»wenn jeder Gegenstand, zu dem x in der Beziehung φ steht, unter
den Begriff F fällt, und wenn daraus, dass d unter den Begriff F
fällt, allgemein, was auch d sei, folgt, dass jeder Gegenstand, zu
dem d in der Beziehung φ steht, unter den Begriff F falle, so fällt
y unter den Begriff F, was auch F für ein Begriff sein möge«
sei gleichbedeutend mit
»y folgt in der φ-Reihe auf x«
und mit
»x geht in der φ-Reihe dem y vorher.«
§ 80. Einige Bemerkungen hierzu werden nicht überflüssig sein. Da die
Beziehung φ unbestimmt gelassen ist, so ist die Reihe nicht nothwendig
in der Form einer räumlichen und zeitlichen Anordnung zu denken, obwohl
diese Fälle nicht ausgeschlossen sind.
Man könnte vielleicht eine andere Erklärung für natürlicher halten
z. B.: wenn man von x ausgehend seine Aufmerksamkeit immer von einem
Gegenstande zu einem andern lenkt, zu welchem er in der Beziehung φ
steht, und wenn man auf diese Weise schliesslich y erreichen kann, so
sagt man y folge in der φ-Reihe auf x.
Dies ist eine Weise die Sache zu untersuchen, keine Definition. Ob
wir bei der Wanderung unserer Aufmerksamkeit y erreichen, kann von
mancherlei subjectiven Nebenumständen abhangen z. B. von der uns zu
Gebote stehenden Zeit, oder von unserer Kenntniss der Dinge. Ob y auf
x in der φ-Reihe folgt, hat im Allgemeinen gar nichts mit unserer
Aufmerksamkeit und den Bedingungen ihrer Fortbewegung zu thun, sondern
ist etwas Sachliches, ebenso wie ein grünes Blatt gewisse Lichtstrahlen
reflectirt, mögen sie nun in mein Auge fallen und Empfindung
hervorrufen oder nicht, ebenso wie ein Salzkorn in Wasser löslich ist,
mag ich es ins Wasser werfen und den Vorgang beobachten oder nicht, und
wie es selbst dann noch löslich ist, wenn ich gar nicht die Möglichkeit
habe, einen Versuch damit anzustellen.
Durch meine Erklärung ist die Sache aus dem Bereiche subjectiver
Möglichkeiten in das der objectiven Bestimmtheit erhoben. In der That:
dass aus gewissen Sätzen ein anderer folgt, ist etwas Objectives, von
den Gesetzen der Bewegung unserer Aufmerksamkeit Unabhängiges, und es
ist dafür einerlei, ob wir den Schluss wirklich machen oder nicht.
Hier haben wir ein Merkmal, das die Frage überall entscheidet, wo sie
gestellt werden kann, mögen wir auch im einzelnen Falle durch äussere
Schwierigkeiten verhindert sein, zu beurtheilen, ob es zutrifft. Das
ist für die Sache selbst gleichgiltig.
Wir brauchen nicht immer alle Zwischenglieder vom Anfangsgliede bis zu
einem Gegenstande zu durchlaufen, um gewiss zu sein, dass er auf jenes
folgt. Wenn z. B. gegeben ist, dass in der φ-Reihe b auf a und c auf b
folgt, so können wir nach unserer Erklärung schliessen, dass c auf a
folgt, ohne die Zwischenglieder auch nur zu kennen.
Durch diese Definition des Folgens in einer Reihe wird es allein
möglich, die Schlussweise von n auf (n + 1), welche scheinbar der
Mathematik eigenthümlich ist, auf die allgemeinen logischen Gesetze
zurückzuführen.
§ 81. Wenn wir nun als Beziehung φ diejenige haben, in welche m zu n
gesetzt wird durch den Satz
»n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m,«
so sagen wir statt »φ-Reihe« »natürliche Zahlenreihe«.
Ich definire weiter:
der Satz
»y folgt in der φ-Reihe auf x oder y ist dasselbe wie x«
sei gleichbedeutend mit
»y gehört der mit x anfangenden φ-Reihe an«
und mit
»x gehört der mit y endenden φ-Reihe an«.
Demnach gehört a der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an, wenn
n entweder in der natürlichen Zahlenreihe auf a folgt oder gleich a
ist[95].
§ 82. Es ist nun zu zeigen, dass -- unter einer noch anzugebenden
Bedingung -- die Anzahl, welche dem Begriffe
»der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt. Und
damit ist dann bewiesen, dass es eine Anzahl giebt, welche auf n in der
natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt, dass es kein letztes Glied
dieser Reihe giebt. Offenbar kann dieser Satz auf empirischen Wege oder
durch Induction nicht begründet werden.
Es würde hier zu weit führen, den Beweis selbst zu geben. Nur sein Gang
mag kurz angedeutet werden. Es ist zu beweisen
1. wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d folgt,
und wenn von d gilt:
die Anzahl, welche dem Begriffe
»der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d,
so gilt auch von a:
die Anzahl, welche dem Begriffe
»der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf a.
Es ist zweitens zu beweisen, dass von der 0 das gilt, was in den
eben ausgesprochenen Sätzen von d und von a ausgesagt ist, und dann
zu folgern, dass es auch von n gilt, wenn n der mit 0 anfangenden
natürlichen Zahlenreihe angehört. Diese Schlussweise ist eine Anwendung
der Definition, die ich von dem Ausdrucke
»y folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf x«
gegeben habe, indem man als Begriff F jene gemeinsame Aussage von d und
von a, von 0 und von n zu nehmen hat.
§ 83. Um den Satz (1) des vorigen § zu beweisen, müssen wir zeigen,
dass a die Anzahl ist, welche dem Begriffe »der mit a endenden
natürlichen Zahlenreihe angehörend, aber nicht gleich a« zukommt. Und
dazu ist wieder zu beweisen, dass dieser Begriff gleichen Umfanges mit
dem Begriffe »der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
ist. Hierfür bedarf man des Satzes, dass kein Gegenstand, welcher der
mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehört, auf sich selbst in
der natürlichen Zahlenreihe folgen kann. Dies muss ebenfalls mittels
unserer Definition des Folgens in einer Reihe, wie oben angedeutet ist,
bewiesen werden[96].
Wir werden hierdurch genöthigt, dem Satze, dass die Anzahl, welche dem
Begriffe
»der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf n folgt, die
Bedingung hinzuzufügen, dass n der mit 0 anfangenden natürlichen
Zahlenreihe angehöre. Hierfür ist eine kürzere Ausdrucksweise
gebräuchlich, die ich nun erkläre:
der Satz
»n gehört der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe an«
sei gleichbedeutend mit
»n ist eine endliche Anzahl«.
Dann können wir den letzten Satz so ausdrücken: keine endliche Anzahl
folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber.
Unendliche Anzahlen.
§ 84. Den endlichen gegenüber stehen die unendlichen Anzahlen. Die
Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl« zukommt, ist eine
unendliche. Bezeichnen wir sie etwa durch ∞₁! Wäre sie eine endliche,
so könnte sie nicht auf sich selber in der natürlichen Zahlenreihe
folgen. Man kann aber zeigen, dass ∞₁ das thut.
In der so erklärten unendlichen Anzahl ∞₁ liegt nichts irgendwie
Geheimnissvolles oder Wunderbares. »Die Anzahl, welche dem Begriffe
F zukommt, ist ∞₁« heisst nun nichts mehr und nichts weniger als:
es giebt eine Beziehung, welche die unter den Begriff F fallenden
Gegenstände den endlichen Anzahlen beiderseits eindeutig zuordnet.
Dies ist nach unseren Erklärungen ein ganz klarer und unzweideutiger
Sinn; und das genügt, um den Gebrauch des Zeichens ∞₁ zu rechtfertigen
und ihm eine Bedeutung zu sichern. Dass wir uns keine Vorstellung von
einer unendlichen Anzahl bilden können, ist ganz unerheblich und würde
endliche Anzahlen ebenso treffen. Unsere Anzahl ∞₁ hat auf diese Weise
etwas ebenso Bestimmtes wie irgendeine endliche: sie ist zweifellos als
dieselbe wiederzuerkennen und von einer andern zu unterscheiden.
§ 85. Vor Kurzem hat _G. Cantor_ in einer bemerkenswerthen Schrift[97]
unendliche Anzahlen eingeführt. Ich stimme ihm durchaus in der
Würdigung der Ansicht bei, welche überhaupt nur die endlichen Anzahlen
als wirklich gelten lassen will. Sinnlich wahrnehmbar und räumlich
sind weder diese noch die Brüche, noch die negativen, irrationalen
und complexen Zahlen; und wenn man wirklich nennt, was auf die Sinne
wirkt, oder was wenigstens Wirkungen hat, die Sinneswahrnehmungen zur
nähern oder entferntern Folge haben können, so ist freilich keine
dieser Zahlen wirklich. Aber wir brauchen auch solche Wahrnehmungen
gar nicht als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Einen Namen oder ein
Zeichen, das logisch einwurfsfrei eingeführt ist, können wir in unsern
Untersuchungen ohne Scheu gebrauchen, und so ist unsere Anzahl ∞₁ so
gerechtfertigt wie die Zwei oder die Drei.
Indem ich hierin, wie ich glaube, mit _Cantor_ übereinstimme, weiche
ich doch in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er
»Mächtigkeit,« während sein Begriff[98] der Anzahl auf die Anordnung
Bezug nimmt. Für endliche Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine
Unabhängigkeit von der Reihenfolge, dagegen nicht für unendlichgrosse.
Nun enthält der Sprachgebrauch des Wortes »Anzahl« und der Frage
»wieviele?« keine Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors
Anzahl antwortet vielmehr auf die Frage: »das wievielste Glied in der
Succession ist das Endglied?« Darum scheint mir meine Benennung besser
mit dem Sprachgebrauche übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines
Wortes erweitert, so wird man darauf zu achten haben, dass möglichst
viele allgemeine Sätze ihre Geltung behalten und zumal so grundlegende,
wie für die Anzahl die Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir
haben gar keine Erweiterung nöthig gehabt, weil unser Begriff der
Anzahl sofort auch unendliche Zahlen umfasst.
§ 86. Um seine unendlichen Anzahlen zu gewinnen, führt _Cantor_ den
Beziehungsbegriff des Folgens in einer Succession ein, der von meinem
»Folgen in einer Reihe« abweicht. Nach ihm würde z. B. eine Succession
entstehen, wenn man die endlichen positiven ganzen Zahlen so anordnete,
dass die unpaaren in ihrer natürlichen Reihenfolge für sich und ebenso
die paaren unter sich auf einander folgten, ferner festgesetzt wäre,
dass jede paare auf jede unpaare folgen solle. In dieser Succession
würde z. B. 0 auf 13 folgen. Es wurde aber keine Zahl unmittelbar der
0 vorhergehen. Dies ist nun ein Fall, der in dem von mir definirten
Folgen in der Reihe nicht vorkommen kann. Man kann streng beweisen,
ohne ein Axiom der Anschauung zu benutzen, dass wenn y auf x in
der φ-Reihe folgt, es einen Gegenstand giebt, der in dieser Reihe
dem y unmittelbar vorhergeht. Mir scheinen nun genaue Definitionen
des Folgens in der Succession und der cantorschen Anzahl noch zu
fehlen. So beruft sich _Cantor_ auf die etwas geheimnissvolle »innere
Anschauung,« wo ein Beweis aus Definitionen anzustreben und wohl auch
möglich wäre. Denn ich glaube vorauszusehen, wie sich jene Begriffe
bestimmen liessen. Jedenfalls will ich durch diese Bemerkungen, deren
Berechtigung und Fruchtbarkeit durchaus nicht angreifen. Im Gegentheil
begrüsse ich in diesen Untersuchungen eine Erweiterung der Wissenschaft
besonders deshalb, weil durch sie ein rein arithmetischer Weg zu höhern
unendlichgrossen Anzahlen (Mächtigkeiten) gebahnt ist.