Soient d'abord placés les deux carrés A B, C D, ainsi que les représente
la figure 1, de manière que les côtés de l'un soient exactement dans le
prolongement des côtés de l'autre. Sur A C construisons le carré A C E
F. Les trois carrés que nous considérons ainsi se coupent mutuellement
en plusieurs parties, que nous numérotons 1, 2, 3, pour le carré C D; 4
et 5, pour le carré A B; 1, 6 et 7, pour le carré C F. Il est facile de
voir qu'en découpant les deux premiers carrés suivant ces diverses
parties, on formera le troisième, ou, en d'autres termes, que la somme
des parties 1, 2, 3, 4 et 5, sera égale à la somme l, 4, 6 et 7. En
effet, 1 et 4 sont des parties communes; 2 et 7 sont des triangles
égaux; enfin, les surfaces 3 et 5 font une somme égalé à la surface
numérotée 6. car 3 est égal au triangle K B F, qui, ajouté à 5, donne un
triangle rectangle égal à A H F. Or, celui-ci est l'équivalent de 6,
comme renfermant la partie commune F H I K et le triangle 4 égal au
triangle F H G.
[Illustration.]
La figure 2 donne lieu à une décomposition plus simple encore. Les deux
carrés A B, A C sont placés à côté l'un de l'autre. On prend D E, égal
au côté du plus petit carré, et on achève le troisième carré C E B F. Le
carré A B se trouve ainsi décompose en 1 et 2; le carré A C est 3, 4 et
5; et l'ensemble de ces cinq morceaux constitue le troisième carré C B,
composé de 1, 5, 6 et 7; car d'abord 1 et 5 sont communs de part et
d'autre; 2 et 3 font le triangle 7; 4 et 6 sont égaux.
Cette élégante décomposition a été donnée pour la première fois, à notre
connaissance, dans un article fort curieux du _Magasin pittoresque_ de
1843 (p. 103).
Ceux de nos lecteurs qui ont vu les premiers éléments de la géométrie,
auront reconnu dans les figures précédentes, des démonstrations de la
fameuse proposition du carré de l'hypothénuse, dont la découverte causa,
dit-on, à Pythagore une joie si vive, qu'il offrit une hécatombe à
Jupiter.
On voit, en effet dans la première figure que le carré A C E F est
construit sur l'hypothénuse A C du triangle rectangle A C I, et que les
carrés AB, CD sont construits sur les côtés A I, I C de l'angle droit de
ce même triangle. Dans la seconde figure, B C est le carré fait sur
l'hypothénuse CE; B A et A C sont les carrés faits sur les deux côtes de
l'angle droit D E et D C.
Si la question que nous avons proposée d'abord était présentée sous une
forme un peu différente, et qu'il s'agit uniquement de donner une
démonstration de visu de la proposition de Pythagore, nous trouverions
encore dans l'article cité du _Magasin_ deux figures
très-simples, auxquelles nous renvoyons le lecteur.
[Illustration.]
II. Soient d'abord deux miroirs seulement, que nous supposons
représentés par leurs tranches AB, CD, lesquelles sont censées
perpendiculaires au plan du tableau. Le point lumineux est en O, l'oeil
en S. Le trajet des rayons lumineux se déterminera ainsi:
Du point O on abaisse une perpendiculaire O F sur A B, et on la prolonge
d'une quantité F E égale à elle-même; du point S une perpendiculaire S H
sur D, et on la prolonge aussi d'une quantité H I égale à elle-même;
enfin, on tire I E qui coupe A B en G et C D en K Le trajet du rayon
lumineux sera O G K S.
Ou pourrait encore, du point E, abaisser E I perpendiculaire à C D, la
prolonger de I M égalé à E I et tirer S M, puis K E. Ou trouverait alors
le même trajet O G K S, et on verrait de plus que le trajet est égal au
rayon S M.
[Illustration.]
Cette seconde manière d'opérer est plus générale que la première et
s'applique à un nombre quelconque de miroirs. Car si ces miroirs, vus
encore par leurs tranches A B, B C, C D, sont censées perpendiculaires
au plan du tableau, le point lumineux étant en O et l'oeil en S, ou
opérera de la maniéré suivante: O I, I K, K L seront respectivement
perpendiculaires aux droites A B, C B, C D ou à leurs prolongements, et
divisées en deux parties égales aux points H, M, N; il ne restera plus
qu'à tirer les lignes S I, G K, F I, O E, pour avoir le chemin O E F G S
du rayon lumineux, qui va du point O à l'oeil, après trois réflexions
consécutives. On verra en même temps que le trajet total est égal à la
ligne S L.