Vorwort

Diese Schrift ist im wesentlichen eine Drucklegung der Vorlesung,

welche ich 1903 in Strassburg gehalten habe, nur der Abschnitt über

Babylon musste infolge der raschen Arbeit des Spatens in Mesopotamien

stark erweitert werden. Die Vorlesung sollte der Ausführung des

Satzes aus meiner Didaktik und Methodik in ¨Baumeisters¨ Handbuch der

Erziehungs- und Unterrichtslehre dienen, dass, wie jeder Oberlehrer, so

besonders der Mathematiker möglichst allgemein gebildet sein müsse.

Für Ägypten hatte ich an ¨Wilhelm Spiegelberg¨ einen stets bereiten

Führer und Helfer, für Indien konnte ich mich auf meinen langjährigen

Freund ¨Ernst Leumann¨ stützen. Beiden Herren hier meinen herzlichen

Dank auszusprechen, möge mir erlaubt sein.

Leider hat die Universitas litterarum Argentoratensis eine empfindliche

und schwer begreifliche Lücke, ¨es fehlt der Assyriologe¨, und so war

ich hier auf mich selbst angewiesen, da die Hoffnung sich zerschlug

einen Kritiker in ¨W. Bezold¨ zu finden, dessen höchst anziehende

Monographie »¨Babylon und Ninive¨« mich in dies Gebiet eingeführt

hatte, wie ¨Ermans¨ klassisches »Ägypten« in jenes.

Bei der Korrektur hat mich der Dozent der Philosophie an der

Universität Berlin ¨Dr. E. Cassirer¨, der Verfasser des Werkes »das

Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit«

freiwillig unterstützt, wofür ich um so dankbarer bin als meine Augen

nicht mehr die besten sind.

Meinem Schüler und jüngeren Freund Herrn Diplomingenieur ¨Ernst Frank¨

bin ich für die mühsame und schöne Federzeichnung ¨Gudeas¨ und eine

ganze Anzahl Photographien verpflichtet, aber die meisten Photographien

hat mein langjähriger Kollege der Maler und Zeichenlehrer Herr ¨Chr.

Kneer¨ in liebenswürdigster Weise mir geliefert.

Zum Schluss ist es mir Bedürfnis, der Verlagshandlung ¨Bruno Cassirer¨,

für welche die Drucklegung dieses Werkes mit ausserordentlicher Mühe

verknüpft war, für ihre Sorgfalt und Opferwilligkeit meinen Dank

auszusprechen.

Strassburg i. E., Nov. 1908.

¨Max Simon¨

Meine Herren!

Die zusammenhängende Geschichte der Mathematik auf strenger Grundlage

ist einer der jüngsten Zweige unserer Wissenschaft; sie datiert

eigentlich erst seit dem grossen Werke ¨Jean Etienne Montucla¨'s:

Histoire des Mathématiques von 1758 oder richtiger vom 7. August 1799,

an welchem Tage die beiden ersten Bände der zweiten Auflage erschienen.

Es liegt dies in der Natur der Sache, eine Geschichtsschreibung setzt

immer einen gewissen Abschluss voraus, es müssen die ihrer Zeit

treibenden Gedanken -- damals die Prinzipien der Infinitesimalrechnung

-- ausgebeutet sein, sie müssen ihre treibende Kraft verloren haben,

um einer objektiven Darstellung Raum zu gewähren. Ganz analog schrieb

der Aristoteliker ¨Eudemos¨ sein leider grösstenteils verlornes

Geschichtswerk, als die Mathematik der Pythagoreer und Platoniker ihre

Kodifikation durch ¨Eudoxos¨ und andere gefunden hatte. Man darf auch

nicht vergessen, dass die Weltgeschichte selbst erst Wissenschaft

geworden ist, seitdem am Ende des 17. Jahrhunderts ¨Leibniz¨ auf

die Urkunde, auf die Forschung in den Archiven als ihre Grundlage

hingewiesen hat.

So grossartig die Leistung Montuclas war, so hat doch nur ein geringer

Teil seiner Darbietungen die Kritik bestanden. Einerseits war sein

Plan zu gross für einen einzelnen Menschen angelegt, er sollte nicht

bloss Geometrie, Algebra, Infinitesimalrechnung umfassen, sondern

auch Astronomie, Mechanik und die bis zur französischen Revolution

zur Mathematik gezählten Disziplinen, Optik, Nautik, Chronologie und

Gnomonik. Dann aber sind erst im 19. Jahrhundert die Quellen für die

ägyptische, babylonische, arabische und indische Mathematik erschlossen

worden, und selbst die Mathematik der Griechen und Römer erscheint

uns heut in ganz anderem Lichte. Der Neuhumanismus von den grossen

Philologen Friedrich August Wolf und Gottfried Hermann ausgehend, schuf

eine Schule von Philologen, ich nenne nur Diels, Heiberg und Hultsch,

welche mit einer vorher unbekannten Schärfe und ungeahntem Erfolge

die mathematischen Werke der Alten, Euklid, Ptolemeus, Pappus, Heron,

Archimedes, Vitruv etc. edierten.

Der grosse Aufschwung, den das Interesse für Geschichte der Mathematik

im 19. Jahrhundert, besonders seit der Mitte desselben, genommen,

erklärt sich aber auch allgemeiner. Mit Kants Kritik der reinen

Vernunft setzt die kritische Strömung ein, die in erster Linie das

Geistesleben des 19. Jahrhunderts beherrscht hat. Sie unterwarf sich

durch Bolzano, Gauss, Kummer, Weierstrass, auch die Mathematik und

drängte dazu, alles Überlieferte auf seine Wahrheit und seinen inneren

Zusammenhang zu prüfen.

Dazu kam dann die stärkere Betonung des geschichtlichen Elements für

die Ausbildung der Methode des mathematischen Unterrichts. Er hat

seine Geschichte und seine Koryphäen für sich. Ich verweise auf die 2.

Auflage meiner Didaktik und Methodik des Rechnens und der Mathematik

(München 1908). Aber die Lehrer begriffen doch allmählich, wie die

zahlreichen l. c. erwähnten Programme, denen ich als neuestes das

Programm von Dr. ¨M. Gebhart¨ Ostern 1908 hinzufüge, beweisen, dass für

den Unterrichtserfolg der Einblick in das historische Werden durchaus

nötig sei. Denn der Einblick in das historische Werden der Erkenntnis

vermittelt zugleich das beste Verständnis für die gewordene. Es sei

hingewiesen auf ¨E. Cassirer¨, das Erkenntnisproblem in der Philosophie

und Wissenschaft der neueren Zeit Bd. I 1906, Bd. II 1908.

Für den Lehrer ist dieser Einblick ganz besonders wichtig, weil nur

die Geschichte Aufklärung gibt über die Schwierigkeiten, welche der

Geist bei der Bewältigung der einzelnen Probleme zu überwinden hat.

Dazu kommt noch ein anderer Umstand, der für die Schule ganz besonders

zu betonen ist, der Hinweis nämlich auf den Zusammenhang aller

Kulturarbeit, das ist kurz auf die Einheit des menschlichen Geistes.

Logarithmen und Wahrscheinlichkeitsrechnung haben die Statistik und

die Sozialgesetzgebung geschaffen. »Die stille Arbeit des grossen

Regiomontan in seiner Kammer zu Nürnberg berechnete die Ephemeriden,

welche Kolumbus die Entdeckung Amerikas ermöglichten.« (¨F. Rudio.¨)

Der kritische Geist des Jahrhunderts zeitigte noch eine Blüte, die

der historischen Forschung zugute kam, so wenig erfreulich sie sonst

ist. -- Ich meine die Prioritätsstreitigkeiten, wobei allerdings die

historische Wahrheit nicht selten durch die ebenfalls ganz moderne

Ausbildung des Nationalitätsgefühls getrübt wird.

Dazu kommt noch ein weiteres wichtiges und treibendes Moment der

historischen Forschung, das ist die nur historisch zu begreifende

Wandlung, welche die Begriffe im Laufe der Zeit durchmachen, die

Umwertung aller Werte, um mit Nietzsche zu reden. Nehmen Sie z. B.

den Funktionsbegriff, den wichtigsten und weittragendsten von allen;

¨Leibniz¨ und die ¨Bernoulli¨, die diesen Begriff zuerst als einen

selbständigen ausgeprägt haben, nahmen das Wort von der gemeinsamen

Bezeichnung der verschiedenen Potenzen von x her und bezeichneten y

als Funktion von x, wenn ein analytischer Ausdruck, eine Gleichung

vorlag, durch welche die Änderung des y an die des x gebunden wurde.

Die Fourierschen Reihen, d. h. die nach dem sinus oder cosinus der

multiplen eines Argumentes x fortschreitenden Reihen, welche eine

einzige Darstellung für eine ganz willkürliche Veränderliche lieferten,

zwangen dann Dirichlet den Begriff umzuprägen. Heute fasst man z. B.

√x nicht als Funktion von x auf, wohl aber einen Dezimalbruch, dessen

x-Stellen in x-Würfen ausgewürfelt werden. Hierher gehört die ganze

Lehre vom Flächen- und Körperinhalt, sowohl die Flächenvergleichung

als die Inhaltsbestimmung krummlinig begrenzter Flächen, überhaupt

die ganze räumliche Messung. Noch ¨Christoffel¨ stützte in seinen

Vorlesungen die Lehre vom bestimmten Integral darauf, dass das Integral

den Flächeninhalt angibt. Er versprach zwar an dieser Stelle immer den

arithmetischen Beweis dafür, dass Σ(y_{K∓1} y_{K}) (x_{K∓1} x_{K}) eine

bestimmte Grenze habe gelegentlich zu liefern, aber die Gelegenheit

fand er nicht. Jahrhunderte hindurch wurde die Integralrechnung

Quadratur genannt, heute wird umgekehrt der Flächeninhalt durch das

bestimmte Integral definiert. Der naive Mensch verbindet mit der

Strecke sofort ihre Länge, aber 1892 wurde diese Länge definiert als

die bestimmte transfinite Anzahl der Linienelemente. Und die Lehre von

den Polyedern und dem Eulerschen Satze! Welche Wandlung hat da schon

der Begriff Polyeder durchgemacht bis ¨C. Jordan¨ und ¨C. K. Becker¨

den Zusammenhang mit der Riemannschen Zahl p, dem Geschlecht der

Abelschen Funktionen, der Ordnung des Zusammenhanges erkannten. Und der

Begriff der Fläche, -- man denke an die einseitigen Flächen ¨Listings¨

und ¨Möbius'¨, ferner an die stetigen aber nicht differenzierbaren

Funktionen, ja an den Begriff der Geometrie selber, der sich in den

letzten 50 Jahren vollkommen verschoben hat. All diese Entwicklungen

können nur historisch oder gar nicht erfasst werden.

Allmählich aber hat sich auch in weiteren Kreisen ein reines Interesse

an der historischen Forschung als solcher entwickelt. Es gewährt eine

hohe Befriedigung, das grosse Gesetz der Kontinuität, das sich wie

ein roter Faden durch alle menschliche Geistesarbeit hindurchzieht

und alle menschlichen Generationen verknüpft, auch in der Mathematik

blosszulegen und gewissermassen diesen Faden aufzurollen.

Das Standardwerk des Säkulums ist das Riesenwerk ¨Moritz Cantors¨ in

Heidelberg, die Vorlesung über Geschichte der Mathematik in 3 Bänden.

Band 1 erschien 1880, Band 3 wurde 1899 fertig und noch ehe das Werk

vollendet war, 1894, erschien die 2. Auflage des 1. Bandes, 1901 schon

die des 3. Diese rasche Folge ist wohl der sprechendste Beweis dafür,

wie sehr das historische Interesse unter den Mathematikern erstarkt

ist. Das Werk Cantors ist eine staunenswerte Leistung und wird es

bleiben, auch wenn es ihm ergangen sein wird, wie seinem Vorgänger,

dem Montucla; die von diesem grossen Werke ausgehende Einzelforschung

wird vieles, ja sehr vieles was im Cantor steht, berichtigen. Für

indische, ägyptische, babylonische, hellenische Mathematik ist diese

verdienstliche Maulwurfsarbeit bereits stark im Gange.

Wenn ich mich nun zu meinem Gegenstande wende, so ist es klar, dass ich

nicht mit der Erfindung der Mathematik beginnen kann. Die Mathematik

ist nie und nirgends erfunden worden und wenn die Ägypter die Erfindung

ihrem Gott Thot zuschrieben, so ist damit auch nichts anderes gesagt.

Mathematische Vorstellungen sind ja keineswegs auf den Menschen

beschränkt; die Henne, die all ihre Küchlein, der Hirtenhund, der alle

Tiere seiner Herde kennt, haben Zahlvorstellungen. Die Spinne, wenn

sie ihr Netz anlegt, bedient sich ihres eigentümlich gebauten Fusses,

wie eines Masszirkels, die Bienen haben beim Bau ihrer sechseckigen

Zellen eine schwierige Maximumsaufgabe gelöst. Ja selbst der Regenwurm

dreht den Grashalm um und schleppt ihn mit der Spitze voran in seine

Röhre, und Proklus erzählt uns, dass auch der Esel in gerader Linie

auf sein Futter ziele. Es ist eine lange durch ungezählte Jahrtausende

fortgesetzte und durch Vererbung erhaltene Arbeit, welche von den

dunkelsten Reaktionen auf Kontaktreiz etwa in den verschiedenen Wimpern

der Aktinien bis zur bewussten dreidimensionalen Reaktion auf Tast- und

Hautreiz führt und unsere Geometrie geschaffen hat und fortwährend an

ihr schafft.

Wie überall, so geht auch der geschichtlichen Mathematik eine schier

unendlich lange prähistorische Zeit voraus, in der die wichtigsten

Begriffe geschaffen werden: der des Masses, der Zahl, der geraden

Linie, des Abstands, der Richtung, des Winkels, des Punkts, der Fläche,

des Körpers etc.; in dieses Dunkel kann höchstens die Sprachforschung

einiges Licht bringen. Wir sehen, dass die Masse überall vom eigenen

Körper hergenommen werden, von der Puruscha, der Menschenlänge der

Inder, der Elle Mah und Handbreite der Ägypter bis zum Fusse der

Griechen, Römer und Germanen. Die Finger, gelegentlich auch die Zehen

bilden die natürlichen Komplexe für die Zählung; 20, 10, 5 bilden

die Abschnitte. Wenn die Griechen die Ebene επιπεδον nennen, d. h.

das, worauf der Fuss steht, so können wir schliessen, wie sich ihnen

der mathematische Begriff Ebene aus dem der Ebenheit entwickelt

hat und ευθεια, was ich als die ohne Zeitverlust darauflosgehende

interpretiere und mit θυνω zusammenbringe, bezieht sich auf die Gerade

als kürzeste Verbindung, wie das lateinische recta mit Richtung

zusammenhängt. Sinnesreize, Sinneswahrnehmungen sind es, aus denen sich

die mathematischen Vorstellungen entwickelten und man kann sich den

Ursprung und die Anfangsepoche der Mathematik gar nicht grobsinnlich

genug vorstellen. Die Mathematik, die Arithmetik wie die Geometrie

ist eine Experimentalwissenschaft bis Archimedes gewesen. Ja sie ist

es noch heute, man denke an die Seifenblasen und die Gelatineflächen,

die sich Kummer herstellte, an viele zahlentheoretische Sätze Fermats

und Eulers, an Gauss' Zahleninduktion; und wenn man die Mathematik

rubrizieren will, so gehört sie historisch zu den Naturwissenschaften,

wenn sie auch allmählich mehr und mehr den Übergang zur reinen

Geisteswissenschaft vollführt, und grade die gegenwärtige, durch

¨Veronese¨ und ¨Hilbert¨ gekennzeichnete Phase einen rein logischen

Charakter trägt.

Wenn aber irgendwo der experimentelle Charakter der Mathematik

hervortritt, so ist es bei den Ägyptern, deren Mathematik ganz und

gar auf dem Wege des Experimentes zustande gekommen ist. ¨Heron¨ aus

Alexandrien, der Mechanikus, wie ihn ¨Proklus¨ nennt, der grosse

Feldmesser und Ingenieur, der wahrscheinlich 100 v. Chr. gelebt hat,

ist in Form und Inhalt stark von altägyptischer Mathematik beeinflusst.

In seinen 1903 von ¨Schöne¨ edierten Metrika sagt er: Nachdem die

Körper, welche ein bestimmtes Gesetz befolgen, gemessen sind, ist es

folgerichtig, auch die regellosen wie Baumstümpfe und Felsblöcke zu

besprechen, da einige berichten, dass sich ¨Archimedes¨ dafür eine

Methode ausgedacht hat. Falls nämlich jener Körper leicht transportabel

wäre, sollte man eine hinlänglich grosse, vollkommen rechtwinklige

Wanne machen, sie mit Wasser füllen und den unregelmässigen Körper

hineintauchen. Es ist nun klar, dass soviel Wasser überfliessen

wird, als jener Körper enthält. Soweit Archimedes, und nun schlägt

Heron vor, den betr. schwer transportablen Körper mit Wachs oder

Lehm zu bestreichen und zwar so, dass er mit der Umhüllung zu einem

balkenförmigen Körper wird, dann den Lehm abzukratzen und gleichfalls

in Balkenform zu kneten.

Man sieht, wie äusserst wahrscheinlich es ist, dass Archimedes, der in

Alexandrien studiert hat, seine Formel über den Inhalt der Kugel auf

physikalischem Wege gefunden hat.

Diesen experimentellen Charakter hat nun die gesamte Mathematik der

Ägypter besessen, die ein Bauernvolk waren und sind, deren ganze Natur

eine durch und durch realistische war, wie der Totenkultus und die

Kunst bezeugen; waren doch ihre Säulen Nachbildungen der Lotos und

Papyrosstauden, ihr Fussboden Nachahmung der Erde; ihr Leben nach dem

Tode ganz nach dem Diesseits gemodelt, von allem andern zu schweigen.

¨Handel und Verwaltung¨ zwangen zur Ausbildung der Rechenkunst. Der

Handel wurde schon vor unvordenklicher Zeit von Staats wegen getrieben;

grosse Handelsexpeditionen nach Punt (Somaliküste) und Kusch (Nubien)

ausgesandt. Die Verwaltung war bis aufs kleinste organisiert. Ein Heer

von Hofbeamten, ein Heer von Beamten der Lehnsbarone, sie ist in China

und in Deutschland nicht bureaukratischer gewesen. Wir haben genug

Denkmäler von dem Hochmut der Beamten und dem selbstverständlich noch

grösseren ihrer Schreiber. Die ¨Feldmessung¨ aber und die Baukunst

entwickelten die Geometrie. Die ¨Baukunst¨, die jene Denkmäler

geschaffen, vor denen der grosse Napoleon seinen ¨Soldaten¨ zurief:

Songez que du haut de ces monuments quarante siècles vous contemplent;

und die gewaltigen Kanäle, Stau- und Schleusenwerke und Nildämme, die

sich bis heute erhalten haben. Die ¨Feldmessung¨ aber musste in hohem

Ansehen stehen bei dem komplizierten auf den Landbesitz gegründeten

Steuersystem und dem hohen Werte des schmalen Kulturstreifens längs

des Niles. ¨Herodot¨, dem wir die erste Kunde von Ägypten verdanken,

berichtet, dass Sesostris -- in dieser sagenhaften Figur hat sich die

Erinnerung an 2 Pharaonen, den mächtigen Pharao Sen-wos ret der XII.

Dynastie etwa um 2200 und Ramses II erhalten -- das Land in Quadrate

geteilt und wenn der Nil in seiner Überschwemmung Land ab- oder

angespült hatte, Nachmessungen der staatlichen Feldmesser stattfanden,

zum Zwecke der richtigen Steuerveranlagung. Daraus ist dann

schliesslich bei ¨Strabo¨ die Erzählung geworden, dass das ganze Land,

weil der Nil die Grenzzeichen jährlich fortgerissen hätte, jährlich neu

vermessen wurde.

Die historische, d. h. die auf Urkunden gestützte Zeit beginnt mit

den Ägyptern und Babyloniern. Wenn wir mit den Ägyptern beginnen, so

geschieht es nicht deswegen, weil wir heute noch die Vorstellung haben,

wie sie von den Griechen ausgehend bis weit über die Mitte des 19.

Jahrhunderts geherrscht hat, dass die Mathematik sich von Ägypten aus

auf die übrigen Völker etwa wie eine Art Infektionskrankheit verbreitet

habe. In seiner Festrede von 1884 sagt ¨Emil Weyr¨, der vor wenigen

Jahren verstorbene Wiener Mathematiker: »Es muss als feststehend

angenommen werden, dass ¨jedes¨ Volk in seinem Entwicklungsgange

schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen war, sich geometrische

Kenntnisse anzueignen. Die Höhe dieser Kenntnisse richten sich nach

der Grösse der praktischen Bedürfnisse, zu denen auch die religiösen

gezählt werden müssen.«

Wie wesentlich, wie entscheidend diese letzteren z. B. für die indische

Mathematik gewesen sind, wusste Weyr selbst nicht, als er die Worte

aussprach.

Die Originalität der Ägypter ist gerade seit den letzten 30 Jahren

keineswegs mehr unbestritten, in den letzten 30 Jahren ist auf den

uralten Kulturzusammenhang zwischen Ägyptern und Babyloniern mehrfach

hingewiesen worden, doch ist hier im einzelnen noch alles unklar. Für

die Wägekunst und die Messkunst hängen die Ägypter direkt von Babylon

ab. Die wunderbaren Funde von Tel Amarna zeigten uns kürzlich, dass um

die Zeit des mittleren Reiches syrische Kleinkönige, die unter ägypt.

Oberhoheit standen, in Asien an ihren Hof babylonisch berichteten, so

etwa wie im 18. Jahrhundert unsere Gesandten französisch berichteten.

Und was das Alter betrifft, so ist das ägyptische Papier, ja selbst

das Leder nicht älter als die Ziegelsteine Babylons. (Die neuesten

Forschungen ¨L. W. Kings¨ für Babylon [Chronicles Concerning early

Babylonian Kings, 2. voll. 1907] und ¨Eduard Meyers¨ [Ägypten zur Zeit

der Pyramidenerbauer, Leipzig 1908] geben allerdings dem ägyptischen

Staate ein um mehrere Jahrhunderte höheres Alter.) Aber es gibt bis

jetzt kein anderes Volk, für das die historische Überlieferung so

wenig Lücken bietet wie das ägyptische. Erman in Berlin, der durch

seine und seiner Schule Arbeit eigentlich erst die Ägyptologie auf

wissenschaftliche Grundlage gestellt hat, sagt: Von der Zeit des Königs

Snofru bis Alexander dem Grossen und von der griechischen Epoche her

bis zum Einbruch der Araber und von diesem wieder bis auf unsere Tage

liegt eine ununterbrochene Kette von Denkmälern und Schriftwerken vor,

die uns die Verhältnisse dieses Landes kennen lehren.

Über 6000 Jahre können wir die Geschichte dieses Volkes und nur dieses

verfolgen. Darum und nur darum beginne ich mit den Ägyptern.