Produced by Juliet Sutherland, Tony Browne and PG Distributed
Proofreaders
MEETKUNDIG
SCHOOLBOEK.
DOOR
H. SLUIJTERS.
1848
VOORBERIGT
VOOR DEN TWEEDEN DRUK.
_Ook met dit werk heb ik het geluk gehad, om in mijn doel te mogen
slagen, waarover ik mij hartelijk verheug. Niet alleen waren de oordeel-
vellingen der Kunstregters vrij gunstig en aanmoedigend; maar eene
tamelijk groote oplage is binnen weinige jaren uitverkocht, en ik smaak
dus het genoegen te ondervinden, dat mijne Ambtgenooten dit schoolboek
tot veelvuldig gebruik deden strekken, waarvoor ik hun openlijk mijnen
dank toebreng._
_Overtuigd, dat een werkje, van dezen aard, bijzonder vrij van
drukfouten zijn moet, heb ik mij bevlijtigd, om die in dezen nieuwen
druk te vermijden; terwijl, op verlangen van onderscheidene gebruikers,
de meeste afdeelingen met eenige nieuwe voorstellen zijn vermeerderd,
waardoor deze arbeid, naar ik mij vlei, in bruikbaarheid zal gewonnen
hebben._
H. SLUIJTERS.
VOORBERIGT.
_Bij den aanleg van mijn _Practisch Cijferboek voor de Scholen ten
platten lande_, had ik het plan, om in een vijfde stukje opgaven voor
het meetkundig rekenen te leveren; doch later van voornemen veranderd
zijnde, besloot ik tot het vervaardigen van een werkje, hetwelk 1^o.
niet alleen dienen kon ten vervolge op het bovengenoemde cijferboek,
maar 2^o. tevens geschikt was voor zulke burgerkinderen, wien de
gelegenheid ontbreekt tot eene meer grondige beoefening der meetkunst,
en 3^o. voor die klasse van leerlingen, welke tot eene meer uitgebreide
kennis dezer wetenschap worden voorbereid. Om dit drieledig oogmerk te
bereiken, heb ik de meetkundige waarheden zonder eenig bewijs
voorgedragen en daarbij opgaven geleverd, om dezelve te leeren
gebruiken. Hierdoor is tijd gewonnen voor de leerlingen der burger- en
landscholen; terwijl zij, wien het ten voorlooper van meer uitgebreide
werken gegeven wordt, de in deze laatste voorkomende bewijzen, enz. met
meer lust zullen beoefenen. De ondervinding leert het, dat de beoefening
van het beschouwende gedeelte der meetkunst voor de meeste leerlingen
weinig uitlokkend is, zoo lang zij de stellingen niet weten toe te
passen. Men schat eene zaak eerst dan op den regten prijs, wanneer men
derzelver waarde heeft leeren kennen._
_De stellingen, in dit werkje voorkomende, heb ik ontleend uit de
_Beginselen der Meetkunst_ van S.F. LACROIX, omdat dit werk op de
kostscholen het meest gebruikt wordt._
_Wordt dit werkje geschikt gekeurd om het voorgestelde doel te bereiken,
dan zal mijne moeite en zorg, in de uren van uitspanning aan deszelfs
vervaardiging besteed, beloond wezen._
H. SLUIJTERS.
INHOUD.
VERKLARING VAN EENIGE TEEKENS. TAFELS VAN MATEN.
EERSTE HOOFDDEEL.
DE MEETKUNST DER VLAKKEN OF OPPERVLAKTEN.
VOORAFGAANDE BEPALINGEN.
VIERKANTS-WORTELTREKKING.
OVER DE VIERZIJDIGE VLAKKEN, WAARVAN DE TEGENOVERSTAANDE ZIJDEN PARALLEL
LOOPEN.
OVER DE DRIEHOEKEN.
OVER DE TRAPEZIUMS.
OVER DE VEELHOEKEN.
OVER DEN CIRKEL.
OVER DE GELIJKVORMIGE FIGUREN.
OVER DE VEELHOEKEN, WELKE _IN_ EN _OM_ DEN CIRKEL BESCHREVEN
ZIJN.
TWEEDE HOOFDDEEL.
OVER DE LIGCHAMEN.
VOORAFGAANDE BEPALINGEN.
KUBIEK-WORTELTREKKING.
OVER DEN KUBIEK EN HET PARALLELEPIPEDUM.
OVER DE PRISMAAS EN PIRAMIDEN.
HET BEREKENEN VAN LIGCHAMEN, TOEGEPAST OP DIJKEN, GRACHTEN, ENZ.
OVER DE CILINDERS EN KEGELS.
OVER DEN BOL.
GEMENGDE VOORSTELLEN.
VERKLARING VAN EENIGE TEEKENS, BIJ DE MEETKUNST IN GEBRUIK.
+, _plus_ of _en_ genoemd, duidt aan, dat de grootheden of getallen,
tusschen welke dit teeken geplaatst is, bij elkander moeten opgeteld
worden. Zoo geeft a + b te kennen, dat de grootheid b bij de grootheid a
moet opgeteld worden; 9 + 6 beteekent de som van 9 en 6, of dat 6 bij 9
moet worden gevoegd.
-, _minus_ of _min_ genoemd, wijst aan, dat de grootheid of het getal,
voor welke dit teeken staat, van de voorgaande moet worden afgenomen.
Zoo beteekent a - b, dat de grootheid a met de grootheid b moet
verminderd worden; 8 - 4 geeft te kennen, dat 4 van 8 afgetrokken moet
worden.
*, _maal_ genoemd, duidt aan, dat de grootheden of getallen, tusschen
welke dit teeken geplaatst is, met elkander moeten vermenigvuldigd
worden. Zoo beteekent a * b, dat de grootheid a met de grootheid b moet
vermenigvuldigd worden; 8 * 6 geeft het product van 8 en 6 te kennen.
Ook wordt door eene stip (.) de vermenigvuldiging van twee grootheden of
getallen uitgedrukt. Men kan a * b ook dus a . b voorstellen.
/, _gedeeld door_ genoemd, wijst aan dat de grootheid of het getal, vóór
dit teeken staande, moet gedeeld worden door de grootheid of het getal,
achter hetzelve geplaatst. a / b zegt: de grootheid a gedeeld door de
grootheid b en 8 / 4 het getal 8 gedeeld door het getal 4. Men kan het
quotient van twee grootheden ook uitdrukken door den deeler onder het
deeltal te plaatsen met een streepje tusschen beide, aldus:
a 8
--- en ---.
b 4.
=, _gelijk_ genaamd, geeft te kennen, dat de grootheden of getallen, die
ter wederzijden van dit teeken staan, _gelijk_ of even groot zijn. De
uitdrukking _a_ = _b_ zegt dat de grootheid _a_ juist zoo groot is als
de grootheid _b_, en 8 + 9 = 7 + 10, dat de som der getallen 8 en 9 even
zoo veel is als de som van 7 en 10.
>, _grooter dan_ genoemd, wijst aan, dat de grootheid, die vóór hetzelve
staat, grooter is dan de grootheid, die achter hetzelve geplaatst is.
Aldus leest men: _a_ > _b_, _de grootheid_ a _grooter dan de grootheid_
b.
<, _kleiner dan_ genoemd, geeft te kennen, dat de grootheid, die vóór
hetzelve staat, kleiner is dan de grootheid, die achter hetzelve
geplaatst is. Aldus leest men _a_ < _b_, _de grootheid_ a _kleiner dan
de grootheid_ b.
[Symbool] beteekent _hoek._
[Symbool] " _regte hoek._
[Symbool] " _driehoek._
[Symbool] " _parallelogram._
[Symbool] " _regt hoek._
[Symbool] " _vierkant._
[Symbool] " _cirkel._
[Symbool] " _omtrek._
[Symbool] " _cirkelboog_ of _boog._
AB^2 drukt uit het vierkant op AB beschreven.
AB^3 drukt uit de kubiek op eenen lijn AB beschreven.
TAFEL DER LENGTEMATEN IN DE NEDERLANDEN.
BENAMINGEN. HOEGROOTHEID _AANMERKINGEN_.
IN ELLEMAAT.
Mijl (_kilometer_) 1000 ellen De eenheid der lengtematen
(_hectometer_) 100 » is een veertig millioenste
Roede (_decameter_) 10 » gedeelte van den
El (_meter_) 1 el. omtrek der aarde, langs
Palm (_decimeter_) 0,1 » den middagcirkel van Parijs
Duim (_centimeter_) 0,01 » gemeten.
Streep (_millimeter_) 0,001 »
Dit stelsel is ook bekend
onder den naam van
het wijsgeerige stelsel van
maten (en gewigten).
VERGELIJKENDE TAFEL VAN DE NIEUWE MET DE OUDE IN NEDERLAND IN GEBRUIK
GEWEEST ZIJNDE LENGTEMATEN.
PLAATSEN LENGTE
EN IN NED. _AANMERKINGEN_.
BENAMINGEN. STREPEN.
/roede 3767,4 De rijnlandsche maat was voorheen
|voet 313,9 de meest gebruikelijke.
Rijnl.{duim 26,2 Eene rijnl. roede bevat 12 voeten,
|lijn 2,2 een voet 12 duimen, een
\punt 0,2 duim 12 lijnen, eene lijn 12
punten.
/roede 3680,7 Ook de amsterdamsche maat
|vadem van werd voorheen veel gebruikt,
| 6 voeten 1698,8 vooral bij gebouwen. De amst.
Amst. {voet 283,1 roede bevat 13 voeten, de voet
|duim 25,7 11 duimen en de duim 11 lijnen.
\lijn 2,3
Utrechtsche of Voor het burgerlijk gebruik
Stichtsche roede 3755,9 was deze roede in 14, bij de
landmeters echter in 10 voeten
verdeeld.
Geldersche roede 3807,3 Verdeeld in 15 voeten, de
voet in 10 duimen.
Groningsche roede 4090,8 Verdeeld in 14 voeten, de
voet in 12 duimen.
Koningsroede in In 12 deelen verdeeld.
_Vriesland_ 3912,8
Amsterdamsche el 687,8 Op vele plaatsen en alleen
bij het meten van stoffen in
Haagsche el 694,3 gebruik.
VERDEELING VAN DEN CIRKELTREK.
Alle cirkeltrekken worden verdeeld in 360 gelijke deelen, _graden_
genoemd; iedere graad bevat 60 _minuten_, en elke minuut is 60
_seconden_. Om graden, minuten en seconden te schrijven, zijn bijzondere
teekens in gebruik; 21 graden 30 minuten 12 seconden drukt men met
behulp van dezelve dus uit: 25° 30' 12". Deze verdeeling is zeer oud en
nog vrij algemeen in gebruik. Er bestaat echter eene nieuwe verdeeling,
volgens welke de cirkeltrek 100 graden, de graad 100 minuten en de
minuut 100 seconden heeft. Bij het bezigen van deze verdeeling vervallen
de teekens ' en ", schrijvende men 25 graden 30 minuten 12 seconden
alsdan 25,3012°.
* * * * *
De geographische of duitsche mijl van 15 in éénen graad is = 7407,4 el.
Eene zee-mijl van 20 in éénen graad is = 5555,6 el.
Eene oude fransche mijl van 25 in éénen graad is = 4444,4 el.
Eene fransche en engelsche zee-mijl van 60 in éénen graad is = 1851,9
el.
TAFEL DER OPPERVLAKTEMATEN IN DE NEDERLANDEN.
BENAMINGEN. HOEGROOTHEID IN
VIERKANTE ELLEN.
Bunder (_hectare_) 10000 vierk. ellen.
Vierk. roede (_are_) 100 » »
Vierk. el (_vierk. meter_) 1 » el.
Vierk. palm (_vierk. decimeter_) 0,01 » »
Vierk. duim (_vierk. centimeter_) 0,0001 » »
Vierk. streep (_vierk. millimeter_) 0,000001 » »
Voorts houdt:
Een vierk. rijnl. roede, 14,1930 vierk. ned. ellen.
» » » voet, 9,8562 » » palmen.
» » » duim, 6,8446 » » duimen.
» » amst. roede, 13,5478 » » ellen.
» » » voet, 8,0164 » » palmen.
» » » duim, 6,6251 » » duimen.
» rijnl. morgen, 0,8516 bunders.
» vierk. duitsche mijl, 5,487 vierk. ned. mijlen,
Om hoeken te meten, heeft men den regten hoek als de hoofdmaat of
eenheid aangenomen; dezelve is verdeeld in 90 kleinere hoeken, _graden_
genoemd, de graad weder in 60 _minuten_ en de minuut in 60 _seconden_.
TAFEL DER LIGCHAAMSMATEN IN DE NEDERLANDEN.
BENAMINGEN. HOEGROOTHEID
IN KUB. ELLEN.
Kubieke el of wisse (_stère_) 1 Kub. el.
Kub. palm (_kub. decimeter_) 0,001 » »
Kubieke duim (_kub. centimeter_) 0,000001 » »
Kubieke streep (_kub. millimeter_) 0,000000001 » »
Wijders bevat:
Een kub. rijnl. voet 30,943322 kub. ned. palmen.
» » » duim 17,907015 » » duimen.
» » amst. voet 22,697161 » » palmen.
» » » voet 17,052713 » » duimen.
Eindelijk houdt de schacht aarde van 144 kub. rijnl. voeten 4,45583837
kub. ellen.
MEETKUNDIG SCHOOLBOEK
EERSTE HOOFDDEEL.
DE MEETKUNST DER VLAKKEN OF OPPERVLAKTEN.
VOORAFGAANDE BEPALINGEN.
§ 1. _Meten_ is eene bewerking, door middel van welke men eene grootheid
met eene andere van dezelfde soort _vergelijkt_; zoo vergelijkt men, bij
voorbeeld, eene lijn met eene andere, eene oppervlakte met eene andere,
den inhoud van een ligchaam met dien van een ander.
§ 2. De _meetkunst_ is de kunst, om te bepalen, hoe de grootte van elke
uitgebreidheid afhangt van de wijze, op welke zij door hare grenzen
bepaald is, ten einde langs dien weg de regels te vinden, om dezelve met
uitgebreidheden van dezelfde soort te vergelijken.
§ 3. Er zijn drie soorten van uitgebreidheden, namelijk _lengte_-,
_vlakte_- en _ligchamelijke_- uitgebreidheden.
§ 4. De lengte-uitgebreidheden worden voorgesteld onder den naam van
_lijnen_. De lijnen hebben dikte noch breedte. Fig. 1 stelt eene
meetkundige lijn voor, wanneer men alleen de lengte in aanmerking neemt.
§ 5. De uiteinden der lijnen zijn _punten_. Een punt heeft geene de
minste uitgebreidheid: het is een ondeelbaar iets.
§ 6. Men onderscheidt twee soorten van lijnen, namelijk, _regte_ en
_kromme_. Men verkrijgt van de regte lijn een duidelijk denkbeeld door
te zeggen, _dat zij de kortste weg is om van het eene punt tot het
andere punt te geraken_. Elke lijn, welke niet regt is, of niet uit
regte lijnen is zamengesteld, noemt men _krom_. Er bestaat een oneindig
getal verschillende kromme lijnen.
§ 7. De onderlinge helling of rigting van twee lijnen op of tot
elkander, die in hetzelfde vlak gelegen zijn, en verlengd worden, tot
dat zij elkander in eenig punt snijden of ontmoeten, wordt _hoek_
genoemd. Fig. 2. De lijnen AB en AC dragen den naam van _beenen_ van den
hoek; terwijl men het punt A, waarin de beenen elkander ontmoeten, het
_hoekpunt_ noemt.
§ 8. Wanneer eene lijn CD (fig. 3) op eene andere lijn zoodanig
geplaatst is, dat de hoeken ACD en BCD aan beide zijden gelijk zijn, dan
zegt men, dat de lijn CD _loodregt_ of _perpendiculair_ op AB slaat, en
de hoeken ACD en BCD worden dan _regte hoeken_ genaamd. Alle regte
hoeken zijn dus even groot.
§ 9. Een hoek, die kleiner is dan een regte, wordt _scherpe_ hoek
genoemd. Zoo is de hoek BCE (fig. 3) scherp. Elke hoek, grooter dan een
regte, heet _stompe_ hoek. De hoek ACE (fig. 3) is dus een stompe hoek.
§ 10. Twee lijnen, welke in hetzelfde vlak liggen, en, hoe ver ook
verlengd, elkander nimmer ontmoeten, worden _evenwijdig_ of _parallel_
genoemd.
* * * * *
VIERKANTS-WORTELTREKKING.
§ 1. Indien men een getal, bij voorbeeld 10, met zich zelf
vermenigvuldigt, dan wordt het product 100, het _kwadraat_ of _vierkant_
van 10 genoemd. Dit product draagt ook wel den naam van _tweede magt_
van het getal.
§ 2. De vierkants-wortel uit eenig getal, bij voorbeeld uit 2116, te
trekken, is het getal 46 te vinden, hetwelk, met zich zelf
vermenigvuldigd zijnde, het getal 2116 weder voortbrengt. De
uitdrukkingen _kwadraats-wortel_, _vierkants-wortel_ en _tweede magts-
wortel te trekken_ hebben dezelfde beteekenis.
§ 3. Door _kwadraat_-, _vierkants_- of _tweede magts- wortel_ verstaat
men het getal, hetwelk, met zich zelf vermenigvuldigd, het gegeven
kwadraat of vierkant weder te voorschijn brengt.
§ 4. Om den vierkants-wortel uit een geheel getal ie trekken, volgt men
den volgenden algemeenen regel:
1^e. Deel het getal van twee tot twee cijfers van de regter- naar de
linkerhand af.
2^e. Neem den naasten wortel uit het eerste of uit de twee eerste
cijfers, en trek het vierkant van dien wortel daarvan af.
3^e. Schrijf achter dit verschil de twee volgende cijfers. Deel dan dit
gevondene getal, uitgenomen het achterste cijfer, door tweemaal den
gevonden wortel. Stel dit quotient, hetwelk het tweede lid des wortels
is, achter den deeler; beschouw dan dit getal als éénen deeler, en
vermenigvuldig dien vereenigden deeler met dien zelfden nu gevonden
wortel, en trek het product van het deeltal af.
4^e. Plaats achter de tweede rest weder de twee volgende cijfers, en
deel dan weder door twee maal de beide gevondene cijfers des wortels,
altijd het achterste cijfer des deeltals buiten aanmerking latende, en
ga zoo voort tot aan het einde toe.
§ 5. Ter opheldering van dezen regel laten wij hier een uitgewerkt
voorbeeld volgen. Nemen wij het getal 190969.
----------
_2 / 19|09|69 = 437.
\/
4 * 4 = 16 .. ..
--------
3 09 ..
83 * 3 = 2 49 ..
--------
60 69
867 * 7 = 60 69.
_Verklaring_. Men deelt het getal eerst af in vakken van twee cijfers,
te beginnen bij de regterhand, dan heeft men 19|09|69. Nu vraagt men,
welke is de naast kleinere vierkants-wortel uit 19, en het antwoord zegt
4, omdat 19 grooter dan 16 = 4 * 4 en kleiner 25 = 5 * 5 is. De 4 is het
eerste deel van den wortel. Nu zeg ik 4 * 4 = 16, en trek die 16 van 19
af, dan blijft er 3 over. Achter dit verschil 3 stel ik de twee volgende
cijfers 09, die in het tweede vak staan, waardoor ik 309 verkrijg. Nu
deel ik tweemaal den gevonden wortel of 8 in 30, want het derde cijfer 9
komt niet in aanmerking, en vind 3, welke het tweede lid van den wortel
is, en welke ik ook achter het dubbel van het eerste lid plaatse,
waardoor ik het getal 83 verkrijg; deze 83 vermenigvuldig ik met het
quotient 3, en trek het product 249 van 309 af; de rest is dan 60.
Achter dit verschil schrijf ik de cijfers van het derde vak, namelijk
69, en dan heb ik 6069. Met weglating van het achterste cijfer, vraag
ik, na alvorens het nu gevondene deel des wortels, dat is 43, verdubbeld
te hebben: hoeveelmaal is dat dubbel 86 in 606 begrepen? Ik vind 7 maal;
deze 7 is het derde deel van den wortel. Dit derde deel schrijf ik
achter 86, en verkrijg 867; dit getal vermenigvuldig ik nu met 7, dan
bekom ik juist de resterende 6069.
VOORSTELLEN.
1. Trek den vierkants-wortel uit 67600.
_Antw._ 260.
2. Welke is de kwadraats-wortel uit het getal 185761?
_Antw._ 431.
3. Zeg nu ook eens hoe veel de tweede magts-wortels zijn uit 152100,
160000, 193600.
_Antw._ 390, 400, 440.
4. Welke zijn de vierkants-wortels uit 625681, 564001 en 518400?
_Antw._ 791, 751 en 720.
5. Trek den kwadraats-wortel uit 207025, 222784 en 183184.
_Antw._ 455, 472 en 428.
6. Zeg ook welke de kwadraats-wortel is uit 5740816.
_Antw._ 2396.
7. Hoe veel is de tweede magts-wortel uit 537009030481.
_Antw._ 732809.
8. Zeg dat ook nog van 28404401658084.
_Antw._ 5329578.
§ 6. In de voorgaande voorbeelden gaan de wortels juist op: van de
meeste getallen kan echter de wortel niet juist gevonden worden. Van
dien aard zijn 2, 3, 5, 6, 7, 8 enz. Men kan uit deze laatste getallen,
die men _onvolkomene_ of _wortellooze_ _vierkants- getallen_ noemt, wel
bij benadering, maar niet volkomen den vierkants-wortel in getallen
voorstellen. Om den vierkants-wortel uit eenig getal bij benadering te
vinden, gaat men volgens den in § 4 opgegeven regel te werk, tot zoo
lang de bewerking met de laatste cijfers van het gegeven getal is
afgeloopen; alsdan plaatst men achter den gevonden wortel een
decimaalpunt, en achter de rest twee nullen, waarna men de bewerking op
de gewone wijze voortzet, tot zoo lang als de naauwkeurigheid vordert,
voegende bij elke nieuwe rest twee nullen. Zie hiervan een voorbeeld:
------
_2 / 5|55 = 23,558
\/
2 * 2 = 4
--------
1 55
43 * 3 = 1 29
--------
26 00
465 * 5 = 23 25
----------
2 75 00
4705 * 5 = 2 35 25
----------
39 75 00
47108 * 8 = 37 68 64
-----------
2 06 36 enz.
VOORSTELLEN.
1. Vind bij benadering den vierkants-wortel uit 3.
_Antw._ 1,73205.
2. Welke is de naaste vierkants-wortel uit 5?
_Antw._ 2,23606 enz.
3. Zeg dat ook van het getal 6.
_Antw._ 2,44948 enz.
4. Vind bij benadering den vierkants-wortel uit 7.
_Antw._ 2,64575.
6. Welke is de naaste kwadraats-wortel uit 10?
_Antw._ 3,16227 enz.
7. Zeg dat ook nog van 17.
_Antw._ 4,12316.
§ 7. Om den vierkants-wortel uit eene tiendeelige breuk te vinden, heeft
men den volgenden regel:
Verdeel, het scheiteeken tot grondslag nemende, de geheelen, indien die
in het gegeven getal voorkomen, van de regter- naar de linkerhand in
twee cijfers, en de tiendeeligen insgelijks in twee cijfers, doch van de
linker- naar de regterhand. Gaat overigens op dezelfde wijze te werk,
als of het een geheel getal ware, met in acht neming evenwel, dat men
het scheiteeken in den wortel plaatst, daar, waar men in de bewerking
van de geheelen tot de tiendeeligen overgaat.
_Voorbeeld ter opheldering._ Laat de vierkants-wortel gevonden worden
uit 1389,7984.
-------------
_2 / 13|89,79|84 = 37,28
\/
3 * 3 = 9
-----
4 89
67 * 7 = 4 69
--------
20 79
742 * 2 = 14 84
----------
5 95 84
7448 * 8 = 5 95 84
---------
0
VOORSTELLEN.
1. Welke zijn de kwadraats-wortels van 2,56; 6,76 en 8,41?
_Antw._ 1,6; 2,6 en 2,9.
2. Trek den vierkants-wortel uit 10,89; 15,21 en 1,0201.
_Antw._ 3,3; 3,9 en 1,01.
3. Hoe veel zijn de kwadraats-wortels uit 1,1236; 1,1881 en 41,6025?
_Antw._ 1,06; 1,09 en 6,45.
4. Trek den vierkants-wortel uit 0,0000680625.
_Antw._ 0,00825.
5. Welke is de tweede magts-wortel uit 9,628609?
_Antw._ 3,103.
§ 8. Om den vierkants-wortel uit eene gewone breuk te vinden, volgt men
dezen regel:
Vermenigvuldig den teller met den noemer, en deel den vierkants-wortel
uit het product door den noemer der gegevene breuk.
Om den wortel uit een gemengd getal te trekken, moet men eerst dit
gemengde getal tot eene breuk herleiden, en voorts den bovenstaanden
regel op deze breuk toepassen.
VOORSTELLEN.
4
1. Zoek den kwadraats-wortel uit ---.
9
2
_Antw._ ---.
3
9
2. Welke is de vierkants-wortel uit ----?
16
3
_Antw._ ---.
4
16
3. Vind den tweeden magts-wortel uit ----.
25
4
_Antw._ ---.
5
25
4. Trek den vierkants-wortel uit ----.
36
5
_Antw._ ---.
6
256
5. Hoe veel is de kwadraats-wortel uit -----?
625
16
_Antw._ ----.
25
24
6. Vind den vierkants-wortel uit 73 ----.
25
3
_Antw._ 8 ---.
5
20
7. Trek den tweeden magts-wortel uit 18029 -----.
121
3
_Antw._ 134 ----.
11
223
8. Nu ook nog uit 88418 -----.
289
6
_Antw._ 297 ----.
17
§ 9. Om den wortel uit een gebroken of gemengd getal te vinden, kan men
hetzelve eerst tot eene tiendeelige breuk herleiden, en uit deze den
wortel trekken.
* * * * *
OVER DE VIERZIJDIGE VLAKKEN, WAARVAN DE TEGENOVERSTAANDE ZIJDEN PARALLEL
LOOPEN.
§ 1. Een _vlak_ is eene uitgebreidheid, die alleen in lengte en breedte
is uitgestrekt en geene de minste dikte of hoogte heeft. Men
onderscheidt de vlakken in twee hoofdsoorten: in _platte_ en _gebogene_
of _kromme_ vlakken. Het _platte vlak_ onderscheidt zich hierdoor van
alle andere vlakken, _dat eene regte lijn in alle rigtingen op hetzelve
past_. Een stilstaand water vertoont een volmaakt plat vlak. Er bestaat
slechts ééne soort van platte vlakken. Elke oppervlakte, die geen plat
vlak of niet uit platte vlakken zamengesteld is, wordt een _gebogen_ of
_krom_ vlak genoemd.
§ 2. Elk plat vlak, door vier regte lijnen begrensd, wordt _vierhoek_
genoemd.
§ 3. Een vierhoek, waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn, wordt
_parallelogram_ of _raam_ genoemd. Zie fig. 4.
§ 4. Elke lijn, welke van den eenen hoek tot zijnen tegenoverstaanden
hoek kan getrokken worden, noemt men _diagonaal_ of _hoekpuntslijn_. Zoo
zijn AC en DB (fig. 4) diagonalen.
§ 5. Elke der diagonalen deelt een parallelogram in twee gelijke deelen.
§ 6. In een parellelogram zijn de overstaande zijden, alsmede de
overstaande hoeken gelijk.
§ 7. De inhoud van een parallelogram wordt gevonden, wanneer de lengte
met de loodregte hoogte wordt vermenigvuldigd.
§ 8. Een scheefhoekig parallelogram, waarvan de zijden allen even groot
zijn, heet eene _ruit_. Zie fig. 5.
§ 9. Is een der hoeken van een parallelogram regt, dan zijn al deszelfs
hoeken regt. In dit geval noemt men de figuur eenen _regthoek_. Zie fig.
6.
§ 10. Een regthoek, waarvan de zijden aan elkander gelijk zijn, wordt
_vierkant_ of _kwadraat_ genoemd. Zie fig. 7. In een vierkant zijn dus
al de zijden aan elkander gelijk en al de hoeken regt.
§ 11. De inhoud van eenen regthoek, gelijk ook die van een vierkant,
wordt gevonden, indien men de zijden, die om denzelfden hoek staan, met
elkander vermenigvuldigt.
§ 12. Van elk parallelogram, elke ruit, is de som der kwadraten van de
zijden gelijk aan de som der kwadraten van de diagonalen.
VOORSTELLEN.
1. Van een vierkant stuk gronds is elke zijde 18 roeden lang: hoe groot
is de oppervlakte?
_Antw._ 324 Vierk. roeden.
2. Hoe veel bedraagt de oppervlakte van een stuk lands, hetwelk de
gedaante heeft van een kwadraat, indien elke zijde 8 ellen 5 palmen en 6
duimen lang is?
_Antw._ 73 Vierk. ellen 27 vierk. palmen 36 vierk. duimen.
3. Als een vierkant stuk lands 16384 vierkante ellen groot is, hoe lang
is dan elke zijde?
_Antw._ 128 Ellen.
4. Van een vierkant stuk weiland is de vlakke inhoud 109561 vierkante
ellen: hoe veel ellen is deszelfs omtrek?
_Antw._ 1324 Ellen.
5. Hoe veel is de inhoud van een langwerpig vierkant, hetwelk 40 roeden
lang en 30 roeden breed is?
_Antw._ 1200 Vierkante roeden.
6. Van mijne school, welke de gedaante heeft van eenen regthoek, is de
lengte 16 ellen en de breedte 8 ellen: hoe groot is dezelve?
_Antw._ 128 Vierkante ellen.
7. Eene regthoekige plaats is met 9128 vierkante steenen belegd; zoo de
breedte 28 steenen bevat, hoe veel liggen er dan in de lengte?
_Antw._ 326 Steenen.
8. Eene kamer, welke 5 ellen 7 palmen 5 duimen lang is, moet met planken
belegd worden, die dezelfde lengte hebben als de kamer. Hoe veel planken
zijn hiertoe noodig, als de breedte van de kamer 5 ellen 4 palmen 1 duim
5 strepen en die van elke plank 2 palmen 8 duimen 5 strepen breed zijn?
_Antw._ 19 Planken.
9. Als een stuk weiland 72 roeden 8 ellen 6 palmen lang en 5 roeden 8
palmen breed is, hoe veel bunders is dan dit stuk groot?
_Antw._ 3 Bunders 70 vierk. roeden 12 vierk. ellen 88 vierk. palmen.
10. Een regthoekige hof, ter grootte van 21 vierkante roeden 6 vierkante
ellen, en waarvan de lengte 54 ellen bedraagt, wordt met boomen beplant,
die 5 ellen van elkander staan. Hoe groot zal het getal boomen zijn,
wanneer de buitenste rijen 2 ellen van den kant afstaan?
_Antw._ 88 Boomen.
11. Een metselaar moet eenen gang bevloeren met steenen, welke 4 palmen
lang en breed zijn; hoe veel steenen zijn hiertoe noodig, als de gang 16
ellen lang en 2 ellen 4 palmen breed is?
_Antw._ 240 Steenen.
12. Een boer beplantte een langwerpig stuk lands met boomen, te weten 58
in de lengte en 34 in de breedte. Als nu elke boom op 37 en een halve
cent wordt berekend, hoe veel was dan het beloop hiervan?
_Antw._ 739 Guld. 50 cents.
13. Wanneer een stuk land, dat tweemaal zoo lang als breed is, 3200
vierkante roeden inhoud heeft, hoe lang en breed is hetzelve dan?
_Antw._ 80 Ellen lang en 40 ellen breed.
14. Men wil eene kamer, die 6 ellen 5 palmen lang en 5 ellen 4 palmen
breed is, en waarin eene plaat ligt van 2 ellen lengte en 6 palmen 2
duimen 5 strepen breedte, met een kleed beleggen, en daartoe goed nemen
van 1 el 5 palmen breed. Hoe veel ellen zijn tot dit kleed noodig?
_Antw._ 22 Ellen 5 palmen 6 duimen ruim.
15. Een landman heeft een stuk bouwland in de gedaante van eenen
regthoek, welks lengte viermaal zoo veel is als de breedte. Dit land
heeft 256 vierkante roeden oppervlakte; hoe groot zijn deszelfs zijden?
_Antw._ 32 Roeden lang en 8 roeden breed.
16. Van eene ruit is de grondlijn 8 ellen 9 palmen en de loodregte
hoogte 6 ellen 8 palmen; hoe groot is deszelfs oppervlakte?
_Antw._ 60 Vierk. ellen 52 vierk. palmen.
17. De inhoud van eene ruit is 1 vierkante roede 21 vierkante ellen 4
vierkante palmen en de lengte 17 ellen 8 palmen; hoe veel is de
loodregte hoogte?
_Antw._ 6 Ellen 8 palmen.
18. Van eene andere ruit is de inhoud 3 bunders 55 vierkante roeden 68
vierkante ellen en de loodregte hoogte 152 ellen; hoe lang is de
grondlijn?
_Antw._ 234 Ellen.
19. Een landman heeft een stuk bouwland en een stuk weiland van gelijke
grootte; het bouwland, dat de gedaante heeft van een langwerpig
vierkant, is 18 roeden lang en 8 roeden breed; hoe lang zijn de zijden
van het weiland, als hetzelve de gedaante heeft van een kwadraat?
_Antw._ 12 Roeden.
3
20. Als een kleermaker uit 1 --- el laken, van 1 el 5 palmen breed,
4
1
eenen mansrok kan vervaardigen; hoe veel laken van 1 --- el breed zal
6
hij dan tot hetzelfde einde noodig hebben?
1
_Antw._ 2 --- El.
4
21. Iemand koopt een stuk land, hetwelk 2 roeden lang en 5 ellen breed
is, voor 20 gulden: wat kost naar dien prijs één bunder?
_Antw._ 2000 Gulden.
22. Een landman koopt 2 stukken bouwland van gelijke vruchtbaarheid; het
eerste stuk, waarvan elke zijde 12 ellen lang is, betaalt hij met 960
gulden en het tweede, waarvan elke zijde 16 roeden lengte heeft, met
1500 gulden; welke is de voordeeligste koop, en hoe veel is het
verschil?
2
_Antw._ De laatste koop is de voordeeligste; het verschil is 206 ---
3
gulden.
23. Eene kamer is 10 ellen lang, 5 ellen breed en 5 ellen hoog; hoe veel
bedraagt de inhoud der vlakken van de muren, van den zolder en van den
vloer, als men alles voor vol rekent, en dus de vensters en deuren niet
in aanmerking neemt?
_Antw._ 250 Vierkante ellen.
24. Een veld, dat 300 ellen lang en 200 ellen breed is, zal tegen een
ander verruild worden, dat 400 ellen lang is; hoe breed is dit laatste,
wanneer de inhoud gelijk is aan dien van het eerste?
_Antw._ 150 Ellen.
25. Om een tuintje, dat 10 ellen lang en 6 ellen breed is, wordt eene
heining van planken gemaakt, die 3 ellen hoog moet zijn. Indien nu eene
plank 6 ellen lang en 5 palmen breed is, hoe veel planken gebruikt men
dan tot deze omheining?
_Antw._ 32 Planken.
26. Om eene vierhoekige kamer, die 7 ellen 2 palmen lang, 5 ellen 4
duimen breed en 3 ellen 6 duimen hoog was, te behangen, liet men de
wanden met doek bespijkeren; aan eene van de smalle zijden stond een
schoorsteen, die 7 palmen 4 strepen breed was, en aan eene der breede
zijden waren drie ramen, elk hoog 2 ellen 4 palmen en breed 1 el 4
palmen 9 duimen. Hoe veel vierkante ellen doek was hiertoe noodig? En
indien men in het geheel 129 ellen 6 palmen lengte behoefde, hoe breed
was het dan?
_Antw._ 62 Vierk. ellen 2 vierk. palmen 66 vierk. duimen nagenoeg. De
breedte van het doek was 4 palmen 7 duimen 9 strepen nagenoeg.
27. Een metselaar moet eenen muur, welke 4 ellen 6 palmen lang en 5
ellen 5 palmen hoog is, met tegeltjes bezetten, die 2 palmen 5 duimen
lang en breed zijn; hoe veel tegeltjes zijn daartoe noodig?
_Antw._ 405 Tegeltjes bijna.
28. Een vierhoekig stuk lands heeft 31 bunders 25 vierkante roeden
oppervlakte; deszelfs lengte is vijfmaal zoo groot als de breedte; hoe
veel ellen is de omtrek van dit land?
_Antw._ 300 Roeden.
29. Er is een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van een
parallelogram, en 20 roeden lang is; hoe groot is dit stuk, als de
loodregte hoogte 8 roeden is?
_Antw._ 160 Vierkante roeden.
30. Van een scheefhoekig parallelogram ABCD zijn de zijden AB = DC = 20,
AD = BC = 12, en de langste diagonaal = 25 duimen; men vraagt naar de
lengte der kleinste hoeklijn.
_Antw._ 21,5 Duimen ruim.
31. A en B willen ruilen tuin om tuin; die van A is een vierkant en 32
roeden in den omtrek; die van B is een langwerpig vierkant, hebbende
eene lengte van 12 en eene breedte van 4 roeden en gevolgelijk ook 32
roeden in omtrek; de vraag is wie bij deze ruiling voordeel doet en hoe
veel.
_Antw._ B. heeft 16 vierkante roeden voordeel.
32. Van eenen regthoek is de lengte en breedte te zamen 208, en de
lengte staat tot de breedte als 10 : 3. Men vraagt naar den inhoud.
_Antw._ 7680 Vierk. eenheden.
33. Van eene ruit is de langste diagonaal 16 en de kortste 12 duimen;
bereken hieruit hoe lang iedere zijde is.
_Antw._ 10 Duimen.
34. Wanneer ik de beide diagonalen eener ruit kwadrateer, en deze
kwadraten zamentel, bekom ik 900. Hoe lang is iedere zijde?
_Antw._ 15.
35. Van een parallelogram is de geheele omtrek 140 ellen, de langste
diagonaal 56 ellen, en de beide kortste zijden hebben te zamen eene
lengte van 60 ellen. Men vraagt naar den inhoud.
_Antw._ 1157,09 Vierk. ellen.
36. Van eene ruit zijn de zijden gezamenlijk 240 ellen, en de langste
diagonaal is 96 palmen; hoe veel is derzelver inhoud?
_Antw._ 3456 Vierk. ellen.
37. Van een parallelogram is de bazis tweemaal zoo lang als de loodlijn;
de kortste diagonaal heeft eene lengte van 625 ellen, en de inhoud
bedraagt 5000 vierkante roeden. Men vraagt naar de lengte van den
langsten diagonaal en van de zijden.
----------
/ 1
_Antw._ De langste diagonaal _2 / 12906 --- , de langste zijde 100 en de
\/ 4
---------
/ 1
kortste zijde _2 / 6406 ---
\/ 4
* * * * *
OVER DE DRIEHOEKEN.
§ 1. Een vlak, door drie regte lijnen begrensd, wordt een driehoek
genoemd (fig. 8). De driehoeken worden naar de overeenkomst der zijden,
of naar de gesteldheid der hoeken, onderscheiden in _gelijkzijdige_,
_gelijkbeenige_ en _ongelijkzijdige_,--_regthoekige_, _stomphoekige_ en
_scherphoekige_ driehoeken.
§ 2. De driehoeken, waarvan de zijden gelijk zijn, noemt men
_gelijkzijdige_ driehoeken; die, welke twee gelijke zijden hebben,
_gelijkbeenige_ driehoeken, en die, waarvan al de zijden ongelijk zijn,
_ongelijkzijdige_ driehoeken.--De twee gelijke zijden van eenen
gelijkbeenigen driehoek heeten de _beenen_, de derde zijde de
_grondlijn_ of _bazis_, de hoeken over de gelijke beenen de _hoeken aan
de bazis_ en de hoek over de bazis de _tophoek_.
§ 3. In eenen driehoek is de som van elke twee zijden grooter dan de
derde zijde.
§ 4. De som der hoeken van eenen driehoek is altijd gelijk aan twee
regte hoeken.
§ 5. Een driehoek, welke eenen regten hoek heeft, heet _regthoekige_
driehoek; een driehoek wordt _stomphoekig_ genoemd, wanneer dezelve
eenen stompen hoek heeft; zijn al de hoeken scherp, dan heet de driehoek
scherphoekig. De scherp- en stomphoekige driehoeken worden onder den
naam van _scheefhoekige_ driehoeken begrepen. In eenen regthoekigen
driehoek, heet de zijde over den regten hoek de _schuinsche zijde_ of
_hypothenusa_ en de twee overige zijden noemt men _regthoekszijden_.
§ 6. Wanneer de drie zijden van eenen regthoekigen driehoek in dezelfde
lengte-eenheden zijn uitgedrukt, namelijk in duimen, palmen, ellen,
roeden, enz., dan is de tweede magt of het vierkant van het aantal
eenheden, die de hypothenusa bevat, gelijk aan de som der tweede magten
of vierkanten van het aantal eenheden, die in elke regthoekszijde
begrepen zijn.
§ 7. Indien men in eenen regthoekigen driehoek eene loodlijn, uit het
hoekpunt van den regten hoek, op de hypothenusa laat vallen, dan heeft
het volgende plaats:
_a_, Het vierkant dezer loodlijn is gelijk aan den regthoek der deelen
van de schuinsche zijde, waarin dezelve door de loodlijn is gedeeld.
_b_. Het vierkant op eene der regthoekszijden is gelijk aan den
regthoek, welke de lengte van de schuinsche zijde en de breedte van dat
stuk der schuinsche zijde heeft, dat door de loodlijn wordt afgesneden,
en aan de gemelde regthoekszijde grenst.
§ 8. Wanneer de drie zijden van eenen stomphoekigen driehoek in dezelfde
maat en dus in getallen zijn uitgedrukt, dan zal het vierkant van de
zijde, die over den stompen hoek staat, gelijk zijn aan de som der
tweede magten van de twee overige zijden, vermeerderd met tweemaal het
product van eene der overige zijden, en het stuk van die zelfde zijde,
begrepen tusschen den voet van de loodlijn, welke op die zijde uit het
tegenoverstaande standpunt valt, en het hoekpunt van den stompen hoek.
§ 9. In eenen scherphoekigen driehoek is het vierkant van de zijde, die
over eenen scherpen hoek staat, gelijk aan de som der tweede magten van
de twee overige zijden, verminderd met tweemaal het product van eene der
overige zijden, en het stuk van die zelfde zijde, begrepen tusschen den
voet van de loodlijn, welke op die zijde uit het tegenoverstaande
hoekpunt valt, en het hoekpunt van gezegden scherpen hoek.
§ 10. Wanneer in eenen gelijkbeenigen driehoek eene lijn uit den top op
de bazis wordt getrokken, deelt zij den top en de bazis midden door. De
loodlijn, die uit den regten hoek van eenen regthoekigen driehoek op de
hypothenusa wordt getrokken, deelt de hypothenusa zoodanig in twee
deelen, dat elk der regthoekszijden middenevenredig is tusschen het
segment, waaraan dezelve grenst en de geheele hypothenusa.
§ 11. De inhoud van eenen driehoek is gelijk aan het halve product van
zijne bazis en zijne hoogte.
§ 12. Om den inhoud van eenen driehoek te vinden, kan men zich ook van
den volgenden regel bedienen:
Neem de halve som der zijden, die in getallen
gegeven zijn; trek hieraf elke zijde in het
bijzonder; vermenigvuldig dan de resten met
elkander, en het verkregene product nog eens
met de halve som, dan zal de vierkantswortel
uit het laatst bekomene product gelijk aan den
inhoud des driehoeks zijn.
VOORSTELLEN.
1. Een landman heeft een stuk lands, in de gedaante van eenen
regthoekigen driehoek, waarvan de zijden om den regten hoek op 24 en 18
voeten gemeten zijn; hoe lang is de onbekende zijde?
_Antw._ 30 Roeden.
2. Van eenen regthoekigen driehoek doet de bazis 24 en de hypothenusa of
schuinsche zijde 40 ellen; hoe lang is de cathetus of opstaande zijde?
_Antw._ 32 Ellen.
3. Als van eenen regthoekigen driehoek de schuinsche zijde 70 ellen lang
is en de opstaande zijde 56 ellen, hoe lang is dan de bazis?
_Antw._ 42 Ellen.
4. Indien van eenen regthoekigen driehoek eene der regthoekszijden 34
ellen 8 palmen en de hypothenusa 37 ellen 7 palmen lang zijn, hoe lang
is dan de andere regthoekszijde?
_Antw._ 14 Ellen 5 palmen.
5. Men heeft eenen ladder zoodanig tegen eenen muur van 4 ellen hoog
geplaatst, dat dezelve met het ondereinde 3 ellen van den muur af is;
hoe lang is deze ladder?
_Antw._ 5 Ellen.
6. Hoe lang moet eene ladder wezen, die zoodanig tegen eenen muur van 8
ellen hoog geplaatst kan worden, dat dezelve met het ondereinde 6 ellen
van den muur verwijderd blijft, en van boven met denzelven gelijk komt?
_Antw._ 10 Ellen.
7. Tegen eenen muur, hoog 8 ellen 6 palmen, staat eene ladder, die 6
ellen 5 palmen lang is; als men het ondereinde der ladder nu 3 ellen 3
palmen van den muur aftrekt, hoe veel ellen is dan het boveneinde van de
ladder lager dan de muur?
_Antw._ 3 Ellen.
8. Van eenen regthoekigen driehoek doet de bazis 8 ellen en de opstaande
zijde 1 roede 4 ellen; hoe veel vierkante ellen is deze driehoek groot?
_Antw._ 56 Vierkante ellen.
9. Van een stukje land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek,
is de bazis 30 en de schuinsche zijde 50 ellen lang; hoe groot is
deszelfs inhoud?
_Antw._ 600 Vierk. ellen.
10. Een landman heeft een stuk weiland, hetwelk de gedaante heeft van
eenen regthoekigen driehoek, en waarvan de schuinsche zijde 75 en de
opstaande zijde 45 roeden lang zijn; hoe groot is dit weiland?
_Antw._ 13 Bunders 50 vierk. roeden.
11. Als de inhoud van eenen regthoekigen driehoek 30 vierkante roeden
bedraagt, en de bazis 60 ellen lang is, hoe lang is dan de opstaande
zijde?
_Antw._ 100 Ellen.
12. Van eenen regthoekigen driehoek is de inhoud 150 vierkante roeden;
indien de bazis van denzelven 15 ellen is, hoe lang is dan de
hypothenusa?
_Antw._ 25 Ellen.
13. Van eenen scherphoekigen driehoek is de bazis 1 roede 4 ellen, de
eene opstaande zijde 1 roede 3 ellen en de andere 1 roede 5 ellen; men
vraagt naar den inhoud van dezen driehoek.
_Antw._ 84 Vierk. ellen.
14. Indien de bazis van eenen scherphoekigen driehoek 2 roeden 8 ellen
en de opstaande zijden 2 roeden 6 ellen en 3 roeden lang zijn, hoe lang
is dan de loodlijn?
_Antw._ 24 Ellen.
15. Een landman wil de grootte van een stuk land weten, hetwelk de
gedaante van eenen scherphoekigen driehoek heeft; hij meet tot dat einde
de bazis, en bevindt derzelver lengte 16 roeden 8 ellen en vervolgens de
loodlijn, welker lengte 10 roeden 4 ellen is. Bereken hieruit den inhoud
van dat land.
_Antw._ 87 Vierk. roeden 36 vierk. ellen.
16. Van eenen scherphoekigen driehoek is de bazis 7 roeden, de eene
opstaande zijde 7 roeden 5 ellen en de andere 6 roeden 5 ellen; men
vraagt naar de deelen van de bazis, waarin dezelve door de loodlijn
gedeeld wordt.
_Antw._ De deelen der bazis zijn 2 roeden 5 ellen en 4 roeden 5 ellen.
17. In eenen scherphoekigen driehoek zijn de opstaande zijden 10 roeden
en 6 roeden 5 ellen lang; zoo nu de loodlijn 6 roeden is, hoe lang is
dan de bazis?
_Antw._ 10 Roeden 5 ellen.
18. Zoo de langste opstaande zijde van eenen scherphoekigen driehoek 4
roeden, de bazis 4 roeden 2 ellen en de loodlijn 2 roeden 4 ellen doen,
hoe lang is dan de kortste zijde?
_Antw._ 2 Roeden 6 ellen.
19. In eenen scherphoekigen driehoek is de kortste opstaande zijde 5
roeden 2 ellen, en de deelen der bazis, waarin dezelve door de loodlijn
wordt gedeeld, zijn 2 roeden en 3 roeden 6 ellen; hoe lang is de andere
zijde van den driehoek?
_Antw._ 6 Roeden.
20. Van een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van eenen
scherphoekigen driehoek, is de inhoud 6 bunders, en de deelen der bazis,
zoo als die door de loodlijn uit den overstaanden hoek op de bazis
vallende ontstaan, zijn 12 en 63 roeden; hoe lang zijn de onbekende
zijden?
_Antw._ 20 en 65 roeden.
21. Van eenen scherphoekigen driehoek is de inhoud 2100 vierkante ellen,
de langste opstaande zijde 8 roeden 5 ellen en de kortste 5 roeden; hoe
lang is de bazis van dezen driehoek?
_Antw._ 9 Roeden 1 el 7 palmen 8 duimen ruim.
22. Van eenen scherphoekigen driehoek is de bazis 1 roede 1 el 2 palmen,
de langste opstaande zijde 1 roede 2 ellen en de kortste 1 roede 4
palmen; uit deszelfs tophoek wordt eene loodlijn op de bazis
neêrgelaten, die alzoo den driehoek in twee deelen verdeelt; hoe groot
is elk deel?
_Antw._ Het kleinste deel 1 vierk. roede 92 vierk. ellen en het grootste
3 vierk. roeden 45 vierk. ellen 6 vierk. palmen.
23. Men vraagt naar de loodlijn van eenen scherphoekigen driehoek,
waarvan het kwadraat op de bazis is 11025, op de langste opstaande zijde
10000 en op de kortste 4225 vierkante ellen.
_Antw._ 60 Ellen.
24. Van eenen scherphoekigen driehoek is de bazis 2 roeden 2 ellen, de
langste zijde 4 roeden en de andere 2 roeden 6 ellen; hoe lang is de
loodlijn, en hoe veel moet de bazis verlengd worden, om de loodlijn te
raken?
_Antw._ De loodlijn is 2 roeden 4 ellen, en de bazis moet 1 roede
verlengd worden.
25. Zoo van eenen stomphoekigen driehoek de langste zijde 2 roeden, de
bazis 1 roede 1 el en het verlengde der bazis tot de loodlijn, die uit
den tophoek is neergelaten, 5 ellen doen, hoe lang is dan de loodlijn en
de kortste zijde?
_Antw._ De loodlijn is 1 roede 2 ellen en de kortste zijde 1 roede 3
ellen.
26. Er is een stomphoekige driehoek, waarvan de grondlijn 7, de kortste
opstaande zijde 15 en de loodlijn 5 die uit den tophoek op de verlengde
bazis wordt neergelaten, 9 roeden doen; hoe groot is de langste zijde?
_Antw._ 21 Roeden ruim.
27. Van een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van eenen stomphoekigen
driehoek, is de bazis 10 roeden 4 ellen, derzelver verlengde tot aan de
loodlijn 4 roeden en de loodlijn 4 roeden 2 ellen; men vraagt naar de
opstaande zijden.
_Antw._ 5 Roeden 8 ellen en 15 roeden.
28. Indien van eenen stomphoekigen driehoek de opstaande zijden 2 roeden
9 ellen en 7 roeden 5 ellen lang zijn, en de loodregte hoogte van den
tophoek tot het verlengde der grondlijn 2 roeden 1 el is, hoe lang is
dan de bazis en derzelver verlengde tot aan de loodlijn?
_Antw._ De bazis 5 roeden 2 ellen en het verlengde 2 roeden.
29. Van eenen stomphoekigen driehoek is de grondlijn 6 roeden 6 ellen,
de kortste opstaande zijde 6 roeden 8 ellen en de loodregte hoogte 3
roeden 2 ellen; men vraagt naar de langste zijde en het verlengde der
grondlijn.
_Antw._ De langste zijde 13 en het verlengde der grondlijn 6 roeden.
30. Hoe veel bedraagt de loodregte hoogte van eenen stomphoekigen
driehoek, waarvan de grondlijn 4 ellen, de langste oploopende zijde 1
roede 5 ellen en de andere zijde 1 roede 3 ellen is?
_Antw._ 1 Roede 2 ellen.
31. Van een stuk land, hebbende de gedaante van eenen stomphoekigen
driehoek, heeft de bazis eene lengte van 2 roeden 2 ellen, de zijde over
den stompen hoek van 6 roeden en de andere zijde van 5 roeden. Men
vraagt naar den inhoud.
_Antw._ 5 Vierk. roeden 28 vierk. ellen.
32. Van een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van eenen
stomphoekigen driehoek, bedraagt de lengte der bazis 60 roeden 4 ellen
en de lengte der loodlijn, die uit den tophoek op de verlengde bazis
valt, 30 roeden. Hoe groot is dat land?
_Antw._ 9 Bunders 6 vierk. roeden.
33. De inhoud van eenen stomphoekigen driehoek is 5 vierkante roeden 46
vierkante ellen, de kortste opstaande zijde 2 roeden 9 ellen en het
verlengde tot aan de loodlijn 2 roeden. Men vraagt naar de langste
zijde, de bazis en de loodlijn, die uit den tophoek op het verlengde der
bazis valt.
_Antw._ De langste zijde 7 roeden 5 ellen, de bazis 5 roeden 2 ellen en
de loodlijn 2 roeden 1 el.
34. Als een driehoekig stuk grond, hetwelk van binnen ontoegankelijk is,
langs de bazis 4 roeden 4 ellen en langs de oploopende zijden 3 roeden 9
ellen en 1 roede 7 ellen gemeten wordt, hoe groot is dan dit stuk land?
_Antw._ 33 Vierk. roeden.
35. Van een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van eenen
gelijkzijdigen driehoek, is elke zijde 8 roeden; hoe lang is de
loodlijn, die uit den tophoek op de bazis valt?
_Antw._ 6,93 El nagenoeg.
36. Er is een gelijkbeenige driehoek, waarvan elk been 8 ellen en de
bazis 9 ellen 6 palmen lang zijn; hoe lang is de loodlijn, die uit den
tophoek op de bazis kan getrokken worden?
_Antw._ 6 Ellen 4 palmen.
37. Zoo van eenen gelijkbeenigen driehoek de bazis 2 roeden 4 ellen en
de loodregte hoogte 1 roede 6 ellen zijn, hoe lang zijn dan de beenen?
_Antw._ 2 Roeden.
38. Van eenen gelijkbeenigen driehoek is de som der opstaande zijden 8
roeden en de loodregte hoogte 3 roeden 2 ellen; hoe lang is de basis?
_Antw._ 4 Roeden 8 ellen.
39. Twee stukken land zijn even groot; het eene stuk, hetwelk de
gedaante heeft van eenen driehoek, wordt langs de zijden gemeten op 1
roede 1 el, 2 roeden 5 ellen en 3 roeden; het andere, hebbende de
gedaante van eenen regthoek, is 1 roede 2 ellen lang; hoe breed is
hetzelve?
_Antw._ 1 Roede 1 el.
40. Twee palen, welke 2 roeden 5 ellen van elkander afstaan, zijn
zoodanig ten opzigte van elkander geplaatst, dat derzelver toppen
elkander raken; als nu de palen 1 roede 5 ellen en 2 roeden lang zijn,
hoe lang is dan het punt, waar deze palen elkander raken, van den grond
verwijderd?
_Antw._ 1 Roede 2 ellen.
41. Van eenen regthoekigen driehoek is de schuinsche zijde 15, het
vierkant van de eene regthoekszijde is 63 meer dan het vierkant van de
andere. Hoe veel is elke regthoekszijde?
_Antw._ 12 en 9.
42. Van een geschoven vierkant of eene ruit, de langste diagonaal 80 en
de kortste 60 ellen; hoe lang is elke zijde van hetzelve?
_Antw._ 50 Ellen.
43. Van eene ruit doet de kortste diagonaal 6 roeden 4 ellen, en
derzelver inhoud bevat 26 vierk. roeden 88 vierk. ellen. Zeg nu eens hoe
lang de langste diagonaal is.
_Antw._ 8 Roeden 4 ellen.
44. Van een stuk land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek,
doet de zijde AB of de bazis 88 ellen en de geheele inhoud 72 vierkante
roeden 20 vierkante ellen. Men vraagt naar de lengte der beide andere
zijden.
_Antw._ De opstaande zijde 165 en de hypothenusa 187 ellen.
45. Van eenen gelijkbeenigen driehoek is gegeven de inhoud =
--------
_2 / 990000 en de bazis staat tot ieder been als 1 : 5. Men vraagt naar
\/
iedere zijde.
_Antw._ 100 Eenheden.
46. Uit den regten hoek van eenen regthoekigen driehoek wordt eene
loodlijn getrokken op de hypothenusa, welke deze in twee deelen deelt,
die 8 en 12,5 duimen lang zijn. Men vraagt naar de lengte van de bazis
en van de andere regthoekszijde.
_Antw._ De eene regthoekszijde 12,8 duim en de andere 16 duimen ruim.
47, Een landman heeft twee stukken land; het eene stuk heeft de gedaante
van eenen driehoek en het andere van eenen regthoek. De zijden van het
eerste stuk zijn 42, 20 en 34 ellen lang, en de lengte van het tweede is
mede 42 ellen; men vraagt naar de breedte van het tweede stuk, wetende
dat beide stukken even groot zijn.
_Antw._ 8 Ellen.
48. Van eenen gelijkbeenigen driehoek is de bazis 24 palmen en ieder
been 15 palmen; hoe menigmaal is deszelfs inhoud begrepen in dien van
een parallelogram, waarvan de tegenoverstaande zijden 13 en 14 ellen
zijn.
_Antw._ 155,5 maal.
49. De schuinsche zijde van eenen regthoekigen driehoek is 4 en het
vierkant van de eene regthoekszijde is 2 meer dan dat van de andere. Men
vraagt naar de lengte van iedere regthoekszijde.
_Antw._ 3 en 2,646 bijna.
* * * * *
OVER DE TRAPEZIUMS.
§ 1. Door _trapezium_ verstaat men elken vierhoek, waarin twee der
zijden evenwijdig loopen; de afstand dezer evenwijdige lijnen wordt de
_hoogte_ van het trapezium genoemd.
§ 2. Een trapezium wordt _regthoekig_ genoemd, als twee van zijne
tegenoverstaande zijden beide loodregt op eene andere zijde staan.
§ 3. De inhoud van een trapezium is gelijk aan het product van de halve
som der twee evenwijdige zijden, vermenigvuldigd met de hoogte.
VOORSTELLEN.
1. Er is een stuk lands, in de gedaante van een regthoekig trapezium,
waarvan de eene opstaande regthoekszijde doet 8 ellen, de andere 1 roede
2 ellen en de bazis ook 8 ellen; hoe veel is de inhoud?
_Antw._ 80 Vierk. ellen.
2. Van een regthoekig trapezium is de grondlijn 4 roeden 8 ellen, de
eene regthoekszijde 3 roeden 6 ellen en de andere 6 roeden. Hoe veel
ellen is de schuinsche zijde?
_Antw._ 5 Roeden 3 ellen 7 palmen nagenoeg.
3. De inhoud van een regthoekig trapezium is 6 vierkante roeden, de eene
regthoekszijde 2 roeden en de grondlijn 2 roeden 5 ellen; hoe veel ellen
is de langste regthoekszijde?
_Antw._ 28 Ellen.
4. Van een regthoekig trapezium is de inhoud 24 vierkante roeden, de
eene regthoekszijde 4 roeden en de andere 5 roeden 6 ellen; hoe lang is
de bazis?
_Antw._ 5 Roeden.
5. Van een stukje lands, in de gedaante van een regthoekig trapezium, is
de inhoud 9 vierk. roeden 48 vierk. ellen 60 vierk. palmen, de bazis 25
ellen 5 palmen en de langste oploopende zijde 3 roeden 8 ellen 8 palmen.
Men vraagt naar de kortste regthoekszijde.
_Antw._ 3 Roeden 5 ellen 6 palmen.
6. Als van een trapezium de voorzijde lang is 2 roeden, de achterzijde,
welke met de voorzijde parallel loopt, 1 roede 5 ellen en de loodregte
afstand of hoogte 1 roede 2 ellen, hoe groot is dan het trapezium?
_Antw._ 2 Vierk. roeden 10 vierk. ellen.
7. Zekere tuin heeft de gedaante van een regthoekig trapezium; de
regthoekszijden zijn 2 roeden 4 ellen en 2 roeden 8 ellen lang, en de
inhoud is 4 vierkante roeden 68 vierkante ellen; hoe veel is de breedte
van dezen tuin?
_Antw._ 1 Roede 8 ellen.
8. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden te zamen lang 150
roeden, en deszelfs loodregte hoogte is 20 roeden; men vraagt naar den
inhoud.
_Antw._ 15 Vierk. roeden.
9. Van een trapezium worden de evenwijdige zijden gemeten op 82 en op 42
roeden, en de opwaarts loopende zijden op 70 en 64 roeden; hoe veel
bunders is het trapezium groot?
_Antw._ 39 Bund. 21,5 vierk. roed. nagenoeg.
* * * * *