MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATICIENS
DU MÊME AUTEUR À LA MÊME LIBRAIRIE
LES FEMMES DANS LA SCIENCE
Un beau vol. in-8, IX-362 pp.,
orné de portraits, autographes et fac-simile 5 fr.
MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATICIENS
PENSÉES ET CURIOSITÉS
Recueillies
Par
A. REBIÈRE
TROISIÈME ÉDITION
AMÉLIORÉE
PARIS
LIBRAIRIE NONY & Cie
17, RUE DES ÉCOLES, 17
1898
(Tous droits réservés)
_Nous n'avons pas voulu grossir encore un volume déjà trop gros. Nous
nous sommes bornés à améliorer l'édition précédente, par la méthode
des substitutions. Les lecteurs trouveront ainsi des parties nouvelles
aux pages 14, 22, 166, 228, 261, 289, 302, 362, 418, 422, etc., etc._
_M. de Tilly a dit: «Les Mathématiques régissent le monde, mais elles
le régissent sans l'amuser.» Stendhal l'avait déjà déclaré: «C'est la
patrie du bâillement et du raisonnement triste.» Nous nous sommes
permis quand même, sur un sujet austère, quelques sourires mesurés._
_Nous venons de donner à notre livre un frère, ou plutôt une soeur,
qui s'appelle_ Les femmes dans la science. _Voulez-vous connaître les
mathématiciennes et autres savantes? Aimez-vous les portraits et les
autographes?_
_Paris, le 15 mars 1897._
MORCEAUX CHOISIS ET PENSÉES
Les généralités qui suivent se rapportent aux principes, aux méthodes,
à la classification, à l'enseignement et à l'histoire des
Mathématiques. Nous les avons puisées à bonne source, dans les savants
et les penseurs anciens et modernes.
OBJET ET CARACTÈRE DES MATHÉMATIQUES
De quoi s'occupent les mathématiques, si ce n'est de la proportion et
de l'ordre?
ARISTOTE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Je me demandai d'abord ce que tout le monde entendait précisément par
ce mot (mathématiques), et pourquoi on regardait comme faisant partie
des mathématiques, non seulement l'arithmétique et la géométrie, mais
encore l'astronomie, la musique, l'optique, la mécanique et plusieurs
autres sciences.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il n'est personne, pour peu qu'il ait touché seulement le seuil des
écoles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se
présentent à lui, ceux qui se rattachent aux mathématiques, et ceux
qui appartiennent aux autres sciences. En réfléchissant à cela, je
découvris enfin qu'on ne devrait rapporter aux mathématiques que
toutes les choses dans lesquelles on examine l'ordre ou la mesure, et
qu'il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les
astres, les sons ou dans tout autre objet qu'on cherche cette mesure.
DESCARTES.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les spéculations mathématiques ont pour caractère commun et essentiel
de se rattacher à deux idées ou catégories fondamentales: l'idée
d'_ordre_ sous laquelle il est permis de ranger... les idées de
situation, de configuration, de forme et de combinaison; et l'idée de
_grandeur_ qui implique celles de quantité, de proportion et de
mesure.
COURNOT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La validité de l'analyse algébrique dépend, non de l'interprétation
des symboles employés, mais uniquement des lois de leurs
combinaisons... La mathématique abstraite et générale n'a pas
seulement pour objet des notions de quantités numériques, géométriques
ou mécaniques: elle traite des opérations en elles-mêmes,
indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être
appliquées.
LIARD.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Nous sommes donc parvenus maintenant à définir avec exactitude la
science mathématique, en lui assignant pour but la mesure _indirecte_
des grandeurs et en disant qu'on s'y propose constamment de
_déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les
relations précises qui existent entre elles_. Cet énoncé, au lieu de
donner l'idée d'un _art_, caractérise immédiatement une véritable
_science_, et la montre sur-le-champ composée d'un immense
enchaînement d'opérations intellectuelles qui pourront évidemment
devenir très compliquées, à raison de la suite d'intermédiaires qu'il
faudra établir entre les quantités inconnues et celles qui comportent
une mesure directe... D'après cette définition, l'esprit mathématique
consiste à regarder toujours comme liées entre elles, toutes les
quantités que peut présenter un phénomène quelconque, dans la vue de
les déduire les unes des autres.
AUG. COMTE.
¤---¤---¤
À propos de cette citation, Hoppe, de Berlin, fait remarquer qu'il
s'agit aussi en Mathématiques de l'équivalence des opérations.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La définition la plus généralement reçue des mathématiques est
celle-ci: les mathématiques sont la _science des grandeurs_. Cette
définition est vraie au fond, mais elle est superficielle et demande
explication.
De quelles grandeurs s'agit-il en mathématiques? Est-ce de toute
grandeur en général? Non, car alors tout serait objet des
mathématiques, puisque tout est grandeur, si du moins on se contente
de définir la grandeur comme on le fait d'ordinaire: «ce qui est
susceptible d'augmentation ou de diminution;» car cela s'applique à
tout; une chose peut être _plus ou moins_ belle, une action _plus ou
moins_ bonne, un plaisir _plus ou moins_ vif, un homme _plus ou moins_
spirituel; ce ne sont pas là des grandeurs mathématiques. Pourquoi?
Parce que ce ne sont pas là des grandeurs _mesurables_. Qu'est-ce
qu'une grandeur mesurable et, en général, qu'est-ce que mesurer? C'est
comparer une grandeur quelconque à une grandeur donnée prise pour
unité. Mesurer une route, c'est comparer la longueur de la route à une
unité de longueur qu'on appelle le _mètre_, et dire combien de fois
elle comprend cette unité. Mais qui pourra dire, par exemple, combien
de fois le talent de Catulle est contenu dans le génie d'Homère?
Il n'y a donc que les grandeurs mesurables qui soient l'objet des
mathématiques. De là cette nouvelle définition: c'est la science _de
la mesure des grandeurs_.
Cette définition est plus juste que la précédente; mais elle est
encore superficielle. En effet, mesurer ne semble guère en réalité
qu'une opération purement mécanique. Or c'est là l'objet d'un _art_ et
non d'une _science_. L'arpentage n'est pas la géométrie. C'est
l'arpenteur qui mesure, c'est le géomètre qui fournit les moyens de
mesurer. La mesure n'est donc pas l'objet immédiat de la science. Elle
n'en est que l'objet indirect et éloigné. Voyons comment elle peut
devenir un objet vraiment scientifique.
La comparaison directe et immédiate d'une grandeur quelconque à
l'unité est, la plupart du temps, impossible. Par exemple, si je
demande combien il y a d'arbres dans une forêt, je ne puis le savoir
qu'en comptant les arbres un à un, ce qui demanderait un temps infini.
Il en est de même dans la plupart des cas. Prenons le plus facile: la
mesure d'une ligne droite par la superposition d'une de ses parties.
Cela suppose: 1º que nous pouvons parcourir la ligne, ce qui exclut
les longueurs inaccessibles (par exemple la distance des corps
célestes); 2º que la ligne ne soit ni trop grande, ni trop petite,
qu'elle soit convenablement située: par exemple horizontale, non
verticale. Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus
forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus
forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces
quantités peuvent-elles être mesurées? C'est là le problème qui rend
nécessaire les mathématiques.
Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de
ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs
immédiatement mesurables. C'est par là qu'elles sont une science. En
effet, l'intervalle qui sépare une grandeur à mesurer de la grandeur
immédiatement mesurable peut être plus ou moins grand. De là une série
de réductions, depuis la grandeur la plus éloignée jusqu'à la plus
prochaine; et c'est la réduction de ces grandeurs les unes aux autres
qui constitue la science; soit, par exemple, à mesurer la chute
verticale d'un corps pesant. Il y a ici deux quantités distinctes: la
hauteur d'où le corps est tombé, et le temps de la chute. Or ces deux
quantités sont liées l'une à l'autre; elles sont, comme on dit en
mathématique, _fonction_ l'une de l'autre. D'où il suit que l'on peut
mesurer l'une par l'autre; par exemple dans le cas d'un corps tombant
dans un précipice, on mesure la hauteur de la chute par le temps qu'il
met à tomber; en d'autres cas, au contraire, le temps n'étant pas
directement observable, sera déduit de la hauteur. Si donc on trouve
une loi qui lie ces deux quantités et qui permette de conclure de
l'une à l'autre, on aura réduit une grandeur non mesurable directement
à une autre qui peut l'être. C'est là un problème mathématique. Autre
exemple. Comment mesurer la distance des corps célestes qui sont
inaccessibles? On regardera cette distance comme faisant partie d'un
triangle, dont on connaîtra un côté et deux angles. Or, la géométrie
nous apprend dans ce cas à découvrir les deux côtés du triangle, et
par conséquent nous donne le moyen de construire le triangle dans
lequel il suffira de tirer une ligne du sommet à la base pour avoir la
distance réelle. Maintenant, la distance étant connue, on peut, du
diamètre apparent conclure le diamètre réel, passer de là au volume et
même au poids, en y ajoutant d'autres éléments.
PAUL JANET.
¤---¤---¤
Le mathématicien prépare d'avance des moules que le physicien viendra
plus tard remplir.
TAINE.
¤---¤---¤
En d'autres termes, l'ordre mathématique inspire la conception de
l'ordre physique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les mathématiques offrent ce caractère particulier et bien remarquable
que tout s'y démontre par le raisonnement seul, sans qu'on ait besoin
de faire aucun emprunt à l'expérience, et que néanmoins tous les
résultats obtenus sont susceptibles d'être confirmés par l'expérience,
dans les limites d'exactitude que l'expérience comporte. Par là, les
mathématiques réunissent au caractère de science rationnelle, celui de
science positive, dans le sens que la langue moderne donne à ce mot.
COURNOT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les mathématiques forment pour ainsi dire un pont entre la
métaphysique et la physique.
KANT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
D'après Leibniz, il n'y a de mesure que «là où il y a antérieurement
de l'ordre.» On peut dire, par suite, que les mathématiques sont _la
science de l'ordre_.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelques-uns ont prétendu que toute la partie des mathématiques qui
n'est susceptible d'aucune vérification expérimentale devrait être
transportée dans la philosophie. Tels seraient les nombres
incommensurables et, à plus forte raison, les nombres négatifs et
imaginaires. Mais on est arrivé à interpréter ces symboles d'une
façon concrète, et du reste cette limitation si étroite et si
arbitraire des mathématiques les restreindrait à presque rien.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les vérités géométriques sont en quelque sorte l'_asymptote_ des
vérités physiques, c'est-à-dire le terme dont celles-ci peuvent
indéfiniment approcher, sans jamais y arriver exactement.
D'ALEMBERT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les figures géométriques sont de pures conceptions de l'esprit et
cependant la géométrie n'est pas seulement une science spéculative
très propre à développer les facultés intellectuelles.....; mais elle
est encore utile par ses nombreuses applications aux arts. Cela tient
à ce que les volumes de certains corps, leurs surfaces, les portions
communes à deux portions de ces surfaces peuvent être regardés comme
étant _sensiblement_ des volumes, des surfaces et des lignes
géométriques.
COMPAGNON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Avec des définitions précises et des axiomes certains, la Mathématique
établit des déductions sûres tant que le raisonnement se maintient
dans les voies de l'évidence logique. C'est pourquoi la science des
grandeurs porte, à l'exclusion de toute autre, le titre glorieux
d'«exacte».
Cela signifie surtout que, moins qu'aucune autre, elle est sujette à
l'erreur. La perception a ses méprises, la conception ses lacunes,
l'induction ses témérités, l'opinion ses dissidences, l'observation
ses mécomptes, l'expérience ses égarements. Seule, la déduction ne
trompe point, quand elle suit la loi du raisonnement. La science
qu'elle établit progresse avec plus ou moins de lenteur; mais ses
vérités une fois démontrées, sont parfaites, définitives, et ne
changent plus.
La théorie des grandeurs est l'unique exemple d'une construction
scientifique ne laissant rien à désirer..... À ce titre, elle méritait
le nom de «science par excellence» (_mathésis_) que les Grecs lui
avaient donné. Elle est la science type, l'idéal de connaissance
certaine proposé pour modèle à toutes les sciences de fait, mais dont
celles-ci ne se rapprochent qu'en lui empruntant sa méthode et en
subordonnant leurs mensurations à ses lois.
BOURDEAU.
¤---¤---¤
Dire que les mathématiques ne laissent rien à désirer, c'est trop
dire. Là aussi, il reste encore des questions à élucider.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Ce qui est acquis dans les sciences de démonstration, dans les
mathématiques, par exemple, est absolument parfait; ce qui est acquis
dans les sciences d'observation est indéfiniment perfectible et
conséquemment variable, ou du moins conserve ce caractère jusqu'au
moment où la démonstration devient possible.
DUVAL-JOUVE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les mathématiques ont des inventions très subtiles et qui peuvent
beaucoup servir, tant à contenter les curieux qu'à faciliter tous les
arts et à diminuer le travail des hommes.
DESCARTES.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les objets de la Géométrie, disent-ils, n'ont aucune réalité et ne
peuvent exister; des lignes sans largeur, des surfaces sans
profondeur, un point mathématique, c'est-à-dire sans longueur,
largeur, ni épaisseur, sont des êtres de raison, de pures chimères. Il
en est de même des figures dont la Géométrie démontre les propriétés;
il n'y a et il ne saurait y avoir aucun cercle parfait, aucune sphère
parfaite: ainsi, concluent-ils, cette science ne s'occupe que d'objets
chimériques et impossibles...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... Il importe peu aux géomètres qu'il existe physiquement une sphère
parfaite, un plan parfait; ces figures ne sont que les limites
intellectuelles des grandeurs matérielles qu'ils considèrent, et ce
qu'ils démontrent à l'égard de ces limites est d'autant plus vrai
pour les corps matériels, qu'ils en approchent davantage...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... Mais insistera-t-on peut-être... demandera-t-on si ces corps doués
de figures parfaites sont possibles?...
... Il suffit aux Géomètres que l'idée métaphysique de ces figures
soit claire et évidente pour servir de fondement à leurs recherches,
et pour que leurs conséquences jouissent de la même évidence et de la
même clarté.
MONTUCLA.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les ennemis de la Géométrie, ceux qui ne la connaissent
qu'imparfaitement, regardent les problèmes théoriques, qui en forment
la partie la plus difficile, comme des jeux d'esprit qui absorbent un
temps et des méditations qu'on pourrait mieux employer; opinion fausse
et très nuisible au progrès des sciences, si elle pouvait
s'accréditer. Mais, outre que les propositions spéculatives, d'abord
stériles en apparence, finissent souvent par s'appliquer à des objets
d'utilité publique, elles subsisteront toujours comme un des moyens
les plus propres à développer et à faire connaître toutes les forces
de l'intelligence humaine.
BOSSUT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La science des grandeurs, considérée dans son ensemble, a une parfaite
unité que le mot «Mathématiques» (au pluriel) paraît méconnaître, en
faisant présumer un groupe de sciences plutôt qu'une science unique.
Il serait préférable, comme l'avait proposé Condorcet, et comme
Auguste Comte en donne l'exemple, de dire «la Mathématique», afin de
mieux marquer l'unité générale de la science des grandeurs. Il est
d'ailleurs à noter que cette réforme nous remet dans le vrai courant
de la langue.
Le terme «Mathématique» était usité au XVIIe siècle et se lit trois
fois dans une page de la notice sur Pascal, par Mme Périer, sa soeur.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La Mathématique n'est pas seulement _une_ science, mais _la science_;
et son nom ne signifie que cela; car pour les Grecs c'était la seule
science.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le matelot qu'une exacte observation de la longitude préserve du
naufrage, doit la vie à une théorie conçue, deux mille ans
auparavant[1], par les hommes qui avaient en vue de simples
spéculations géométriques.
CONDORCET.
[Note 1: Il s'agit des courbes appelées _coniques_, déjà étudiées
par les Grecs.]
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
C'est par les sciences mathématiques qu'il convient de commencer la
série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent
pour point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre
d'idées. De plus, on peut étudier les vérités dont elles se composent
sans recourir aux autres branches de nos connaissances, et celles-ci
leur empruntent, au contraire, de nombreux secours, tels par exemple
que les théorèmes et les calculs sur lesquels s'appuient les sciences
physiques et industrielles; la mesure des champs et le calendrier, si
nécessaires à l'agriculture; la mesure précise des différents degrés
de probabilité de celles de nos connaissances qui ne sont pas
susceptibles d'une certitude complète, et les exemples les plus
frappants de la diversité des méthodes que la philosophie doit
examiner; la détermination des lieux et des temps, bases de la
géographie et de l'histoire; et, parmi les sciences politiques, où
leurs applications sont si nombreuses, quels indispensables secours ne
prêtent-elles pas surtout à toutes les parties de l'art militaire?
AMPÈRE.
NOTIONS PRIMITIVES
On trouvera peut-être étrange que la géométrie[2] ne puisse définir
aucune des choses qu'elle a pour principaux objets; car elle ne
définit ni le mouvement, ni le nombre, ni l'espace; et cependant ces
trois choses sont celles qu'elle considère particulièrement... Mais on
n'en sera pas surpris, si l'on remarque que cette admirable science ne
s'attachant qu'aux choses les plus simples, cette même qualité qui les
rend dignes d'être ses objets, les rend incapables d'être définies; de
sorte que le manque de définition est plutôt une perfection qu'un
défaut, parce qu'il ne vient pas de leur obscurité, mais au contraire
de leur extrême évidence...
[Note 2: Le mot est pris ici dans le sens général de
mathématiques; on dit de même géomètre pour mathématicien.]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... Quand elle (la géométrie) est arrivée aux premières vérités
connues, elle s'arrête là et demande qu'on les accorde, n'ayant rien
de plus clair pour les prouver; de sorte que tout ce que la géométrie
propose est parfaitement démontré, ou par la lumière naturelle, ou par
les preuves. De là vient que si cette science ne définit et ne
démontre pas toutes choses, c'est par cette seule raison que cela nous
est impossible.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... Se tenir dans ce milieu de ne point définir les choses claires et
entendues de tous les hommes et de définir toutes les autres; et de ne
point prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver
toutes les autres. Contre cet ordre pèchent également ceux qui
entreprennent de tout définir et de tout prouver, et ceux qui
négligent de le faire dans les choses qui ne sont pas évidentes
d'elles-mêmes.
PASCAL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il est des notions premières qu'on est en droit de supposer aux
élèves. Elles serviront à leur donner d'autres connaissances. Nous ne
chercherons pas à les éclaircir elles-mêmes, parce que les
explications n'ont pour but que de ramener ce que l'on ne connaît pas
à ce que l'on connaît et qu'il faut par conséquent admettre _a priori_
certaines notions, certaines idées par leur simple énoncé, ou par la
simple dénomination par laquelle on les a désignées.
DUHAMEL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La figure est inhérente à l'objet, le nombre dépend de l'unité.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
C'est dans la sphère propre de l'esprit, et bien au delà des
résultats de l'observation, non dans ces résultats eux-mêmes, qu'il
faut chercher la véritable source des idées géométriques, quoique leur
point d'application soit plus bas, dans la sphère expérimentale, là où
la matière et l'esprit se joignent et où les idées, prenant corps,
nous deviennent en quelque sorte palpables.
Le monde idéal a son autonomie, ses lois distinctes, comme le monde
physique. Mais ils s'appellent l'un l'autre, l'harmonie règne entre
eux, jusqu'à un haut degré d'approximation qui d'ailleurs nous
échappe.
BOUSSINESQ.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'origine des notions mathématiques a donné lieu à des controverses
encore pendantes parmi les philosophes. Pour les uns, nombres et
figures sont des types créés de toutes pièces par l'esprit, et qui
s'imposent aux choses de l'expérience, en vertu d'une mystérieuse
concordance entre la pensée et la réalité extérieure. Pour les autres,
au contraire, nombres et figures ne font pas exception à cette loi
générale d'après laquelle toute connaissance dériverait, soit
directement, soit indirectement, de l'expérience sensible. Dans un
cas, les notions mathématiques seraient des modèles; dans l'autre,
elles seraient des copies.
Ce n'est pas le lieu d'entrer dans cette controverse et de peser les
raisons invoquées de part et d'autre. Il nous suffira de constater
deux faits: en premier lieu, quelque opinion qu'on professe sur
l'origine des notions mathématiques, on ne contestera pas qu'elles ne
sont pas des représentations absolument exactes des réalités
extérieures. L'unité est divisible en parties rigoureusement égales;
il n'en est pas ainsi d'un objet réel; jamais la moitié, le quart, le
dixième de cet objet ne sera rigoureusement égal à l'autre moitié, à
chacun des trois autres quarts, à chacun des neuf autres dixièmes, et
même plus les subdivisions se multiplieront, plus l'inégalité réelle
des parties augmentera. Le cercle des géomètres a des rayons
absolument égaux; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'un cercle
réel; tous les points d'une surface sphérique sont équidistants du
centre; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'une sphère matérielle.
En second lieu, le mathématicien considère souvent des nombres et des
figures dont il n'a jamais trouvé les modèles dans la réalité. Toute
division d'un objet réel en parties égales a une limite que nos sens
et nos instruments de précision, même les plus perfectionnés, sont
impuissants à franchir; cette limite, la pensée du mathématicien la
franchit aisément, et au delà des plus petites divisions possibles
d'un objet, il conçoit d'autres divisions encore et toujours à
l'infini; de même il est des limites à l'addition des objets; il n'en
est pas à celle des unités mathématiques; la nature a bien vite cessé
de fournir; la numération ne s'arrête jamais. De même en géométrie, si
variées que soient les formes réalisées dans la nature, il en est dont
le géomètre étudie les propriétés, sans les avoir jamais rencontrées
dans le monde extérieur. Qui a vu un polygone régulier d'un millier de
côtés?
Il résulte de ce double fait que, même dans le cas où l'esprit
tirerait de l'expérience les premiers éléments dont il compose les
notions mathématiques, il les élabore, les transforme, et ne tarde
pas à s'affranchir des suggestions expérimentales. Il procède alors
comme s'il les tirait de son propre fonds. Aussi, sans prendre ici
part dans ce conflit de doctrines sur l'origine première des notions
mathématiques, on peut et on doit considérer ces notions comme des
_constructions_ faites par l'esprit suivant des lois qu'il pose,
constructions qui sont en partie, mais en partie seulement et
imparfaitement reproduites par la réalité sensible.
LIARD.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'étendue n'existe qu'avec trois dimensions; mais, pour la considérer
suivant la méthode analytique, on commence par la dépouiller de deux
de ses dimensions et en la réduisant ainsi à une seule, on a l'idée de
_la ligne_. Si, dans cette idée, on écarte tout rapport avec deux
dimensions, on a l'idée de _la ligne droite_; car, quoiqu'une ligne
courbe n'ait qu'une dimension, cependant l'idée de courbure suppose
nécessairement la considération de deux dimensions. L'extrémité de la
ligne forme le _point_, qui est la dernière abstraction de
l'entendement dans la considération de l'étendue. La _surface_ est
l'étendue envisagée avec deux dimensions et si, dans cette idée, on
fait entièrement abstraction de la troisième, on a l'idée du _plan_.
Enfin l'étendue avec ses trois dimensions forme le _solide_.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'espace étant nécessairement homogène, il suit qu'on peut le
concevoir divisé en deux parties telles qu'on ne puisse rien dire de
l'une qui ne puisse se dire également de l'autre; telles, de plus, que
leur limite commune ait à chacune d'elles les mêmes rapports, soit
qu'on la considère en son entier, soit qu'on n'en considère qu'une
partie. C'est cette limite qu'on appelle _plan_, et le plan, comme
l'espace, peut être conçu divisé en deux parties telles, qu'on ne
puisse rien dire de l'une qui ne puisse se dire également de l'autre;
telles, de plus, que leur limite commune ait à chacune d'elles les
mêmes rapports, soit qu'on la considère en son entier, soit qu'on n'en
considère qu'une partie...
BERTRAND, de Genève.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La série des axiomes géométriques habituellement adoptée est à la fois
insuffisante et surabondante. Elle est insuffisante parce que, en
réalité, on suppose plusieurs faits non énoncés; mais elle est en même
temps surabondante, parce qu'on y admet des faits qui peuvent être
rigoureusement démontrés au moyen de ceux qu'il faut admettre comme
axiomes....
Les axiomes de la géométrie peuvent se réduire à _trois_, savoir:
celui de la distance et de ses propriétés essentielles, celui de
l'augmentation indéfinie de la distance et celui de la parallèle
unique.
DE TILLY.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'étude de la mécanique, succédant à la géométrie, peut être
considérée comme le développement de trois idées fondamentales, qui
existent dans l'esprit humain antérieurement à tout enseignement
scientifique: ce sont les idées de force, de temps et de masse. Ces
idées sont irréductibles et on ne peut pas plus définir la force, le
temps ou la masse qu'on ne peut définir l'étendue.
CH. SIMON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelque objet que les mathématiques considèrent, elles le dépouillent
de toutes ses qualités sensibles, de toutes ses propriétés
individuelles; bientôt il n'est plus qu'un rapport abstrait de nombre
ou de grandeur: on désigne ce rapport par une lettre ou une ligne;
l'objet lui-même est alors oublié, il cesse d'exister pour les
mathématiques. Ces signes, arbitraires en apparence, sont l'unique
objet de leurs méditations; c'est sur eux seuls qu'elles opèrent, et
ce n'est qu'après être parvenu au dernier résultat que revenant sur
leurs premières opérations, elles appliquent ce résultat à l'objet
réel dont elles avaient cessé de s'occuper. Les vérités certaines,
trouvées par cette méthode, paraissent au premier coup d'oeil n'être
que des vérités intellectuelles et abstraites: on a pu les prendre
pour des propositions identiques, en oubliant que les combinaisons
diverses des mêmes éléments ne sont pas une même chose. On serait
encore plus tenté de croire qu'elles n'appartiennent point à la nature
réelle. Mais ce serait une erreur: car elles sont des vérités réelles,
si l'objet auquel vous les avez appliquées existe dans la nature tel
que vous l'avez supposé.
CONDORCET.
MÉTHODES
1º N'entreprendre de définir aucune des choses tellement connues
d'elles-mêmes, qu'on n'ait point de termes plus clairs pour les
exprimer.
2º N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques, sans
définition.
3º N'employer dans les définitions que des termes parfaitement connus
ou déjà expliqués.
4º N'omettre aucun des principes nécessaires, sans avoir demandé si on
l'accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être.
5º Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes
d'elles-mêmes.
6º N'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement
évidentes d'elles-mêmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les
prouver.
7º Prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'employant à
leur preuve que des axiomes très évidents d'eux-mêmes ou des
propositions déjà démontrées ou accordées.
8º N'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquant de
substituer mentalement les définitions qui les restreignent et les
expliquent.
PASCAL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Lorsque l'on aura à trouver la démonstration d'une proposition
énoncée, on cherchera d'abord si elle peut se déduire comme une
conséquence nécessaire de propositions admises, auquel cas, elle devra
être admise elle-même, et sera par conséquent démontrée. Si l'on
n'aperçoit pas de quelles propositions connues elle pourrait être
déduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourra
l'être, et alors la question sera ramenée à démontrer la vérité de
cette dernière. Si celle-ci peut se déduire de propositions admises,
elle sera reconnue vraie, et par suite la proposée; sinon, on
cherchera de quelle proposition non encore admise elle pourrait être
déduite, et la question serait ramenée à démontrer la vérité de cette
dernière. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à une
proposition reconnue vraie: et alors la vérité de la proposée sera
démontrée.
On voit que cette méthode, que l'on appelle _analyse_, consiste à
établir une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut
démontrer, finissant à une proposition connue et telle qu'en partant
de la première, chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui
la suit; d'où il résulte que la première est une conséquence de la
dernière, et, par conséquent, vraie comme elle.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La _méthode synthétique_ consiste à partir de propositions reconnues
vraies, à en déduire d'autres comme conséquences nécessaires, de
celles-ci de nouvelles, jusqu'à ce qu'on parvienne à la proposée, qui
se trouve alors reconnue elle-même comme vraie. Elle n'est donc qu'une
méthode de déduction. D'où l'on voit que, si l'on connaissait la
démonstration analytique d'un théorème, on en obtiendrait
immédiatement la démonstration synthétique en renversant l'ordre des
propositions.
DUHAMEL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité,
que Platon passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et
qu'il a définie ainsi: _Regarder la chose cherchée, comme si elle
était donnée, et marcher de conséquences en conséquences, jusqu'à ce
que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée._ Au contraire, la
synthèse se définit: _Partir d'une chose donnée, pour arriver, de
conséquences en conséquences, à trouver une chose cherchée._
VIÈTE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On peut remarquer que la méthode analytique qui est une méthode
rigoureuse par _réduction_, en réalité identique à la méthode
synthétique par _déduction_, n'est pas la même que l'analyse des
Anciens, qui était déductive et était une sorte d'expérimentation sur
la vérité à démontrer.
Aujourd'hui nous ne faisons plus de synthèse, parce qu'il est de règle
de ne procéder en analyse que par conclusions immédiatement
réversibles. «Si A est vrai, B est vrai» n'est employé que si l'on
peut dire: «B est vrai, donc A est vrai.» Il est rare que les Anciens
aient été assez assurés de la pratique de leurs procédés pour se
croire dispensés de la contre-épreuve, la synthèse après l'analyse.
P. TANNERY.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Si vous substituez à une proposition ou à une question, une
proposition ou une question plus générale, vous pouvez trouver des
solutions en plus, des solutions étrangères.
Par contre, si la nouvelle proposition ou la nouvelle question est
moins générale, vous pouvez perdre des solutions.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Voici, d'après la _Logique de Port-Royal_, quelques défauts qui se
rencontrent dans la méthode des géomètres:
1º Avoir plus de soin de la certitude que de l'évidence, et de
convaincre l'esprit que de l'éclairer.
2º Démonstration par l'impossible.
3º Démonstrations tirées par des voies trop longues.
4º N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature.
5º Ne point se servir de divisions et de partitions.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il serait à désirer qu'on ne laissât pas autant dans l'oubli certains
résultats des travaux des géomètres des siècles passés, et qu'on
revînt un peu sur les principes presque toujours faciles et souvent
ingénieux à l'aide desquels les grands hommes de ces temps-là y
étaient parvenus; car ce ne sont pas tant les vérités particulières
que les méthodes qu'il ne faut pas laisser périr.
PONCELET.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Pour bien faire sentir la différence entre les résultats de la méthode
expérimentale et inductive et les résultats de la méthode
mathématique, supposons qu'un malin génie..... se plaise à nous
embrouiller dans nos opérations, à créer ou à annihiler un objet entre
nos doigts, au moment où nous comptons quel nombre d'objets font deux
groupes de cinq objets, à faire varier les angles du triangle que nous
mesurons, ou les angles du rapporteur qui nous sert d'unité de mesure;
nous n'aurons aucun moyen de découvrir la supercherie, nous
enregistrerons ingénument les divers résultats obtenus, et nous
conclurons en toute sécurité de conscience, que les angles d'un
triangle valent tantôt deux droits, tantôt plus, tantôt moins; et que
cinq et cinq font, suivant le cas, dix, douze ou tout autre nombre.
Mais si nous avons une fois _démontré_ rationnellement que cinq et
cinq font dix, que les angles d'un triangle valent deux angles droits,
alors, quand même un malin génie, intervenant lorsque nous voulons
vérifier expérimentalement ces vérités, brouillerait nos comptes et
nos mesures, nous n'en maintiendrions pas moins la vérité absolue de
notre démonstration faite dans l'abstrait, et nous en conclurions
seulement que, pour des raisons à nous inconnues, ces vérités se
trouvent modifiées dans le concret par l'association, dans les objets
réels, de propriétés de divers genres aux propriétés mathématiques.
RABIER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les questions aisées doivent être traitées par des moyens également
faciles; il faut réserver l'analyse savante pour les questions qui
exigent les grands moyens et il ne faut pas ressembler à ce personnage
de la Fable, qui, pour se délivrer d'une puce, voulait emprunter à
Jupiter sa foudre ou à Hercule sa massue.
DELAMBRE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
C'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches
mathématiques: ces quantités auxiliaires, ces calculs longs et
difficiles où l'on se trouve entraîné, y sont presque toujours la
preuve que notre esprit n'a point, dès le commencement, considéré les
choses en elles-mêmes et d'une vue assez directe, puisqu'il nous faut
tant d'artifices et de détours pour y arriver; tandis que tout
s'abrège et se simplifie, sitôt que l'on se place au vrai point de
vue.
POINSOT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les définitions géométriques ne précèdent jamais l'apparition des
figures qu'il s'agit d'étudier; elles les suivent, au contraire, et
les fixent. Ce n'est qu'après avoir démontré qu'une figure est
_possible_ et _unique_, qu'il est permis de résumer par un mot, le
résultat de cette démonstration, et de regarder conventionnellement ce
mot comme l'équivalent ou comme la définition de la figure.
J. F. BONNEL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il semble que dans l'état actuel des sciences mathématiques, le seul
moyen d'empêcher que leur domaine devienne trop vaste pour notre
intelligence, c'est de généraliser de plus en plus les théories que
ces sciences embrassent, afin qu'un petit nombre de vérités générales
et fécondes soit, dans la tête des hommes, l'expression abrégée de la
plus grande variété de faits particuliers.
CHARLES DUPIN.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'étendue et les progrès de la géométrie sont tels que, plutôt que de
se refuser à toute étude des nouvelles méthodes, il faudra peut-être
avant peu tenir compte seulement des méthodes générales, afin d'avoir
en sa possession un plus grand nombre de moyens pour arriver à la
connaissance des vérités dont on a besoin. Il est effectivement
impossible désormais d'avoir présentes à l'esprit toutes les vérités
qui sont découvertes.
BELLAVITIS.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme
déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent
nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues
qu'aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces
lignes connues et inconnues..... on cherche à exprimer une même
quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation..... On doit
trouver autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui
étaient inconnues.
DESCARTES.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Certaines parties d'une figure, considérées dans un état général de
construction, peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires. Or
il arrive souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de la
réalité, à la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration
n'a plus lieu quand ces mêmes parties deviennent imaginaires. Alors on
dit qu'en vertu du _principe de continuité_ le théorème démontré dans
le premier cas s'étend au second, et on l'énonce d'une manière
générale. Quelquefois le contraire a lieu, et c'est quand certaines
parties d'une figure sont imaginaires, que l'on y trouve les éléments
d'une démonstration facile, dont on applique les conséquences, en
vertu du _principe de continuité_, au cas où ces mêmes parties sont
réelles et où la démonstration n'existe plus.
CHASLES.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un jour qu'il présidait un concours d'agrégation, Poisson, oubliant un
instant le candidat qu'il avait à juger, prit la parole et développa
ceci: qu'il y a en géométrie quatre méthodes: méthode de
superposition; méthode de réduction à l'absurde; méthode des limites;
méthode infinitésimale. La superposition, disait-il, n'est applicable
que dans très peu de cas; la réduction à l'absurde suppose la vérité
connue, et prouve alors qu'il ne peut pas en être autrement, mais sans
montrer pourquoi. La méthode des limites, plus généralement applicable
que les deux autres, suppose la vérité connue, et ce n'est, par
conséquent, pas davantage une méthode d'investigation; ce sont trois
méthodes de démonstration applicables chacune, dans certains cas, aux
vérités déjà connues. Au contraire, la méthode des _infiniment petits_
se trouve être à la fois une méthode, générale et toujours applicable,
et de démonstration et d'investigation.
GRATRY.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On peut établir dans les Mathématiques une autre classification,
fondée non plus sur l'objet de la science, mais sur ses méthodes. À ce
nouveau point de vue, nous aurions à distinguer deux sortes d'Analyse:
1º Celle des quantités discontinues;
2º Celle des quantités continues.
Dans la première, on cherche les relations qui existent entre
certaines quantités fixes données _a priori_. Cette méthode est
employée dans les parties élémentaires des Mathématiques, et plus
spécialement en Arithmétique et au début de la Géométrie, sauf pour un
petit nombre de théorèmes fondamentaux, dont la démonstration exige la
notion des quantités incommensurables.
Dans l'Analyse des quantités continues, on considère au contraire les
éléments de la question proposée comme susceptibles de varier par
degrés insensibles et l'on cherche à déterminer les lois qui régissent
leurs variations simultanées.
Cette méthode dont Euclide et Archimède avaient donné autrefois de
remarquables exemples, était tombée en oubli pendant plusieurs
siècles, lorsque la mémorable découverte de Descartes sur
l'application de l'Algèbre à la théorie des courbes obligea les
géomètres à y revenir, pour résoudre les deux questions qui
s'imposaient à eux, le problème des tangentes et celui des
quadratures.
JORDAN.
GÉOMÉTRIE ET ANALYSE
On a dit que la géométrie était l'art _de raisonner juste sur des
figures fausses_. Une figure grossière n'est tracée que pour soutenir
l'attention et on raisonne en réalité sur la figure idéale et
parfaite.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Celui-là est indigne du nom d'homme, a dit Platon, qui ignore que la
diagonale du carré est incommensurable avec son côté.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite, la géométrie n'est qu'une
algèbre figurée.
SOPHIE GERMAIN.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'Algèbre emploie des signes abstraits, elle représente les grandeurs
absolues par des caractères qui n'ont aucune valeur par eux-mêmes, et
qui laissent à ces grandeurs toute l'indétermination possible; par
suite elle opère et raisonne forcément sur les signes de
non-existence comme sur des quantités toujours absolues, toujours
réelles: _a_ et _b_ par exemple, représentant deux quantités
quelconques, il est impossible, dans le cours des calculs, de se
rappeler et de reconnaître quel est l'ordre de leurs grandeurs
numériques; l'on est, malgré soi, entraîné à raisonner sur les
expressions _a-b_, _[[V¯]a-b]_, etc., comme si c'étaient des
quantités toujours absolues et réelles. Le résultat doit donc lui-même
participer de cette généralité, et s'étendre à tous les cas possibles,
à toutes les valeurs des lettres qui y entrent; de là aussi ces formes
extraordinaires, ces êtres de raison, qui semblent l'apanage exclusif
de l'Algèbre.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans la Géométrie ordinaire, qu'on nomme souvent la _synthèse_, les
principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus sévère;
la figure est décrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on
raisonne sur des grandeurs, des formes réelles et existantes, et
jamais on ne tire de conséquences qui ne puissent se peindre, à
l'imagination ou à la vue, par des objets sensibles; on s'arrête dès
que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue, une
existence physique. La rigueur est même poussée jusqu'au point de ne
pas admettre les conséquences d'un raisonnement établi dans une
certaine disposition générale des objets d'une figure, pour une autre
disposition également générale de ces objets, et qui aurait toute
l'analogie possible avec la première; en un mot, dans cette Géométrie
restreinte, on est forcé de reprendre toutes la série des
raisonnements primitifs, dès l'instant où une ligne, un point ont
passé de la droite à la gauche d'un autre, etc.
PONCELET.
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Le célèbre auteur du _Traité des propriétés projectives des figures_
montre ensuite comment les modernes se sont efforcés de donner à la
Géométrie la généralité de l'Algèbre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'exactitude de toute relation entre des grandeurs concrètes
quelconques est indépendante de la valeur des _unités_ auxquelles on
les rapporte pour les exprimer en nombres. Par exemple, la relation
qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle a lieu, soit
qu'on les évalue en mètres, ou en lignes, ou en pouces, etc.
Il suit de cette considération générale, que toute opération qui
exprime la loi analytique d'un phénomène quelconque doit jouir de
cette propriété de n'être nullement altérée, quand on fait subir
simultanément à toutes les quantités qui s'y trouvent le changement
qu'éprouveraient leurs unités respectives. Or, ce changement consiste
évidemment en ce que toutes les quantités de même espèce deviendraient
à la fois _m_ fois plus petites, si l'unité qui leur correspond
devenait _m_ fois plus grande, ou réciproquement. Ainsi, toute
équation qui représente une relation concrète quelconque, doit offrir
ce caractère de demeurer la même quand on y rend _m_ fois plus grandes
toutes les quantités qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs
entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les
nombres qui désignent les _rapports_ mutuels de ces grandeurs,
lesquels restent invariables dans le changement des unités. C'est dans
cette propriété que consiste la _loi de l'homogénéité_, suivant son
acception la plus étendue..
AUGUSTE COMTE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
C'est une simplification intéressante que de résoudre par le second
livre de Géométrie un problème, placé ordinairement dans le troisième.
Citons, par exemple, la circonférence, passant par deux points et
tangente à une droite. Nous voyons ainsi que l'ordre logique des
propositions n'est pas aussi fixé qu'on l'admet généralement.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'Algèbre plane pour ainsi dire également sur l'Arithmétique et sur la
Géométrie: son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des
quantités cherchées, mais le système d'opérations à faire sur les
quantités données pour en déduire les valeurs des quantités que l'on
cherche. Le tableau de ces opérations, représentées par les caractères
algébriques, est ce que l'on nomme en Algèbre une _formule_.
LAGRANGE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
«L'Algèbre est généreuse, a dit d'Alembert, elle donne souvent plus
qu'on ne lui demande.» On interprète alors les solutions dites
étrangères et qui sont celles du problème élargi, généralisé. Le
calcul ne tient nul compte de nos restrictions.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les extensions successives que l'on fait subir aux opérations et aux
définitions mathématiques doivent être soumises au principe de la
_permanence des règles de calcul_.
HANKEL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les _formules_ sont un secours admirable pour l'esprit, elles le
dispensent de toute attention pénible, il n'a qu'à les suivre: elles
ne le dirigent pas seulement, elles le portent. Il n'a besoin que de
l'attention nécessaire pour ne pas manquer à la formule et à ses
règles et cette attention est presque matérielle: elle est des yeux
plutôt que de l'esprit. Les formules, en un mot, sont des espèces de
machines avec lesquelles on opère presque machinalement.
CONDORCET.
¤---¤---¤
Il faut pouvoir, au besoin, raisonner directement chaque cas
particulier.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On dit que l'_analyse_ mathématique est un instrument. Cette
comparaison peut être admise, pourvu qu'on admette que cet instrument,
comme le Protée de la fable, doit sans cesse changer de forme.
ARAGO.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'emploi du calcul est comparable à celui d'un instrument dont on
connaît exactement la précision.
J. FOURIER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans les opérations on peut distinguer le signe indiquant l'opération,
le nombre, c'est-à-dire le sujet sur lequel on opère, et le résultat
obtenu. On peut faire abstraction des deux dernières choses, qui
paraissent pourtant les plus importantes, et ne raisonner que sur les
_signes indicateurs_. On a alors des théorèmes, de nature
philosophique, qui constituent le _calcul des opérations_.
Exemple: _[[mV¯][nV¯]] = [[nV¯][mV¯]] = [mnV¯]_
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les formules d'algèbre, dans leur étroite enceinte, contiennent toute
la courbe dont elles sont la loi.
TAINE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'Algèbre est une langue bien faite, et c'est la seule. L'analogie,
qui n'échappe jamais, conduit insensiblement d'expression en
expression... La simplicité du style en fait toute l'élégance.
CONDILLAC.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Parmi les mathématiciens, les uns ont une prédilection exclusive pour
les symboles les plus généraux et les plus abstraits et ils évitent
les interprétations géométriques, comme imparfaites et limitées; les
autres, au contraire, ne jugent claires, que celles des conceptions
analytiques qui sont susceptibles d'une traduction concrète. Il faut
avouer que ces derniers se font une idée bien étroite de la science de
l'ordre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'algèbre est la plus générale des sciences mathématiques, puisqu'elle
étudie non pas _telle ou telle_ quantité, mais _la_ quantité.
La géométrie n'est qu'une science mathématique particulière, puisque
son objet, l'étendue, n'est qu'une sorte de quantité.
L'algèbre est à la fois un art et une science: une science parce
qu'elle se compose d'un ensemble de vérités; et un art, parce qu'elle
fournit un grand nombre de règles infaillibles pour résoudre un grand
nombre de difficultés.
Arrivé à ce point, Descartes fut naturellement amené à penser que
toute question de géométrie pouvait se ramener à une question
d'algèbre, et il conjectura justement qu'à cause du caractère
méthodique de l'algèbre une telle substitution serait toujours ou du
moins presque toujours avantageuse. Telles furent les vues à la fois
très élevées et très simples qui firent concevoir à Descartes le
dessein d'appliquer l'algèbre à la géométrie.
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