1. Ce problème est fort ancien. On le proposait déjà dans les écoles
grecques vers le commencement de l'ère chrétienne, et il nous a été
transmis en vers grecs parmi les épigrammes du recueil connu sous le nom
d'_Anthologie_. Voici la traduction en vers latins de l'énoncé que nous
avons donné précédemment en français;
Una cum mulo portabat asella,
Atque suo graviter sub pondere pressa gemebat,
Talibus at dietis mox inerepat ipse gementem:
Mater, quid luges, tenerae de more puellae?
Dupla tuis, si des mensuram, pondera gesto;
At si mensuram accipias, aqualia porto.
Die mihi mensuras, sapiens geometer, istas?
L'analyse raisonnée du problème a aussi été exprimée en vers latins que
voici?
Unam asina accipiens, amittens mulus et unam,
Si fiant aequi, certè utrique antè duobus
Distabant a se. Accipiat si mulus at unam,
Amittatque asina ubam, tune distantia fiet
Inter eus quatuor. Muli at cùm pondera dopla
Sunt asinae, huic simplex, mulo est distancia dopla,
Ergo habet haec quatuor tantùm, mulusque habet octo.
Unam asinae si addas, si reddat mulus et unam
Mensuras quinque haec, et septem mulus habebunt.
C'est-à-dire:
Puisque, le mulet donnant une de ses mesures à l'ânesse, ils se trouvent
également chargés, il est évident que la différence des mesures qu'ils
portent est égaie à deux. Maintenant, si le mulet en reçoit une de
celles de l'ânesse, la différence sera quatre; mais alors le mulet aura
le double du nombre des mesures de l'ânesse: conséquemment le mulet en
aura huit et l'ânesse quatre. Que le mulet en rende donc une à l'ânesse,
celle-ci en aura cinq et le premier en aura sept. Ce sont les nombres de
mesures dont ils étaient chargés, et la réponse à la question.
II. Rangez les 21 cartes en trois paquets de 7 chacun, en plaçant
successivement ces cartes sur les trois paquets, de manière que si l'on
suppose les cartes portant des numéros qui expriment leurs rangs
primitifs, le premier paquet renferme les numéros 1, 4, 7, 10, 13, etc.;
le second, les numéros 2, 5, 8, 11, 14, etc.; le troisième, les numéros
3, 6, 9, 12, etc.
Demandez à la personne qui a pensé une de vos 21 cartes, dans quel
paquet se trouve cette carte, et placez ce paquet au milieu des deux
autres; puis, rangeant de nouveau les cartes sur une table en trois
paquets, de la même manière que la première fois, faites-vous désigner
le paquet on sera tombée la carte pensée. Réunissez, comme précédemment,
les trois tas en un seul, en mettant au milieu celui qu'on vous a
désigné; puis, distribuant de nouveau les cartes en trois paquets,
demandez une dernière fois celui où se trouve la carte pensée. Cette
carte occupera le quatrième rang: il vous sera donc facile de la
trouver.
Pour dissimuler votre procédé, vous pourrez, intercaler entre les deux
autres le tas désigné en dernier lieu; puis jetant successivement vos
cartes sur la table avec rapidité, vous saurez que la onzième est celle
qu'on vous demande.
Il est facile de se rendre compte de ce procédé. En effet, lorsque l'on
a mis une première fois au milieu le tas où se trouve la carte pensée,
comme chacun des 3 tas est de 7, elle ne peut occuper qu'un rang marqué
par un des nombres
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
Or, si on range de nouveau les cartes en trois paquets, en leur
assignant des numéros déterminés par les rangs qu'elles occupent après
leur première réunion, la composition des paquets sera représentée dans
le tableau ci-dessous:
Premier paquet. Second paquet. Troisième paquet.
1 2 3
4 5 6
7 8* 9*
10* 11* 12*
13* 14* 15
16 17 18
19 20 21
La carte pensée ne pourra donc occuper que le quatrième ou le cinquième
rang dans le premier paquet; que le troisième, le quatrième ou le
cinquième rang dans le second paquet; que le troisième, le quatrième
rang dans le troisième paquet. Nous marquons par des astérisques ces
diverses positions.
Maintenant, si on met au milieu des deux autres celui des trois tas où
elle se trouve, elle ne peut occuper évidemment que le dixième, le
onzième ou le douzième rang. Or, d'après le tableau précédent, les cares
numérotées 10, 11 et 12 occupent chacune le quatrième rang de leur
paquet. Si donc on désigne le tas où se trouve la carte pensée, cette
carte sera connue.