I. Supposons qu'il s'agisse de trouver le poids d'un corps qui pèse
1,528 grammes. On prendra d'abord le poids 1,024, le plus grand de ceux
de la série donnée qui soit contenu dans 1,528; puis le poids 256, le
plus grand qui soit contenu dans le reste 504: ensuite le poids 128 qui,
retranché du reste 218, donne pour nouveau reste 120; puis 64, reste 56;
puis 32, reste 21, et enfin 16 et 8.
On trouvera d'une manière analogue, par le tâtonnement, avec la balance
même, ou bien par le raisonnement direct, le moyen de peser ainsi, avec
la série des poids doubles 1, 2, 4, 8, 16, 32, s'arrêtant à l,024
grammes, jusqu'à 2,047, c'est-à-dire jusqu'au double de 1,024 diminué de
1. C'est le plus grand poids que l'on puisse évaluer immédiatement à
l'aide de l'assortiment des poids ainsi limité.
II. La solution de la première partie de la seconde question est donnée
dans le petit tableau suivant.
Vase de 8 litres. Vase de 5 litres Vase de 3 litres.
1e 8 0 0
2e 3 5 0
3e 3 2 3
4e 6 2 0
5e 6 0 2
6e 1 5 2
7e 1 4 3
Voici l'explication de ce tableau. Vous avez d'abord le vase de 8 litres
entièrement rempli (1e); vous versez dans le vase de 5, de manière 3
partager vos 8 litres en 3 et en 5 (2e); puis du vase de 5 vous versez
dans te vase de 3, ce qui vous donne les 8 litres divisés en trois
parties, 3, 2, 3 (3e); ayant reversé les 3 litres dans le vase de 8,
vous avez 6, 2 et 0 (4e), et ainsi de suite jusqu'à la septième
combinaison, qui satisfait pleinement à la première partie de la
question, puisque 4 litres seulement se trouvent versés dans le vase de
5.
La solution de la seconde partie de la question est donnée dans cet
autre tableau, qui n'a plus besoin d'explication.
Vase de 8 litres. Vase de 5 litres. Vase de 3 litres.
1e 8 0 0
2e 5 0 3
3e 5 3 0
4e 2 3 3
5e 2 5 1
6e 7 0 1
7e 7 1 0
8e 4 1 3
Ici ce n'est qu'à la huitième combinaison que le problème est résolu.
III. Nos lecteurs savent sans doute que l'on entend par _pôle_ les
points P et P' situés aux extrémités de l'axe autour duquel tourne notre
globe. L'_équateur_ EE' est un cercle détermine par un plan qui coupe la
sphère perpendiculairement à la ligne du pôle. Les _cercles de
longitude_ ou _méridiens_ PMP', PEP'E, passent tous par l'axe PP' et sont
perpendiculaires à l'équateur. Les _cercles de latitude_, ou
_parallèles_, sont des cercles parallèles à l'équateur, tels que KML,
qui vont en diminuant jusqu'aux pôles. Enfin la _latitude_ d'un point
quelconque M. est l'arc du méridien MN compris entre ce point et
l'équateur, et la _longitude_ du même point est l'arc de l'équateur EN,
compris entre le méridien PMNP et un premier méridien PEP' pris d'une
manière arbitraire.
Cela posé, le bon sens, d'accord avec le calcul, indique que si l'on
jette au hasard un globe bien sphérique et bien homogène, les points sur
lesquels il se sera arrêté seront aussi répartis au hasard, c'est-à-dire
qu'il n'y aura aucune raison pour qu'ils s'accumulent vers une région de
la surface plutôt que vers une autre. Ils tendront donc à se répartir
uniformément sur la surface. Or, si l'on se rappelle que par moyenne
entre plusieurs quantités on doit entendre la somme de ces quantités
divisée par leur nombre, on reconnaîtra facilement que la moyenne des
longitudes, comptée de 0 à 360° tend vers 180°. Il faut un calcul d'un
ordre plus élevé pour la détermination de la moyenne des latitudes,
comptées de 0 à 90°. Cette moyenne tend vers 32° 42' 14", 4, ou vers le
complément de l'arc dont la longueur est égale au rayon.