pesanteur à celle que produit la réfraction atmosphérique. Précisément
certains astronomes se sont demandé si la concordance de la théorie
d'Einstein et des résultats obtenus pendant l'éclipse était autre chose
qu'une coïncidence, et si les déviations observées ne provenaient pas
d'une réfraction causée dans l'atmosphère du Soleil.
Cette explication paraît insoutenable. On observe parfois des comètes
traversant l'espace tout près de la surface solaire. Elles subissent
dans leur mouvement une résistance qui le perturberait complètement si
le Soleil avait une atmosphère assez réfringente pour expliquer les
déviations observées à Sobral et à Principe. De telles perturbations des
orbites cométaires près du Soleil n'ont jamais été constatées. Cela
exclut toute autre interprétation qu'un effet de la pesanteur sur
la lumière.
Ainsi, les rayons des étoiles pesés par des procédés d'une exquise
délicatesse, ont fourni l'éclatante confirmation des prémisses
théoriques d'Einstein.
A ses fruits on juge l'arbre.
[Cul-de-lampe]
CHAPITRE SIXIÈME
CONCEPTION NOUVELLE DE LA GRAVITATION
_Géométrie et réalité || La géométrie d'Euclide et les autres ||
Contingence du criterium de Poincaré || L'univers réel n'est pas
euclidien mais riemannien || Les avatars du nombre π || Le point
de vue de l'ivrogne.... || Lignes droites et géodésiques || La
nouvelle loi d'attraction universelle || L'anomalie de la planète
Mercure expliquée || Théorie gravitationnelle d'Einstein._
L'univers est-il conforme à la géométrie? Voilà une question dont
philosophes et savants ont beaucoup disputé, et que la déviation de la
lumière par la pesanteur va nous permettre d'attaquer fort simplement.
On enseigne toute une magnifique série de théorèmes de géométrie
solidement emboîtés les uns dans les autres et dont les principaux
furent autrefois créés par un grand génie grec, Euclide. C'est pourquoi
cette géométrie classique s'appelle la géométrie euclidienne. Ces
théorèmes sont basés sur un certain nombre d'_axiomes_ et de postulats
qui ne sont, en somme, que des affirmations, des définitions.
La principale de ces définitions est la suivante: La ligne droite est le
plus court chemin d'un point à un autre. Cela paraît tout simple aux
écoliers parce qu'ils savent qu'au stade le coureur qui s'amuse à faire
des zigzags arrivera au but après les autres... et quand on va souvent
au terrain de sports on n'a ni l'envie, ni le loisir de se dessécher sur
la validité des axiomes de la géométrie. Que veut dire exactement cette
définition de la ligne droite? On en a longtemps discuté et Henri
Poincaré a écrit là-dessus des pages profondes et fines, mais dont la
conclusion n'est pas dénuée d'un peu d'incertitude.
Dans la pratique, chacun de nous sait bien ce qu'il appelle une ligne
droite: c'est la ligne que dessine l'arête d'une règle bien dressée.
Comment sait-on qu'une règle est bien dressée? En la plaçant devant
l'œil et en observant que ses deux extrémités, lorsqu'on les vise,
sont confondues par le regard qui voit en même temps tous les points
intermédiaires de l'arête. C'est comme cela que les menuisiers jugent
qu'une planche est rabotée droit. En un mot nous appelons ligne droite,
dans la pratique, la ligne que suit le regard du tireur entre le guidon
et le cran de mire.
Tout cela revient en somme à définir la ligne droite par la direction
d'un rayon lumineux.
Comme qu'on retourne la question on en arrive toujours à ceci: dire
que le bord d'un objet est droit, c'est dire que la ligne qui le
délimite coïncide sur toute sa longueur avec un rayon lumineux[9]. On
peut donc affirmer: pratiquement la ligne droite est le chemin parcouru
par la lumière dans un milieu homogène.
[9] Il va sans dire que dans tout ceci le rayon lumineux est
censé se propager dans un milieu homogène.
Mais alors une question se pose. Le monde où nous vivons, l'univers
est-il conforme à la géométrie d'Euclide, est-il _euclidien_, pour
employer l'adjectif à la mode qui n'est peut-être pas encore au
dictionnaire de l'Académie, mais qui y sera?
Car il faut bien dire maintenant que la géométrie d'Euclide n'est pas la
seule qu'on ait créée. Au XIXe siècle des savants profonds et hardis,
Riemann, Bolyay, Lobatchewski, Poincaré lui-même, ont fondé des
géométries nouvelles très différentes, assez étranges. Elles sont tout
aussi logiques et cohérentes que la géométrie classique d'Euclide, mais
elles sont basées sur des axiomes, sur des postulats autres,
c'est-à-dire sur des définitions différentes.
Par exemple on appelle _parallèles_ deux lignes droites situées dans un
même plan et qui ne se rencontrent jamais. La géométrie chère à notre
enfance dit: par un point on ne peut faire passer qu'une seule parallèle
à une droite donnée. C'est ce qu'on appelle le postulat d'Euclide.
Survient Riemann qui n'admet pas ce postulat et le remplace par
celui-ci: par un point on ne peut faire passer aucune droite
parallèle à une droite donnée, c'est-à-dire aucune ligne qui ne la
rencontre jamais. Et là-dessus il fonde une géométrie parfaitement
cohérente.
Qui oserait affirmer que la géométrie d'Euclide est vraie, celle de
Riemann fausse? Comme constructions théoriques idéales, elles sont aussi
vraies l'une que l'autre.
* * * * *
On peut poser la question suivante: le monde réel correspond-il à la
géométrie classique d'Euclide ou à celle de Riemann?
On a cru longtemps qu'il correspondait à la géométrie d'Euclide.
Poincaré lui-même disait, parlant de celle-ci: «Elle est et restera la
plus commode: 1º parce qu'elle est la plus simple; 2º parce qu'elle
s'accorde assez bien avec les propriétés des solides naturels, ces corps
dont se rapprochent nos membres et notre œil et avec lesquels nous
faisons nos instruments de mesure.»
Lorsque les anciens affirmaient que la Terre est plate, ils assuraient
de même... ou à peu près: «Cette notion est la plus commode: 1º parce
qu'elle est la plus simple; 2º parce qu'elle s'accorde assez bien avec
les propriétés des objets naturels avec lesquels nous sommes en
contact.» Mais quand les hommes sont venus en contact avec des objets
plus éloignés, quand les navigateurs et les astronomes ont multiplié ces
objets nouveaux, la notion de la Terre plate a cessé d'être la plus
commode, la plus simple, la mieux adéquate aux données sensibles. Et
alors a surgi la notion de la rotondité de la Terre qui s'est trouvée
infiniment plus commode, plus simple, mieux adaptée au monde extérieur.
La _commodité_, qui est pour Poincaré le criterium de la vérité
scientifique, est une chose contingente et élastique. Tel point de vue
est commode à Paris, qui ne le sera plus à Pontoise. Telle théorie est
commode sur un espace de 100 mètres qui ne le sera plus sur un espace de
100 millions de kilomètres.
L'hypothèse d'une Terre plate a cédé le pas à celle d'une Terre ronde.
La Terre immobile a cédé le pas à la Terre tournante. De même il semble
qu'aujourd'hui, la géométrie euclidienne doive céder le pas à une autre,
comme représentation _commode_ du monde réel.
Dans l'Univers, dans notre espace réel peut-on mener une parallèle à une
droite? C'est-à-dire deux droites réelles situées dans le même plan
peuvent-elles ne jamais se rencontrer? Cette question signifie ceci:
deux rayons lumineux cheminant dans l'espace vide et dans ce que (pour
chaque fraction de ces rayons) nous appellerons un même plan,
peuvent-ils ne jamais se rencontrer? _La réponse à cette question est
non._
Puisque dans l'espace céleste ces deux rayons lumineux sont déviés par
la gravitation des astres, puisque d'ailleurs ils sont déviés
inégalement, leur distance à ces astres étant différente, il s'ensuit
nécessairement qu'ils cessent d'être parallèles (au sens euclidien
du mot) et qu'ils finissent par se rencontrer; ou bien qu'ils cessent de
remplir la première condition du parallélisme: la coexistence dans un
même plan local.
En un mot, et pourvu qu'on le considère non plus dans le champ
ridiculement borné des expériences de laboratoire, mais dans le vaste
champ des étendues célestes, l'univers réel n'est pas euclidien parce
que la lumière ne s'y propage pas en ligne droite.
Kant considérait les vérités, ou, pour mieux dire, les affirmations
déductives de la géométrie euclidienne, comme des «jugements
synthétiques _a priori_», comme des évidences sans autre issue
qu'elles-mêmes. Nous venons de voir que là-dessus Kant s'est trompé, non
seulement du point de vue de la géométrie théorique, mais aussi du point
de vue de la géométrie réelle. L'étymologie seule du mot _géométrie_,
qui signifie mesure du terrain, suffit d'ailleurs à montrer qu'elle fut
à l'origine, et avant tout, une science pratique. Cela légitime assez la
question que nous avons posée ici, de savoir à quelle géométrie
s'apparente l'Univers réel.
Gauss, ce profond esprit, s'était déjà posé la question et il avait, au
siècle passé, tenté des expériences précises pour mesurer si la somme
des angles d'un triangle est égale à deux droits comme l'affirme la
géométrie euclidienne. Dans ce dessein, il forma un vaste triangle dont
les sommets étaient constitués par les points culminants de trois
montagnes éloignées. L'une était le célèbre Brocken. Il fit, avec ses
aides, simultanément des visées de chacun des sommets aux deux
autres. Il trouva que la somme des trois angles du triangle ne différait
de 180 degrés que d'une quantité égale aux erreurs d'expérience.
Beaucoup de béotiens et quelques philosophes se moquèrent fort de ces
expériences et de Gauss. Ils déclarèrent, avec le catégorisme apriorique
qu'on rencontre parfois chez les uns et les autres, que les mesures même
si elles avaient eu un autre résultat n'auraient rien prouvé contre les
théorèmes d'Euclide, mais établi seulement que quelque cause
perturbatrice incurvait les rayons lumineux entre les trois sommets du
triangle. C'est exact, mais cela ne signifie rien.
Si Gauss avait trouvé que la somme des angles du triangle étudié
dépassait deux droits, cela aurait prouvé que la géométrie réelle
n'était pas celle d'Euclide. La question que s'était posée Gauss était
pleine de profondeur et de sens. Les béotiens et quelques philosophes
qui le conspuèrent eussent pu être mis au défi de définir les lignes
droites réelles, les lignes droites naturelles autrement que par les
trajets de la lumière.
Si Gauss n'a pas trouvé que la somme des angles fût différente de deux
droits c'est parce que ses mesures étaient trop peu précises. Si elles
avaient été beaucoup plus exactes, ou s'il avait pu opérer sur un
triangle plus grand, dont les sommets eussent été la Terre, Jupiter en
opposition et une autre planète, il eût trouvé une différence notable.
L'Univers réel n'est donc pas euclidien. Il n'est à peu près
euclidien que dans les régions de l'espace où la lumière se propage
rectilignement, c'est-à-dire aux endroits très éloignés de toute masse
gravitante, tel celui où nous avions plus haut abandonné l'obus de Jules
Verne.
Bien d'autres raisons encore font que, par suite de la gravitation,
l'Univers n'est pas conforme à la géométrie d'Euclide.
Exemple: Dans cette géométrie la longueur de la circonférence est avec
son diamètre dans un certain rapport bien connu et qui est désigné par
la lettre grecque π. Ce rapport qui exprime combien de fois le diamètre
est compris dans la circonférence est égal à 3,14159265... etc... j'en
passe car π possède un nombre infini de décimales. Alors voici la
question: Dans la pratique, le rapport des circonférences à leurs
diamètres est-il réellement égal à la valeur classique de π? Par
exemple le rapport de la circonférence de la Terre[10] à son diamètre
a-t-il précisément cette valeur? Selon Einstein, la réponse est _non_,
et en voici la preuve: Imaginons que deux géodésiens, deux arpenteurs
très habiles, très rapides et un peu magiciens, se proposent de mesurer
la circonférence et le diamètre de la Terre à l'Équateur. Ils sont munis
de règles graduées identiques. Ils commencent leurs mesures en même
temps et en partant du même point de l'Équateur. Seulement l'un se
dirige vers l'Ouest, l'autre vers l'Est et leurs vitesses sont égales et
telles que celui qui va vers l'Ouest annule en quelque sorte la rotation
de la Terre et voit toute la journée le Soleil immobile à la même
hauteur au-dessus de l'horizon. Ainsi, dans les music-halls, on voit
parfois un jongleur qui, marchant sur une boule en mouvement, reste
cependant au sommet de la boule parce que la vitesse de ses pas est
exactement égale et contraire au déplacement de la surface sphérique.
[10] Nous supposons bien entendu la Terre parfaitement circulaire
et sans aspérités.
Un observateur immobile dans l'espace, par exemple sur le Soleil, verra
donc immobile, en face de lui, celui de nos deux arpenteurs qui se
dirige vers l'Ouest. Au contraire, celui qui va vers l'Est lui paraîtra
tourner autour de la Terre et deux fois plus vite que s'il était resté à
son point de départ.
Nos deux arpenteurs lorsqu'ils auront, à la même vitesse, achevé chacun
de son côté de mesurer le tour de la Terre, auront-ils trouvé la même
longueur? Évidemment _non_. Car, comme le constate le sur-observateur
placé dans le Soleil, le mètre de l'arpenteur qui va à l'Est est
raccourci par sa vitesse, en vertu, nous l'avons montré, de la
contraction Fitzgerald-Lorentz. Au contraire le mètre de l'arpenteur qui
va à l'Ouest ne subit pas cette contraction, ainsi que le constate le
sur-observateur solaire, par rapport à qui il est immobile.
Par conséquent les deux arpenteurs trouvent pour le diamètre terrestre
des nombres différents, et celui qui se dirige vers l'Ouest trouve un
nombre de mètres plus petit que l'autre. D'autre part il est
évident que lorsqu'ils mesurent ensuite le diamètre terrestre en le
parcourant à la même vitesse, nos deux observateurs trouveront pour ce
diamètre deux valeurs identiques.
Le nombre π qui exprime, d'après les mesures faites, le rapport
de la circonférence de la Terre à son diamètre, est donc différent,
selon qu'on marche dans le sens où la Terre tourne, ou dans le sens
inverse. Puisque les valeurs _réelles_ du nombre π sont
diverses, c'est donc qu'elles ne peuvent être le nombre unique et bien
déterminé de la géométrie classique. C'est donc que l'Univers réel n'est
pas conforme à cette géométrie.
Ces différences, dans l'exemple précédent, proviennent de ce que la
Terre tourne. Au point de vue de la gravitation, la rotation terrestre a
des effets centrifuges qui diminuent l'effet centripète de la pesanteur.
Nous venons de voir d'ailleurs que pour celui de nos deux arpenteurs
dont la vitesse annule la rotation terrestre, la valeur du nombre
π est plus petite que pour l'observateur dont la vitesse semble
doubler cette rotation. Les effets de la pesanteur étant inverses de
ceux de la rotation, de la force centrifuge, il s'ensuit donc (et la
démonstration en est aussi simple que la précédente) que l'effet de la
pesanteur est de donner au nombre π une valeur plus petite que
sa valeur classique.
En un mot, dans l'Univers les circonférences réelles tracées autour des
masses gravitantes, autour des astres, ont par rapport à leur diamètre,
une longueur plus petite que dans la géométrie euclidienne.
La différence est d'ailleurs en général assez faible. Mais elle
n'est pas nulle. Si on place une masse de 1 000 kilogs au centre d'un
cercle de 10 mètres de diamètre, le nombre π différera
réellement de sa valeur euclidienne de moins d'un septillionième,
c'est-à-dire de moins d'un millionième de milliardième de milliardième.
Au voisinage de masses formidables comme celles des astres, la
différence pourra être beaucoup plus grande, ainsi que nous verrons.
C'est de là surtout que proviennent les divergences entre la loi de
gravitation de Newton et celles d'Einstein, divergences que
l'observation a tranchées à l'avantage de celle-ci.... Mais n'anticipons
pas....
* * * * *
Nous avons montré dans un chapitre précédent que l'Univers réel des
relativistes est un continuum à quatre dimensions et non pas à trois
comme le croyait la science classique, et qu'au sein de ce continuum les
distances dans l'espace et les distances dans le temps sont relatives.
Seul a une valeur indépendante des conditions d'observation, seul a une
réalité absolue... ou du moins objective, ce que nous avons appelé
l'«Intervalle» des événements, synthèse des données spatiales et
chronologiques.
Mais, pour avoir quatre dimensions, l'Univers, tel que nous l'avons
discuté à propos de l'expérience de Michelson et de la relativité
spéciale qui s'y rattache, n'en était pas moins un continuum euclidien,
où la géométrie classique était vérifiée, où la lumière se propageait en
ligne droite.
Il faut déchanter, nous venons de le voir. Non seulement il est à quatre
dimensions, mais il n'est pas euclidien.
A quelle géométrie s'apparente le mieux, le plus commodément—pour
parler comme Poincaré—cet Univers? Probablement à celle de Riemann.
Lorsqu'on trace, sur une feuille de papier étalée sur la table, un petit
cercle au moyen d'un compas, le rayon de ce cercle est donné par
l'écartement des pointes du compas et ce cercle est euclidien. Mais si
on trace ce cercle sur un œuf, la pointe fixe du compas étant piquée
au sommet de l'œuf, et si le rayon est de nouveau donné par
l'écartement des pointes, le cercle tracé n'est plus euclidien. Le
rapport de la circonférence décrite au rayon ainsi défini est plus petit
que π, exactement comme il est plus petit que π lorsque
le cercle est tracé autour d'un astre massif.
Eh bien! il y a la même différence entre l'Univers réel non euclidien et
un continuum euclidien, qu'entre notre feuille de papier plane et la
surface de notre œuf, à cela près que ces surfaces ont deux
dimensions tandis que l'Univers en a quatre.
L'espace à deux dimensions peut être plat comme la feuille de papier ou
courbe comme la surface de l'œuf. On peut même, suivant qu'on laisse
à plat ou qu'on roule une feuille de papier, faire que la géométrie qui
s'applique aux figures tracées sur elle soit ou ne soit pas la
géométrie euclidienne. D'une manière tout à fait analogue, l'espace à
plus de deux dimensions peut être euclidien ou non.
En fait l'Univers, nous venons de le voir, n'est à peu près euclidien
que dans les régions du monde très éloignées de toutes masses pesantes.
Il n'est pas euclidien mais courbe au voisinage des astres et d'autant
plus qu'on en est plus près.
La géométrie de l'espace courbe, telle que l'a fondée Riemann, est donc
celle qui paraît le mieux s'appliquer à l'Univers réel. C'est elle
qu'Einstein a employée dans ses calculs.
* * * * *
Pour démontrer tout à l'heure que les rayons lumineux tombent comme
feraient des projectiles d'égale vitesse, nous sommes partis du
raisonnement que voici:
Puisque l'«Intervalle» de deux événements est le même pour deux
observateurs animés de vitesses uniformes et différentes, il est
_naturel_ de penser qu'il restera le même pour un troisième observateur
dont la vitesse passe progressivement de celle du premier à celle du
second, c'est-à-dire dont la vitesse est uniformément accélérée.
Il n'y a en effet aucune raison pour que les voyageurs d'un train animé
d'une vitesse constante de 100 kilomètres à l'heure, par exemple,
observent comme ceux d'un autre train faisant 50 kilomètres à
l'heure, quelque chose d'«invariant» dans les phénomènes, tandis que cet
«invariant» cesserait d'être tel pour les voyageurs d'un troisième train
qui passe graduellement de la vitesse du premier train à celle du
second. Admettre le contraire serait donner une situation privilégiée,
dans l'Univers, aux deux premiers ou à leurs pareils. Or s'il est un
domaine qui a eu réellement sa nuit du 4 août, un domaine où les
privilèges injustifiés ont été supprimés par la physique nouvelle, c'est
bien la contemplation du monde extérieur.
Ce privilège des observateurs en mouvement uniforme serait d'autant
moins justifié que, si on va au fond des choses, il est bien difficile
de définir exactement un mouvement uniforme.
Dire qu'un train a une vitesse uniforme de 100 kilomètres à l'heure,
qu'est-ce que cela veut dire? Cela veut dire que ce train possède cette
vitesse par rapport à la voie, par rapport au sol. Mais par rapport à un
observateur en ballon, ou qui passe dans un autre train, cette vitesse
n'a plus la même valeur et elle peut cesser d'être une vitesse uniforme.
Nous ne connaissons que des mouvements relatifs, et pour mieux dire des
mouvements relatifs à tel ou tel objet matériel. Selon le choix de cet
objet, de ce repère, une même vitesse pourra être uniforme ou accélérée.
Finalement on voit qu'il faudrait revenir à l'hypothèse de l'espace
absolu de Newton, pour pouvoir dire si une vitesse donnée est réellement
uniforme ou accélérée.
Là est la raison profonde pour laquelle l'«Intervalle» einsteinien
des choses, quantité invariable, «Invariant», doit rester le même par
rapport à tous les observateurs quelles que soient leurs vitesses, et en
particulier pour les observateurs animés de vitesses équivalentes, en un
lieu donné, aux effets de la gravitation.
Mais alors les déductions que nous avons tirées de l'expérience de
Michelson, relativement à l'aspect des phénomènes pour des observateurs
en translations uniformes différentes, ne suffisent plus à nous rendre
compte de toute la réalité. Elles ont besoin d'être complétées de sorte
que l'invariant universel, l'«Intervalle» des choses, reste tel pour un
observateur en mouvement quelconque.
Si je traverse une rue à une vitesse inouïe, mais d'un mouvement
uniforme, son aspect général, par suite de la contraction due à ma
vitesse, pourra être pour moi un peu différent de ce qu'il
m'apparaîtrait si j'étais immobile[11]. Les maisons par exemple me
paraîtront plus étroites en proportion de leur hauteur. Cependant
l'aspect et les proportions générales des objets, seront à peu près les
mêmes dans les deux cas, et auront quelque chose de commun. C'est ainsi
que les becs de gaz m'apparaîtront plus minces, mais ils seront toujours
droits.
[11] Il va sans dire qu'on suppose ici l'observateur muni d'une
rétine à impressions instantanées.
Il en sera tout autrement si l'observateur est animé de mouvements
variés quelconques, s'il est par exemple un ivrogne, un ivrogne
merveilleux capable de tituber à des vitesses prodigieuses. Pour cet
ivrogne, la rue qu'il parcourt aura un aspect tout nouveau. Les becs de
gaz ne lui paraîtront plus droits, mais gondolés en zigzags qui
reproduiront, en sens inverse, les zigzags qu'il décrit en titubant.
Cela est si vrai que les caricaturistes ont l'habitude de représenter en
lignes follement sinueuses les arbres, lampadaires et maisons vues par
un ivrogne.
Notre homme sera d'ailleurs persuadé que les objets ont bien réellement
la forme zigzagante qu'il leur voit, et que cette forme change à chacun
de ses pas. Essayez de le persuader que c'est lui qui danse et non pas
les réverbères; essayez de lui montrer que c'est lui qui ne marche pas
droit et non le chien qu'il tient... ou plutôt qui le tient en laisse.
Il n'en croira rien, et ma foi, du point de vue de la relativité
généralisée, il aura raison ni plus ni moins que vous.
Pourtant il y a quelque chose qui, dans l'aspect du monde doit rester
commun à l'ivrogne et au buveur d'eau.
Si l'Univers tout entier était soudain noyé dans une masse de gélatine
qui se prenne en gelée, et que l'on torde, comprime, déforme d'une
manière quelconque cette masse gélatineuse, il y aurait quelque chose
qui resterait pourtant inaltéré dans ce coagulum. Quel est ce quelque
chose, quel est le calcul qu'il faut lui appliquer? La réponse à ces
questions constituait la dernière étape à franchir par Einstein
pour pouvoir établir les équations de la gravitation et de la relativité
généralisée.
* * * * *
Ici c'est le génie pénétrant d'Henri Poincaré qui a réellement tracé la
voie. Il est d'autant plus nécessaire d'y insister que justice n'a pas
été rendue sur ce point à l'illustre savant français.