
passerait par le point K. Les quatre points H, K, F, L sont donc sur une
même circonférence; les lignes HF, KL étant deux cordes d'une même
circonférence, HP à PF = KP à PL; donc en vertu de l'égalité (1), (MP)²
= HP Ã PF. Si donc on tirait les lignes HM, MF, le triangle HMF serait
rectangle; le point M appartient donc à la circonférence qui, dans le
plan ASB, a pour diamètre HF. Le point M étant un point quelconque de la
projection de circ. ED, on conclut que tous les points de la projection
sont sur la circonférence HMF dont nous venons de parler, autrement dit,
que cette circonférence est précisément la projection de circ. ED sur le
plan ASB.
Théorème II. _L'angle que forment deux lignes_ MP, MN _qui se coupent
sur la sphère est égal à celui que forment les lignes_ mn, mp _qui les
représentent sur la carte_ (_fig_. 41 _bis_). (On sait qu'on appelle
angle de deux lignes courbes MP, MN, l'angle que forment les tangentes
MG, MF, menées à ces courbes à leurs points de rencontre.)
[Illustration: 096, Fig. 41 bis]
Soient _g_ et _f_ les points où MG, MF percent le tableau; les
projections _mg_, _mf_ de ces tangentes sont elles-mêmes tangentes aux
courbes _mn_, _mp_; il faut démontrer que l'angle _gmf_=GMF. Pour cela,
menons, par le point de vue 0, un plan GOF parallèle au plan du tableau;
ce plan GOF perpendiculaire à l'extrémité du rayon OC est tangent à la
sphère. Soient G et F les points d'intersection de ce plan par les
tangentes MG, MF; menons OG, OF, FG. Les lignes OG, _mg_, intersection
des deux plans parallèles par le plan OMG, sont parallèles; OF, _mf_
sont aussi parallèles; donc l'angle _gmf_=GOF; nous allons prouver que
GOF=GMF. En effet, les lignes GM, GO, tangentes à la sphère, issues du
même point G, sont égales (on peut concevoir deux grands cercles
déterminés par les plans CMG, COG, lesquels auraient pour tangentes MG,
OG); pour une raison semblable, FM=FO. Les deux triangles MGF, OGF sont
donc égaux; par suite, l'angle GOF=GMF; donc _gmf_=GOF=GMF. C. Q. F. D.
REMARQUE. Nous avons dit que _mf_, projection de la tangente MF, était
elle-même une tangente à la projection _mn_ de MN. On se rend compte de
ce fait en imaginant une sécante MM' à la courbe MN, et la projection
_mm_' de cette sécante; puis faisant tourner le plan projetant OMM'
autour de OM, jusqu'Ã ce que M' soit venu se confondre avec M, MM'
devenant la tangente MF; pendant ce temps, _m_' se rapproche de _m_, et
se confond avec _m_ quand M' arrive en M; de sorte que la sécante et sa
projection deviennent tangentes en même temps.