§ 87. Ich hoffe in dieser Schrift wahrscheinlich gemacht zu haben, dass
die arithmetischen Gesetze analytische Urtheile und folglich a priori
sind. Demnach würde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik,
jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes
sein. Die Anwendungen der Arithmetik zur Naturerklärung wären
logische Bearbeitungen von beobachteten Thatsachen[99]; Rechnen wäre
Schlussfolgern. Die Zahlgesetze werden nicht, wie _Baumann_[100] meint,
eine praktische Bewährung nöthig haben, um in der Aussenwelt anwendbar
zu sein; denn in der Aussenwelt, der Gesammtheit des Räumlichen, giebt
es keine Begriffe, keine Eigenschaften der Begriffe, keine Zahlen.
Also sind die Zahlgesetze nicht eigentlich auf die äussern Dinge
anwendbar: sie sind nicht Naturgesetze. Wohl aber sind sie anwendbar
auf Urtheile, die von Dingen der Aussenwelt gelten: sie sind Gesetze
der Naturgesetze. Sie behaupten nicht einen Zusammenhang zwischen
Naturerscheinungen, sondern einen solchen zwischen Urtheilen; und zu
diesen gehören auch die Naturgesetze.
§ 88. _Kant_[101] hat den Werth der analytischen Urtheile offenbar
-- wohl in Folge einer zu engen Begriffsbestimmung -- unterschätzt,
obgleich ihm der hier benutzte weitere Begriff vorgeschwebt zu haben
scheint[102]. Wenn man seine Definition zu Grunde legt, ist die
Eintheilung in analytische und synthetische Urtheile nicht erschöpfend.
Er denkt an den Fall des allgemein bejahenden Urtheils. Dann kann man
von einem Subjectsbegriffe reden und fragen, ob der Prädicatsbegriff
in ihm -- zufolge der Definition -- enthalten sei. Wie aber, wenn
das Subject ein einzelner Gegenstand ist? wie, wenn es sich um ein
Existentialurtheil handelt? Dann kann in diesem Sinne gar nicht von
einem Subjectsbegriffe die Rede sein. _Kant_ scheint den Begriff durch
beigeordnete Merkmale bestimmt zu denken; das ist aber eine der am
wenigsten fruchtbaren Begriffsbildungen. Wenn man die oben gegebenen
Definitionen überblickt, so wird man kaum eine von der Art finden.
Dasselbe gilt auch von den wirklich fruchtbaren Definitionen in der
Mathematik z. B. der Stetigkeit einer Function. Wir haben da nicht eine
Reihe beigeordneter Merkmale, sondern eine innigere, ich möchte sagen
organischere Verbindung der Bestimmungen. Man kann sich den Unterschied
durch ein geometrisches Bild anschaulich machen. Wenn man die Begriffe
(oder ihre Umfänge) durch Bezirke einer Ebene darstellt, so entspricht
dem durch beigeordnete Merkmale definirten Begriffe der Bezirk, welcher
allen Bezirken der Merkmale gemeinsam ist; er wird durch Theile von
deren Begrenzungen umschlossen. Bei einer solchen Definition handelt es
sich also -- im Bilde zu sprechen -- darum, die schon gegebenen Linien
in neuer Weise zur Abgrenzung eines Bezirks zu verwenden[103]. Aber
dabei kommt nichts wesentlich Neues zum Vorschein. Die fruchtbareren
Begriffsbestimmungen ziehen Grenzlinien, die noch gar nicht gegeben
waren. Was sich aus ihnen schliessen lasse, ist nicht von vornherein
zu übersehen; man holt dabei nicht einfach aus dem Kasten wieder
heraus, was man hineingelegt hatte. Diese Folgerungen erweitern unsere
Kenntnisse, und man sollte sie daher _Kant_ zufolge für synthetisch
halten; dennoch können sie rein logisch bewiesen werden und sind also
analytisch. Sie sind in der That in den Definitionen enthalten, aber
wie die Pflanze im Samen, nicht wie der Balken im Hause. Oft braucht
man mehre Definitionen zum Beweise eines Satzes, der folglich in keiner
einzelnen enthalten ist und doch aus allen zusammen rein logisch folgt.
§ 89. Ich muss auch der Allgemeinheit der Behauptung _Kants_[104]
widersprechen: ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben
werden. Die Null, die Eins sind Gegenstände, die uns nicht sinnlich
gegeben werden können. Auch Diejenigen, welche die kleineren Zahlen
für anschaulich halten, werden doch einräumen müssen, dass ihnen keine
der Zahlen, die grösser als 1000 (^{1000^{1000}}) sind, anschaulich
gegeben werden können, und dass wir dennoch Mancherlei von ihnen
wissen. Vielleicht hat _Kant_ das Wort »Gegenstand« in etwas anderm
Sinne gebraucht; aber dann fallen die Null, die Eins, unser ∞₁ ganz aus
seiner Betrachtung heraus; denn Begriffe sind sie auch nicht, und auch
von Begriffen verlangt _Kant_[104], dass man ihnen den Gegenstand in
der Anschauung beifüge.
Um nicht den Vorwurf einer kleinlichen Tadelsucht gegenüber einem
Geiste auf mich zu laden, zu dem wir nur mit dankbarer Bewunderung
aufblicken können, glaube ich auch die Uebereinstimmung hervorheben zu
müssen, welche weit überwiegt. Um nur das hier zunächst Liegende zu
berühren, sehe ich ein grosses Verdienst _Kants_ darin, dass er die
Unterscheidung von synthetischen und analytischen Urtheilen gemacht
hat. Indem er die geometrischen Wahrheiten synthetisch und a priori
nannte, hat er ihr wahres Wesen enthüllt. Und dies ist noch jetzt
werth wiederholt zu werden, weil es noch oft verkannt wird. Wenn _Kant_
sich hinsichtlich der Arithmetik geirrt hat, so thut das, glaube ich,
seinem Verdienste keinen wesentlichen Eintrag. Ihm kam es darauf
an, dass es synthetische Urtheile a priori giebt; ob sie nur in der
Geometrie oder auch in der Arithmetik vorkommen, ist von geringerer
Bedeutung.
§ 90. Ich erhebe nicht den Anspruch, die analytische Natur der
arithmetischen Sätze mehr als wahrscheinlich gemacht zu haben, weil
man immer noch zweifeln kann, ob ihr Beweis ganz aus rein logischen
Gesetzen geführt werden könne, ob sich nicht irgendwo ein Beweisgrund
andrer Art unvermerkt einmische. Dies Bedenken wird auch durch die
Andeutungen nicht vollständig entkräftet, die ich für den Beweis
einiger Sätze gegeben habe; es kann nur durch eine lückenlose
Schlusskette gehoben werden, sodass kein Schritt geschieht, der
nicht einer von wenigen als rein logisch anerkannten Schlussweisen
gemäss ist. So ist bis jetzt kaum ein Beweis geführt worden, weil
der Mathematiker zufrieden ist, wenn jeder Uebergang zu einem
neuen Urtheile als richtig einleuchtet, ohne nach der Natur dieses
Einleuchtens zu fragen, ob es logisch oder anschaulich sei. Ein solcher
Fortschritt ist oft sehr zusammengesetzt und mehren einfachen Schlüssen
gleichwerthig, neben welchen noch aus der Anschauung etwas einfliessen
kann. Man geht sprungweise vor, und daraus entsteht die scheinbar
überreiche Mannichfaltigkeit der Schlussweisen in der Mathematik;
denn je grösser die Sprünge sind, desto vielfachere Combinationen
aus einfachen Schlüssen und Anschauungsaxiomen können sie vertreten.
Dennoch leuchtet uns ein solcher Uebergang oft unmittelbar ein, ohne
dass uns die Zwischenstufen zum Bewusstsein kommen, und da er sich
nicht als eine der anerkannten logischen Schlussweisen darstellt, sind
wir sogleich bereit, dies Einleuchten für ein anschauliches und die
erschlossene Wahrheit für eine synthetische zu halten, auch dann, wenn
der Geltungsbereich offenbar über das Anschauliche hinausreicht.
Auf diesem Wege ist es nicht möglich, das auf Anschauung beruhende
Synthetische von dem Analytischen rein zu scheiden. Es gelingt so
auch nicht, die Axiome der Anschauung mit Sicherheit vollständig
zusammenzustellen, sodass jeder mathematische Beweis allein aus diesen
Axiomen nach den logischen Gesetzen geführt werden kann.
§ 91. Die Forderung ist also unabweisbar, alle Sprünge in der
Schlussfolgerung zu vermeiden. Dass ihr so schwer zu genügen ist,
liegt an der Langwierigkeit eines schrittweisen Vorgehens. Jeder
nur etwas verwickeltere Beweis droht eine ungeheuerliche Länge
anzunehmen. Dazu kommt, dass die übergrosse Mannichfaltigkeit der in
der Sprache ausgeprägten logischen Formen es erschwert, einen Kreis
von Schlussweisen abzugrenzen, der für alle Fälle genügt und leicht zu
übersehen ist.
Um diese Uebelstände zu vermindern, habe ich meine Begriffsschrift
erdacht. Sie soll grössere Kürze und Uebersichtlichkeit des Ausdrucks
erzielen und sich in wenigen festen Formen nach Art einer Rechnung
bewegen, sodass kein Uebergang gestattet wird, der nicht den ein für
alle Mal aufgestellten Regeln gemäss ist[105]. Es kann sich dann kein
Beweisgrund unbemerkt einschleichen. Ich habe so, ohne der Anschauung
ein Axiom zu entlehnen, einen Satz bewiesen[106], den man beim ersten
Blick für einen synthetischen halten möchte, welchen ich hier so
aussprechen will:
Wenn die Beziehung jedes Gliedes einer Reihe zum nächstfolgenden
eindeutig ist, und wenn m und y in dieser Reihe auf x folgen, so geht y
dem m in dieser Reihe vorher oder fällt mit ihm zusammen oder folgt auf
m.
Aus diesem Beweise kann man ersehen, dass Sätze, welche unsere
Kenntnisse erweitern, analytische Urtheile enthalten können[107].
Andere Zahlen.
§ 92. Wir haben unsere Betrachtung bisher auf die Anzahlen beschränkt.
Werfen wir nun noch einen Blick auf die andern Zahlengattungen und
versuchen wir für dies weitere Feld nutzbar zu machen, was wir auf dem
engern erkannt haben!
Um den Sinn der Frage nach der Möglichkeit einer gewissen Zahl klar zu
machen, sagt _Hankel_[108]:
»Ein Ding, eine Substanz, die selbständig ausserhalb des denkenden
Subjects und der sie veranlassenden Objecte existirte, ein
selbständiges Princip, wie etwa bei den Pythagoräern, ist die Zahl
heute nicht mehr. Die Frage von der Existenz kann daher nur auf das
denkende Subject oder die gedachten Objecte, deren Beziehungen die
Zahlen darstellen, bezogen werden. Als unmöglich gilt dem Mathematiker
streng genommen nur das, was logisch unmöglich ist, d. h. sich selbst
widerspricht. Dass in diesem Sinne unmögliche Zahlen nicht zugelassen
werden können, bedarf keines Beweises. Sind aber die betreffenden
Zahlen logisch möglich, ihr Begriff klar und bestimmt definirt und
also ohne Widerspruch, so kann jene Frage nur darauf hinauskommen, ob
es im Gebiete des Realen oder des in der Anschauung Wirklichen, des
Actuellen ein Substrat derselben, ob es Objecte gebe, an welchen die
Zahlen, also die intellectuellen Beziehungen der bestimmten Art zur
Erscheinung kommen«.
§ 93. Bei dem ersten Satze kann man zweifeln, ob nach _Hankel_ die
Zahlen in dem denkenden Subjecte oder in den sie veranlassenden
Objecten oder in beiden existiren. Im räumlichen Sinne sind sie
jedenfalls weder innerhalb noch ausserhalb weder des Subjects noch
eines Objects. Wohl aber sind sie in dem Sinne ausserhalb des Subjects,
dass sie nicht subjectiv sind. Während jeder nur seinen Schmerz, seine
Lust, seinen Hunger fühlen, seine Ton- und Farbenempfindungen haben
kann, können die Zahlen gemeinsame Gegenstände für Viele sein, und zwar
sind sie für Alle genau dieselben, nicht nur mehr oder minder ähnliche
innere Zustände von Verschiedenen. Wenn _Hankel_ die Frage von der
Existenz auf das denkende Subject beziehen will, so scheint er sie
damit zu einer psychologischen zu machen, was sie in keiner Weise ist.
Die Mathematik beschäftigt sich nicht mit der Natur unserer Seele, und
wie irgendwelche psychologische Fragen beantwortet werden, muss für sie
völlig gleichgiltig sein.
§ 94. Auch dass dem Mathematiker nur, was sich selbst widerspricht, als
unmöglich gelte, muss beanstandet werden. Ein Begriff ist zulässig,
auch wenn seine Merkmale einen Widerspruch enthalten; man darf nur
nicht voraussetzen, dass etwas unter ihn falle. Aber daraus, dass
der Begriff keinen Widerspruch enthält, kann noch nicht geschlossen
werden, dass etwas unter ihn falle. Wie soll man übrigens beweisen,
dass ein Begriff keinen Widerspruch enthalte? Auf der Hand liegt
das keineswegs immer; daraus, dass man keinen Widerspruch sieht,
folgt nicht, dass keiner da ist, und die Bestimmtheit der Definition
leistet keine Gewähr dafür. _Hankel_ beweist[109], dass ein höheres
begrenztes complexes Zahlensystem als das gemeine, das allen Gesetzen
der Addition und Multiplication unterworfen wäre, einen Widerspruch
enthält. Das muss eben bewiesen werden; man sieht es nicht sogleich.
Bevor dies geschehen, könnte immerhin jemand unter Benutzung eines
solchen Zahlensystems zu wunderbaren Ergebnissen gelangen, deren
Begründung nicht schlechter wäre, als die, welche _Hankel_[110] von
den Determinantensätzen mittels der alternirenden Zahlen giebt; denn
wer bürgt dafür, dass nicht auch in deren Begriffe ein versteckter
Widerspruch enthalten ist? Und selbst, wenn man einen solchen allgemein
für beliebig viele alternirende Einheiten ausschliessen könnte, würde
immer noch nicht folgen, dass es solche Einheiten gebe. Und grade dies
brauchen wir. Nehmen wir als Beispiel den 18. Satz des 1. Buches von
Euklids Elementen:
In jedem Dreiecke liegt der grössern Seite der grössere Winkel
gegenüber.
Um das zu beweisen, trägt _Euklid_ auf der grössern Seite AC ein Stück
AD gleich der kleinern Seite AB ab und beruft sich dabei auf eine
frühere Construction. Der Beweis würde in sich zusammenfallen, wenn es
einen solchen Punkt nicht gäbe, und es genügt nicht, dass man in dem
Begriffe »Punkt auf AC, dessen Entfernung von A gleich B ist« keinen
Widerspruch entdeckt. Es wird nun B mit D verbunden. Auch dass es eine
solche Gerade giebt, ist ein Satz, auf den sich der Beweis stützt.
§ 95. Streng kann die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes wohl nur
durch den Nachweis dargelegt werden, dass etwas unter ihn falle. Das
Umgekehrte würde ein Fehler sein. In diesen verfällt _Hankel_, wenn er
in Bezug auf die Gleichung x + b = c sagt[111]:
»Es liegt auf der Hand, dass es, wenn b > c ist, keine Zahl x in der
Reihe 1, 2, 3, ... giebt, welche die betreffende Aufgabe löst: die
Subtraction ist dann _unmöglich_. Nichts hindert uns jedoch, dass
wir in diesem Falle die Differenz (c - b) als ein Zeichen _ansehen_,
welches die Aufgabe löst, und mit welchem genau so zu operiren ist, als
wenn es eine numerische Zahl aus der Reihe 1, 2, 3, ... wäre.«
Uns hindert allerdings etwas (2 - 3), ohne Weiteres als Zeichen
anzusehen, welches die Aufgabe löst; denn ein leeres Zeichen löst
eben die Aufgabe nicht; ohne einen Inhalt ist es nur Tinte oder
Druckerschwärze auf Papier, hat als solche physikalische Eigenschaften,
aber nicht die, um 3 vermehrt 2 zu geben. Es wäre eigentlich gar kein
Zeichen, und sein Gebrauch als solches wäre ein logischer Fehler. Auch
in dem Falle, wo c > b, ist nicht das Zeichen (»c - b«) die Lösung der
Aufgabe, sondern dessen Inhalt.
§ 96. Ebensogut könnte man sagen: unter den bisher bekannten Zahlen
giebt es keine, welche die beiden Gleichungen
x + 1 = 2 und x + 2 = 1
zugleich befriedigt; aber nichts hindert uns ein Zeichen einzuführen,
das die Aufgabe löst. Man wird sagen: die Aufgabe enthält ja einen
Widerspruch. Freilich, wenn man als Lösung eine reelle oder gemeine
complexe Zahl verlangt; aber erweitern wir doch unser Zahlsystem,
schaffen wir doch Zahlen, die den Anforderungen genügen! Warten wir
ab, ob uns jemand einen Widerspruch nachweist! Wer kann wissen, was
bei diesen neuen Zahlen möglich ist? Die Eindeutigkeit der Subtraction
werden wir dann freilich nicht aufrecht erhalten können; aber wir
müssen ja auch die Eindeutigkeit des Wurzelziehens aufgeben, wenn wir
die negativen Zahlen einführen wollen; durch die complexen Zahlen wird
das Logarithmiren vieldeutig.
Schaffen wir auch Zahlen, welche divergirende Reihen zu summiren
gestatten! Nein! auch der Mathematiker kann nicht beliebig etwas
schaffen, so wenig wie der Geograph; auch er kann nur entdecken, was da
ist, und es benennen.
An diesem Irrthum krankt die formale Theorie der Brüche, der negativen,
der complexen Zahlen[112]. Man stellt die Forderung, dass die
bekannten Rechnungsregeln für die neu einzuführenden Zahlen möglichst
erhalten bleiben, und leitet daraus allgemeine Eigenschaften und
Beziehungen ab. Stösst man nirgends auf einen Widerspruch, so hält
man die Einführung der neuen Zahlen für gerechtfertigt, als ob ein
Widerspruch nicht dennoch irgendwo versteckt sein könnte, und als ob
Widerspruchslosigkeit schon Existenz wäre.
§ 97. Dass dieser Fehler so leicht begangen wird, liegt wohl an einer
mangelhaften Unterscheidung der Begriffe von den Gegenständen. Nichts
hindert uns, den Begriff »Quadratwurzel aus -1« zu gebrauchen; aber wir
sind nicht ohne Weiteres berechtigt, den bestimmten Artikel davor zu
setzen und den Ausdruck »die Quadratwurzel aus -1« als einen sinnvollen
anzusehen. Wir können unter der Voraussetzung, dass i² = -1 sei, die
Formel beweisen, durch welche der Sinus eines Vielfachen des Winkels α
durch Sinus und Cosinus von α selbst ausgedrückt wird; aber wir dürfen
nicht vergessen, dass der Satz dann die Bedingung i² = -1 mit sich
führt, welche wir nicht ohne Weiteres weglassen dürfen. Gäbe es gar
nichts, dessen Quadrat -1 wäre, so brauchte die Gleichung kraft unseres
Beweises nicht richtig zu sein[113], weil die Bedingung i² = -1 niemals
erfüllt wäre, von der ihre Geltung abhängig erscheint. Es wäre so, als
ob wir in einem geometrischen Beweise eine Hilfslinie benutzt hätten,
die gar nicht gezogen werden kann.
§ 98. _Hankel_[114] führt zwei Arten von Operationen ein, die er
lytische und thetische nennt, und die er durch gewisse Eigenschaften
bestimmt, welche diese Operationen haben sollen. Dagegen ist nichts zu
sagen, so lange man nur nicht voraussetzt, dass es solche Operationen
und Gegenstände giebt, welche deren Ergebnisse sein können[115].
Später[116] bezeichnet er eine thetische, vollkommen eindeutige,
associative Operation durch (a + b) und die entsprechende ebenfalls
vollkommen eindeutige lytische durch (a - b). Eine solche Operation?
welche? eine beliebige? dann ist dies keine Definition von (a + b); und
wenn es nun keine giebt? Wenn das Wort »Addition« noch keine Bedeutung
hätte, wäre es logisch zulässig zu sagen: eine solche Operation wollen
wir eine Addition nennen; aber man darf nicht sagen: eine solche
Operation soll die Addition heissen und durch (a + b) bezeichnet
werden, bevor es feststeht, dass es eine und nur eine einzige giebt.
Man darf nicht auf der einen Seite einer Definitionsgleichung den
unbestimmten und auf der andern den bestimmten Artikel gebrauchen. Dann
sagt _Hankel_ ohne Weiteres: »der Modul der Operation«, ohne bewiesen
zu haben, dass es einen und nur einen giebt.
§ 99. Kurz diese rein formale Theorie ist unzureichend. Das Werthvolle
an ihr ist nur dies. Man beweist, dass wenn Operationen gewisse
Eigenschaften wie die Associativität und die Commutativität haben,
gewisse Sätze von ihnen gelten. Man zeigt nun, dass die Addition und
Multiplication, welche man schon kennt, diese Eigenschaften haben,
und kann nun sofort jene Sätze von ihnen aussprechen, ohne den Beweis
in jedem einzelnen Falle weitläufig zu wiederholen. Erst durch diese
Anwendung auf anderweitig gegebene Operationen, gelangt man zu den
bekannten Sätzen der Arithmetik. Keineswegs darf man aber glauben die
Addition und die Multiplication auf diesem Wege einführen zu können.
Man giebt nur eine Anleitung für die Definitionen, nicht diese selbst.
Man sagt: der Name »Addition« soll nur einer thetischen, vollkommen
eindeutigen, associativen Operation gegeben werden, womit diejenige,
welche nun so heissen soll, noch gar nicht angegeben ist. Danach stände
nichts im Wege, die Multiplication Addition zu nennen und durch (a + b)
zu bezeichnen, und niemand könnte mit Bestimmtheit sagen, ob 2 + 3 5
oder 6 wäre.
§ 100. Wenn wir diese rein formale Betrachtungsweise aufgeben, so
kann sich aus dem Umstande, dass gleichzeitig mit der Einführung von
neuen Zahlen die Bedeutung der Wörter »Summe« und »Product« erweitert
wird, ein Weg darzubieten scheinen. Man nimmt einen Gegenstand, etwa
den Mond, und erklärt: der Mond mit sich selbst multiplicirt sei -1.
Dann haben wir in dem Monde eine Quadratwurzel aus -1. Diese Erklärung
scheint gestattet, weil aus der bisherigen Bedeutung der Multiplication
der Sinn eines Solchen Products noch gar nicht hervorgeht und also bei
der Erweiterung dieser Bedeutung beliebig festgesetzt werden kann. Aber
wir brauchen auch die Producte einer reellen Zahl mit der Quadratwurzel
aus -1. Wählen wir deshalb lieber den Zeitraum einer Secunde zu einer
Quadratwurzel aus -1 und bezeichnen ihn durch i! Dann werden wir
unter 3 i den Zeitraum von 3 Secunden verstehen u. s. w.[117] Welchen
Gegenstand werden wir dann etwa durch 2 + 3i bezeichnen? Welche
Bedeutung würde dem Pluszeichen in diesem Falle zu geben sein? Nun das
muss allgemein festgesetzt werden, was freilich nicht leicht sein
wird. Doch nehmen wir einmal an, dass wir allen Zeichen von der Form
a + bi einen Sinn gesichert hätten, und zwar einen solchen, dass die
bekannten Additionssätze gelten! Dann müssten wir ferner festsetzen,
dass allgemein
(a + bi) (c + di) = ac - bd + i (ad + bc)
sein solle, wodurch wir die Multiplication weiter bestimmen würden.
§ 101. Nun könnten wir die Formel für cos (nα) beweisen, wenn wir
wüssten, dass aus der Gleichheit complexer Zahlen die Gleichheit der
reellen Theile folgt. Das müsste aus dem Sinne von a + bi hervorgehn,
den wir hier als vorhanden angenommen haben. Der Beweis würde nur
für den Sinn der complexen Zahlen, ihrer Summen und Producte gelten,
den wir festgesetzt haben. Da nun für ganzes reelles n und reelles α
i gar nicht mehr in der Gleichung vorkommt, so ist man versucht zu
schliessen: also ist es ganz gleichgiltig, ob i eine Secunde, ein
Millimeter oder was sonst bedeutet, wenn nur unsere Additions- und
Multiplicationssätze gelten; auf die allein kommt es an; um das Uebrige
brauchen wir uns nicht zu kümmern. Vielleicht kann man die Bedeutung
von a + bi, von Summe und Product in verschiedener Weise so festsetzen,
dass jene Sätze bestehen bleiben; aber es ist nicht gleichgiltig, ob
man überhaupt einen solchen Sinn für diese Ausdrücke finden kann.
§ 102. Man thut oft so, als ob die blosse Forderung schon ihre
Erfüllung wäre. Man fordert, dass die Subtraction[118], die Division,
die Radicirung immer ausführbar seien, und glaubt damit genug gethan
zu haben. Warum fordert man nicht auch, dass durch beliebige drei
Punkte eine Gerade gezogen werde? Warum fordert man nicht, dass für ein
dreidimensionales complexes Zahlensystem sämmtliche Additions- und
Multiplicationssätze gelten wie für ein reelles? Weil diese Forderung
einen Widerspruch enthält. Ei so beweise man denn erst, dass jene
andern Forderungen keinen Widerspruch enthalten! Ehe man das gethan
hat, ist alle vielerstrebte Strenge nichts als eitel Schein und Dunst.
In einem geometrischen Lehrsatze kommt die zum Beweise etwa gezogene
Hilfslinie nicht vor. Vielleicht sind mehre möglich z. B., wenn man
einen Punkt willkührlich wählen kann. Aber wie entbehrlich auch
jede einzelne sein mag, so hängt doch die Beweiskraft daran, dass
man eine Linie von der verlangten Beschaffenheit ziehen könne. Die
blosse Forderung genügt nicht. So ist es auch in unserm Falle für
die Beweiskraft nicht gleichgiltig, ob »a + bi« einen Sinn hat oder
blosse Druckerschwärze ist. Es reicht dazu nicht hin, zu verlangen,
es solle einen Sinn haben, oder zu sagen, der Sinn sei die Summe von
a und bi, wenn man nicht vorher erklärt hat, was »Summe« in diesem
Falle bedeutet, und wenn man den Gebrauch des bestimmten Artikels nicht
gerechtfertigt hat.
§ 103. Gegen die von uns versuchte Festsetzung des Sinnes von »i«
lässt sich freilich Manches einwenden. Wir bringen dadurch etwas
ganz Fremdartiges, die Zeit, in die Arithmetik. Die Secunde steht in
gar keiner innern Beziehung zu den reellen Zahlen. Die Sätze, welche
mittels der complexen Zahlen bewiesen werden, würden Urtheile a
posteriori oder doch synthetische sein, wenn es keine andere Art des
Beweises gäbe, oder wenn man für i keinen andern Sinn finden könnte.
Zunächst muss jedenfalls der Versuch gemacht werden, alle Sätze der
Arithmetik als analytische nachzuweisen.
Wenn _Kossak_[119] in Bezug auf die complexe Zahl sagt:
»Sie ist die zusammengesetzte Vorstellung von verschiedenartigen
Gruppen unter einander gleicher Elemente[120]«, so scheint er damit die
Einmischung von Fremdartigem vermieden zu haben; aber er scheint es
auch nur infolge der Unbestimmtheit des Ausdrucks. Man erhält gar keine
Antwort darauf, was 1 + i eigentlich bedeute: die Vorstellung eines
Apfels und einer Birne oder die von Zahnweh und Podagra? Beide zugleich
kann es doch nicht bedeuten, weil dann 1 + i nicht immer gleich 1 + i
wäre. Man wird sagen: das kommt auf die besondere Festsetzung an. Nun,
dann haben wir auch in _Kossak's_ Satze noch gar keine Definition
der complexen Zahl, sondern nur eine allgemeine Anleitung dazu. Wir
brauchen aber mehr; wir müssen bestimmt wissen, was »i« bedeutet, und
wenn wir nun jener Anleitung folgend sagen wollten: die Vorstellung
einer Birne, so würden wir wieder etwas Fremdartiges in die Arithmetik
einführen.
Das, was man die geometrische Darstellung complexer Zahlen zu nennen
pflegt, hat wenigstens den Vorzug vor den bisher betrachteten
Versuchen, dass dabei 1 und i nicht ganz ohne Zusammenhang und
ungleichartig erscheinen sondern dass die Strecke, welche man als
Darstellung von i betrachtet, in einer gesetzmässigen Beziehung zu der
Strecke steht, durch welche 1 dargestellt wird. Uebrigens ist es genau
genommen nicht richtig, dass hierbei 1 eine gewisse Strecke, i eine zu
ihr senkrechte von gleicher Länge bedeute, sondern »1« bedeutet überall
dasselbe. Eine complexe Zahl giebt hier an, wie die Strecke, welche als
ihre Darstellung gilt, aus einer gegebenen Strecke (Einheitsstrecke)
durch Vervielfältigung, Theilung und Drehung[121] hervorgeht. Aber auch
hiernach erscheint jeder Lehrsatz, dessen Beweis sich auf die Existenz
einer complexen Zahl stützen muss, von der geometrischen Anschauung
abhängig und also synthetisch.
§ 104. Wodurch sollen uns denn nun die Brüche, die Irrationalzahlen und
die complexen Zahlen gegeben werden? Wenn wir die Anschauung zu Hilfe
nehmen, so führen wir etwas Fremdartiges in die Arithmetik ein; wenn
wir aber nur den Begriff einer solchen Zahl durch Merkmale bestimmen,
wenn wir nur verlangen, dass die Zahl gewisse Eigenschaften habe, so
bürgt nichts dafür, dass auch etwas unter den Begriff falle und unsern
Anforderungen entspreche, und doch müssen sich grade hierauf Beweise
stützen.
Nun, wie ist es denn bei der Anzahl? Dürfen wir wirklich von 1000
(^{1000^{1000}}) nicht reden, bevor uns nicht soviele Gegenstände
in der Anschauung gegeben sind? Ist es so lange ein leeres Zeichen?
Nein! es hat einen ganz bestimmten Sinn, obwohl es psychologisch schon
in Anbetracht der Kürze unseres Lebens unmöglich ist, uns soviele
Gegenstände vor das Bewusstsein zu führen[122]; aber trotzdem ist 1000
(^{1000^{1000}}) ein Gegenstand, dessen Eigenschaften wir erkennen
können, obgleich er nicht anschaulich ist. Man überzeugt sich davon,
indem man bei der Einführung des Zeichens a^n für die Potenz zeigt,
dass immer eine und nur eine positive ganze Zahl dadurch ausgedrückt
wird, wenn a und n positive ganze Zahlen sind. Wie dies geschehen kann,
würde hier zu weit führen, im Einzelnen darzulegen. Die Weise, wie wir
im § 74 die Null, in § 77 die Eins, in § 84 die unendliche Anzahl ∞₁
erklärt haben, und die Andeutung des Beweises, dass auf jede endliche
Anzahl in der natürlichen Zahlenreihe eine Anzahl unmittelbar folgt (§§
82 u. 83), werden den Weg im Allgemeinen erkennen lassen.
Es wird zuletzt auch bei der Definition der Brüche, complexen Zahlen u.
s. w. Alles darauf ankommen, einen beurtheilbaren Inhalt aufzusuchen,
der in eine Gleichung verwandelt werden kann, deren Seiten dann eben
die neuen Zahlen sind. Mit andern Worten: wir müssen den Sinn eines
Wiedererkennungsurtheils für solche Zahlen festsetzen. Dabei sind die
Bedenken zu beachten, die wir (§§ 63-68) in Betreff einer solchen
Umwandlung erörtert haben. Wenn wir ebenso wie dort verfahren, so
werden uns die neuen Zahlen als Umfänge von Begriffen gegeben.
§ 105. Aus dieser Auffassung der Zahlen[123] erklärt sich, wie mir
scheint, leicht der Reiz, den die Beschäftigung mit der Arithmetik und
Analysis ausübt. Man könnte wohl mit Abänderung eines bekannten Satzes
sagen: der eigentliche Gegenstand der Vernunft ist die Vernunft. Wir
beschäftigen uns in der Arithmetik mit Gegenständen, die uns nicht als
etwas Fremdes von aussen durch Vermittelung der Sinne bekannt werden,
sondern die unmittelbar der Vernunft gegeben sind, welche sie als ihr
Eigenstes völlig durchschauen kann[124].
Und doch, oder vielmehr grade daher sind diese Gegenstände nicht
subjective Hirngespinnste. Es giebt nichts Objectiveres als die
arithmetischen Gesetze.
§ 106. Werfen wir noch einen kurzen Rückblick auf den Gang unserer
Untersuchung! Nachdem wir festgestellt hatten, dass die Zahl weder ein
Haufe von Dingen noch eine Eigenschaft eines solchen, dass sie aber
auch nicht subjectives Erzeugniss seelischer Vorgänge ist; sondern dass
die Zahlangabe von einem Begriffe etwas Objectives aussage, versuchten
wir zunächst die einzelnen Zahlen 0, 1 u. s. w. und das Fortschreiten
in der Zahlenreihe zu definiren. Der erste Versuch misslang, weil wir
nur jene Aussage von Begriffen, nicht aber die 0, die 1 abgesondert
definirt hatten, welche nur Theile von ihr sind. Dies hatte zur Folge,
dass wir die Gleichheit von Zahlen nicht beweisen konnten. Es zeigte
sich, dass die Zahl, mit der sich die Arithmetik beschäftigt, nicht als
ein unselbständiges Attribut, sondern substantivisch gefasst werden
muss[125]. Die Zahl erschien so als wiedererkennbarer Gegenstand, wenn
auch nicht als physikalischer oder auch nur räumlicher noch als einer,
von dem wir uns durch die Einbildungskraft ein Bild entwerfen können.
Wir stellten nun den Grundsatz auf, dass die Bedeutung eines Wortes
nicht vereinzelt, sondern im Zusammenhange eines Satzes zu erklären
sei, durch dessen Befolgung allein, wie ich glaube, die physikalische
Auffassung der Zahl vermieden werden kann, ohne in die psychologische
zu verfallen. Es giebt nun eine Art von Sätzen, die für jeden
Gegenstand einen Sinn haben müssen, das sind die Wiedererkennungsätze,
bei den Zahlen Gleichungen genannt. Auch die Zahlangabe, sahen wir,
ist als eine Gleichung aufzufassen. Es kam also darauf an, den Sinn
einer Zahlengleichung festzustellen, ihn auszudrücken, ohne von den
Zahlwörtern oder dem Worte »Zahl« Gebrauch zu machen. Die Möglichkeit
die unter einen Begriff F fallenden Gegenstände, den unter einen
Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen, erkannten
wir als Inhalt eines Wiedererkennungsurtheils von Zahlen. Unsere
Definition musste also jene Möglichkeit als gleichbedeutend mit einer
Zahlengleichung hinstellen. Wir erinnerten an ähnliche Fälle: die
Definition der Richtung aus dem Parallelismus, der Gestalt aus der
Aehnlichkeit u. s. w.
§ 107. Es erhob sich nun die Frage: wann ist man berechtigt, einen
Inhalt als den eines Wiedererkennungsurtheils aufzufassen? Es muss dazu
die Bedingung erfüllt sein, dass in jedem Urtheile unbeschadet seiner
Wahrheit die linke Seite der versuchsweise angenommenen Gleichung
durch die rechte ersetzt werden könne. Nun ist uns, ohne dass weitere
Definitionen hinzukommen, zunächst von der linken oder rechten Seite
einer solchen Gleichung keine Aussage weiter bekannt als eben die der
Gleichheit. Es brauchte also die Ersetzbarkeit nur in einer Gleichung
nachgewiesen zu werden.
Aber es blieb noch ein Bedenken bestehen. Ein Wiedererkennungssatz muss
nämlich immer einen Sinn haben. Wenn wir nun die Möglichkeit, die unter
den Begriff F fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden
beiderseits eindeutig zuzuordnen, als eine Gleichung auffassen, indem
wir dafür sagen: »die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich
der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt,« und hiermit den Ausdruck
»die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt« einführen, so haben wir
für die Gleichung nur dann einen Sinn, wenn beide Seiten die eben
genannte Form haben. Wir könnten nach einer solchen Definition nicht
beurtheilen, ob eine Gleichung wahr oder falsch ist, wenn nur die eine
Seite diese Form hat. Das veranlasste uns zu der Definition:
Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes
»Begriff gleichzahlig dem Begriffe F«, indem wir einen Begriff F
gleichzahlig einem Begriffe G nannten, wenn jene Möglichkeit der
beiderseits eindeutigen Zuordnung besteht.
Hierbei setzten wir den Sinn des Ausdruckes »Umfang des Begriffes«
als bekannt voraus. Diese Weise, die Schwierigkeit zu überwinden,
wird wohl nicht überall Beifall finden, und Manche werden vorziehn,
jenes Bedenken in andrer Weise zu beseitigen. Ich lege auch auf die
Heranziehung des Umfangs eines Begriffes kein entscheidendes Gewicht.
§ 108. Es blieb nun noch übrig die beiderseits eindeutige Zuordnung
zu erklären; wir führten sie auf rein logische Verhältnisse zurück.
Nachdem wir nun den Beweis des Satzes angedeutet hatten: die Zahl,
welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der, welche dem Begriffe
G zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist,
definirten wir die 0, den Ausdruck »n folgt in der natürlichen
Zahlenreihe unmittelbar auf m« und die Zahl 1 und zeigten, dass 1
in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0 folgt. Wir führten
einige Sätze an, die sich an dieser Stelle leicht beweisen lassen, und
gingen dann etwas näher auf folgenden ein, der die Unendlichkeit der
Zahlenreihe erkennen lässt:
Auf jede Zahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe eine Zahl.
Wir wurden hierdurch auf den Begriff »der mit n endenden natürlichen
Zahlenreihe angehörend« geführt, von dem wir zeigen wollten, dass
die ihm zukommende Anzahl auf n in der natürlichen Zahlenreihe
unmittelbar folge. Wir definirten ihn zunächst mittels des Folgens
eines Gegenstandes y auf einen Gegenstand x in einer allgemeinen
φ-Reihe. Auch der Sinn dieses Ausdruckes wurde auf rein logische
Verhältnisse zurückgeführt. Und dadurch gelang es, die Schlussweise von
n auf (n + 1), welche gewöhnlich für eine eigenthümlich mathematische
gehalten wird, als auf den allgemeinen logischen Schlussweisen beruhend
nachzuweisen.
Wir brauchten nun zum Beweise der Unendlichkeit der Zahlenreihe den
Satz, dass keine endliche Zahl in der natürlichen Zahlenreihe auf
sich selber folgt. Wir kamen so zu den Begriffen der endlichen und
der unendlichen Zahl. Wir zeigten, dass der letztere im Grunde nicht
weniger logisch gerechtfertigt als der erstere ist. Zum Vergleiche
wurden _Cantors_ unendliche Anzahlen und dessen »Folgen in der
Succession« herangezogen, wobei auf die Verschiedenheit im Ausdrucke
hingewiesen wurde.
§ 109. Aus allem Vorangehenden ergab sich nun mit grosser
Wahrscheinlichkeit die analytische und apriorische Natur der
arithmetischen Wahrheiten; und wir gelangten zu einer Verbesserung
der Ansicht Kants. Wir sahen ferner, was noch fehlt, um jene
Wahrscheinlichkeit zur Gewissheit zu erheben, und gaben den Weg an, der
dahin führen muss.
Endlich benutzten wir unsere Ergebnisse zur Kritik einer formalen
Theorie der negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen Zahlen,
durch welche deren Unzulänglichkeit offenbar wurde. Ihren Fehler
erkannten wir darin, dass sie die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes
als bewiesen annahm, wenn sich kein Widerspruch gezeigt hatte, und
dass die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes schon als hinreichende
Gewähr für seine Erfülltheit galt. Diese Theorie bildet sich ein, sie
brauche nur Forderungen zu stellen; deren Erfüllung verstehe sich dann
von selbst. Sie gebärdet sich wie ein Gott, der durch sein blosses Wort
schaffen kann, wessen er bedarf. Es musste auch gerügt werden, wenn
eine Anweisung zur Definition für diese selbst ausgegeben wurde, eine
Anweisung, deren Befolgung Fremdartiges in die Arithmetik einführen
würde, obwohl sie selbst im Ausdrucke sich davon frei zu halten vermag,
aber nur weil sie blosse Anweisung bleibt.
So geräth jene formale Theorie in Gefahr, auf das Aposteriorische oder
doch Synthetische zurückzufallen, wie sehr sie sich auch den Anschein
giebt, in der Höhe der Abstractionen zu schweben.
Unsere frühere Betrachtung der positiven ganzen Zahlen zeigte uns nun
die Möglichkeit, die Einmischung von äussern Dingen und geometrischen
Anschauungen zu vermeiden, ohne doch in den Fehler jener formalen
Theorie zu verfallen. Es kommt wie dort darauf an, den Inhalt eines
Wiedererkennungsurtheils festzusetzen. Denken wir dies überall
geschehen, so erscheinen die negativen, gebrochenen, irrationalen
und complexen Zahlen nicht geheimnissvoller als die positiven ganzen
Zahlen, diese nicht reeller, wirklicher, greifbarer als jene.
[Illustration]
Fußnoten:
[1] Sämmtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd. X, 1 Thl.
Umriss pädagogischer Vorlesungen § 252, Anm. 2: »Zwei heisst nicht zwei
Dinge, sondern Verdoppelung« u. s. w.
[2] K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder
Wissenschaftslehre, 2. Aufl. § 94.
[3] Studien über Association der Vorstellungen. Wien 1883.
[4] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
[5] Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen,
sondern nur das treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere
_Kant_ gemeint haben.
[6] Wenn man überhaupt allgemeine Wahrheiten anerkennt, so muss man
auch zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen
Thatsachen nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst
die Induction beruht auf dem allgemeinen Satze, dass dies Verfahren die
Wahrheit oder doch eine Wahrscheinlichkeit für ein Gesetz begründen
könne. Für den, der dies leugnet, ist die Induction nichts weiter
als eine psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem
Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass dieser Glaube
dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre.
[7] Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt wird, von
keinen andern Zahlen als den positiven ganzen die Rede sein, welche auf
die Frage wie viele? antworten.
[8] Hobbes, Locke, Newton. Vergl. _Baumann_, die Lehren von Zeit, Raum
und Mathematik. S. 241 u. 242, S. 365 ff., S. 475.
[9] Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein. III. S. 157.
[10] Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen. S. 55.
[11] B: Nouveaux Essais, IV. § 10. Erdm. S. 363.
[12] C: Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.
[13] Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. Theil:
Arithmetik, Stettin 1860, S. 4.
[14] A System der deductiven und inductiven Logik, übersetzt von J.
Schiel. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
[15] A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 2.
[16] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
[17] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
[18] A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 3.
[19] Baumann, a. a. O. II., S. 39; Erdm. S. 243.
[20] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 13 u. 14; Erdm. S. 195, S. 208 u. 209.
[21] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 38; Erdm. S. 212.
[22] A. a. O. Bd. II., S. 669.
[23] Lehrbuch der Analysis, Bd. I., S. 1.
[24] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 54 u. 55.
[25] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 56; Erdm. S. 424.
[26] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Erdm. S. 83.
[27] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Pertz, II., S. 55.
[28] The principles of science. London 1879. S. 156.
[29] Nouveaux Essais, IV, § 9; Erdm. S. 360.
[30] Es ist auffallend, dass auch _Mill_ a. a. O. II. Buch, VI.
Cap. § 4 diese Ansicht auszusprechen scheint. Sein gesunder Sinn
durchbricht eben von Zeit zu Zeit sein Vorurtheil für das Empirische.
Aber dieses bringt immer wieder Alles in Verwirrung, indem es ihn die
physikalischen Anwendungen der Arithmetik mit dieser selbst verwechseln
lässt. Er scheint nicht zu wissen, dass ein hypothetisches Urtheil auch
dann wahr sein kann, wenn die Bedingung nicht wahr ist.
[31] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 475.
[32] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.
[33] Grundzüge einer Elementarmathematik, S. 2, § 4. Aehnlich
Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn 1877, S. 1.
[34] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 u. 11.
[35] A. a. O. Bd. II, S. 669.
[36] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
[37] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.
[38] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 409.
[39] Ebenda, Bd. II, S. 56.
[40] Ebenda, Bd. II, S. 2.
[41] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.
[42] Genau genommen müsste hinzugefügt werden: sobald sie überhaupt
ein Phänomen sind. Wenn aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines
in Amerika (und sonst keins) hat, so besitzt er zwei Pferde. Diese
bilden jedoch kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so
genannt werden.
[43] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 428.
[44] Lehrbuch der Analysis, S. 1. Ich nehme an, dass _Lipschitz_ einen
innern Vorgang im Sinne hat.
[45] Handbuch der algebraischen Analysis, S. 1.
[46] Man kann dagegen auch einwenden, dass dann immer dieselbe
Vorstellung einer Stelle erscheinen müsste, wenn dieselbe Zahl
auftritt, was offenbar falsch ist. Das Folgende würde nicht zutreffen,
wenn er unter Vorstellung eine objective Idee verstehen wollte; aber
welcher Unterschied wäre dann zwischen der Vorstellung der Stelle und
der Stelle selbst?
Die Vorstellung im subjectiven Sinne ist das, worauf sich die
psychologischen Associationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher,
bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellung im objectiven Sinne gehört
der Logik an und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches
eine objective Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjective mit
sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjective
Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen Menschen,
die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann
man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung
zu vermeiden, »Vorstellung« nur im subjectiven Sinne gebrauchen.
Dadurch, dass Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat
er seiner Lehre eine sehr subjective, idealistische Färbung gegeben
und das Treffen seiner wahren Meinung erschwert. Die hier gemachte
Unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen Psychologie und
Logik. Möchte man diese immer recht streng auseinanderhalten!
[47] Elementare Theorie der analytischen Functionen, S. 1.
[48] 7. Buch der Elemente im Anfange: Μονάς έστι, καθ' ήν έκαστον τών
όντων έν λέγεται. Άριθμός δέ τό έκ μονάδων συγκείμενον πλήθος.
[49] A. a. O. S. 5.
[50] Es kommen Wendungen vor, die dem zu widersprechen scheinen; aber
bei genauerer Betrachtung wird man finden, dass ein Begriffswort zu
ergänzen ist, oder dass »Ein« nicht als Zahlwort gebraucht wird, dass
nicht die Einzigkeit, sondern die Einheitlichkeit behauptet werden soll.
[51] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2; Erdm. S. 8.
[52] A. a. O. Bd. II. S. 669.
[53] A. a. O. Bd. II. S. 669.
[54] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409.
[55] Ueber die Geschichte des Wortes »Einheit« vergl. Eucken,
Geschichte der philosophischen Terminologie. S. 122-3, S. 136, S. 220.
[56] Schularithmetik. Eisenach 1867. S. 5 u. 6.
[57] A. a. O. S. 5.
[58] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.
[59] Ebenda Bd. II. S. 568.
[60] A. a. O. S. 1.
[61] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 103.
[62] A. a. O. S. 3.
[63] The principles of Science, 3 d. Ed. S. 156.
[64] A. a. O. S. 162.
[65] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409-411.
[66] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 3.
[67] Vier Species. S. 2.
[68] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.
[69] Elementare Theorie der analyt. Functionen, S. 1.
[70] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2.
[71] A. a. O. Bd. II. S. 668.
[72] The Principles of Science, S. 157.
[73] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.
[74] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S. 5 ff.
[75] zu zählenden Gegenstände.
[76] A. a. O. S. 158.
[77] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 169.
[78] A. a. O. S. 6.
[79] »Vorstellung« in dem Sinne von etwas Bildartigem genommen.
[80] Es kommt darauf an, den Sinn einer Gleichung wie
df(x) = g(x) dx
zu definiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Punkten
begrenzte Strecke aufzuweisen, deren Länge dx wäre.
[81] Dies Wort rein psychologisch, nicht psychophysisch verstanden.
[82] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 565.
[83] Vergl. E. Schröder a. a. O. S. 7 und 8. E. Kossak, die Elemente
der Arithmetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums.
Berlin, 1872. S. 16. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen
Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.
[84] Um mich bequemer ausdrücken zu können und leichter verstanden zu
werden, spreche ich hier vom Parallelismus. Das Wesentliche dieser
Erörterungen wird leicht auf den Fall der Zahlengleichheit übertragen
werden können.
[85] Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.
[86] In einem hypothetischen Urtheile könnte z. B. eine Gleichheit von
Richtungen als Bedingung oder Folge vorkommen.
[87] Der bestimmte Artikel deutet dies an. Begriff ist für mich ein
mögliches Praedicat eines singulären beurtheilbaren Inhalts, Gegenstand
ein mögliches Subject eines solchen. Wenn wir in dem Satze
»die Richtung der Fernrohraxe ist gleich der Richtung der Erdaxe«
die Richtung der Fernrohraxe als Subject ansehen, so ist das Praedicat
»gleich der Richtung der Erdaxe«. Dies ist ein Begriff. Aber die
Richtung der Erdaxe ist nur ein Theil des Praedicates; sie ist ein
Gegenstand, da sie auch zum Subjecte gemacht werden kann.
[88] Ich glaube, dass für »Umfang des Begriffes« einfach »Begriff«
gesagt werden könnte. Aber man würde zweierlei einwenden:
1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung, dass die
einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in
Ausdrücken wie »die Zwei« und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde,
von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass
die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahlangabe ausmache;
2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne
zusammenzufallen.
Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden
können; aber das möchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man
wisse, was der Umfang eines Begriffes sei.
[89] Hiermit ist der Fall nicht zu verwechseln, wo das »und« nur
scheinbar die Subjecte, in Wahrheit aber zwei Sätze verbindet.
[90] Desgleichen die Umkehrung: Wenn die Zahl, welche dem Begriffe F
zukommt, dieselbe ist wie die, welche dem Begriffe G zukommt, so ist
der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig.
[91] Ganz davon verschieden ist die Definition eines Gegenstandes
aus einem Begriffe, unter den er fällt. Der Ausdruck »der grösste
ächte Bruch« hat z. B. keinen Inhalt, weil der bestimmte Artikel den
Anspruch erhebt, auf einen bestimmten Gegenstand hinzuweisen. Dagegen
ist der Begriff »Bruch, der kleiner als 1 und so beschaffen ist, dass
kein Bruch, der kleiner als 1 ist, ihn an Grösse übertrifft« ganz
unbedenklich, und um beweisen zu können, dass es keinen solchen Bruch
gebe, braucht man sogar diesen Begriff, obgleich er einen Widerspruch
enthält. Wenn man aber durch diesen Begriff einen Gegenstand bestimmen
wollte, der unter ihn fällt, wäre es allerdings nöthig, zweierlei
vorher zu zeigen: