[Illustration. Deco.]
[Illustration.]
I. Sur la surface de votre bille décrivez, avec un compas muni d'un
crayon, un arc de cercle d'une grandeur quelconque, que vous pourrez
effacer ensuite facilement, de sorte que la bille ne sera pas
endommagée. Cet arc de cercle ABC est représenté sur la figure 1. A E
est l'ouverture de compas employée, et est le _pôle_ que l'on a pris à
la surface de la sphère pour y faire ce tracé. Marquez ensuite trois
points quelconques, A, B, C, sur la circonférence ainsi décrite.
Construirez à part (figure 2) un triangle A, B, C, dont les sommets
soient précisément à des distances mutuelles respectivement égales à
celles des trois points A, B, C. Partagez deux des angles C'A'B' A'B'C'
en deux parties égales par deux droites A' D', B' D', qui se couperont
en un certain point D'. Ce point sera le centre d'un cercle circonscrit
un triangle, c'est-à-dire que la circonférence passera par les trois
sommets de ce triangle. Menez F' D' E' perpendiculaire à A' D', et
prenez le point E' par la condition que la distance A' E' soit égale à
l'ouverture de compas A E que vous avez employée pour le tracé de votre
cercle sur la bille. Enfin, achevez l'équerre E' A' F' de manière que
l'angle E' A' F' soit droit. E' F' sera le diamètre demande de la
sphère. Le rayon sera la moitié de ce diamètre.
Pour faciliter à nos lecteurs l'intelligence des motifs de cette
construction, nous l'avons indiquée sur la figure 1 comme si elle était
exécutée dans l'intérieur de la sphère, et nous avons désigné, dans les
deux ligures, les mêmes points par les mêmes lettres, en ajoutant
seulement des accents à celles de la seconde.
Rien n'est plus facile d'ailleurs que de construire le triangle A' B'
C', dont on connaît les trois côtés A' B', B' C', A' C', respectivement
égaux à A B, B C, A C. Il faut prendre A' B'. égal à A B: puis les
extrémités A' et B' comme centres, avec des rayons égaux à A C et à B C,
décrire des arcs de cercle qui se coupent au point C, et déterminent
ainsi le troisième sommet du triangle.
II. Les nombres les plus simples qui satisfassent à la question sont 11
pièces de 5 francs et 4 demi-ducats; car 11 pièces de 5 francs font 55
francs et les 4 demi-ducats font 24 francs; le Français paie donc au
Hollandais 51 francs de plus qu'il ne reçoit.
On trouvera une infinité d'autres solutions en augmentant le nombre des
pièces de 5 francs d'un multiple quelconque de 6 et celui îles
demi-ducats du même multiple de 5. Les couples de valeurs que voici
donneront donc des solutions.
17 pièces de 5 francs et 9 demi-ducats.
23 » et 14 »
29 » et 19 »