I.

Azt hiszem, hogy a kimondott tételek bebizonyításának módját nem tudnám

semmivel jobban megértetni, mint hogy ha ismertetem azt az eljárást, a

melyet e részben a mennyiségtan követ.

Mindazáltal szükséges még előbb, hogy egy ennél is tökéletesebb

módszernek az eszméjét előadjam, habár ezt mi, emberek, soha sem fogjuk

elérhetni. Mert a mi még a mennyiségtan fogalmain is felül van, az már

tulhaladja a mi képességeinket; de mégis szükségét látom annak, hogy

szóljak erről, még ha sohasem fogjuk is azt gyakorlatilag alkalmazhatni.

Ez a valódi módszer, a mely a bizonyító eljárás legtökéletesebbje lenne,

ha elérhetnők azt, két főelven alapszik: az egyik, hogy soha sem volna

szabad oly kifejezést használnunk, a melynek értelmét előbb pontosan meg

nem határoztuk; a másik, hogy nem volna szabad semmi tételt kimondani,

mielőtt azt be nem bizonyítottuk már ismert igazságokkal. Egy szóval:

meg kell minden kifejezés fogalmát határozni és be kell bizonyítani

minden állítást. De hogy e módszert követhessük, mindenekelőtt meg kell

magyaráznom, mit értek fogalom-meghatározás alatt.

A mennyiségtanban csupán azon meghatározásnak van helye, a melyet a

logikusok névmeghatározásnak neveznek, t. i. hogy nevet adnak oly

dolgoknak, melyeket tökéletesen ismert kifejezésekkel világosan

megjelöltek. A meghatározásnak én is csupán csak e neméről fogok szólni.

E meghatározásnak haszna az, hogy az előadást világossá és röviddé teszi

az által, hogy egyetlen szóval kimondja azt, a mit különben csak több

fogalommal lehetne kifejezni.

De ezt oly módon kell tenni, hogy az illető szót, melynek fogalmát

meghatároztuk, azontul már csupán azon egy értelemben használjuk s ha

netalán több értelme is van e szónak, ezek használatát mindenesetre

kerüljük ki.

Ime egy példa: Ha felmerül a szüksége annak, hogy a két egyenlő részre

felosztható számokat megkülönböztessük azoktól, melyek két egyenlő

részre fel nem oszthatók, akkor, hogy ne kelljen mindig ily hosszas

meghatározást használnunk, a számok mindkét nemének egy-egy nevet adunk

s azt mondjuk, hogy «páros számnak fogom nevezni mindazon számot, a mely

törtek nélkül két egész egyenlő részre osztható».

Ime egy mennyiségtani meghatározás; megjelöltünk világosan egy dolgot,

t. i. «a két egyenlő részre osztható számokat» s e fogalom részére oly

nevet adtunk, melynek aztán minden netalán létező egyéb értelmét

elvettük.

Kitűnik ebből, hogy a meghatározásoknál teljes szabadsággal járhatunk el

s hogy egyszersmind aztán itt minden ellenmondás, kétség ki van zárva;

mert hiszen bármely dolognak tetszésünk szerint adhatunk nevet, csakis

arra kell ügyelnünk, hogy ugyanazon nevet ne adjunk két különböző

dolognak. És ha ezt mégis tennők, akkor ne zavarjuk össze az ez által

előálló következményeket, vagyis ezek egyikét a másikra ne terjeszszük

ki.

Ha valaki e hibába esik, biztos és csalhatatlan szerrel lehet ezen

segíteni: t. i. gondolatban a meghatározást mindenkor a meghatározott

dolog helyébe kell tenni, ez utóbbit az előbbivel helyettesíteni és

mindig szemelőtt tartani a meghatározást, úgy, hogy péld. valahányszor

páros számról van szó, mindig arra gondoljunk, hogy az oly szám, mely

két egész egyenlő részre osztható és azután e két dolog oly annyira

elválaszthatatlan legyen gondolkodásunkban, hogy mihelyt valaki az

egyikről szól, a másik azonnal vele együtt eszünkbe jusson.

A mennyiségtannal foglalkozók is s általában a helyes módszert követők

csakis azért adnak nevet egyes dolgoknak, hogy az előadást rövidebbé

tegyék s nem azért, hogy azon dolgoknak, melyről beszélnek, a fogalmát

megváltoztassák; s felteszik, hogy a rövid kifejezéseket gondolatban

mindig kiegészítjük azok meghatározásaival s azokat csupán azért

használják, hogy a sok szó által előidézhető zavart elkerüljék.

Semmi sem hiusítja meg jobban a sophisták furfangos álokoskodásait, mint

éppen ezen módszer, a melyet mindig követnünk kell s a mely mindennemű

nehézséget és kétértelműséget eloszlathat.

Ezek után már most visszatérek a helyes módszer ismertetésére, a mely,

mint mondtam, nem egyéb, mint hogy mindennek a fogalmát meg kell

határozni s mindent bizonyítani kell. Kétségkivül szép lenne e módszer,

de teljesen kivihetetlen; mivel kétségtelen, hogy a legelső dolog, a

melynek fogalmát meg akarnók adni, egyéb oly dolgokat feltételezne, a

melyekkel az előbbit meghatározhatnók; ezen dolgok fogalmát ismét csak

más dolgok segélyével adhatnók meg és így soha sem juthatnánk olyanokra,

a melyeknek fogalmát már csupa ismert, vagyis általunk meghatározott

dolgokkal fejeznők ki.

Ha így a legvégsőig visszük a dolgot, szükségkép oly kezdetleges

dolgokhoz jutunk, a melyeknek fogalmát már nem lehet meghatározni, vagy

oly kétségtelen szabályokhoz, melyeknek bebizonyítására már magoknál e

szabályoknál világosabb szavakat nem találunk. Kitünik ebből, hogy az

ember természetileg s változhatatlanul képtelen arra, hogy bármely

tudományt is feltétlenül tökéletes módszerrel tárgyaljon; de ebből ismét

nem következik az, hogy ennél fogva minden módszert mellőznie kell.

Mert van egy módszer, a mennyiségtané, a mely ugyan a legigazibb

módszert el nem éri, de megközelíti; mivel ha nem is a leginkább

meggyőző, de a legbiztosabb. Nem határoz meg és nem bizonyít mindent: és

ezért nem éri el az egészen helyes módszert; de csupán csak oly dolgokat

tételez fel, és hagy meghatározatlanul, melyek világosak és állandóak

már természetöknél fogva: és ezért tökéletes e módszer, mert az

okoskodások helyett a természet támogatja.

Ez a legtökéletesebb módszer nem abban rejlik, hogy mindent meg kell

határozni és bizonyítani, sem abban, hogy semmit sem határozzunk meg;

hanem hogy a középúton maradjunk: ne határozzunk meg oly dolgokat,

melyek már magukban véve világosak s mindenki által ismertek, másrészt

azonban minden egyéb dolognak határozzuk meg a fogalmát és szintén így:

az általánosan ismert igazságokat ne bizonyítsuk, de minden mást

kimutatni igyekezzünk. Ezen szabály ellen épen úgy vétenek azok, a kik

mindennek a fogalmát meg akarják adni, mint azok is, a kik a magokban

véve nem világos dolgokat meg nem határozzák.

Ezt a módszert követi a mennyiségtan. – Nem határozza meg e fogalmakat:

tér, idő, mozgás, szám, egyenlőség, sem számtalan más hasonlót, mivel e

szavak már oly természetesen megjelölik azon dolgokat, a miket kifejezni

hivatvák, hogy azoknak, a kik a nyelvet birják, e szavak teljes

világosságok, a melyeknek meghatározása rájok csak homályt vetne.

Látni ebből, hogy vannak oly szavak, melyeknek fogalmát meghatározni

lehetetlen és ha a természet nem oltott volna mindnyájunkba bizonyos

általános eszméket, a melyek a kétértelműséget kizárják, gondolataink

kifejezése mindig zavart lenne. De a természet több és tisztább

ismeretet oltott belénk, mint a minők azon ismeretek, a melyeket azután

később gyakorlat, gondolkodás, kiművelés által nyerünk.

Hiszen pl. mi értelme volna annak, ha az időnek akarnánk a fogalmát

meghatározni? mindenki tudja, mit értünk idő alatt, a nélkül, hogy ezt

külön meg kellene határozni. De azért különbözők a vélemények az idő

lényegét illetőleg. Sokan azt mondják, hogy az valamely megalkotott

dolog mozgása, mások, hogy a mozgás mértéke stb.

De nem is azt akarom állítani, hogy az általánosan ismert dolgok

_természetéről_ van mindenkinek ugyanazon fogalma, hanem hogy az a

viszony, mely az illető dolog és elnevezése közt van, mindnyájunk

gondolkodásában ugyanazon módon alakul meg; így e kifejezésre: «_idő_»

_mindenki ugyanazon dolog felé irányítja gondolkodását_ s ez már magában

véve elégséges arra nézve, hogy az idő fogalmát átértsük. S az e részben

nem határoz semmit, hogy e kérdésre: mi az idő? mindenki más és más

meghatározással fog válaszolni. Mert hiszen a fogalommeghatározásnak

csak az a rendeltetése, hogy a megnevezett dolgot megjelöljék s nem az,

hogy azok természetét is kimutassák.

De, mint mondtam, sehol sem járhatunk el oly nagy szabadsággal, mint a

fogalommeghatározásoknál és így az _idő_ szóval el lehet nevezni a

megalkotott dolog mozgását is. Csakhogy akkor e szó előtt _idő_ kétféle

dolgot fog mindenki érteni; az egyik az, a melyet mindenki ért e szó

alatt, melyre mindenki, a ki nyelvünket beszéli, gondol e szó hallatára;

s a másik lesz: «valamely megalkotott dolog mozgása».

Ki kell tehát kerülni minden kétértelműséget s nem szabad a

következményeket összezavarni. Mert hiszen az említett

fogalommeghatározásból még nem fog az következni, hogy az a dolog,

melyet mi általában az _idő_ szó alatt értünk, csakugyan «valamely

megalkotott dolog mozgása». A nevet, melyet valaki a megjelölni

szándékolt dolognak akar adni, tetszése szerint megválaszthatja; de az

illető dolog természetét ez által nem változtathatja meg.

Aztán meg azt kérdhetjük: vajon mit értsünk már most e szó alatt: _idő_,

vagyis, hogy meghagyjuk-e e szónak mindenki által ismert értelmét, vagy

vegyük el ezt tőle s adjunk neki uj értelmet, vagyis azt, hogy az idő a

megalkotott dolog mozgása? Ha eredeti s általánosan ismert értelmét

elveszszük, akkor két oly dolog keletkezik, melyek mindenikének

ugyanazon elnevezése leend; ha pedig meghagyjuk közönséges értelmét és

mégis azt állítjuk, hogy e szó a «megalkotott dolog mozgása», akkor

ellentmondásba jövünk önmagunkkal. – És ez már akkor nem önálló, szabad

fogalommeghatározás, hanem oly kimondott új tétel, melyet bizonyítani

kell, ha csak már önmagában véve nem világos; nem meghatározás lesz ez

tehát, hanem uj tétel, kimondott elv, mert akkor nem azt állítjuk már,

hogy e szó: _idő_, annyit jelent, mint «valamely megalkotott dolog

mozgása»; hanem azt állítjuk, hogy az, a mit közönségesen _idő_ szó

alatt értünk, az «valamely megalkotott dolog mozgása». És ez állítást

már bizonyítani kell.

Ha nem tudnám, mily fontos e dolognak teljes átértése s az általam

előadott példához mily sok hasonló eset fordul elő a közéletben, a

nyilvánosan elmondott beszédekben, a társalgásban, nem időztem volna oly

sokáig e kérdésnél; de a vitatkozásoknál oly gyakran előforduló

fogalomzavarok, tévedések arra a tapasztalatra juttattak, hogy a

világosság a legfőbb dolog: tisztában kell azzal lennünk, a miről

beszélünk.

Hiszen hányan vannak, a kik azt hiszik, hogy megadták az _idő_ fogalmát,

midőn kimondták, hogy az «a mozgás mértéke» és e mellett mégis

meghagyták az idő közönséges értelmét is; ily esetben ezek már tételt,

elvet mondtak ki, nem pedig meghatározást adtak. S hányan vannak, a kik

a «mozgás» helyes fogalommeghatározását ekként vélik megadni: Motus nec

simpliciter motus, non mera potentia est, sed actus entis in

potentia?[5] És mind a mellett meghagyják a mozgás közönséges,

általánosan ismert értelmét. – Ezek összezavarják a

fogalommeghatározást, melyet névmeghatározásnak neveznek s a mely neme a

meghatározásnak az egyedüli helyes, megengedett s a mennyiségtanban is

használt; _összetévesztik a névmeghatározásokat a dologmeghatározással_,

a mely pedig már nem meghatározás, hanem kimondott tétel, elv, s a mely

kétértelműséget, zavart okozhat. Így aztán mindenki tetszése szerint

határozhatná meg a dolgokat oly korlátlan szabadsággal, _a mely ép úgy

tiltva van itt, mint a mily föltétlenül meg van engedve_, miként már

mondtuk is, _a névmeghatározásoknál_, – és ekként minden dolgot

összezavarnának s elvesztvén minden rendszert, minden világosságot, ők

magok is elvesznének, eltévednének a kimagyarázhatatlan zavarban.

Ily zavartól mindig mentek maradunk, ha a mennyiségtan szabályait

követjük. Ez a tudomány nem akarja oly szók fogalmát meghatározni,

melyeket mindenki ismer, ért, mint a minők: a tér, idő, mozgás,

egyenlőség, nagyság, kicsinység, minden stb. De aztán minden egyéb

használt kifejezést oly világosan meghatároz, hogy az alatt mást nem

lehet érteni. És így minden szó, minden kifejezés teljesen érthető, vagy

már természeténél fogva, vagy pedig az adott fogalommeghatározások

következtében.

Igy kerüli el aztán mindazt a tévedést, mely itt származhatik. Csak azt

a kifejezést határozza meg s csak azt a tételt bizonyítsa be, a melyet

meghatározni s illetve bebizonyítani szükséges. Ha elér az általánosan

ismert igazságokhoz, ott megállapodik s azoknak elfogadását már

feltételezi; nincsenek már világosabb kifejezések, a melyekkel az

általános igazságokat bebizonyítsa. Igy aztán – ismétlem – a mit a

mennyiségtan állít, annak igazsága ki van mutatva, vagy a természetes s

mindenki előtt ismert igazságok által, vagy bizonyítékok által.

S ha e tudomány nem határoz meg és nem bizonyít mindent, annak egyedüli

oka az, hogy bizonyos fokon túl a meghatározás s bizonyítás lehetetlen.

Talán különösnek fog feltünni, hogy a mennyiségtan nem képes

meghatározni azon dolgok egyikét sem, a melyek épen főtárgyai; mert

hiszen nem képes sem a «mozgásnak», sem a «számnak», sem a «térnek»

fogalmát megadni, pedig e három az, a melynek törvényeit kutatja s e

három szerint nevezi el fő tudományágazatait: a természettant

(physikát), számtant és mértant.

De épen nem fog meglepetést okozni ama kijelentésem, hogy ez a bámulatos

tudomány épen azon sajátságánál fogva, hogy a legegyszerűbb s

legvilágosabb fogalmakra támaszkodik, nem képes megadni alapfogalmainak

meghatározását; s a meghatározás hiánya inkább tökéletességre mutat,

mintsem hogy hibát képezne, mivel azt bizonyítja, hogy ez alapfogalmak

oly világosak, oly általánosan ismertek, hogy lényegök iránt mindenki

tisztában van s már nem is léteznek oly világosabb fogalmak, melyekkel

meghatározhatók lennének.

A mennyiségtan tehát mellőzi ez alapfogalmak meghatározását; de aztán

annál nagyobb alapossággal kutatja természetöket s födözi fel bámulatos

sajátságaikat.

Minden dologban, minden létezőben találkozik két végtelenség: az egyik a

nagyság, a másik a kicsinység.

Mert bármily gyors is legyen valamely mozgás, még mindig képzelhető

gyorsabb is; ezt ismét meg lehet gyorsítani s ez így mehet a végtelenig,

a nélkül, hogy végre is olyanhoz érnénk, a mely oly gyors lenne, hogy

már nem lehetne fokozni a gyorsaságát. És viszont bármily lassu is

valamely mozgás, még mindig lehet meglassítani a végtelenig, a nélkül,

hogy végre is a mozdulatlanság állna be. Szintén így: bármily nagy

legyen is valamely szám, mindig képzelhető annál nagyobb; és így mehet

ez végtelenig, a nélkül, hogy végre oly számhoz érnénk, melynél már

nagyobb nem is képzelhető; és viszont, bármily kis számnál is még mindig

képzelhető kisebb és itt is a végtelenig mehetünk, a nélkül, hogy a

zérushoz, a semmihez eljutnánk.

Hasonlóképen bármily nagy legyen is valamely térség, még mindig

képzelhető ennél nagyobb s így mehetünk ismét a végtelenig és soha sem

fogunk oly tért elérni, a melynél nagyobbat már nem képzelhetnénk s

viszont, bármily kicsiny is valamely tér, annál kisebb mindig

képzelhető, s itt is a végtelenig mehetünk és soha sem fogunk oly térhez

jutni, a melynél kisebb már ne volna képzelhető.

Igy van ez az időre nézve is. Minden időnél képzelhető hosszabb, a

nélkül, hogy az utolsóhoz, a legnagyobbhoz eljutnánk s viszont az idő

tartamát folyton csökkentve, soha sem érjük el a semmit, az időtartam

nélkül való létet.

Vagyis egy szóval, bármily mozgásnál, bármily térségnél és bármily

időnél még mindig képzelhető nagyobb és kisebb: egymás mellé

helyezkednek el mind a végtelen és a semmiség közé s e két véglettől

mindenik közülök végtelen távolban van.

Mindez igazságokat lehetetlen kimutatni, s mégis ezek képezik a

mennyiségtan alapját és főelveit. De épen azért, mivel az ok, a melynél

fogva bebizonyításuk lehetetlenné van téve, nem homályosságuk, hanem

épen világosságuk mellett szól, a bizonyítás lehetetlensége itt nem

hibára, hanem épen tökéletességre mutat.

S ennélfogva, ha a mennyiségtan bizonyos dolgok fogalmát nem tudja

meghatározni s bizonyos alaptételeket nem bir bebizonyítani, ennek

egyedüli és reá nézve csakis előnyös oka az, hogy e dolgok és tételek

természetöknél fogva világosak, ismertek s annyira elfogadottak, hogy

már természetökből kifolyólag sokkal meggyőzőbbek, mintha igazságukat

okoskodásokkal igyekeznék valaki bizonyítani.