»zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F
fallender in der Beziehung φ«,
dass die beiden Sätze
»a fällt unter G«
und
»kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung φ«
nicht mit einander bestehen können, was auch a sein möge.
§ 72. Wir haben nun gesehen, wann die unter die Begriffe F und G
fallenden Gegenstände einander durch die Beziehung φ zugeordnet sind.
Hier soll nun diese Zuordnung eine beiderseits eindeutige sein.
Darunter verstehe ich, dass folgende beiden Sätze gelten:
1. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn d in der Beziehung
φ zu e steht, so ist allgemein, was auch d, a und e sein mögen, a
dasselbe wie e;
2. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn b in der Beziehung
φ zu a steht, so ist allgemein, was auch d, b und a sein mögen, d
dasselbe wie b.
Hiermit haben wir die beiderseits eindeutige Zuordnung auf rein
logische Verhältnisse zurückgeführt und können nun so definiren:
der Ausdruck
»der Begriff F ist gleichzahlig dem Begriffe G«
sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
»es giebt eine Beziehung φ, welche die unter den Begriff F
fallenden Gegenstände den unter G fallenden Gegenständen
beiderseits eindeutig zuordnet«.
Ich wiederhole:
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des
Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«
und füge hinzu:
der Ausdruck
»n ist eine Anzahl«
sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
»es giebt einen Begriff der Art, dass n die Anzahl ist, welche ihm
zukommt«.
So ist der Begriff der Anzahl erklärt, scheinbar freilich durch sich
selbst, aber dennoch ohne Fehler, weil »die Anzahl, welche dem Begriffe
F zukommt« schon erklärt ist.
§ 73. Wir wollen nun zunächst zeigen, dass die Anzahl, welche dem
Begriffe F zukommt, gleich der Anzahl ist, welche dem Begriffe G
zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist. Dies
klingt freilich wie eine Tautologie, ist es aber nicht, da die
Bedeutung des Wortes »gleichzahlig« nicht aus der Zusammensetzung,
sondern aus der eben gegebenen Erklärung hervorgeht.
Nach unserer Definition ist zu zeigen, dass der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe F« derselbe ist wie der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe G«, wenn der Begriff F gleichzahlig dem
Begriffe G ist. Mit andern Worten: es muss bewiesen werden, dass unter
dieser Voraussetzung die Sätze allgemein gelten:
wenn der Begriff H gleichzahlig dem Begriffe F ist, so ist er auch
gleichzahlig dem Begriffe G;
und
wenn der Begriff H dem Begriffe G gleichzahlig ist, so ist er auch
gleichzahlig dem Begriffe F.
Der erste Satz kommt darauf hinaus, dass es eine Beziehung giebt,
welche die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den
Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, wenn es eine
Beziehung φ giebt, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände
den unter den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet,
und wenn es eine Beziehung ψ giebt, welche die unter den Begriff H
fallenden Gegenstände den unter den Begriff F fallenden beiderseits
eindeutig zuordnet. Folgende Anordnung der Buchstaben wird dies
übersichtlicher machen:
H ψ F φ G.
Eine solche Beziehung kann in der That angegeben werden: sie liegt in
dem Inhalte
»es giebt einen Gegenstand, zu dem c in der Beziehung ψ steht, und
der zu b in der Beziehung φ steht,«
wenn wir davon c und b absondern (als Beziehungspunkte betrachten). Man
kann zeigen, dass diese Beziehung eine beiderseits eindeutige ist, und
dass sie die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den
Begriff G fallenden zuordnet.
In ähnlicher Weise kann auch der andere Satz bewiesen werden[90]. Diese
Andeutungen werden hoffentlich genügend erkennen lassen, dass wir
hierbei keinen Beweisgrund der Anschauung zu entnehmen brauchen, und
dass sich mit unsern Definitionen etwas machen lässt.
§ 74. Wir können nun zu den Erklärungen der einzelnen Zahlen übergehn.
Weil unter den Begriff »sich selbst ungleich« nichts fällt, erkläre ich:
0 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich«
zukommt.
Vielleicht nimmt man daran Anstoss, dass ich hier von einem Begriffe
spreche. Man wendet vielleicht ein, dass ein Widerspruch darin
enthalten sei, und erinnert an die alten Bekannten das hölzerne
Eisen und den viereckigen Kreis. Nun ich meine, dass die gar nicht
so schlimm sind, wie sie gemacht werden. Zwar nützlich werden sie
grad nicht sein; aber schaden können sie auch nichts, wenn man nur
nicht voraussetzt, dass etwas unter sie falle; und das thut man durch
den blossen Gebrauch der Begriffe noch nicht. Dass ein Begriff einen
Widerspruch enthalte, ist nicht immer so offensichtlich, dass es keiner
Untersuchung bedürfte; dazu muss man ihn erst haben und logisch ebenso
wie jeden andern behandeln. Alles was von Seiten der Logik und für die
Strenge der Beweisführung von einem Begriffe verlangt werden kann, ist
seine scharfe Begrenzung, dass für jeden Gegenstand bestimmt sei, ob er
unter ihn falle oder nicht. Dieser Anforderung genügen nun die einen
Widerspruch enthaltenden Begriffe wie »sich selbst ungleich« durchaus;
denn man weiss von jedem Gegenstande, dass er nicht unter einen solchen
fällt[91].