Carmen de Algorismo.
[_From a B.M. MS., 8 C. iv., with additions from 12 E. 1 & Eg. 2622._]
Hec algorismus ars presens dicitur[{1}]; in qua
Talibus Indorum[{2}] fruimur his quinque figuris.
0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
Prima significat unum: duo vero secunda:
Tercia significat tria: sic procede sinistre 4
Donec ad extremam venies, qua cifra vocatur;
[{3}][Que nil significat; dat significare sequenti.]
Quelibet illarum si primo limite ponas,
Simpliciter se significat: si vero secundo, 8
Se decies: sursum procedas multiplicando.[{4}]
[Namque figura sequens quevis signat decies plus,
Ipsa locata loco quam significet pereunte: 12
Nam precedentes plus ultima significabit.]
[{5}]Post predicta scias quod tres breuiter numerorum
Distincte species sunt; nam quidam digiti sunt;
Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt. 16
[Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt;
Articuli decupli degitorum; compositi sunt
Illi qui constant ex articulis digitisque.]
Ergo, proposito numero tibi scribere, primo 20
Respicias quis sit numerus; quia si digitus sit,
[{5}][Una figura satis sibi; sed si compositus sit,]
Primo scribe loco digitum post articulum fac
Articulus si sit, cifram post articulum sit, 24
[Articulum vero reliquenti in scribe figure.]
Quolibet in numero, si par sit prima figura,
Par erit et totum, quicquid sibi continetur;
Impar si fuerit, totum sibi fiet et impar. 28
Septem[{6}] sunt partes, non plures, istius artis;
Addere, subtrahere, duplare, dimidiare;
Sexta est diuidere, set quinta est multiplicare;
Radicem extrahere pars septima dicitur esse. 32
Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis;
A leua dupla, diuide, multiplicaque;
Extrahe radicem semper sub parte sinistra.
[Sidenote: Addition.]
Addere si numero numerum vis, ordine tali 36
Incipe; scribe duas primo series numerorum
Prima sub prima recte ponendo figuram,
Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.
Inde duas adde primas hac condicione; 40
Si digitus crescat ex addicione priorum,
Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille;
Si sit compositus, in limite scribe sequenti
Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo. 44
Articulus si sit, in primo limite cifram,
Articulum vero reliquis inscribe figuris;
Vel per se scribas si nulla figura sequatur.
Si tibi cifra superueniens occurrerit, illam 48
Deme suppositam; post illic scribe figuram:
Postea procedas reliquas addendo figuras.
[Sidenote: Subtraction.]
A numero numerum si sit tibi demere cura,
Scribe figurarum series, vt in addicione; 52
Maiori numero numerum suppone minorem,
Siue pari numero supponatur numerus par.
Postea si possis a prima subtrahe primam,
Scribens quod remanet, cifram si nil remanebit. 56
Set si non possis a prima demere primam;
Procedens, vnum de limite deme sequenti;
Et demptum pro denario reputabis ab illo,
Subtrahe totaliter numerum quem proposuisti. 60
Quo facto, scribe supra quicquit remanebit,
Facque novenarios de cifris, cum remanebis,
Occurrant si forte cifre, dum demseris vnum;
Postea procedas reliquas demendo figuras. 64
[Sidenote: Proof.]
[{7}][Si subtracio sit bene facta probare valebis,
Quas subtraxisti primas addendo figuras.
Nam, subtractio si bene sit, primas retinebis,
Et subtractio facta tibi probat additionem.] 68
[Sidenote: Duplation.]
Si vis duplare numerum, sic incipe; solam
Scribe figurarum seriem, quamcumque voles que
Postea procedas primam duplando figuram;
Inde quod excrescet, scribens, vbi iusserit ordo, 72
Juxta precepta que dantur in addicione.
Nam si sit digitus, in primo limite scribe;
Articulus si sit, in primo limite cifram,
Articulum vero reliquis inscribe figuris; 76
Vel per se scribas, si nulla figura sequatur:
Compositus si sit, in limite scribe sequenti
Articulum primo, digitum; quia sic jubet ordo:
Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures. 80
[{8}][Si super extremam nota sit, monadem dat eidem,
Quod tibi contingit, si primo dimidiabis.]
[Sidenote: Mediation.]
Incipe sic, si vis aliquem numerum mediare:
Scribe figurarum seriem solam, velud ante; 84
Postea procedens medias, et prima figura
Si par aut impar videas; quia si fuerit par,
Dimidiabis eam, scribens quicquit remanebit;
Impar si fuerit, vnum demas, mediare, 88
Nonne presumas, sed quod superest mediabis;
Inde super tractum, fac demptum quod notat unum;
Si monos, dele; sit ibi cifra post nota supra.
Postea procedas hac condicione secunda:[{9}] 92
Impar[{10}] si fuerit hic vnum deme priori,
Inscribens quinque, nam denos significabit
Monos prædictam: si vero secunda dat vnam,
Illa deleta, scribatur cifra; priori 96
Tradendo quinque pro denario mediato;
Nec cifra scribatur, nisi inde figura sequatur:
Postea procedas reliquas mediando figuras,
Quin supra docui, si sint tibi mille figure. 100
[{11}][Si mediatio sit bene facta probare valebis,
Duplando numerum quem primo dimidiasti.]
Si super extremam nota sit monades dat eidem
Quod contingat cum primo dimiabis
Atque figura prior nuper fuerit mediando.]
[Sidenote: Multiplication.]
Si tu per numerum numerum vis multiplicare,
Scribe duas, quascunque volis, series numerorum; 104
Ordo tamen seruetur vt vltima multiplicandi
Ponatur super anteriorem multiplicantis;
[{12}][A leua relique sint scripte multiplicantes.]
In digitum cures digitum si ducere, major 108
Per quantes distat a denis respice, debes
Namque suo decuplo tociens delere minorem;
Sicque tibi numerus veniens exinde patebit.
Postea procedas postremam multiplicando, 112
Juste multiplicans per cunctas inferiores,
Condicione tamen tali; quod multiplicantis
Scribas in capite, quicquid processerit inde;
Set postquam fuerit hec multiplicata, figure 116
Anteriorentur seriei multiplicantis;
Et sic multiplica, velut istam multiplicasti,
Qui sequitur numerum scriptum quicunque figuris.
Set cum multiplicas, primo sic est operandum, 120
Si dabit articulum tibi multiplicacio solum;
Proposita cifra, summam transferre memento.
Sin autem digitus excrescerit articulusque,
Articulus supraposito digito salit ultra; 124
Si digitus tamen, ponas illum super ipsam,
Subdita multiplicans hanc que super incidit illi
Delet eam penitus, scribens quod provenit inde;
Sed si multiplices illam posite super ipsam, 128
Adiungens numerum quem prebet ductus earum;
Si supraimpositam cifra debet multiplicare,
Prorsus eam delet, scribi que loco cifra debet,
[{12}][Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam, 132
Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet;]
Si supra fuerit cifra semper pretereunda est;
Si dubites, an sit bene multiplicando secunda,
Diuide totalem numerum per multiplicantem, 136
Et reddet numerus emergens inde priorem.
[Sidenote: Mental Multiplication.]
[{13}][Per numerum si vis numerum quoque multiplicare
Tantum per normas subtiles absque figuris
Has normas poteris per versus scire sequentes. 140
Si tu per digitum digitum quilibet multiplicabis
Regula precedens dat qualiter est operandum
Articulum si per reliquum vis multiplicare
In proprium digitum debebit uterque resolvi 144
Articulus digitos post per se multiplicantes
Ex digitis quociens teneret multiplicatum
Articuli faciunt tot centum multiplicati.
Articulum digito si multiplicamus oportet 148
Articulum digitum sumi quo multiplicare
Debemus reliquum quod multiplicaris ab illis
Per reliquo decuplum sic omne latere nequibit
In numerum mixtum digitum si ducere cures 152
Articulus mixti sumatur deinde resolvas
In digitum post hec fac ita de digitis nec
Articulusque docet excrescens in detinendo
In digitum mixti post ducas multiplicantem 156
De digitis ut norma docet sit juncta secundo
Multiplica summam et postea summa patebit
Junctus in articulum purum articulumque
[{14}][Articulum purum comittes articulum que] 160
Mixti pro digitis post fiat et articulus vt
Norma jubet retinendo quod egreditur ab illis
Articuli digitum post in digitum mixti duc
Regula de digitis ut percipit articulusque 164
Ex quibus excrescens summe tu junge priori
Sic manifesta cito fiet tibi summa petita.
Compositum numerum mixto sic multiplicabis
Vndecies tredecem sic est ex hiis operandum 168
In reliquum primum demum duc post in eundem
Unum post deinde duc in tercia deinde per unum
Multiplices tercia demum tunc omnia multiplicata
In summa duces quam que fuerit te dices 172
Hic ut hic mixtus intentus est operandum
Multiplicandorum de normis sufficiunt hec.]
[Sidenote: Division.]
Si vis dividere numerum, sic incipe primo;
Scribe duas, quascunque voles, series numerorum; 176
Majori numero numerum suppone minorem,
[{15}][Nam docet ut major teneat bis terve minorem;]
Et sub supprima supprimam pone figuram,
Sic reliquis reliquas a dextra parte locabis; 180
Postea de prima primam sub parte sinistra
Subtrahe, si possis, quociens potes adminus istud,
Scribens quod remanet sub tali conditione;
Ut totiens demas demendas a remanente, 184
Que serie recte ponentur in anteriori,
Unica si, tantum sit ibi decet operari;
Set si non possis a prima demere primam,
Procedas, et eam numero suppone sequenti; 188
Hanc uno retrahendo gradu quo comites retrahantur,
Et, quotiens poteris, ab eadem deme priorem,
Ut totiens demas demendas a remanenti,
Nec plus quam novies quicquam tibi demere debes, 192
Nascitur hinc numerus quociens supraque sequentem
Hunc primo scribas, retrahas exinde figuras,
Dum fuerit major supra positus inferiori,
Et rursum fiat divisio more priori; 196
Et numerum quotiens supra scribas pereunti,
Si fiat saliens retrahendo, cifra locetur,
Et pereat numero quotiens, proponas eidem
Cifram, ne numerum pereat vis, dum locus illic 200
Restat, et expletis divisio non valet ultra:
Dum fuerit numerus numerorum inferiore seorsum
Illum servabis; hinc multiplicando probabis,
[Sidenote: Proof.]
Si bene fecisti, divisor multiplicetur 204
Per numerum quotiens; cum multiplicaveris, adde
Totali summæ, quod servatum fuit ante,
Reddeturque tibi numerus quem proposuisti;
Et si nil remanet, hunc multiplicando reddet, 208
[Sidenote: Square Numbers.]
Cum ducis numerum per se, qui provenit inde
Sit tibi quadratus, ductus radix erit hujus,
Nec numeros omnes quadratos dicere debes,
Est autem omnis numerus radix alicujus. 212
Quando voles numeri radicem querere, scribi
Debet; inde notes si sit locus ulterius impar,
Estque figura loco talis scribenda sub illo,
Que, per se dicta, numerum tibi destruat illum, 216
Vel quantum poterit ex inde delebis eandem;
Vel retrahendo duples retrahens duplando sub ista
Que primo sequitur, duplicatur per duplacationem,
Post per se minuens pro posse quod est minuendum. 220
[{16}]Post his propones digitum, qui, more priori
Per precedentes, post per se multiplicatus,
Destruat in quantum poterit numerum remanentem,
Et sic procedens retrahens duplando figuram, 224
Preponendo novam donec totum peragatur,
Subdupla propriis servare docetque duplatis;
Si det compositum numerum duplacio, debet
Inscribi digitus a parte dextra parte propinqua, 228
Articulusque loco quo non duplicata resessit;
Si dabit articulum, sit cifra loco pereunte
Articulusque locum tenet unum, de duplicata resessit;
Si donet digitum, sub prima pone sequente, 232
Si supraposita fuerit duplicata figura
Major proponi debet tantummodo cifra,
Has retrahens solito propones more figuram,
Usque sub extrema ita fac retrahendo figuras, 236
Si totum deles numerum quem proposuisti,
Quadratus fuerit, de dupla quod duplicasti,
Sicque tibi radix illius certa patebit,
Si de duplatis fit juncta supprima figura; 240
Radicem per se multiplices habeasque
Primo propositum, bene te fecisse probasti;
Non est quadratus, si quis restat, sed habentur
Radix quadrati qui stat major sub eadem; 244
Vel quicquid remanet tabula servare memento;
Hoc casu radix per se quoque multiplicetur,
Vel sic quadratus sub primo major habetur,
Hinc addas remanens, et prius debes haberi; 248
Si locus extremus fuerit par, scribe figuram
Sub pereunte loco per quam debes operari,
Que quantum poterit supprimas destruat ambas,
Vel penitus legem teneas operando priorem, 252
Si suppositum digitus suo fine repertus,
Omnino delet illic scribi cifra debet,
A leva si qua sit ei sociata figura;
Si cifre remanent in fine pares decet harum 256
Radices, numero mediam proponere partem,
Tali quesita radix patet arte reperta.
Per numerum recte si nosti multiplicare
Ejus quadratum, numerus qui pervenit inde 260
Dicetur cubicus; primus radix erit ejus;
Nec numeros omnes cubicatos dicere debes,
Est autem omnis numerus radix alicujus;
[Sidenote: Cube Root.]
Si curas cubici radicem quærere, primo 264
Inscriptum numerum distinguere per loca debes;
Que tibi mille notant a mille notante suprema
Initiam, summa operandi parte sinistra,
Illic sub scribas digitum, qui multiplicatus 268
In semet cubice suprapositum sibi perdat,
Et si quid fuerit adjunctum parte sinistra
Si non omnino, quantum poteris minuendo,
Hinc triplans retrahe saltum, faciendo sub illa 272
Que manet a digito deleto terna, figuram
Illi propones quo sub triplo asocietur,
Ut cum subtriplo per eam tripla multiplicatur;
Hinc per eam solam productum multiplicabis, 276
Postea totalem numerum, qui provenit inde
A suprapositis respectu tolle triplate
Addita supprimo cubice tunc multiplicetur,
Respectu cujus, numerus qui progredietur 280
Ex cubito ductu, supra omnes adimetur;
Tunc ipsam delens triples saltum faciendo,
Semper sub ternas, retrahens alias triplicatas
Ex hinc triplatis aliam propone figuram, 284
Que per triplatas ducatur more priori;
Primo sub triplis sibi junctis, postea per se,
In numerum ducta, productum de triplicatis:
Utque prius dixi numerus qui provenit inde 288
A suprapositis has respiciendo trahatur,
Huic cubice ductum sub primo multiplicabis,
Respectumque sui, removebis de remanenti,
Et sic procedas retrahendo triplando figuram. 292
Et proponendo nonam, donec totum peragatur,
Subtripla sub propriis servare decet triplicatis;
Si nil in fine remanet, numerus datus ante
Est cubicus; cubicam radicem sub tripla prebent, 296
Cum digito juncto quem supprimo posuisti,
Hec cubice ducta, numerum reddant tibi primum.
Si quid erit remanens non est cubicus, sed habetur
Major sub primo qui stat radix cubicam, 300
Servari debet quicquid radice remansit,
Extracto numero, decet hec addi cubicato.
Quo facto, numerus reddi debet tibi primus.
Nam debes per se radicem multiplicare 304
Ex hinc in numerum duces, qui provenit inde
Sub primo cubicus major sic invenietur;
Illi jungatur remanens, et primus habetur,
Si per triplatum numerum nequeas operari; 308
Cifram propones, nil vero per hanc operare
Set retrahens illam cum saltu deinde triplata,
Propones illi digitum sub lege priori,
Cumque cifram retrahas saliendo, non triplicabis, 312
Namque nihil cifre triplacio dicitur esse;
At tu cum cifram protraxeris aut triplicata,
Hanc cum subtriplo semper servare memento:
Si det compositum, digiti triplacio debet 316
Illius scribi, digitus saliendo sub ipsam;
Digito deleto, que terna dicitur esse;
Jungitur articulus cum triplata pereunte,
Set facit hunc scribi per se triplacio prima, 320
Que si det digitum per se scribi facit illum;
Consumpto numero, si sole fuit tibi cifre
Triplato, propone cifram saltum faciendo,
Cumque cifram retrahe triplam, scribendo figuram, 324
Preponas cifre, sic procedens operare,
Si tres vel duo serie in sint, pone sub yma,
A dextris digitum servando prius documentum.
Si sit continua progressio terminus nuper 328
Per majus medium totalem multiplicato;
Si par, per medium tunc multiplicato sequentem.
Set si continua non sit progressio finis:
Impar, tunc majus medium si multiplicabis, 332
Si par per medium sibi multiplicato propinquum. 333
FOOTNOTES (Appendix II, Carmen de Algorismo):
[1: “Hec præsens ars dicitur algorismus ab Algore rege ejus
inventore, vel dicitur ab _algos_ quod est ars, et _rodos_ quod est
numerus; quæ est ars numerorum vel numerandi, ad quam artem bene
sciendum inveniebantur apud Indos bis quinque (id est decem)
figuræ.” --_Comment. Thomæ de Novo-Mercatu._ MS. Bib. Reg. Mus.
Brit. 12 E. 1.]
[2: “Hæ necessariæ figuræ sunt Indorum characteros.” _MS. de
numeratione._ Bib. Sloan. Mus. Brit. 513, fol. 58. “Cum vidissem
Yndos constituisse IX literas in universo numero suo propter
dispositionem suam quam posuerunt, volui patefacere de opere quod
sit per eas aliquidque esset levius discentibus, si Deus voluerit.
Si autem Indi hoc voluerunt et intentio illorum nihil novem literis
fuit, causa que mihi potuit. Deus direxit me ad hoc. Si vero alia
dicam preter eam quam ego exposui, hoc fecerunt per hoc quod ego
exposui, eadem tam certissime et absque ulla dubitatione poterit
inveniri. Levitasque patebit aspicientibus et discentibus.” MS.
U.L.C., Ii. vi. 5, f. 102.]
[3: From Eg. 2622.]
[4: 8 C. iv. inserts
Nullum cipa significat: dat significare sequenti.]
[5: From 12 E. 1.]
[6:
En argorisme devon prendre
Vii especes . . . .
Adision subtracion
Doubloison mediacion
Monteploie et division
Et de radix eustracion
A chez vii especes savoir
Doit chascun en memoire avoir
Letres qui figures sont dites
Et qui excellens sont ecrites. --MS. _Seld. Arch._ B. 26.]
[7: From 12 E. 1.]
[8: From 12 E. 1.]
[9: 8 C. iv. inserts
Atque figura prior nuper fuerit mediando.]
[10: _I.e._ figura secundo loco posita.]
[11: So 12 E. 1; 8 C. iv. inserts--
[12: 12 E. 1 inserts.]
[13: 12 E. 1 inserts to l. 174.]
[14: 12 E. 1 omits, Eg. 2622 inserts.]
[15: 12 E. 1 inserts.]
[16: 8 C. iv. inserts--
Hinc illam dele duplans sub ei psalliendo
Que sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.]