»a füllt unter den Begriff F«
die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem
Gegenstande a handelt und der beurtheilbar bleibt, was man auch für a
setze. Und in diesem Sinne ist
»a fällt unter den Begriff »»sich selbst ungleich«««
gleichbedeutend mit
»a ist sich selbst ungleich«
oder
»a ist nicht gleich a«.
Ich hätte zur Definition der 0 jeden andern Begriff nehmen können,
unter den nichts fällt. Es kam mir aber darauf an, einen solchen zu
wählen, von dem dies rein logisch bewiesen werden kann; und dazu bietet
sich am bequemsten »sich selbst ungleich« dar, wobei ich für »gleich«
die vorhin angeführte Erklärung _Leibnizens_ gelten lasse, die rein
logisch ist.
§ 75. Es muss sich nun mittels der früheren Festsetzungen beweisen
lassen, dass jeder Begriff, unter den nichts fällt, gleichzahlig mit
jedem Begriffe ist, unter den nichts fällt, und nur mit einem solchen,
woraus folgt, dass 0 die Anzahl ist, welche einem solchen Begriffe
zukommt, und dass kein Gegenstand unter einen Begriff fällt, wenn die
Zahl, welche diesem zukommt, die 0 ist.
Nehmen wir an, weder unter den Begriff F noch unter den Begriff G falle
ein Gegenstand, so haben wir, um die Gleichzahligkeit zu beweisen, eine
Beziehung φ nöthig, von der die Sätze gelten:
jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung φ zu
einem Gegenstande, der unter G fällt; zu jedem Gegenstande, der
unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung φ.
Nach dem, was früher über die Bedeutung dieser Ausdrücke gesagt ist,
erfüllt bei unsern Voraussetzungen jede Beziehung diese Bedingungen,
also auch die Gleichheit, die obendrein beiderseits eindeutig ist; denn
es gelten die beiden oben dafür verlangten Sätze.
Wenn dagegen unter G ein Gegenstand fällt z. B. a, während unter F
keiner fällt, so bestehen die beiden Sätze
»a fällt unter G«
und
»kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in
der Beziehung φ«
mit einander für jede Beziehung φ; denn der erste ist nach der ersten
Voraussetzung richtig und der zweite nach der zweiten. Wenn es nämlich
keinen unter F fallenden Gegenstand giebt, so giebt es auch keinen
solchen, der in irgendeiner Beziehung zu a stände. Es giebt also keine
Beziehung, welche nach unserer Erklärung die unter F den unter G
fallenden Gegenständen zuordnete, und demnach sind die Begriffe F und G
ungleichzahlig.
§ 76. Ich will nun die Beziehung erklären, in der je zwei benachbarte
Glieder der natürlichen Zahlenreihe zu einander stehen. Der Satz:
»es giebt einen Begriff F und einen unter ihn fallenden Gegenstand
x der Art, dass die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, n ist,
und dass die Anzahl, welche dem Begriffe »»unter F fallend aber
nicht gleich x«« zukommt, m ist«
sei gleichbedeutend mit
»n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.«
Ich vermeide den Ausdruck »n ist _die_ auf m nächstfolgende Anzahl,«
weil zur Rechtfertigung des bestimmten Artikels erst zwei Sätze
bewiesen werden müssten[92]. Aus demselben Grunde sage ich hier noch
nicht »n = m + 1«; denn auch durch das Gleichheitszeichen wird (m + 1)
als Gegenstand bezeichnet.
§ 77. Um nun auf die Zahl 1 zu kommen, müssen wir zunächst zeigen, dass
es etwas giebt, was in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0
folgt.
Betrachten wir den Begriff -- oder, wenn man lieber will, das Prädicat
-- »gleich 0«! Unter diesen fällt die 0. Unter den Begriff »gleich 0
aber nicht gleich 0« fällt dagegen kein Gegenstand, sodass 0 die Anzahl
ist, welche diesem Begriffe zukommt. Wir haben demnach einen Begriff
»gleich 0« und einen unter ihn fallenden Gegenstand 0, von denen gilt:
die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich O« zukommt, ist gleich der
Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt;
die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0 aber nicht gleich 0«
zukommt, ist die 0.
Also folgt nach unserer Erklärung die Anzahl, welche dem Begriffe
»gleich 0« zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0.
Wenn wir nun definiren: